數與代數領域“數的認識”——數量關系小學數學課程標準與教材教學研究課程內容：數量關系數量關系主要是用符號（包括數）或含有符號的式子表達數量之間的關系或規律。學生經歷在具體情境中運用數量關系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義，提高發現和提出問題、分析和解決問題的能力，形成模型意識和初步的應用意識。課程內容：數量關系

簡易方程引入的價值在于，為學生提供用代數方法解決問題的途徑。小學階段解決問題的基本方式是算術方法。基本的數量關系模型，一是求和的關系（部分十部分＝整體）；二是求積的關系（每份數×份數＝總量）。具體的表現為加、減、乘、除的意義。算術方法解決問題基本上是根據加減乘除四則運算的含義，分析問題中的數量關系，列出一個算式。這個算式的基本特征是將已知的數量構成的算術式使其結果等于所求的數量。在具體情境中能用字母表示數。結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示。能用方程表示簡單情境中的等量關系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用。了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程。式與方程內容分析《義務教育數學課程標準（2022年版）》在第三學段“學段目標”中提出，經歷用字母表示數的過程，形成符號意識、運算能力、推理意識。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在第三學段“課程內容”中提出，根據具體情景理解等式的基本性質。在具體情景中，探索用字母表示事物的關系、性質和規律的方法，感悟用字母表示的一般性，逐步形成模型意識和幾何直觀，提高解決問題的能力。1、課程要求式與方程內容分析教學內容主要有：用字母表示數和解簡易方程。其中，在解簡易方程部分又包括以下四個方面內容：方程的意義、等式的性質、解方程、實際問題與方程。具體結構圖如下：1、課程要求1．用字母表示數例1用字母表示數量關系a+30例2用字母表示數量關系6x例3用字母表示運算定律和計算公式例4用字母表示數量關系1200-3x例5用字母表示數量關系3x+4x2．解簡易方程方程的意義方程的意義等式的性質等式的性質1等式的性質2解方程例1方程的解解方程例2～例5解不同類型的方程實際問題與方程例1x+b=c的應用例2ax-b=c的應用例3ax+ab=c的應用例4x+bx=c的應用例5ax+bx=c的應用這些內容是在學生具備一定的算術知識（如整數、小數的四則運算及其應用），已初步接觸了一點代數知識（如用字母表示運算定律，用“○”“△”或“□”表示數）的基礎上進行學習的。數量關系內容分析2、教材分析

用字母表示數的內容充分體現了學生的認知規律：從具體到一般（抽象概括）、再到具體（代入應用）的正、反兩個思維過程，最后進行拓展應用，為數學歸納法的學習進行了很好的前期滲透。

例1反映的兩個數量之間的加減關系，更加充分體現了“具體→一般→具體”的學生認知過程。同時，由于這是學生正式學習簡易方程的第一個例題，其中滲透了學生學習代數知識所必備的抽象概括能力、函數思想及代入求值的解題方法。五年級上第七單元（1）用字母表示數數量關系內容分析2.教材分析例2反映的是兩個數量之間的乘除關系，重點突出了從具體到一般的抽象概括能力，并使學生體會到了符號化的簡潔性。進一步體現了數學歸納法的學習過程，同時強調了代數式的表示方法及書寫習慣。五年級上第七單元（1）用字母表示數數量關系內容分析2.教材分析例3是通過含有字母的代數式表示運算定律和計算公式，讓學生體會到了代數式可以表示兩個量之間的任意數量關系，更加體會到了代數式的優越性（或是符號化的優越性），同時為學生滲透了代入法求值的解題方法。五年級上第七單元（1）用字母表示數數量關系內容分析2.教材分析五年級上第七單元前面三個例題，從兩個量之間的數量關系入手，為學生學習用字母表示數、建立符號意識打下了基礎。例4、例5則從多個量之間的數量關系開始，為學生的符號化意識、代數思想進行拓展，讓學生體會到了代數式的功能性作用，為學生學習用方程解決實際問題奠定了基礎。（1）用字母表示數數量關系內容分析2.教材分析（2）方程的意義通過動手操作、直觀體會、對比感知等手段，使學生建立方程的概念，感知方程的多樣性，能判斷一個式子是否為方程。在這個過程中，一定要突出含有未知數、等式這兩個必須滿足的客觀條件，從而進一步加深學生對方程的認識。數量關系內容分析2.教材分析（3）等式的性質等式的性質旨在通過兩幅“天平游戲”的主題圖向學生分別揭示等式的基本性質。因此，在進行這部分內容教學時，教師一定要讓學生通過動手實驗、雙向觀察、細致分析，從而使學生的思維從天平聯想到等式，從同時增加、減少相同質量的砝碼聯想到同時加上或減去同一個數，從物體質量同時成倍擴大或縮小整數倍聯想到同時乘或除以同一個不為0的數。通過這樣一個個聯系的紐帶，水到渠成地總結出等式的基本性質。五年級上第七單元數量關系內容分析這部分內容是學習方程的重點。教材首先向學生揭示的是方程的解、解方程這兩個學生容易混淆的概念，然后用了5個不同的例題呈現出對五種不同類型方程的解答，從中不難發現解答方法是一致的：即運用等式的基本性質進行解答，并且這是教材中強調的小學生解方程的唯一方法。同時，通過這5個例題也強調了用代入法的方式來進行驗算。例1強調用等式的加減性質解答形如的方程，并運用轉化思想解答形如的方程，同時建立方程的解與解方程兩個概念；（4）解方程五年級上第七單元數量關系內容分析教學例2強調用等式的乘除性質解答形如的方程，同時要讓學生嘗試解答形如的方程；教學例3強調解答形如的方程，但更重要的是在于讓學生通過轉化的思想，聯系例3的解答，嘗試解答形如的方程；教學例4、例5是轉化思想、運用整體意識解答具有較復雜數量關系的方程。（4）解方程五年級上第七單元數量關系內容分析實際問題與方程的內容屬于方程應用部分，也是方程的難點。通過學習培養學生運用數學知識解決實際問題能力。例6通過簡單的數量關系教學形如的應用，同時告訴學生通過觀察、運用，體會到列方程解題的基本方法和步驟，特別是要強調等量關系式對于列方程解題的重要性；例7通過對形如的應用，使學生進一步體會到列方程解題的基本方法，更加體會到列方程解題的優越性。通過例6、例7的學習，引導學生總結列方程解題的三個基本步驟，突出等量關系式對于列方程的重要性。（5）實際問題與方程五年級上第七單元數量關系內容分析例8、9、10是列方程解答含有稍復雜數量關系的實際問題。例8解決的是運用形如這樣的方程解決實際問題，在這部分可以鼓勵學生通過幾個不同的等量關系式列方程解題，體現出方程解題的多樣性，也再一次突出等量關系式對于列方程的重要性；例9教學運用兩個未知數列形如方程，并進行解答；（5）實際問題與方程五年級上第七單元數量關系內容分析例10強調在列方程之前可以通過線段圖幫助學生對數量關系的理解，在此基礎上再列方程并解方程。（5）實際問題與方程五年級上第七單元數量關系內容分析關注由具體到一般的抽象概括過程。字母與方程的知識大多數都比較抽象，教學時要充分利用學生原有的認知經驗和基礎，關注到由具體實例到一般意義的抽象概括過程。如爸爸比小紅大30歲，當小紅是1歲、2歲、3歲……時，學生會用“1+30，2+30，3+30…”這樣的式子表示爸爸的年齡，然后在教師的引導下，學生用一個式子來表示任何一年爸爸的年齡即“”。之后教師可以繼續追問：這里的表示什么？又表示什么？讓學生明白“”既表示爸爸的年齡，還能反映出爸爸和小紅年齡之間的關系，這樣表示既簡明又高度概括了爸爸和小紅的年齡情況。使學生體會由特殊到一般的認識需要，初步感知抽象的作用。適當加強用含有字母的式子表示數量的訓練。用含有字母的式子表示數量的訓練，也就是寫代數式的訓練。如：“一本書有頁，張華每天看8頁，看了天，用式子表示還沒有看的頁數”“商店原有120kg蘋果，又運來10箱，每箱重kg。用式子表示出商店一共有多少箱蘋果”等，這是列方程的基礎。加強這方面的訓練可以是書面作業的形式，也可以采用口答方式（個別口答、集體口答、小組互說、同桌互說均可），以提高練習的效率。3.教學建議（1）理解用字母表示數的意義和作用，掌握用字母表示數的一般方法數量關系內容分析可由分類揭示方程的意義。對于方程的概念的建立，教師可以引導學生通過觀察下面的式子：50+50=100，100+x>200,100+x<300,100+x=250等，讓學生自己分類，從中獲得像這樣100+x=250,3x=2.4……這樣含有未知數的等式就是方程。注意引導學生經歷由生活語言到用數學語言，逐步數學化的過程。當學生看到天平平衡時會用生活語言：“空杯子和水共重250克”來表述他們所看到的。教師引導：誰能用一個式子來表示？學生可能用“100g+水的質量=250g”來表示。教師進一步引導：你能用一個含有字母的式子來表示嗎？學生可能用“100+x=250”也可能用“100+A=250”等來表示。在教學“3本練習本共用2.4元”時，也可以采用這樣的方法。讓學生經歷數學化的過程，可以更好地幫助學生理解方程的意義和作用。3.教學建議（2）初步理解方程的意義和作用，掌握列方程的一般方法數量關系內容分析通過天平游戲，讓學生充分感知天平等值變換過程。關于天平游戲教師可以用實物進行演示，讓學生真真切切地看到天平游戲中平衡的天平兩邊加上（或減去）同樣重量的物品，天平保持平衡。如果受到條件的限制，建議也要用動畫來進行游戲，將這一過程讓學生有充分的感知，從而確認這一事實。教材中是兩邊加上的是杯子，教師也可改變一下物體（如兩邊同時加上一把茶壺等）。這樣便于概括出：平衡的天平兩邊加上（或減去）同樣重量的物品，天平保持平衡。等式的性質2的教學也建議如此。教學解方程時，可以由方程的意義入手，先讓學生看圖列出方程“x+3=9”。再讓學生明確所謂解方程實際上是這樣一個問題：求x的值是多少時，方程左右兩邊才能相等？明確解題目標之后，可以先讓學生自己思考、探索x的值，也可以組織小組討論并交流。學生介紹自己的想法時，教師要注意引導學生不僅說出自己是怎樣推算的，還要啟發他們說出推算的依據，同時利用書上的圖進行演示加以論證。在學生確信x的值是6時，教師可以引出解方程的概念，明確指出：方程的解是一個數，而解方程是一個推算的過程。隨后教師一定要追問：為什么要減去3？而不是其他的數呢？讓學生明確解方程的一般思路。3.教學建議（3）理解等式的基本性質，學會用等式的基本性質解方程數量關系內容分析要重視解題步驟和書寫格式的指導，促進學生規范書寫和自覺檢驗的良好學習習慣的形成。解方程實際上是在進行一個方程的同解變形的過程，因此教師要強調解方程時一定要在原有的方程下面再寫出一個方程來，不能連著寫等號。學習解方程一定要強調解方程之后要進行檢驗，一方面為后期繼續學習打下堅實基礎，另一方面在此培養學生良好的學習習慣。對于稍復雜的方程，解答時可以采用化繁為簡的策略，引導學生自主探索。例4的教學，首先要關注學生列方程的練習，根據數量關系列方程是教學重點，也是教學的難點。在方程的意義教學時要注意加強這方面的訓練，隨后的學習中要不斷訓練，這里的教學是一個很好的契機。解答3x+4=40時，應先把3x看成一個整體。至于為什么要把3x看成一個整體？這是教學的難點。3.教學建議（3）理解等式的基本性質，學會用等式的基本性質解方程數量關系內容分析首次學習列方程解決問題，應以四則運算和數量關系為基礎，注意從算術思路到方程（代數）思路的過渡和對比，掌握列方程解決問題的思考方法和特點：將未知的數用字母表示，分析實際問題中的數量關系，找出等量關系并列出方程。要向學生明確說明這是一種新的解決問題的方法，今后的學習中會用得非常多。在“做一做”和后面的練習中不提倡用算術方法解答，要求學生用方程解答，以強化列方程解決問題的基本思路和一般方法。3.教學建議（4）掌握列方程解決問題的基本思路和一般方法，學會用方程解決實際問題數量關系內容分析列方程解決問題的關鍵是要會分析問題中的數量關系，找出等量關系。因此在開始學習時要加強根據具體問題情境，尋找等量關系的練習。①要求學生在練習時像教材中那樣寫出等量關系。②找等量關系可以做專項練習。也就是看問題情境寫等量關系，列出方程不解答。然后同桌兩位學生互相說一說，或者小組幾位同學互相說一說。這樣可以提高練習的效率。在這樣的練習中，教師要注意學生列出的方程是否符合所寫的等量關系。像下面的錯誤教師要及時予以糾正，并要求學生改正。③將列方程解決實際問題的步驟融入到解決問題的一般步驟之中。列方程解決問題除了要引導學生概括列方程解決問題的步驟（如下圖所示），同時也要注意體現解決問題的一般步驟，即“閱讀與理解”“分析與解答”和“回顧與反思”。3.教學建議（4）掌握列方程解決問題的基本思路和一般方法，學會用方程解決實際問題數與代數領域“數量關系”——正比例與反比例小學數學課程標準與教材教學研究課程內容：數量關系正比例與反比例（一）比（二）比例數量關系正比例與反比例內容分析（一）比1.課標要求《義務教育數學課程標準（2022年版）》在第三學段“學段目標”中提出，經歷用字母表示數的過程，形成符號意識、運算能力、推理意識。《義務教育數學課程標準（2022年版）》在第三學段“課程內容”中提出，在實際情景中理解比和比例以及按比例分配的含義，能解決簡單的問題；通過具體情景，認識正比的量；能探索規律或變化趨勢。能運用常見的數量關系解決實際問題，能合理解釋結果的實際意義，逐步形成模型意識和幾何直觀，提高解決問題的能力。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析這是在學生已經理解了除法的意義與基本性質、分數的意義與基本性質，以及分數與除法的關系等知識，掌握了分數乘除法的計算方法，會解答分數除法實際問題的基礎上進行教學的。內容包括比的意義、比的基本性質、化簡比、按比分配解決實際問題等。教材精心選取了“神舟”五號這一現實素材作為載體，先給出兩面長方形小旗的尺寸相關數據，引導學生討論長與寬的關系：怎樣用算式表示它們長和寬倍數的關系？在此基礎上直接指出：可以用比來表示它們之間的關系，由此引出同類量的比。如果僅從形式上看，比是除法關系的另一種表示方式，這為學生認識比和除法、分數之間的關系奠定了基礎。教材介紹飛船的運行路程與時間，用除法表示出飛船進入運行軌道后的速度。在此基礎上，直接指出還可以用比來表示路程和時間的關系，引出非同類量的比。使學生進一步認識比的意義以及比和除法的關系。六年級上第四單元數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析接下來，給出比的寫法、各部分名稱以及比值的概念，并根據分數和除法的關系，給出比的分數形式的寫法。并根據機器人的問題，進一步溝通比和除法、分數的聯系。比和除法、分數有著密切的聯系，但又不完全等同，比更強調的是量與量之間的倍比關系的直接描述，有時并不關注具體比值是多少，而除法、分數更多的是強調兩個量之間的一種運算關系，通常也會關注運算的結果。此外，我們用比可以同時表示兩個、三個甚至更多的量之間的倍比關系，而除法、分數一般只能表示兩個量之間的倍比關系。六年級上第四單元數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析教材在第49頁“做一做”第3題對商不變性質和分數的基本性質進行了回顧，在此基礎上，啟發學生根據比和除法、分數的關系思考：“在比中有什么樣的規律？”首先通過比較比值，直接看出6:8和12:16這兩個比的比值相等，同時也能看出這兩個比的比值和3:4的比值也是相等的。接下來，讓學生探究兩個比的比值相等的內在原因。教材給出了根據比和除法的關系類推的過程，再讓學生根據比和分數的關系自主探究。在此基礎上，概括出比的基本性質。六年級上第四單元數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析例1運用比的基本性質化簡比。化為最簡整數比的常用方法是比的前項、后項同時除以它們的最大公約數；化簡分數比、小數比的常用方法是把分數比、小數比轉化為整數比，再化簡。把分數比、小數比轉化為整數比的方法，思路比較統一，易于理解與掌握。但化簡方法也可以是靈活多樣，只要能化成最簡單的整數比，都是允許的。教材在具體編排上，就是根據化簡方法的兩個層次由易到難逐次提升編排的。第（1）題仍采用“神舟”五號的問題情境，給出兩面旗的長和寬，要求這兩面旗長和寬的最簡整數比。其中15:10的化簡給出了完整的過程，并啟發學生思考為什么這樣化簡；180:120的化簡則讓學生自己完成。化簡的過程便于學生感悟化簡的必要性，即能使量與量之間的關系更加簡明、清晰。兩個最簡整數比的比值相等，也滲透了圖形按比例縮放的相似變換思想。六年級上第四單元數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析第（2）題的兩個比中的前項、后項分別出現了分數和小數，教材同樣提出了啟發學生思考比的化簡方法的問題，把前項或后項不是整數的情況首先轉化為前項、后項都是整數的情況，再利用第（1）題的方法自行完成。六年級上第四單元數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析例2“平均分”是按比分配的一種特殊情況，也是解決按比分配的問題的主要方法。解決按比分配的問題，主要有三種方法：一是把比的前項、后項看作分得的份數，先求出每一份，即把此問題轉化為整數的“歸一問題”來解決；二是求出前項、后項分別占總數的幾分之幾，即把問題轉化為求一個數的幾分之幾是多少，用分數乘法解答；三是用比例知識來解答。教材介紹了前兩種方法，而且一般以第二種方法為主，因為學生理解了比和分數的關系，并會利用分數乘法解決問題，對這種方法比較容易理解和接受，也有利于加強知識之間的聯系。讓學生解決按比分配的實際問題，這一類問題與“和倍問題”實質相同。教材創設了一個日常生活中比較常見的配制清潔劑稀釋液的問題情境，便于學生理解。教材按問題解決的三個步驟編排，旨在使學生經歷問題解決的完整過程，尤其是養成審題和反思的習慣。在問題情境圖和解答過程中都借助直觀圖，使學生清楚地看到量與量之間的關系，理解稀釋瓶上標明的比表示的含義。“回顧與反思”環節，重新借助比的意義，看濃縮液體積與水的體積之比化簡后是否與題目中所給信息相符。教學重點是理解比的意義，比的基本性質，按比分配解決實際問題。六年級上第四單元數量關系正比例與反比例內容分析3.教學建議（1）理解比的意義引導學生經歷從具體情境中抽象出比的意義的過程。要讓學生真正理解比的意義，是具有一定的難度的。教學時，應充分挖掘學生的生活經驗和學習經驗，通過情境設計引發學生思考和討論，在已有的“長方形長和寬之間的關系”描述的基礎上，引出同類量的比，結合“路程與時間的關系”認識不同類量的比。在理解了比的現實背景的基礎上逐步抽象出比的概念，理解比的意義。讓學生感悟比與除法、分數之間的聯系與區別，貫通新舊知識，進一步深入理解比的意義。比與除法、分數有著密切的聯系，所以應當充分利用學生原有的知識基礎，引導學生聯系相關知識進行類比和推理。例如，比的前項、后項、比值與除法中的被除數、除數、商以及分數的分子、分母、分數值形成對應關系等，通過學生自己的思考、分析、解答，這不僅有利于加深對比的意義的理解，也能加深對除法與分數概念的理解，促進比與除法、分數的知識之間的融會貫通。在此基礎上，應結合具體的練習與創設現實的情境，進一步明確比與除法、分數之間的區別，以進一步揭示比的意義的本質。例如比更強調的是量與量之間的倍比關系的直接描述，有時并不關注具體比值是多少，而除法、分數更多的是強調兩個量之間的一種運算關系，通常也會關注運算的結果。此外，我們用比可以同時表示兩個、三個甚至更多的量之間的倍比關系，而除法、分數一般只能表示兩個量之間的倍比關系。數量關系正比例與反比例內容分析3.教學建議（2）理解并掌握比的基本性質引導學生利用已有知識進行比的基本性質的推導。商不變性質和分數的基本性質都是學生學過的知識，比與除法、分數之間的關系也已經形成進一步的理解，因此，教學要激發學生對已有知識的回憶，喚起對先前知識學習的經驗與方法，引導學生自主探索，并逐步抽象概括出比的基本性質，建立起新的知識結構。例如在教學比的基本性質時，可直接提出問題：6:8和12:16的比值相等嗎？如何證明？組織學生自主探索、合作交流，利用已有知識進行類比推理。在具體例證的基礎上，再引導學生歸納出一般性的基本性質，并注意到相關的限制條件：同時乘或除以的數不能是0。靈活應用比的基本性質。在化簡比時，要基于比的前項、后項數據的特點，靈活應用比的基本性質選擇化簡的方法。有時會利用比的基本性質，把非整數的比轉化為整數比，再化簡；但也有的可直接利用比的意義，把比轉化成分數，求出比值，把比值轉化成最簡分數。但這種方法只適用于化簡兩個數組成的比，對于三個數組成的連比就不適用。因此，利用比的基本性質化簡更是一般的方法。在特殊方法與一般方法的比較中，靈活選擇合理運用，既加強了學生思維的發散性，體會到方法的多樣性，也加深了學生對比的基本性質的理解，進一步揭示了比的基本性質的本質。數量關系正比例與反比例內容分析3.教學建議（3）按比的分配解決實際問題認真審題，理清關系，揭示問題的實質。按比的分配解決實際問題（例2），這實際上是“平均分”方法的延伸和拓展。就問題與提供的信息條件來看，三個量（即稀釋液、濃縮液和水的體積）之間存在兩種關系：一是濃縮液和水的體積之間的關系，二是濃縮液體積+水的體積=稀釋液體積。弄清這些關系，有助于正確理解500mL表示哪個量以及稀釋瓶上所示各個比的意義。重視直觀模型的作用，學會各種數學語言的轉換。用圖示直觀地表示比的具體含義，對于引導學生理解這個比表示的是哪兩個量之間的關系，是一種什么樣的關系，如何進一步表示各部分量與總量的關系，具有十分重要的意義。同時，借助直觀圖引導學生運用數學語言轉換各種信息，進行多元表征，有助于從本質上幫助學生理解數量關系，提高提出問題、分析問題、解決問題的能力。例如，教材例2中“按1:4的比配置一瓶500mL的稀釋液”，指的就是“濃縮液體積有1份，水的體積有4份，稀釋液的體積有5份”，這有助于學生對教材介紹的兩種解答進行理解。又如“每個橡皮艇上有1名救生員和7名游客”，也就是說“救生員和游客的人數比是1:7”，將題目提供的兩個數量關系用比的形式加以抽象概括，以進一步認清問題的結構特征，為正確解答提供清晰的解題思路。數量關系正比例與反比例內容分析（二）比例1.課標要求《義務教育數學課程標準（2022年版）》在第三學段“學段目標”中提出，經歷用字母表示數的過程，形成符號意識、運算能力、推理意識。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在第三學段“課程內容”中提出，在實際情景中理解比和比例以及按比例分配的含義，能解決簡單的問題；通過具體情景，認識正比的量；能探索規律或變化趨勢。能運用常見的數量關系解決實際問題，能合理解釋結果的實際意義，逐步形成模型意識和幾何直觀，提高解決問題的能力。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元教材提供了天安門廣場、學校操場的國旗以及教室里的國旗等一組有關國旗話題的真實情境，并分別標注出每個情境中的國旗的長和寬。這些情境為學生所熟悉，自然促使學生運用經驗和直觀表象聯想到這三種國旗雖然大小不同，但它們的形狀卻相同，隱含圖形的相似特點。接著，在問題“上圖中操場上和教室里的兩面國旗長和寬的比值有什么關系？”的引導下，學生展開計算活動，求出每一面國旗長與寬的比值。“你能發現什么？”進一步促使學生對所得數據進行比較分析，得出比值相等的結論。在此基礎上揭示比例的概念。之后，依據機器人提出的“在上圖的三面國旗的尺寸中，還有哪些比可以組成比例？”讓學生利用比例的概念解決問題，以進一步比例知識的研究過程與研究方法：計算并觀察相應量的比值是否相等。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元例1教學比例的基本性質。與實驗教材相比，修訂版教材的編寫分為比例各部分名稱、比例形式的介紹以及比例的基本性質兩部分。這樣的編排，知識呈現的脈絡更為清晰，更有利于學生自主探究學習，也更有利于抽象概括比例的基本性質。教材具體展開如下：首先，教材呈現了比例的典型形式，介紹了比例各部分的名稱，然后介紹比例的分數形式及其內外項。使學生清晰地發現比例的內項與外項并不會因為比例形式的改變而變化，并且正好形成交叉關系。第二，在此基礎上教材呈現例1，進行比例的基本性質的教學。教材先提出要求與問題“計算下面比例中兩個外項的積和兩個內項的積。比較一下，你能發現什么？”引導學生通過計算發現這兩個比例中，兩個外項之積等于兩個內項之積。接著要求學生舉例驗證自己的發現。最后，在學生列舉眾多例子的驗證中，通過合作交流與分享，自然抽象概括總結出比例的基本性質。并隨著機器人的提問“你能用字母表示這個性質嗎？”激發學生對比例的基本性質進行進一步的抽象概括：用字母表示比例的基本性質。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元例2教學解比例。在教學例2之前，教材首先介紹了什么叫解比例，解比例的依據是什么。以提示解比例的方法是利用比例的基本性質將比例轉化為外項的積等于內項的積，再利用相應的方程求出未知數。例2的教學通過創設真實的情境引入，呈現了解答問題的去全過程。根據問題設x，引導學生根據相關量之間的關系列出比例，再根據比例的基本性質把比例轉化為方程，最后進行解方程，求出未知數。例3解分數形式的比例。教材只根據比例的基本性質把比例轉化為方程，特別注意為學生自主探索提供空間，解方程讓學生自己完成。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元例1教學正比例。教材將實驗教材中的標題“成正比例的量”改為“正比例”，更加突出量與量之間的“關系”，充分體現函數思想。改編了正比例的素材，著重探討總價與數量兩個量之間的關系。主要是基于以下考慮：單價、數量、總價之間的數量關系是學生最為熟悉的。這樣的引入方式既符合學生的認知經驗，又揭示了正比例與日常生活的聯系。教材通過表格中的數據和三個問題，在機器人提問“你能發現什么”的啟示下，使學生認識了成正比例關系量的關系要點：有兩個量，且是相關聯的量，一個量隨著另一個量的變化而變化；兩個量之間的比值不變。在此基礎上，揭示成什么是正比例的量（總價與數量），什么是正比例關系（總價與數量的關系）。最后，教材利用數學化的字母符號來表征這一變化規律，使學生體會抽象與模型的數學思想。在理解正比例關系的意義之后，教材安排了讓學生認識正比例關系圖象，并要求學生利用圖象解決簡單的問題。讓學生體會正比例圖象的特點和作用，加深對正比例的認識。同時，也充分體現了函數思想和數形結合的思想。最后，教材讓學生找一找生活中成正比例的量，找到變化的量與不變的量，使學生加深對正比例關系的理解。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元例2教學反比例。這部分的內容是揭示反比例的意義。整個編排思路和正比例完全一致，所不同的是不要求學生認識反比例的圖象。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元例3教學應用比例尺畫平面圖。是綜合運用比例尺、方位的有關知識解決實際問題。與原實驗教材相比，修訂版教材提供了繪制簡易位置的平面圖，給出了比例尺，這大大降低了學生學習的難度。教材的編寫體現了解決問題的基本過程：首先理清相關的信息，清楚要解決的問題；其次，確定方法，求出圖上距離；最后，畫出平面圖，在圖上標出相關的信息。其中，根據比例尺與實際距離求圖上距離，教材提供的基本思路與例2相仿，即根據圖上距離/實際距離=比例尺，推導得到圖上距離=實際距離×比例尺。但在教學過程中要特別注意，應允許學生采用別的解法。另外，教材編寫還特別注意到將數值比例尺化成線段比例尺的知識點自然融合在畫平面示意圖的過程中。這一方面體現了綜合運用知識解決問題，另一方面也滲透了制作平面圖的一般要求以及培養學生良好的學習習慣。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元例4教學探究圖形的放大與縮小的特征。在學習例4之前，教材編排了一組圖形放大與縮小的生活現象的圖片。在這部分內容的教學中，教材突出強調通過對放大與縮小的生活現象（如照相、用放大鏡看書、投影儀放大圖表、人和影子等）觀察比較分析，初步感知圖形按一定的比放大或縮小后，只是大小發生變化，形狀沒有變化，從而體會圖形的相似變化特點。例4則是引導學生進一步研究圖形放大與縮小的特點。教材先讓學生按2:1的比在方格紙上畫出三個簡單的平面圖形的放大圖。具體編寫過程如下：在明確任務后首先直接給出“按2:1放大，就是把各邊的長放大到原來的2倍”。在理解“按2:1放大”意思的基礎上，讓學生自主完成放大圖形。之后引導學生觀察放大前后的圖形，在“你能發現什么？”這一問題的啟示下，比較它們的內角、邊長、周長，發現放大前后的圖形，大小變了，形狀沒變。緊接著，再讓學生把放大后三個的圖形分別按1:3、1:4、1:2縮小，在“你又發現了什么？”問題的引領下，使學生在具體的操作活動中，通過觀察比較，進一步體會到盡管圖形按一定的比縮小，但仍然發現“圖形的大小變了，形狀卻沒有變”。在這里，特別需說明的是，原實驗教材是將放大后三個圖形按1:3的比縮小，而修訂版教材則修改為“分別按1:3、1:4、1:2的比縮小”，其編寫的意圖明顯的是為學生提供盡可能的多的“學”材，以有利于學生更好地進行抽象概括，從而有效實現教學的目標。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元例1是教學比例尺及其求法。在教學例1之前，教材著重介紹了以下知識內容：比例尺的概念；比例尺的不同表示形式（數值比例尺和線段比例尺）及其線段比例尺轉化為數值比例尺的方法（原實驗教材以例1的形式編排）；溝通比例尺與分數的關系；除了用比例尺表示把實際距離縮小畫在圖紙上，還介紹了生活中把實際距離放大的情況等。其中，教材強調在線段比例尺轉化為數值比例尺時要特別注意單位的統一，再化簡成最簡成數比；另外，在用數值比例尺表示時，為便于計算，對一般的表示形式也做了特別的說明，即一般把比例尺寫成前項或后項是1的形式。之后的例1教學，就是根據比例尺的定義，介紹了比例尺的求法：利用圖上距離和相對應的實際距離，先統一長度單位，再相比、化簡。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元例2教學比例尺的應用。教材提供了一個真實的問題情境：根據北京軌道交通路線示意圖，求兩站之間的實際距離。教材給出了完整的解題過程：首先引導學生如何思考，再給出了從設未知數、列出比例以及解比例求出實際距離的具體過程。在教學的過程中，特別要注意培養學生以下幾方面的技能：在示意圖上尋找比例尺的信息；經歷并能反思求實際距離的思維過程：根據比例尺列出比例，解比例求出未知數的值，再換算成合適的單位。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元例5教學用正比例意義解決問題。這是一題典型的解決問題的例題，教材的編寫就是讓學生經歷問題解決的全過程。“閱讀與理解”，無論是用算術法（歸一先求水的單價）還是用正比例解（依據水的單價一定，建立比例），都需要明確要解決問題，就是要知道水的單價和用水量。兩種解法的區別在于前者必須要先求出水的單價，而后者只需明確水的單價是一定的，不知水的單價具體是多少也不影響問題的解決。因此，此環節重在引導學生理解題意，理解問題解決的關鍵是明確單價是一定的，這是水費與用水量成正比例的前提。“分析與解答”，教材呈現了用算術法和用比例解答兩種解答。其中，教材詳細介紹了用正比例的方法解決問題的解題過程。教材編寫中呈現了兩種解法，一方面是讓學生回顧算術解法，熟悉數量之間的關系，為用正比例解決問題做好鋪墊；另一方面是通過對兩種方法的比較，進一步幫助學生認清用正比例解決問題的實質：判斷兩個量的正比例關系的基礎上列出比例式，再解比例。“回顧與反思”，幫助學生梳理用正比例解決問題的關鍵，提煉方法，總結經驗。為鞏固、強化這一解法，教材讓學生自主解決一個變式問題，以進一步提升學生的應用水平。數量關系正比例與反比例內容分析2.教材分析六年級上第四單元例6教學用反比例意義解決問題。例6的總體編寫思路與例5相似，讓學生經歷解決問題的完整過程，學會用反比例關系解決“歸總”問題，提升學生分析問題、解決問題的能力。這里不再具體展開敘述。教學重、難點是理解掌握比例、比例的基本性質、比例尺、正比例和反比例等概念和性質，特別是對正、反比例概念的理解與把握；教學的難點是能運用有關概念進行計算及解決問題。數量關系正比例與反比例內容分析3.教學建議（1）理解掌握比例、比例的基本性質、比例尺、正比例和反比例等概念和性質比例內容有許多重要的基礎性概