第08講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、掌握平面向量基本定理．2、學(xué)會用平面向量的坐標(biāo)表示，體會其幾何意義．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：平面向量基本定理考點(diǎn)二：利用平面向量基本定理證明三點(diǎn)共線問題考點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算考點(diǎn)四：平面向量平行的坐標(biāo)表示考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用【基礎(chǔ)知識】知識點(diǎn)一：平面向量基本定理1、平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合．①其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底；②平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的．這說明如果且，那么．③當(dāng)基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．知識點(diǎn)詮釋：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐標(biāo)的基礎(chǔ)，它保證了向量與坐標(biāo)是一一對應(yīng)的，在應(yīng)用時，構(gòu)成兩個基底的向量是不共線向量．2、如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面內(nèi)任意一個向量可以寫成任意兩個不共線的向量的線性組合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直線形圖形，都可以表示成某些向量的線性組合，這樣在解答幾何問題時，就可以先把已知和結(jié)論表示為向量的形式，然后通過向量的運(yùn)算，達(dá)到解題的目的．（2）在解具體問題時，要適當(dāng)?shù)剡x取基底，使其他向量能夠用基底來表示．選擇了不共線的兩個向量、，平面上的任何一個向量都可以用、唯一表示為=+，這樣幾何問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為只含有、的代數(shù)運(yùn)算．知識點(diǎn)二：平面向量的坐標(biāo)表示1、正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．知識點(diǎn)詮釋：如果基底的兩個基向量e1、e2互相垂直，則稱這個基底為正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事實上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2、平面向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底，對于平面上的一個向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)，使得=．這樣，平面內(nèi)的任一向量都可由唯一確定，我們把有序數(shù)對叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作=，x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)．把=叫做向量的坐標(biāo)表示．給出了平面向量的直角坐標(biāo)表示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序數(shù)對唯一表示，從而建立了向量與實數(shù)的聯(lián)系，為向量運(yùn)算數(shù)量化、代數(shù)化奠定了基礎(chǔ)，溝通了數(shù)與形的聯(lián)系．知識點(diǎn)詮釋：（1）由向量的坐標(biāo)定義知，兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等，即且，其中．（2）要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)區(qū)別開來．相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同．比如，若，，則；若，，則，，顯然A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)各不相同．（3）在直角坐標(biāo)系中有雙重意義，它既可以表示一個固定的點(diǎn)，又可以表示一個向量．知識點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、平面向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算運(yùn)算坐標(biāo)語言加法與減法記，，實數(shù)與向量的乘積記，則=（，）2、如何進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在進(jìn)行平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算時，應(yīng)先將平面向量用坐標(biāo)的形式表示出來，再根據(jù)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計算．在求一個向量時，可以首先求出這個向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo)．求一個點(diǎn)的坐標(biāo)，可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置向量的坐標(biāo)．但同時注意以下幾個問題：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)是有區(qū)別的，平面向量的坐標(biāo)與該向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，只有起點(diǎn)在原點(diǎn)時，平面向量的坐標(biāo)與終點(diǎn)的坐標(biāo)才相等．（2）進(jìn)行平面向量坐標(biāo)運(yùn)算時，先要分清向量坐標(biāo)與向量起點(diǎn)、終點(diǎn)的關(guān)系．（3）要注意用坐標(biāo)求向量的模與用兩點(diǎn)間距離公式求有向線段的長度是一樣的．（4）要清楚向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)．知識點(diǎn)四：平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示1、平面向量平行（共線）的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量，則∥，即，或．知識點(diǎn)詮釋：若，則∥不能表示成因為分母有可能為0．2、三點(diǎn)共線的判斷方法判斷三點(diǎn)是否共線，先求每兩點(diǎn)對應(yīng)的向量，然后再按兩向量共線進(jìn)行判定，即已知，，若則A，B，C三點(diǎn)共線．知識點(diǎn)五：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示1、已知兩個非零向量，，2、設(shè)，則或3、如果表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，那么（平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式）．知識點(diǎn)六：向量在幾何中的應(yīng)用（1）證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行（共線）的充要條件（2）證明垂直問題，常用垂直的充要條件（3）求夾角問題，利用（4）求線段的長度，可以利用或【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：平面向量基本定理例1．如圖，在△OAB中，，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過M點(diǎn)，設(shè)＝p，＝q，求證：＋＝1.【解析】因為三點(diǎn)共線，所以存在實數(shù)，使得，又三點(diǎn)共線，所以存在實數(shù)，使得,由于不共線，所以,解得.故.因為三點(diǎn)共線，所以存在實數(shù)，使得,消去,得＋＝1.例2．如圖，在平行四邊形OADB中，設(shè)向量，，點(diǎn)M、N是對角線AB上的兩點(diǎn)，且，試用、表示與．【解析】∵平行四邊形OADB，設(shè)向量，，點(diǎn)M、N是對角線AB上的兩點(diǎn)，且，∴，.例3．如圖，在中，且，，交于點(diǎn)．(1)若，求的值；(2)若，，，求．【解析】(1)∵，又，∴，由C，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，設(shè)，∴，又，∴，∴，，∴，，(2)由(1)，∴，又，∴，又，，，∴，考點(diǎn)二：利用平面向量基本定理證明三點(diǎn)共線問題例4．在平行四邊形中，，，分別為邊，，的中點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線.若，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】，，，分別為邊，，的中點(diǎn)，,，，三點(diǎn)共線，，解得：.故答案為：.例5．已知兩個非零向量與不共線，如果，，求證：A，B，D三點(diǎn)共線．【解析】∵，∴根據(jù)共線向量基本定理得，與共線．又與有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線，得證．考點(diǎn)三：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例6．已知四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)為A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A． B．C．(3，2) D．(1，3)【答案】A【解析】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，且，故選：．例7．設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)．（1）當(dāng)P是線段P1P2的中點(diǎn)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解析】（1）如圖，由向量的線性運(yùn)算可知,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是.（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時，有兩種情況，或，若，如圖(1)，那么，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是.同理，如果，如圖(2)，那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是.考點(diǎn)四：平面向量平行的坐標(biāo)表示例8．平面內(nèi)給定三個向量(1)若求實數(shù)k；(2)設(shè)滿足且求.【解析】(1)(2)又且例9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：四邊形為等腰梯形．【解析】解：（1）設(shè)，則，，，，；（2）證明：連接,，，，且，又，，,四邊形為等腰梯形.考點(diǎn)五：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算例10．已知，，求：（1）；（2）；（3）．【解析】（1）因為，，所以.（2）因為，，所以，所以.（3）因為，，所以，所以.例11．已知，，，．（1）求證：；（2）求在上的投影向量．【解析】（1）已知，，，，，.（2），，，，，在上的投影為上的單位向量為在上的投影向量為.例12．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，用向量的方法證明：．【解析】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系：設(shè)正方形的邊長為2，則，，即考點(diǎn)六：平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用例13．平面內(nèi)有向量，，，點(diǎn)M為直線OP上的一個動點(diǎn)。（1）求當(dāng)取最小值時，求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)M滿足（1）的條件和結(jié)論時，求cos∠AMB的值。【解析】（1）如圖，設(shè)。則，∵點(diǎn)M在直線OP上，∴向量與共線。又，，即.∴。又，，∴。同理。于是，由二次函數(shù)的知識，可知當(dāng)時，有最小值-8，此時。（2）當(dāng)，即時，有，，，，，∴。例14．已知是邊長為2的正方形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】是邊長為2的正方形，則以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB，AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：則，設(shè)點(diǎn)，，于是得：，當(dāng)時，取得最小值，所以的最小值是.故選：B例15．如圖，點(diǎn)C是半徑為6的扇形圓弧AB上的一點(diǎn)，18，若xy，則3x+2y的最大值為____________.【答案】【解析】由，則，，建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，由知，，化簡得：，，則，其中，則當(dāng)時，最大值為.故答案為：.【真題演練】1．（2023·全國·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因為，所以.故選：D2．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故選：C3．（2023·山東·高考真題）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在函數(shù)圖象的對稱軸上，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】由題意函數(shù)圖象的對稱軸是，設(shè)，因為，所以，解得或，所以或，故選：C．4．（2007·山東·高考真題（理））設(shè)向量，若表示向量的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知：，即.故選：D.5．（2007·福建·高考真題（理））已知，點(diǎn)C在內(nèi)，且.設(shè)，則等于（

）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】因為，所以,又因為點(diǎn)C在內(nèi)，且，建立如圖所示的坐標(biāo)系：則,,又因為，所以，所以，所以.故選：B.6．（2023·全國·高考真題（文））已知向量．若，則______________．【答案】【解析】由題意知：，解得.故答案為：.7．（2023·全國·高考真題（理））已知向量，若，則__________．【答案】【解析】因為，所以由可得，，解得．故答案為：．8．（江蘇·高考真題）如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的值是_____.【答案】.【解析】如圖，過點(diǎn)D作DF//CE，交AB于點(diǎn)F，由BE=2EA，D為BC中點(diǎn)，知BF=FE=EA,AO=OD.，得即故.9．（2007·江西·高考真題（文））已知向量，則的最大值為___________.【答案】【解析】∵，∴，則當(dāng)時，取最大值．故答案為：．10．（2023·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則________；________.【答案】

0

3【解析】以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·江蘇·濱海縣五汛中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，若，則的值是（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由已知可得，，，因為，所以，解得，.故選：C.2．（2023·全國·高一課時練習(xí)）若向量與是平面上的兩個不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【解析】對于A，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，A不選；對于B，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，B不選；對于C，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，解得，即與共線，選C；對于D，假設(shè)存在實數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實數(shù)，使，即與不共線，D不選；故選：C3．（2023·上海市浦東中學(xué)高一期末）在中，已知為上的一點(diǎn)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以,所以.故選：C.4．（2023·陜西師大附中高一期中）已知O是平面上的一個定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【解析】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點(diǎn)P的軌跡為的角平分線所在直線，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.故選：C.5．（2023·陜西·蒲城縣蒲城中學(xué)高一期末）已知向量，.若不超過5，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，因為不超過5，所以，解得：，故選：C.6．（2023·遼寧·東北育才學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，中，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：，，，，三點(diǎn)共線，，即.故選：B.7．（2023·江蘇·濱海縣五汛中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，∴，又∴.故選：B.8．（2023·黑龍江·杜爾伯特蒙古族自治縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）向量，且向量與向量方向相同，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為向量與向量方向相同，則存在實數(shù)，使得即所以，因為，所以所以因為，所以故選:B.二、多選題9．（2023·江蘇·濱海縣五汛中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)向量，平面內(nèi)任一向量都可唯一表示為（），則實數(shù)的可能取值是（

）A．2 B．3 C．1 D．0【答案】ABD【解析】根據(jù)平面向量的分解定理，兩個向量可作為一組基底必須它們不平行，與不平行，有解之.故選：ABD.10．（2023·黑龍江·哈爾濱市第一二二中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知，則下列敘述正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為5 D．若向量與向量的夾角為鈍角，則【答案】AD【解析】對于A，若，則，解得：，A正確；對于B，若，則，解得：，B錯誤；對于C，因為，所以，則當(dāng)時，，，C錯誤；對于D，若向量與向量的夾角為鈍角，則，解得，由上可知，此時兩向量不共線，D正確.故選：AD.11．（2023·河南·商水縣實驗高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量=（2，1），，則（

）A．若，則 B．向量在向量上的投影向量為C．與的夾角余弦值為 D．【答案】ABC【解析】對于A選項，若，則，所以，A正確；對于B選項，設(shè)向量在向量上的投影向量為，則，即，解得，故向量在向量上的投影向量為，B選項正確；對于C選項，，，C選項正確；對于D選項，，，所以與不共線，D選項錯誤.故選：ABC.12．（2023·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高一期末）如圖，在等腰直角中，斜邊，且，點(diǎn)P是線段AD上任一點(diǎn)，則的可能取值是（

）A．-1 B．0 C．4 D．5【答案】BC【解析】依題意，，因，則，又點(diǎn)P是線段AD上任一點(diǎn)，則令，，而因此，而，則，即，選項A，D不滿足，B，C滿足.故選：BC三、填空題13．（2023·黑龍江·哈九中高一期中）已知向量，，若與的夾角為銳角，則的取值范圍為___________．【答案】且.【解析】由得，，.由已知得，，所以，即，且不共線.則，.又不共線，則.所以，的取值范圍為且.故答案為：且.14．（2023·上海市曹楊中學(xué)高一期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，若三點(diǎn)共線，則實數(shù)_____．【答案】【解析】因為三點(diǎn)共線，所以，，，所以，解得：.故答案為：15．（2023·上海市大同中學(xué)高一期末）是邊長為4的正三角形，以為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，設(shè)，所以，，所以，因為，所以，故答案為：16．（2023·安徽省岳西縣湯池中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，是邊長為4的正方形，若，且F為的中點(diǎn)，則______．【答案】5【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在的直線分別為軸，軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，.則，，所以.故答案為：5.四、解答題17．（2023·山東東營·高一期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，BD，AC相交于點(diǎn)O，M為BO中點(diǎn).設(shè)向量，(1)用，表示(2)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求點(diǎn)M的坐標(biāo).【解析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，BD，AC相交于點(diǎn)O所以，因為M為BO中點(diǎn)，（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，由，，，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以，，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為18．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖所示，是△ABC的一條中線，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線分別與射線，射線交于，兩點(diǎn).(1)若，求的值；(2)設(shè)，，，，求的值；【解析】（1）因，所以，又因為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以；（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三點(diǎn)共線，所以，即.