因式分解的常用方法

第一部分：方法介紹

因式分解：因式分解是指將一個多項式化成幾個整式的積的形式，主

要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分組分解法，換元法等

因式分解的一般步驟是：

(1)通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。

即首先看有無公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個步驟

都不能實施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或

可利用公式法繼續分解；

(2)若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數

法、試除法、拆項(添項)等方法；。

注意：將一個多項式進行因式分解應分解到不能再分解為止。

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、運用公式法.

在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即為因

式分解中常用的公式，例如：

(1)(a+b)(a-b)=a2-b2..........----a2-b2=(a+b)(a-b);

(2)(a±b)2=a2±2ab+b2-----------a2±2ab+b2=(a±b)2;

(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3----------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);

(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3---------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

下面再補充兩個常用的公式：

(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;

(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);

例.已知a,b,c是AABC的三邊，5.a2+b2+c2=ab+be+ca,

則AABC的形狀是()

A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形

解：a2+b2+c2=ab+bc+ca=>2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca

=>(a-b)2+S-c)2+(c-a)2=0=>a=6=c

三、分組分解法.

(-)分組后能直接提公因式

例1、分解因式：am+an+bm+bn

分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用

公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a,后兩項都含有b,

因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩

組之間的聯系。

解：原式={am+an)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)x每組之間還有公因式I

=(m+n)(a+b)

例2、分解因式：lax—1Oay+5by-bx

解法一：第一、二項為一組；解法二：第一、四項為一組；

第三、四項為一組。第二、三項為一組。

解：原式=(2ax-1Oay)+(5by-bx)原式

=(2ax-bx)+(-1Oay+5by)

-2a(x—5y)—b(x—5y)=x(2a—b)-5y(2a—b)

-(x-5y)(2a-b)=(2a-b')(x-5y)

練習：分解因式1、a2-ab+ac-bc2、xy-x-y+\

(-)分組后能直接運用公式

22

例3S分解因式：X-y+ax+ay

分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因

式，但提完后就能繼續分解，所以只能另外分組。

解：原式=(—-y2)+(ax+ay)

=(x+y)(x_y)+a(x+y)

=(x+y)(x—y+a)

例4、分解因式：a2-2ah+h2-c2

解：原式=(4-2"+/)-c?

=(a-b)2-c2

=(a-h-c)(a-h+c)

練習：分解因式3、x~-x—9y2-3y4、x2-y2-z2-2yz

綜合練習：(1)1+/丁一初2一,3(2)—hx2+bx-ax+a—b

(3)x~+6xy+9_y~_16o-+8a—1(4)a~-6ab+\2b+9b~-4a

(5)a4-2a3+a2-9(6)4a2x-4a2y-b2x+b2y

(7)x2-2xy-xz+yz+y2(8)a2-2a+b2-2b+2ab+1

(9)y(y-2)—(m-l)(m+1)(10)(a+c)(a—c)+b(b—2a)

(11)a2(Z?+c)+Z>2(a+c)+c2(?+/>)+2abc(12)

a3+Z?3+c3—3abc

四、十字相乘法.

(-)二次項系數為1的二次三項式

直接利用公式-----v2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)進行分解。

特點：(1)二次項系數是1;

(2)常數項是兩個數的乘積；

(3)一次項系數是常數項的兩因數的和。

思考：十字相乘有什么基本規律？

例.已知0<a45,且。為整數，若2f+3x+a能用十字相乘法分解因式,

求符合條件的

解析：凡是能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c,都要求

A=〃_4ac>0而且是一個完全平方數。

于是A=9-8。為完全平方數，a=l

例5、分解因式：x2+5x+6

分析：將6分成兩個數相乘，且這兩個數的和要等于5。

由于6=2x3=(-2)x(-3)=lx6=(-l)x(-6),從中可以發現只有2x3

的分解適合，即2+3=5。1=y2

解：廠+5x+6=廠+(2+3)x+2x313

=(x4-2)(%4-3)Ix2+lx3=5

用此方法進行分解的關鍵：將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數

的代數和要等于一次項的系數。

例6、分解因式：廠-7%+6

解：原式=/+[(-1)+(-6)卜+(-1)(一6)1-1

=(x-l)(x-6)1-6

(-1)+(-6)=-7

練習5、分解因式(l)x?+14x+24(2)a?—15。+36(3)x-4-4x—5

練習6、分解因式(1)，+x-2(2)y~—2y—15(3)x~~1Ox—24

(二)二次項系數不為1的二次三項式——ax2+bx+c

c

條件：(1)a=a1a2i

(2)c=c]c2G

(3)b=a1c2+a2qb=axc2+a2c]

2

分解結果：ox+/?x+c=(flIx+c1)(a2x+c2)

例7、分解因式：3X2-11X+10

分析：

(-6)+(-5)=-11

解：3/-11冗+10=(%—2)(3%—5)

練習7、分解因式：(1)5x~+7x—6(2)3x2—7x+2

(3)10X2-17X+3(4)-6y2+lly+10

(三)二次項系數為1的齊次多項式

例8、分解因式：。2—8次?一12泌2

分析：將人看成常數，把原多項式看成關于。的二次三項式，利用十字相

乘法進行分解。

18b

1?：16b

8b+(-16b)=-8b

解：a2-Sab-12Sh2=a2+[Sb+(-16b)]a+8/?x(-16Z?)

=(a+8b)(。-16b)

練習8、分解因式⑴/-3孫+2/

(2)m2—6mn+8H2(3)?2-ah-6b2

(四)二次項系數不為1的齊次多項式

例9、2x--1xy+6y2例10、x2y2-3A>'+2

把肛'看作一個整體1、/-1

2^^-3y

-2

(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=

-3

解：原式=(x-2y)(2x-3y)解：原式二(孫一1)(孫一2)

練習9、分解因式：(1)15x2+7xy-4j2(2)a2x2-6a%+8

綜合練習10、(1)8X6-7X3-1(2)12,一11孫一15y2

(3)(x+y)~—3(x+y)—10(4)(a+Z?)~—4a—4b+3

(5)x2y2-5x2y-6x2(6)m2—4mn+4n2-3m+6n+2

(7)+^xy+4y~—2.x—4y—3(8)5(a+b)~+23(/—b~)—10(a—b)-

(9)4x2-4xy-6x+3y+y2-10(10)12(x+y)2+11(x2-j2)+2(x-y)2

思考：分解因式：abcx1+(a2b2+c2)x+abc

五、換元法。

Q)、換單項式

例1分解因式必+14x3y+49y2.

分析：注意到x'=(x3),,若把單項式x3換元，設x'=m,則x—,

原式變形為

m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2.

(2)、換多項式

例2分解因式(x,+4x+6)+(X2+6X+6)+X2.

分析：本題前面的兩個多項式有相同的部分，我們可以只把相同部分

2

換元，設x2+6=m,貝IJx，4x+6=m+4x,x+6x+6=m+6xt原式變形為

(m+4x)(m+6x)+xJm2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2

=(m+5x)2=(x2+6+5x)2

=[(X+2)(X+3)]2=(X+2)?(X+3)2.

以上這種換元法，只換了多項式的一部分，所以稱為“局部換元法”.

當然，我們還可以把前兩個多項式中的任何一個全部換元，就成了“整體

換元法”.比如，設x44x+6=m,貝IJx?+6x+6=m+2x,原式變形為

o9oo0n9o

m(m+2x)+x=m+2mx+x=(m+x)=(x+4x+6+x)=(x+5x+6)

=[(X+2)(X+3)]2=(X+2)2(X+3)2.

另外，還可以取前兩個多項式的平均數進行換元，這種換元的方法被

稱為“均值換元法”，可以借用平方差公式簡化運算.對于本例，設^1=|

[(X2+4X+6)+(X2+6X+6)]=X2+5X+6,貝1Jx2+4x+6=m-x,x2+6x+6=m+x,

(m+x)(m-x)+x2=m2-x2+x2=m2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2

=(X+2)2(X+3)2.

例3分解因式(x-l)(x+2)(x-3)(x+4)+24.

分析：這道題的前面是四個多項式的乘積，可以把它們分成兩組相乘，

使之轉化成為兩個多項式的乘積.無論如何分組，最高項都是X2,常數項

不相等，所以只能設法使一次項相同.因此,把(x-D(x+2)(x-3)x+4)分組

為[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(X2+X-2)(X2+X-12),從而轉化成例2形式加以

解決.

1cc

我們采用“均值換元法”，設m=2[(x?+x-2)+(X2+X-12)]=X2+X-7,

則x?+x-2=m+5,X2+X-2=m-5,原式變形為

(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-l=(m+l)(m-l)=(x2+x-7+l)(x2+x

-7-1)

=(X2+X-6)(X2+X-8)=(X-2)(X+3)(X2+X-8).

(3)、換常數

例1分解因式X2(X+1)-2003X2004X.

分析：此題若按照一般思路解答，很難奏效.注意到2003、2004兩

個數字之間的關系,把其中一個常數換元.比如，設m=2003,則2004=m+l.

于是，原式變形為

x2(x+l)-m(m+l)x=x[x(x+l)-m(m+l)]=x(x2+x-m2-m)

=x[(x2-m2)+(x-m)]=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]

=x(x-m)(x+m+l)=x(x-2003)(x+2003+l)=x(x-2003)(x+2004).

例13、分解因式⑴2005x2-(20052-l)x-2005

(2)(x+l)(x+2)(x+3)(x+6)+x2

解：(1)設2005=",則原式一(a?-l)x-a

=(ar+l)(x-a)

=(2005%+1)(%-2005)

(2)型如+e的多項式,分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。

原式=(1+7x+6)(x2+5X+6)+JC2

設x?+5x+6=A,則x?+7x+6=A+2x

???原式=(A+2x)A+x?=A?+2Ax+x2

=(A+x)2=(x2+6x+61

練習13、分解因式(1)(，+孫+y2)2-4盯(*2+y2)

⑵(/+3光+2)(4/+8%+3)+90

(3)+1)2+(。2+5)2—4(/+3)2

例14、分解因式(1)2x4——6x~—x+2

觀察：此多項式的特點——是關于士的降塞排列，每一項的次數依次少1,

并且系數成“軸對稱”。這種多項贏于“等距離多項式”。

方法：提中間項的字母和它的次數，保留系數，然后再用換元法。

解：原式=x"(2x~-x—6-----1—；-)=x~[2(x"H——)—(xH—)—6]

xxxx

設XH--=t,則/H----=t2—2

XX

???原式二X2[2(t2-2)-t-6]=X2(2/-r-10)

=x2(2r-5X/+2)=x^2x+--5jx+-+2j

=.￥,^2%4----5)x(x4F2)—(2x~—5x++2,x+1)

=(X+1)2(2X-1)(X-2)

(2)x4-4x3+x2+4x+l

41(1A(1A

解：原式二X2(X2—4x+1H--1y)=X2X2H——4X---+1

xx~xJVx)

設X-'=y,貝JIx2+3=y2+2

XX

原式=/(y2_分+3)=f(y_DU_3)

=x2(x-----l)(x-----3)=Q2—x—Mx2-3x_1)

XX

練習14、(1)6工4+7/-36x2—7x+6

(2)x,+2/+x~+1+2(x+x~)

六、添項、拆項、配方法。

例15、分解因式(1)X3-3X2+4

解法1——拆項。解法2——添項。

原式=/+i-3/+3原式二—3x?—4x+4x+4

二(x+1)(--x+1)-3(x+l)(x-1)=x(x2—3x-4)+(4x+4)

—(x+l)(x~-x+1—3x+3)=x(x+l)(x-4)+4(x+1)

=(x+l)(x2-4x+4)=(x+l)(x2-4x+4)

二(x+1)(工一2產=(x+l)(x-2)2

(2)x9+x6+x3-3

解：原式二(X9-1)+(x6-1)+(x3-l)

=(x3-l)(x6+x3+l)+(x3-l)(x3+1)+(x3-1)

=，-1)3+X3+]+/+1+])

=(x-l)(x2+x+l)(x6+2x3+3)

練習15、分解因式

(1)x3-9x+8(2)(x+l)4+(x2-l)2+(x-l)4

(3)X4-7X2+1(4)x4+x2+2ax+l-a~

(5)x4+y4+(x+?(6)2a2b*+2a2c~+2b1c2-a4—b4—c4

七、待定系數法。

例16、分解因式x?+初一6y2+x+13y-6

分析：原式的前3項/+盯—6:/可以分為(x+3y)(x—2y),則原多項式

必定可分為(x+3y+〃z)(x-2y+〃)

解：設/+xy-6_y2+x+13y-6=(x+3y+/w)(x-2y+〃)

(x+3y+m)(x-2y+n)=x2+孫-6y2+(m+n)x+(3/2-2m)y-mn

x2+孫-6y2+x+13j-6=x2+xy-Gy2+(m+n)x+(3?-2m)y-inn

m+n=\

m=-2

對比左右兩邊相同項的系數可得2a=13,解得《

n-3

mn=-6

」?原式=(x+3y—2)(x—2y+3)

例17、(1)當陽為何值時，多項式1一；/+皿+5>,一6能分解因式，并分

解此多項式。

(2)如果Y+ar?+/?x+8有兩個因式為x+1和％+2,求a+Z?的值。

(1)分析：前兩項可以分解為(x+y)(x-y),故此多項式分解的形式必

為(尤+y+a)(x-y+Z?)

解：設,一)"+/HK+5y-6=(x+y+a)(x-y+Z?)

貝！1尢2—y2+〃優+5y一6二工2-y2+(41+b)x+(b-d)y+ab

a+b=ma=-2a=2

比較對應的系數可得：卜-,解得：

Q=5<0=3或<b=—3

ab=-6m=l\m=-1

當加=±1時，原多項式可以分解；

當加=1時，原式二(x+y-2)(x-y+3)；

當m=一1時，原式=(x+y+2)(x-y-3)

⑵分析：丁+以2+加+8是一個三次式，所以它應該分成三個一次式相乘,

因此第三個因式必為形如無+c的一次二項式。

解：設九③+女？+Z?x+8=(x+l)(x+2)(x+c)

貝!3c)x2、

JX'+QX?++g=x+(3++(2+3c)x+2c

a=3+ca=7

<b-2+3c解得"=14,

2c=8c=4

???a+b=21

練習17、(1)分解因式~3xy-lOy"+x+9y—2

(2)分解因式/+3xy+2y2+5x+7y+6

(3)已知：/一2孫-3產+6無一1”+2能分解成兩個一次因式

之積，求常數〃并且分解因式。

(4)攵為何值時，x2-2xy+ky2+3尤-5y+2能分解成兩個一次

因式的乘積，并分解此多項式。

第二部分：習題大全

經典一：

一、填空題

1.把一個多項式化成幾個整式的的形式，叫做把這個多項式分解因

式。

2分解因式：m3-4m=.

3.分解因式：x2-4y2=.

4、分解因式：一X2-4%-4=。

5.將xn-y"分解因式的結果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，貝Un的值

為.

6、若x-y=5,孫=6貝產、_孫2=2x2+2y2_。

二、選擇題

7、多項式152+562“一20〉"的公因式是()

222

A、5mnB、5znnc、5mz?口、5nm)

8、下列各式從左到右的變形中,是因式分解的是（)

（4Z4-3）（6r-3）=a2-9a2-b1=(Q+Z?)(Q―6)

AxD、

nr-2m-?>=m\m-2--

a2-4a-5=a（a—4）-5m

D、I

10.下列多項式能分解因式的是()

(A)x2-y(B)X2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4

2

11.把(x-y)-（y-x）分解因式為（）

A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)

C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)

12.下列各個分解因式中正確的是()

A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b?+3c)

B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)

C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y-1)

D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(lib-2a)

13.若k-12xy+9x2是一個完全平方式，那么k應為()

A.2B.4C.2y,D.4y2

三、把下列各式分解因式：

22

14xnx-ny必、4w-9n

16、17、F—2a~b+cih~

以3-嫉199(m+A?)2-16(m-n)2.

五、解答題

20、如圖，在一塊邊長"=6.67cm的正方形紙片中，挖去一個邊長

b=3.33cm的正方形。求紙片剩余部分的面積。

21、如圖，某環保工程需要一種空心混凝土管道，它的規格是內徑

d=45cm,外徑O=75c??,長/=3加。利用分解因式計算澆制一節這樣

的管道需要多少立方米的混凝土？（）取3.14,結果保留2位有效數字）

22、觀察下列等式的規律，并根據這種規律寫出第⑸個等式。

(1)x2-l=(x+l)(x-l)

⑵/-1=(尤2+])(“+])(%_])

⑶f-1=(x,+1)(/+1)(尤+])(*-])

⑷父6一1=(犬+1)(/*+1乂%2+1)(彳+1)(%_1)

⑸_____________________________________________________

經典二：

1.通過基本思路達到分解多項式的目的

例1.分解因式x5—x4+x3—x2+x-l

分析：這是一個六項式，很顯然要先進行分組，此題可把

X5—x4+x3和-X2+X-1分別看成一組，此時六項式變成二項式，提取

公因式后，再進一步分解；也可把X5-X：x3-x2,X-1分別看成一組,

此時的六項式變成三項式，提取公因式后再進行分解。

解一：原式=（X、-x4+x3）_（x2-X+1)

=x3(x2-x+1)-(x2-X+1)

=(x3-l)(x2-x+1)

=(x-l)(x2-X+l)(x2+X+1)

解二：原式=(x5—x4)+(x'^—x2)+(x—1)

=x4(x-1)+x2(x-1)+(x-1)

=(x-l)(x4+x2+1)

=(x-l)[(x4+2x2+l)-x2]

=(x-l)(x2-X+l)(x2+X+1)

2.通過變形達到分解的目的

例1.分解因式x3+3x2—4

解一：將3x2拆成2x?+X?,則有

原式=x3+2x2+*_4)

=x2(x+2)+(x+2)(x-2)

=(x+2)(x2+x-2)

=(x-l)(x+2)2

解二：將常數-4拆成-1-3,則有

原式=x3-l+(3x2-3)

=(x-l)(x2+x+1)+(x-l)(3x+3)

=(x-l)(x2+4x+4)

=(x-1)(X+2)2

3.在證明題中的應用

例：求證：多項式-4)(x2-10X+21)+100的值一定是非負數

分析：現階段我們學習了兩個非負數，它們是完全平方數、絕對值。

本題要證明這個多項式是非負數，需要變形成完全平方數。

證明：(X?—4)(x2-10x+21)+100

=(x+2)(x-2)(x-3)(x-7)+100

=(x+2)(x-7)(x-2)(x-3)+100

=(x2-5x-14)(x2-5x+6)+100

設y=x2-5x,貝IJ

原式=(y-14)(y+6)+100=y2-8y+16=(y-4)2

?.,無論y取何值都有(y-4戶＞0

.-.(x2-4)(x2-lOx+21)+100的值一定是非負數

4.因式分解中的轉化思想

例:分解因式：(a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3

分析：本題若直接用公式法分解，過程很復雜，觀察a+b,b+c與

a+2b+c的關系，努力尋找一種代換的方法。

解：設a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B

原式=(A+B)3-A3-B3

=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3

=3A2B+3AB2

=3AB(A+B)

=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)

說明：在分解因式時，靈活運用公式，對原式進行“代換”是很重要

的。

中考點撥

例1.在AABC中，三邊a,b,c滿足a2-16b2-c2+6ab+lObc=0

求證：a+c=2b

證明：?.?a2-16b2-c2+6ab+10bc=0

a2+6ab+9b2-c2+10bc-25b2=0

即(a+3b/-(c-5b)2=0

(a+8b-c)(a-2b+c)=0

,/a+b>c

a+8b>c,即a+8b-c>0

于是有a-2b+c=0

即a+c=2b

說明：此題是代數、幾何的綜合題，難度不大，學生應掌握這類題不

能丟分。

例2.已知：x+^=2,WJx3+-^=

XX

解：X3H---=(XH--)(x--Id--)

x-XX

=(x+-)[(x+-)2-2-1]

XX

=2*1

=2

說明：利用x2+二=(*+32-2等式化繁為易。

X-X

題型展示

1.若X為任意整數，求證：(7^)(3-*)(4-*2)的值不大于100。

解:?.-(7-X)(3-X)(4-X2)-100

=-(x-7)(x+2)(x-3)(x-2)-100

=-(x2-5x-14)(x2-5x+6)-100

=-[(x2-5x)-8(x2-5x)+16]

=-(x2-5x-4)2<0

(7-X)(3-X)(4-X2)<100

說明：代數證明問題在初二是較為困難的問題。一個多項式的值不大

于100,即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形

成完全平方是一種常用的方法。

2.將

a2+(a+l)2+(a2+a)2分解因式,并用分解結果計算62+72+422。

解：a2+(a+I)2+(a2+a)2

=a2+a2+2a+l+(a2+a)2

=2(a2+a)+1+(a2+a)2

=(a2+a+

222

.-.6+7+42=(36+6+1)2=432=1849

說明：利用因式分解簡化有理數的計算。

實戰模擬

1.分解因式：

(1)3x5-10x4-8x3-3x2+10x+8

(2)(a2+3a-3)(a2+3a+l)-5

(3)x2-2xy-3y2+3x-5y+2

(4)x3-7x+6

2.已知：x+y=6，xy=-l,求：x'+y^的值。

3.矩形的周長是28cm,兩邊x,y使x，+x?y—xy2=0,求矩形的面

積。

4.求證：i?+5n是6的倍數。（其中n為整數）

5.已知：a、b、c是非零實數，且

a2+b2+c2=1,a(—+-)+b(-+-)+c(-+—)=-3,求a+b+c的值。

bccaab

6.已知：a、b、c為三角形的三邊，比較a?+b2-c2和4a2b2的大小。

經典三：因式分解練習題精選

一、填空：（30分）

1、若-+2（機-3）尤+16是完全平方式，則加的值等于一。

2、尤2+x+加=（x-則加=___n=__

3、2/y2與］2/y的公因式是—

4、若x"'-y"=（x+Vxx-Vx/+y4）,則m=,n=

5、在多項式3y2.5y3=i5y5中，可以用平方差公式分解因式的

有其結果是=

6、若，+2(m—3)x+16是完全平方式，則(11=o

7、X2+()x+2=(x+2X%+)

8、已知l+X+/+…+/04+%2005=0,則，。。6=.

9、若16(4—份2+"+25是完全平方式M=。

10、x2+6x+(—)=(x+3)2,%2+(___)+9=(x-3)2

11、若9/+左+/2是完全平方式，則卜=。

12、若一+4X—4的值為0,貝IJ3—+12x—5的值是0

13、若X?-ax-15=(*+1)0-15)則4=o

14、若無+y=4,/+/=6則孫=_。

15、方程，+4x=0,的解是0

二、選擇題：(10分)

1、多項式一。(。一幻(工一人)+“仇。一》)(人一%)的公因式是()

A、-a、B、-a(a-x)(x-b)C、a(a-x)D、-a(x-d)

2、若/砒2+女X+9=(2X-3)2,則m,k的值分別是()

A、m=一2,k=6,B、m=2,k=12,C、m=—4,k=—12、Dm=4,k=12、

3、下列名式：/一丁2,_*2+卜2,_%2-y2,（―x）2+（_y）2,*4一y4中能

用平方差公式分解因式的有（）

A、1個，B、2個，C、3個，D、4個

4、計算（1一班）（1一.）…（1-媼）（1-/■）的值是（）

11—c11

A、一B、—,C.—,D.—

2201020

三、分解因式：（30分）

1、X4-2X3-35X2

2、3x6-3x2

3、25（x-2y）2-4（2y-x）2

4、x2-4xy-l+4y2

5、x5—x

6、—1

7、ax2-bx2-bx+ax+b-a

8、X4-18X2+81

9、9x4-36y2

10、（尤+l）（x+2）（%+3）（x+4）—24

四、代數式求值(15分)

1、已知2x—y=L孫=2,求2/y3—x3y4的值。

2、若x、y互為相反數，且(x+2)2—(y+l)2=4,求x、y的值

3、已知a+)=2,求”-〃)2_8面+〃)的值

五、計算：(15)

3

(1)0.75x3.66——x2.66

(3)2x562+8x56x22+2x44?

六、試說明：(8分)

1、對于任意自然數n,(〃+7)2-(〃-5)2都能被動24整除。

2、兩個連續奇數的積加上其中較大的數，所得的數就是夾在這兩個連續

奇數之間的偶數與較大奇數的積。

七、利用分解因式計算(8分)

1、一種光盤的外D=11.9厘米，內徑的d=3.7厘米，求光盤的面積。(結

果保留兩位有效數字)

2、正方形1的周長比正方形2的周長長96厘米，其面積相差960平方厘

米求這兩個正方形的邊長。

八、老師給了一個多項式，甲、乙、丙、丁四個同學分別對這個多項式進

行了描述：

甲：這是一個三次四項式

乙：三次項系數為1,常數項為lo

丙：這個多項式前三項有公因式

丁：這個多項式分解因式時要用到公式法

若這四個同學描述都正確請你構造一個同時滿足這個描述的多項式，并將

它分解因式。(4分)

經典四：

因式分解

一、選擇題

工、代數式a3b2a2b：3b4+16舊b2-a2b4的公因式是()

22

A、a3b2B、a2b2C、a2b3D、a3b3

2、用提提公因式法分解因式5a(x-y)-lOb-(x-y),提出的公因

式應當為()

A、5a-10bB、5a+10bC、5(x-y)D、y-x

、把+時分解因式，結果是()

3-8^13+12012

A、-4m(2m2-3m)B、-4m(2mz+3m-1)

C、-4m(2m2-3m-1)D、-2m(4m2-6m+2)

4、把多項式-2x<4x2分解因式，其結果是()

42d22222

A.2(-X-2X)BS-2(x+2x)C.-x(2x+4)D、-2x(x

+2)

5.(-2)1998+(-2)螭等于()

C1998r^l998c<>1999i-^1999

A、一/DsZ。、-2U、/

6、把16-x"分解因式，其結果是()

A、(2-x)4B、(4+x2)(4-x2)

C、(4+xj(2+x)(2-x)D、(2+xf(2-x)

7、把a-2a2b2+b"分解因式，結果是()

A、a2(a2-2b2)+b4B、(a2-b2)2C、(a-b)4D、(a+

皿-b)2

8、把多項式2x?-2x+；分解因式，其結果是()

A、(2x-；)2B、2(x-y)zCs(X-y)2D、；(x-l)2

9、若9a2+6?-3后+1是完全平方式，貝【Jk的值是()

A、±4B、±2C、3D、4或2

10.-(2x-y)(2x+y)是下列哪個多項式分解因式的結果()

22222222

A、4x-yBx4x+yC、-4x-yD、-4x+y

11s多項式x?+3x-54分解因式為()

A、(x+6)(x-9)Bs(x-6)(x+9)

Cs(x+6)(x+9)D、(x-6)(x-9)

二、填空題

1、2x2-4xy-2x=(x-2y-1)

2、4a3b2-10a2b3=2a2b彳)

3^(1-a)mn+a-1=()(mn-1)

4、m(m-ny-(n-m)z=()()

5、x2-()+16y2=(y

6、x2-(y=(x+5y)(x-5y)

7、a2-4(a-b)2=()■()

8、a(x+y-z)+b(x+y-z)-c(x+y-z)=(x+y-z)(

9、16伙-4-9伙+/=()?()

10、(a+b)3-(a+b)=(a+b)-()?()

11.x2+3x+2=()()

12、已知x2+px+12=(x-2)(x-6),則p=.

三、解答題

L把下列各式因式分解。

(l)x2-2x3⑵3y3-6y2+3y

(3)a2(x-2a)2-a(x-2a了(4)(x-2)2-x+2

⑸25m2lOmn+n2(6)12a2b(x-y)-4ab(y-

x)

⑺(x-1)2(3X-2)+(2-3x)(8)a2+5a+6

(9)x2-llx+24(10)y2-12y-28

(ll)x2+4x-5(12)y4-3y3-28y2

2、用簡便方法計算。

(1)9992+999(2)2022-542+256x352

(3)______122Z______

19972-1996x1998

3、已知：x+y=；,xy=l.求x3y+2x2y2+xy3的值。

四、探究創新樂園

I.0

1、若a-b=2,a-c=—,求(b-c)z+3(b-c)+—的值。

2、求證：II1一V-ll'llMog

五、證明（求值）

1.已知a+b=O,求a3-2b3+a2b-2ab2的值.

2.求證：四個連續自然數的積再加上1,一定是一個完全平

方數.

3.證明:(ac-bd)2+(be+ad)2=(a2+b2)(c2+d2).

4.已知a=k+3,b=2k+2,c=3k-1,求a2+b2+C2+2ab

-2bc-2ac的值.

5.若x?+mx+n=(x-3)(x+4),求(m+n)2的值.

6.當a為何值時，多項式x2+7xy+ay2-5x+43y-24可以

分解為兩個一次因式的乘積.

7.若x,v為任意有理數，比較6xy與X?+9y2的大小.

8.兩個連續偶數的平方差是4的倍數.

經典五：

因式分解分類練習題

因式分解一提公因式法

1、下列多項式中，能用提公因式法分解因式的是（)

K.x2-yB.x2+2xC,x2+y2D.x2+y2

2、在把。2彳+砂-二孫分解因式時，應提取的公因式是()

2

A.a~B.QC.axD.oy

3、下列變形是因式分解的是()

A.3x2y—xy+y-y(3x2-x)B,x2-2x+3=(x-1)2+2

C.x2y2+2xy-l=(xy+l)(xy-1)

D,x〃+2-x〃+i-爐=x"(x2-%-l)

4、多項式a3h2-a2h\a4h2-a2b\a3h4+a4h3的公因式

是o

5多項式

(x+y-z){x-y+z)—(y+z-x)(z-x-y)=0

6、已知a-2=b+c,貝ij代數式

a(a-b-c)—b(a—b—c)—c(a—b—c)=o

7、用提公因式法將下列各式因式分解：

(1)ax-ay;(2)6xyz-3xz2;⑶一/z+Yy；(4)

36ahy-12ahx+6ab;

(5)3x(。-b)+2y(b-a);(6)

x(m—x)(m—y)-m(x—m)(y-m)

8、若7a—助=5,求（3a—4份（7a-8份一力）（8,一74）的值。

9、利用因式分解計算：

(1)31x3.14+27x3.14+42x3.14

271

(2)當X=[>,=—>Z=:時，求引N