2024屆廣東省深圳市羅湖區數學高二第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設a∈R，則“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要條件 D．既不充分也不必要2．如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱，在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B． C． D．3．已知函數是定義在上的奇函數,當時，,則（）A．12 B．20 C．28 D．4．已知數列的前項和為，，若，，則（）A． B．0 C．1 D．25．小明同學喜歡籃球，假設他每一次投籃投中的概率為，則小明投籃四次，恰好兩次投中的概率是（）A． B． C． D．6．設，由不等式，，，…，類比推廣到，則()A． B． C． D．7．已知函數，若、，，使得成立，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．或8．給定下列兩種說法：①已知，命題“若，則”的否命題是“若，則”，②“，使”的否定是“，使”，則（）A．①正確②錯誤 B．①錯誤②正確 C．①和②都錯誤 D．①和②都正確9．函數y＝﹣ln（﹣x）的圖象大致為（）A． B．C． D．10．在中，,則（）A． B． C． D．11．若雙曲線的一條漸近線經過點，則此雙曲線的離心率為()A． B． C． D．12．已知函數的圖象在點處的切線為，若也與函數，的圖象相切，則必滿足（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設向量，，且，則的值為__________．14．定義函數，，其中，符號表示數中的較大者，給出以下命題：①是奇函數；②若不等式對一切實數恒成立，則③時，最小值是2450④“”是“”成立的充要條件以上正確命題是__________．（寫出所有正確命題的序號）15．__________．16．過原點作一條傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點，為橢圓的左焦點，若，且該橢圓的離心率，則的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某企業有、兩個崗位招聘大學畢業生，其中第一天收到這兩個崗位投簡歷的大學生人數如下表：崗位崗位總計女生12820男生245680總計3664100（1）根據以上數據判斷是有的把握認為招聘的、兩個崗位與性別有關？（2）從投簡歷的女生中隨機抽取兩人，記其中投崗位的人數為，求的分布列和數學期望.參考公式：，其中.參考數據：0.0500.0250.0103.8415.0246.63518．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，為棱的中點，，，.（1）證明：平面.（2）求二面角的余弦值.19．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求和的直角坐標方程；（2）已知直線與軸交于點，且與曲線交于兩點，求的值.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，是的中點，是的中點.（1）求異面直線與所成角的大小；（2）若直三棱柱的體積為，求四棱錐的體積.21．（12分）已知函數，．（1）解不等式；（2）若方程在區間有解，求實數的取值范圍．22．（10分）已知在直角坐標系中,直線的參數方程為是為參數）,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)判斷直線與曲線的位置關系；(2)在曲線上求一點,使得它到直線的距離最大,并求出最大距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先由兩直線平行解得a的值，再通過檢驗是否重合可得a=3，從而得兩命題的關系.【題目詳解】若直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行，可得：aa-1=2×3，解得當a=3時，兩直線分別為：3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，滿足平行；當a=-2時，兩直線分別為：x-y+3=0和x-y+3=0，兩直線重合；所以“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的充要條件.故選C.【題目點撥】本題主要考查了兩直線平行求參數值的問題。已知兩直線的一般方程判定兩直線平行的一般方法為：已知l1:A1x+2、B【解題分析】設正方形邊長為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計算公式得，此點取自黑色部分的概率是，選B.點睛:對于幾何概型的計算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區域（長度、面積、體積或時間），其次計算基本事件區域的幾何度量和事件A區域的幾何度量，最后計算.3、A【解題分析】

先計算出的值，然后利用奇函數的性質得出可得出的值。【題目詳解】當時，，則，由于函數是定義在上的奇函數，所以，，故選：A.【題目點撥】本題考查利用函數奇偶性求值，求函數值時要注意根據自變量的范圍選擇合適的解析式，合理利用奇偶性是解本題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題。4、C【解題分析】

首先根據得到數列為等差數列，再根據，即可算出的值.【題目詳解】因為，所以數列為等差數列.因為，所以...因為，所以.故選：C【題目點撥】本題主要考查等差數列的性質，同時考查了等差中項，屬于簡單題.5、D【解題分析】分析：利用二項分布的概率計算公式：概率即可得出．詳解：：∵每次投籃命中的概率是，

∴在連續四次投籃中，恰有兩次投中的概率．

故在連續四次投籃中，恰有兩次投中的概率是．故選D.點睛：本題考查了二項分布的概率計算公式，屬于基礎題．6、D【解題分析】由已知中不等式：歸納可得：不等式左邊第一項為，第二項為，右邊為，故第個不等式為：，故，故選D.【方法點睛】本題通過觀察幾組不等式，歸納出一般規律來考察歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規律的歸納.7、B【解題分析】

對的范圍分類討論，當時，函數在上遞增，在上遞減，即可判斷：、，，使得成立.當時，函數在上單調遞增，即可判斷：一定不存在、，，使得成立，問題得解.【題目詳解】當時，，函數在上遞增，在上遞減，則：、，，使得成立.當時，，函數在上遞增，在也遞增，又，所以函數在上單調遞增，此時一定不存在、，，使得成立.故選：B【題目點撥】本題主要考查了分類思想及轉化思想，還考查了函數單調性的判斷，屬于難題。8、D【解題分析】

根據否命題和命題的否定形式，即可判定①②真假.【題目詳解】①中，同時否定原命題的條件和結論，所得命題就是它的否命題，故①正確；②中，特稱命題的否定是全稱命題，所以②正確，綜上知，①和②都正確.故選：D【題目點撥】本題考查四種命題的形式以及命題的否定，注意命題否定量詞之間的轉換，屬于基礎題.9、C【解題分析】

分析函數的定義域，利用排除法，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，函數的定義域為，所以可排除A、B、D，故選C．【題目點撥】本題主要考查了函數圖象的識別問題，其中解答中合理使用函數的性質，利用排除法求解是解答的關鍵，著重考查了判斷與識別能力，屬于基礎題．10、B【解題分析】

先根據求得，進而求得，根據余弦定理求得以及，由此求得.【題目詳解】由于，所以且為銳角，所以.由余弦定理得.故.所以.故選B.【題目點撥】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查余弦定理解三角形，考查向量數量積的運算，屬于中檔題.11、D【解題分析】因為雙曲線的一條漸近線經過點（3，-4），故選D.考點：雙曲線的簡單性質【名師點睛】漸近線是雙曲線獨特的性質，在解決有關雙曲線問題時，需結合漸近線從數形結合上找突破口.與漸近線有關的結論或方法還有：（1）與雙曲線共漸近線的可設為；（2）若漸近線方程為，則可設為；（3）雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長；（4）的一條漸近線的斜率為.可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質都表示雙曲線張口的大小．另外解決不等式恒成立問題關鍵是等價轉化，其實質是確定極端或極限位置.12、D【解題分析】

函數的導數為，圖像在點處的切線的斜率為，切線方程為，即，設切線與相切的切點為，，由的導數為，切線方程為，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上單調遞增，且，，所以有的根，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據向量垂直得，再根據兩角差正切公式求解.詳解：因為，所以,因此點睛：向量平行：，向量垂直：，向量加減：14、②【解題分析】

函數等價于.利用奇偶性排除①，利用利用分離常數法，判斷②正確.利用倒序相加法判斷③錯誤.【題目詳解】函數等價于，.這是一個偶函數，故命題①錯誤.對于命題②，不等式等價于，即由于，故，所以，故命題②是真命題.對于③，當時，，兩式相加得，而，，以此類推，可得.故③為假命題.對于④，，即，這對任意的都成立，故不是它的充要條件.命題④錯誤.故填②.【題目點撥】本小題主要考查對于新定義概念的理解.將新定義的概念，轉化為絕對值不等式來解決，屬于化歸與轉化的數學思想方法.15、【解題分析】

利用指數和對數的運算即可求解.【題目詳解】故答案為：【題目點撥】本題主要考查了指數與對數的運算，屬于基礎題.16、【解題分析】設右焦點F′，連結AF′，BF′，得四邊形AFBF′是正方形，∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，∵∠BAF=θ，∴AF=2c?cos，BF=2c?sin，∴2csin+2ccos=2a，∵該橢圓的離心率，∴∵θ∈[0，π），∴的取值范圍為．點睛：本題主要考查橢圓的標準方程與幾何性質．有關橢圓的離心率問題的關鍵是利用圖形中的幾何條件構造的關系,解決橢圓離心率的相關問題的兩種方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齊次關系式,將用表示,令兩邊同除以或化為的關系式,解方程或者不等式求值或取值范圍．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)有的把握認為招聘的、兩個崗位與性別有關.(2)見解析.【解題分析】分析：（1）根據所給公式直接計算求解作答即可；（2）先分析此分布為超幾何分布，然后確定X的取值可能，根據超幾分布求解概率寫分布列即可.詳解：（1），故有的把握認為招聘的、兩個崗位與性別有關.（2）的可能取值為0，1，2，，，.∴的分布列為012.點睛：考查獨立性檢驗和離散型隨機變量分分布列，屬于基礎題.18、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）先由平面得到面PDC平面，可得平面，則有，再利用勾股數及等腰三角形可得，可證得平面，即證得結論.（2）以D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【題目詳解】（1）取的中點，連接，，則.由題知平面，面PDC，所以面PDC平面，又底面為矩形，故平面，所以，在中，，，則.因為，所以，，即△CDP為等腰三角形，又F為的中點，所以.因為，所以平面，即平面.（2）以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，.由題知，，設平面的法向量為，則，令，則，，得.因為平面，所以為平面的一個法向量，所以，由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查了線面垂直、面面垂直的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的余弦值的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題．19、（1）直線的直角坐標方程為，曲線的普通方程為（2）【解題分析】

（1）利用極坐標化直角坐標的公式求直線l的直線坐標方程，消參求出曲線的普通方程；（2）直線的參數方程為（為參數），代入，得，再利用直線參數方程t的幾何意義求的值.【題目詳解】解：（1）因為直線的極坐標方程為，所以直線的直角坐標方程為.因為曲線的參數方程為（為參數），所以曲線的普通方程為.（2）由題可知所以直線的參數方程為（為參數），代入，得，設兩點所對應的參數分別為，即，，【題目點撥】本題主要考查極坐標參數方程和直角坐標的互化，考查直線參數方程t的幾何意義，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、（1）；（2）；【解題分析】

（1）以為坐標原點，以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標系，分別求出異面直線與的方向向量，代入向量夾角公式，即可求出異面直線與所成角的大小；（2）連接．由，由已知中，是的中點，面，我們根據等腰三角形“三線合一”的性質及線面垂直的性質，即可得到，，進而根據線面垂直的判定定理，得到面，故即為四棱錐的高，求出棱錐的底面面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．【題目詳解】（1）以為坐標原點，以，，為軸正方向建立空間直角坐標系．不妨設．依題意，可得點的坐標，于是，由，則異面直線與所成角的大小為．（2）連接．由，是的中點，得；由面，面，得．又，