4.2.2線段長短的比較與運算教學設計一、內容和內容解析1.內容本節課是人教版《義務教育教科書?數學》七年級上冊（以下統稱“教材”）第四章“幾何圖形初步”4.2.2線段長短的比較與運算，內容包括：運用線段的和、差、倍、分關系求線段的長度；理解“兩點之間，線段最短”的線段性質，并學會運用.2.內容解析本節知識是本教材第四章的第2節內容，是學習幾何知識的開端，對調動學生學習幾何的積極性，以及學習以后的幾何知識非常重要，必須把握好教學的進度和難度.應充分注重直觀認識和操作活動，充分培養學生的幾何語言表達能力.立足于學生實際，著眼于中小學的銜接，從他們的生活背景和已有經驗出發，鼓勵他們的積極參與、動手操作、觀察歸納，讓他們了解幾何學習的基本的操作方法，學習結論獲得的策略，對進一步去理解線段本質屬性與現實生活的緊密相關都有著較為深刻的意義，也有利于學生圖形意識的培養.基于以上分析，確定本節課的教學重點為：線段比較大小以及線段的性質.二、目標和目標解析1.目標(1)會用尺規畫一條線段等于已知線段，會比較兩條線段的長短.理解線段等分點的意義.(2)能夠運用線段的和、差、倍、分關系求線段的長度.(3)體會文字語言、符號語言和圖形語言的相互轉化.(4)了解兩點間距離的意義，理解“兩點之間，線段最短”的線段性質，并學會運用.2.目標解析學生能夠熟練運用疊合法和度量法比較線段的大小；會表示線段的大小關系；會畫一條線段等于已知線段.學生能夠分別用圖形和符號來表示線段之間的和差關系；能夠由等分點確定數量關系，或由數量關系確定等分點，綜合運用幾何語言的能力有所提高.學生通過思考、探究、比較得到“兩點之間，線段最短”的基本事實，并能舉例說明其實際應用；理解兩點的距離是指連接兩點的線段的長度，而不是線段本身.三、教學問題診斷分析雖然學生在小學階段已經學習了一些幾何知識，但將對圖形的認識與對數量的認識結合起來，是學生未曾深入體驗過的.尤其用作圖來表示線段的和、差等數量關系，是文字語言、圖形語言與符號語言的綜合運用，對于剛剛進入幾何語言學習的學生而言，是比較困難的學習任務.學生在前一學段對兩點之間，線段最短已有所體會，但學生容易將兩點的距離與連接兩點的線段混淆，教學中應加強對這兩個概念的辨析.基于以上學情分析，確定本節課的教學難點為：運用線段的和、差、倍、分關系求線段的長度.四、教學過程設計（一）自學導航問題：老師手里的紙上有一條線段，你能在你的本上作出一條同樣大小的線段來嗎？尺規作圖在數學中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規作圖，這就是尺規作圖.作一條線段等于已知線段.則：線段AB就是所求的線段.思考：如何比較兩個人的身高？怎樣比較兩條線段的長短呢？你能從比身高上受到一些啟發嗎？判斷線段AB和CD的大小.(1)如圖1，線段AB和CD的大小關系是AB___CD；(2)如圖2，線段AB和CD的大小關系是AB___CD；(3)如圖3，線段AB和CD的大小關系是AB___CD.（二）合作探究如圖，線段AB和AC的大小關系是怎樣的？線段AC與線段AB的差是哪條線段？你還能從圖中觀察出其他線段間的和、差關系嗎？(1)AB＜AC(2)AC－AB＝BC，AC－BC＝AB，BC＋AB＝AC.如圖，已知線段a和線段b，怎樣通過作圖得到a與b的和、a與b的差呢？如圖，已知線段a、b，作一條線段，使它等于2a－b.解：則：線段AC=2a－b.如圖，已知線段a，求作線段AB＝2a.解：則：線段AB＝2a.如上圖，點M把線段AB分成相等的兩條線段AM和BM；點M叫做線段AB的中點.因此可得：AM＝BM＝12類似地，還有線段的三等分點、四等分點等.AM＝MN＝NB＝13AB＝3AM＝3MN＝3NBAM＝MN＝NP＝PB＝14AB＝4AM＝4MN＝4NP＝4PB思考：如圖，從A地到B地有四條道路，除它們之外能否再修一條從A地到B地的最短道路？如果能，請聯系你以前所學的知識，在圖上畫出最短路線.估計下列圖中線段AB與線段AC的大小關系，再用刻度尺或用圓規來檢驗你的估計.AB___ACAB___ACAB___AC（二）考點解析例1.如圖①，有一張三角形的紙片，你能準確地比較線段AB與線段BC的長短嗎？解法1(度量法)：用刻度尺測量AB=2.0cm，BC=1.7cm，所以AB>BC.解法2(疊合法):(1)如圖②，折疊紙片，使線段BC與線段AB在一條直線上，這時點C落在A，B之間，所以AB>BC.(2)如圖③，利用圓規在射線BA上截取BC＇=BC.因為AB＞BC＇所以AB＞BC.【遷移應用】1.如圖，比較線段a和b的長度，結果正確的是()A.a＞bB.a＜bC.a=bD.無法確定2.如圖，用圓規比較兩條線段AB和A＇B＇的長短，其中正確的是()A.AB＞A＇B＇B.AB=A＇B＇C.AB＜A＇B＇D.沒有刻度尺，無法確定3.體育課上，小悅在點O處進行了四次鉛球試投，鉛球分別落在圖中的M，N，P，Q四點處，則表示他最好成績的點是()A.MB.NC.PD.Q4.如圖，比較這兩組線段的長短.解：如圖①，把圖中的線段AB、線段CD放在同一條直線上，使端點A，C重合，點B與點D在點A的同側，得點B在C，D之間，所以AB<CD.如圖②，把圖中的線段AB、線段CD放在同一條直線上，使端點A，C重合，得點D和點B重合，所以AB=CD.例2.如圖，已知線段a、b、c，其中a＞b＞c.(1)尺規作圖：在射線AP上求作線段AB，使AB=a+c-b；(2)若a=4、b=3、c=2，求AB的長.解：(1)如圖，在射線AP上作線段AC=a，在AC的延長線上作線段CD=c，在線段AD上作BD=b，則AB=a+c-b.(2)因為a=4，b=3，c=2，所以AB=a+c-b=4+2-3=3.【遷移應用】1.如圖，已知線段a，b，求作線段AB，使得AB=a+2b.小明給出了四個步驟：①在射線AM上截取線段AP=a；②則線段AB=a+2b；③在射線PM上截取PQ=b，QB=b；④畫射線AM.你認為正確的順序是()A.①②③④B.④①③②C.④③①②D.④②①③2.如圖，下列關系式中與圖形不符合的是()A.AD-CD=ACB.AC-BC=ABC.AB+BD=ADD.AC+BD=AD例3.如圖，AC=6cm，BC=15cm，M是AC的中點，在CB上取一點N，使得CN=13BC，解：因為M是AC的中點，AC=6cm，所以MC=12AC=1因為BC=15cm所以CN=13BC=1所以MN=MC+CN=3+5=8(cm)【遷移應用】1.下列條件中能確定C是線段AB的中點的是()A.AC=BCB.AB=BCC.AC=BC=122.如圖，C，D是線段AB上的兩點，且D是線段AC的中點.若AB=10cm，BC=4cm，則AD的長為()A.2cmB.3cmC.4cmD.6cm3.如圖，點C在線段AB的延長線上，且BC=2AB，D是AC的中點，若AB=2cm，求BD的長.解：因為AB=2cm，所以BC=2AB=4cm.所以AC=AB+BC=6cm.因為D是AC的中點，所以AD=12所以BD=AD-AB=lcm.4.如圖，C，D是線段AB的三等分點，E是線段DB的中點，AB=12cm，求線段CE的長.解：因為C，D為線段AB的三等分點，所以CD=DB=13因為E是線段DB的中點，所以DE=12所以CE=CD+DE=4+2=6(cm).例4.如圖，小明家在B處，現在小明要去位于D處的同學家.(1)最近的路線是__________；(2)B，D兩點的距離是線段______的長度.【遷移應用】1.若AB=4cm，BC=3cm，則A，C兩點的距離()A.1cmB.7cmC.1cm或7cmD.不確定2.小明撿到一片沿直線折斷了的銀剩下的杏葉(如圖)，他發現剩下的銀杏葉的周長比原銀杏葉的周長要小，能正確解釋這一現象的數學知識是____________________.3.如圖，A，B是公路l兩旁的兩個村莊，若要在公路上修建一個汽車站Р，使它到A，B兩個村莊的距離和最小，試在l上標出汽車站P的位置.解：如圖，連接AB與直線l相交，交點即為汽車站Р的位置.例5.如圖①，一只螞蟻要沿著正方體表面從點A爬到點B，畫出它爬行的最短路徑(下底面不可通行).解：如圖②，有4條最短路徑，以A→E→B為例進行說明：如圖③，將正方體的正面，右面展開，連接AB，與中間的一條邊交于點E，則A→E→B即為其中一條最短路徑.(其他三條類似)【遷移應用】如圖，A，B，C，D為四個居民小區，現要在附近建一個購物中心.應把購物中心建在何處，才能使四個居民小區到購物中心的距離之和最小？請確定購物中心的位置，并說明理由.解：如圖，連接AC，BD相交于點P，點Р就是購物中心的位置.理由：兩點之間，線段最短.例6.如圖，已知線段AB，延長AB到點C，使BC=12AB，D為AC的中點，DC=3cm，解：因為D為AC的中點，DC=3cm，所以AC=2DC=2×3=6(cm).因為BC=12所以BC=13AC=1所以DB=DC-BC=3-2=1(cm).【遷移應用】1.如圖，已知線段AB=3cm，延長線段AB到點C，使BC=2AB，延長線段BA到點D，使AD∶AC=4∶3，M是BD的中點.求線段AM的長.解：因為AB=3cm，BC=2AB，所以BC=6cm，所以AC=AB+BC=9cm.因為AD:AC=4∶3，所以AD=43所以BD=AD+AB=15cm.因為M是BD的中點，所以BM=12BD=15所以AM=BM-AB=152-3=9例7.如圖，已知C，D兩點將線段AB分為三部分，且AC:CD:DB=2:3:4.若M為AB的中點，N為BD的中點，且MN=5，求AB的長.解：因為AC:CD:DB=2∶3∶4，所以設AC=2x，CD=3x，DB=4x.所以AB=AC+CD+DB=2x+3x+4x=9x.因為M為AB的中點，N為BD的中點，所以BM=12AB=92x，BN=因為MN=BM-BN=5，所以92解得x=2.所以AB=9×2=18.【遷移應用】1.如圖，B和C為線段AD上兩點，AB∶BC:CD=3∶1∶6，M是AD的中點.若MC=2，則AD的長為________.2.如圖，點C，D在線段AB上，且滿足CD=14AD=1解：設CD=xcm.因為CD=14AD=16所以AD=4xcm，BC=6xcm.因為E，F分別為線段AC，BD的中點，所以EC=12AC=12DF=12BD=1因為EF=EC+CD+DF=5cm，所以1.5x+x+2.5x=5，所以x=1.所以AB=AD+BC-CD=4x+6x-x=9x=9(cm).例8.在直線l上有四點A，B，C，D，已知AB=24，AC=6，D是BC的中點，求線段AD的長.解：分兩種情況討論：①如圖①，當點C在線段AB的反向延長線上時，得BC=AB+AC=24+6=30.由D是BC的中點，得CD=12以AD=CD-AC=9.②如圖②，當點C在線段AB上時，得BC=AB-AC=24-6=18.由D是BC的中點，得CD=12所以AD=CD+AC=15.綜上所述，線段AD的長為9或15.【遷移應用】1.如圖，C為線段AD上的一點，B為CD的中點，且AD=9，CD=4.若點E在直線AD上，且EA=1，則BE的長為()A.4B.6或8C.6D.82.A，B，C是直線l上的點，線段BC的長為4，M，N分別為線段AB，BC的中點，MN的長為3，則線段AB的長為__________.例9.如圖，點C在線段AB上，M，N分別是AC，BC的中點.(1)若AC=9cm，CB=6cm，求線段MN的長；(2)若C為線段AB上任意一點，AC+CB=acm，其他條件不變，求線段MN的長