全國(guó)乙卷2023屆高三上學(xué)期第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知全集。={123,4,5},集合A={1,2,4},B={2,3},則（楸）門（臚）=（）

A.{2}B.{5}C.{1,3,4,5}D.{1,2,3,4}

2.設(shè)（l-i>z=2,則回=（）

A.變B.J2C.1D.2

2

3.已知向量￡=（3,0）,6=（1,1）,且（）-2初〃（2￡+防）,則實(shí)數(shù)。的值是（）

A.2B.-2C.4D.-4

4.已知等差數(shù)列4,4,%.....%T，4，前6項(xiàng)和為10,最后6項(xiàng)和為110,所有項(xiàng)和為360,

則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)〃=（）

A.26B.30C.36D.48

5.已知實(shí)數(shù)。，b滿足a2+log“b=l,（0<a<l）,則;log-的最小值為（）

A.0B.-1C.1D.不存在

6.如圖，在三棱臺(tái)ABC-A/C中，A4J.平面45C,ZABC=90°,4人=4冉=86=1,AB=2,

則AC與平面BCG4所成的角為（）

A.30。B.45°C.60°D.90°

7.為推動(dòng)就業(yè)與培養(yǎng)有機(jī)聯(lián)動(dòng)、人才供需有效對(duì)接，促進(jìn)高校畢業(yè)生更加充分更高質(zhì)量就業(yè)，教

育部今年首次實(shí)施供需對(duì)接就業(yè)育人項(xiàng)目.現(xiàn)安排甲、乙兩所高校與3家用人單位開展項(xiàng)目對(duì)接,

若每所高校至少對(duì)接兩家用人單位，則兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為（）

8.已知數(shù)列｛《,｝的各項(xiàng)互異，且4,>0,-L-'=2（〃eN，）,則一丁'-----=（）

I'%+|a?aia2+a2a3+-+an-ian

A.-B.2C.2D.4

42

9.千百年來，我國(guó)勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向速度、厚度、顏色等的變化，總結(jié)

了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤銷云，地上雨淋林”“日落云里

走，雨在半夜后”……小明同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)A的100天

日落和夜晚天氣，得到如下2x2列聯(lián)表:

夜晚天氣

下雨不下雨

日落云里走

出現(xiàn)255

不出現(xiàn)2545

臨界值表

0.100.050.0100.001

卜。2.7063.8416.63510.828

并計(jì)算得到K?=19.05,下列小明對(duì)地區(qū)天氣判斷正確的是（）A.夜晚下雨的概率約為g

B.未出現(xiàn)“日落云里走”，但夜晚下雨的概率約為g

C.出現(xiàn)“日落云里走”，有99.9%的把握認(rèn)為夜晚會(huì)下雨

D.有99.9%的把握認(rèn)為“，日落云里走，是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨“有關(guān)

10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體AB8-ABGA中，P為棱8區(qū)的中點(diǎn)，。為正方形88CC內(nèi)一

動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說法中不E硬的是（）

A.若AQ〃平面A，。，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是一條線段

B.存在。點(diǎn)，使得平面AP。

C.當(dāng)且僅當(dāng)。點(diǎn)落在棱CG上某點(diǎn)處時(shí)，三棱錐。-4尸。的體積最大

D.若DQ4,那么。點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為亨萬

22

11.已知雙曲線C：5-1=1(a>0,〃>0),過原點(diǎn)。的直線交C于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)8在右支

ab"

上)，雙曲線右支上一點(diǎn)P(異于點(diǎn)8)滿足麗.麗=0,直線必交工軸于點(diǎn)。，若NAQO=ZA。。，

則雙曲線C的離心率為().

A.yf2B.2C.75D.3

12.定義域?yàn)镽的函數(shù)〃x)滿足：①對(duì)任意24%<々，都有(玉-々)[八天)-〃制]>0；②函數(shù)

y=f(x+2)的圖象關(guān)于)，軸對(duì)稱.若實(shí)數(shù)滿足f(2s+2f+2)W/(s+3),則當(dāng)re[0,l]時(shí)，點(diǎn)七

的取值范圍為()

A,[1B.[1,21

l_43j|_3J

C.f—00,—口(1,+0°)D-f-°01-u[2,+oo)

二、填空題

x+y-2>0

13.設(shè)X,y滿足約束條件?x-y-140，貝l」z=2x+y的最大值為

x-2y+2>0

14.若(x2+a)(x+gj的展開式中f的系數(shù)為9,則a的值為.

15.函數(shù)f(x)=tan(3x+^)的圖象的對(duì)稱中心為

、［x,O＜x＜1/、/、/、

16.已知fz(x)={..＞］，若存在2＞々＞。，使得/(蒼)=。/(%)，則x/f(w)的取值范圍為

Ie,x21

三、解答題

17.某企業(yè)招聘，一共有200名應(yīng)聘者參加筆試他們的筆試成績(jī)都在［40,100］內(nèi)，按照［40,50),

［50,60)....［90,100］分組,得到如下頻率分布直方圖:

⑴求圖中4的值；

(2)求全體應(yīng)聘者筆試成績(jī)的平均數(shù)；(每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點(diǎn)值為代表)

(3)該企業(yè)根據(jù)筆試成績(jī)從高到低進(jìn)行錄取，若計(jì)劃錄取150人，估計(jì)應(yīng)該把錄取的分?jǐn)?shù)線定為多少.

18.在平面五邊形ABCOE中，已知NA=120°,N8=90',NC=120°,NE=90°,A8=3,AE=3

⑴當(dāng)BC=gG時(shí)，求。C；

(2)當(dāng)五邊形ABCDE的面積Se［6亞96)時(shí)，求8c的取值范圍.

19.如圖，正方形ABCD與直角梯形AZJEF所在平面相互垂直，ZADE=90,AF//DE,

AD=DE=2AF=2.

E

(1)求證：AC〃平面5EF；

(2)求點(diǎn)。到平面8所的距離.

20.已知函數(shù)/(x)=xlnx+l-x-lnx.

(I)設(shè)函數(shù)y=/(x)在x=l和尤=0處的切線交直線y=l于兩點(diǎn)，求|MN|；

(H)設(shè)/(%)為函數(shù)y=f(x)的最小值，求證：一;

21.如圖，橢圓=的兩頂點(diǎn)A(-2,0),8(2,0),離心率e7,過y軸上的

點(diǎn)尸(0,布卜|<4"父0)的直線/與橢圓交于仁。兩點(diǎn)，并與x軸交于點(diǎn)P,直線AC與直線BD交于

點(diǎn)Q.

(1)當(dāng)f=2君且8=4時(shí)，求直線/的方程;

(2)當(dāng)點(diǎn)尸異于A,B兩點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)Q橫坐標(biāo)分別為”,是否存在常數(shù)4使4=2成

立，若存在，求出2的值：若不存在，請(qǐng)說明理由.

x=2cosa

22.在平面直角坐標(biāo)系”3,中，圓G的圓心坐標(biāo)為(1,1)且過原點(diǎn)，橢圓E的參數(shù)方程為

y=sina

(。為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為

o

(1)求圓G的極坐標(biāo)方程和曲線c2的普通方程；

(2)若曲線。2與圓a相交于異于原點(diǎn)的點(diǎn)P,M是橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)，求AO/W面積的最大值.

23.已知函數(shù)/(x)=|x-l|+|ar+l|.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，解不等式/(x)25；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，若存在實(shí)數(shù)x,使得2相-1>/(幻成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

參考答案：

1.B

【分析】先求解集合A與集合B的補(bǔ)集，利用交集運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：因?yàn)槿?{123,4,5},集合A={1,2,4},B={2,3},

則6A={3,5},Q/={1,4,5},故(楙)c(』)={5}.

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則及模的運(yùn)算即可求得答案.

【詳解】由題意，(l-i)3=-2i(l-i)=-2(l+i),J.、==，|zk—.

-2(1+1)22

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的平行關(guān)系來求參數(shù)即可.

【詳解】由題可知，a-25=(3,0)-2?(1,1)(1,-2)

2a+kb-(6+k,k),因?yàn)?a-2@〃(2a+kB),

所以有k=(-2)?(6幻？3k-12?k-4

故選：D

4.C

【分析】由q+生+…+”=10、+?,,-1+-+??-5=110,兩式相加得4+4,再利用等差數(shù)列的求

和公式求和可得答案.

【詳解】由題意知4+為+…+。6=1°，4+4-1+…+/-5=110，

兩式相加得6(4+可)=120,所以q+”“=20,

又〃(q+)=360,所以“=36.

2

故選：C.

5.A

【分析】由題設(shè)條件可得log.人=「/,從而利用換底公式的推論可得log〃a=「二，代入要求最

\-a~

小值的代數(shù)式中，消元，利用均值不等式求最值

【詳解】a2+log?b=1=>log?Z)=l-<a2=>loga=

Ai-a~

又0<a<1,貝!J0<1-a?<i

—log,a-?2=—7^--r+(l-?2)-l>2I.,x(I-a2)-1=0

4Ob4(l-a2)\)忖-叫[>

12B

當(dāng)且僅當(dāng)4(j2)=-—即a=苧時(shí)取等號(hào)

故選：A

6.A

【分析】將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐，利用等體積法求A到面BCC由的距離，結(jié)合線面角的定義求AC與平

面8CC由所成角的大小.

【詳解】將棱臺(tái)補(bǔ)全為如下棱錐。-A8C,

由ZABC=90。，AA=Ag=4G=l,AB=2,易知：DA=BC=2,AC=2日

由平面ABC,AB,AC,平面ABC,則A4，A8,1AC,

所以B￡>=2正，CD=2拒,故8c2+8￡)2=C￡>2,

所以%S=；X2X2a=2&，若A到面8CG用的距離為兒又％一詼=匕-BCD，

則J.X2XLX2X2=』/ZX2&,可得力=&,

323

TThI7T

綜上，AC與平面BCC4所成角ee[0,g],則Sin6=f；=：,即

2AC26

故選：A

7.D

【分析】由古典概型與對(duì)立事件的概率公式求解即可

【詳解】因?yàn)槊克咝Ｖ辽賹?duì)接兩家用人單位，

所以每所高校共有C+C；=3+1=4種選擇，

所以甲、乙兩所高校共有4x4=16種選擇，

其中甲、乙兩所高校的選擇涉及兩家用人單位的情況有C；=3種，

所以甲、乙兩所高校的選擇涉及到全部3家用人單位的概率為尸=1-2=￡，

1010

故選：D

8.C

【分析】由題意得；-；=2可得〃.“小區(qū)旦巖，代入化簡(jiǎn)可得答案.

〃”+1an2

【詳解】由題意，W---=*2.貝a”=24T4“(〃22,〃eN*),

。〃+1an

即*4,=笑&，

4一/=__________%一%__________=2.%一%=2

所以。［生+。馮+,,,+%〃“4一出?出一/??%一/ax-an

222

故選：C.

9.D

【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可對(duì)A,B選項(xiàng)判斷，根據(jù)對(duì)立性檢驗(yàn)即可判斷C,D.

【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，夜晚下雨的概率約為2=然3=:,所以A錯(cuò).

1002

255

未出現(xiàn)“日落云里走”，但夜晚下雨的概率約為「==^=77，故8錯(cuò).

25+4514

K?=19.05＞10.828,對(duì)照臨界值表可知，有99.9%的把握認(rèn)為“，日落云里走，是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下

雨''有關(guān)，但不能說有99.9%的把握認(rèn)為夜晚會(huì)下雨，故C錯(cuò),D對(duì).

故選:D

10.B

【分析】取Bg,CG中點(diǎn)E,F,證明AEF//平面AQP,得動(dòng)點(diǎn)軌跡判斷A,建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，由而與此法向量平行確定。點(diǎn)位置，判斷B,利用

空間向量法求得。到到平面AtPD距離的最大值，確定。點(diǎn)位置判斷C,利用勾股定理確定。點(diǎn)軌

跡，得軌跡長(zhǎng)度判斷D.

【詳解】選項(xiàng)A,分別取B￡,CG中點(diǎn)E,F,連接2E，A￡Ef,PF,由PF與4G，A"平行

且相等得平行四邊形APFQ,所以。尸〃A/,

￡(尸＜2平面AQP,4尸＜=平面A。？，所以。平〃平面1,

連接BC，EF//BtC,B'C"AD,所以EF〃4。，同理EF//平面4QP，

EFcRF=F,EF,RFu平面REF,所以平面REF//平面AQP,

當(dāng)。時(shí)，RQu平面REF,所以RQ〃平面AQP,即。點(diǎn)軌跡是線段EF,A正確;

選項(xiàng)B,以R為原點(diǎn)，〃A，RG，OC據(jù)直線分別為x,〉,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

4(1,0,0),0(0,0,1),設(shè)。(x,l,z)(0<x,z<l),

4D=(-1,0,1),A戶=(。/])，砒=(x,l,z),

設(shè)而=(a,4c)是平面4尸。的一個(gè)法向量,

比?4。=一〃+。=°

取c=l,則而=(1,-1/),

——,1

m-A1P=b+—c=02

若〃平面A/D,則麗〃而，所以存在；leR,使得前=幾百，

X=A

」=-1?同，解得x=z=-2走[0,1],因此正方形BgCB內(nèi)(含邊界)不存在點(diǎn)。，使得RQL平面

Z=A

選項(xiàng)c,△AP。面積為定值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)。到平面AP。的距離最大時(shí)，三棱錐Q-AP。的體積最

大，AQ=(x-i,i,z),

展石I23

Q到平面AP。的距離為dx+z——0<x+z<2,

利32

323

0<x+z<—d=——(x+z)],當(dāng)x+z=O時(shí)，d有最大值1,

3231

54X+ZW2時(shí)，d=-[(x+z)--],x+z=2時(shí)，d有最大值

綜上，x+z=O時(shí)，d取得最大值1,故。與G重合時(shí)，"取得最大值，三棱錐Q-的體積最

大,C正確；

選項(xiàng)D,AG_L平面84G。，CQu平面58CC，〃G，GQ,

所以￡。=匹溟二54=當(dāng)，所以。點(diǎn)軌跡是以G為圓心，專為半徑的圓弧，圓心角是5，

軌跡長(zhǎng)度為」x2〃x—D正確.

424

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間點(diǎn)的軌跡問題，解題關(guān)鍵是勾畫出過口且與平面AP。平行的

平面REF,由體積公式，在正方形8BCC內(nèi)的點(diǎn)。到平面的距離最大，則三棱錐Q-AP。

體積最大.

11.A

【分析】由題意設(shè)A(-x0,-%),B(%,%)(x0>0),P(xi,yl),由點(diǎn)差法可得加?%=與,而

a-

%”=tan(T-N4DO)，L=tan(g+NAO￡)),ZADO=ZAOD,化簡(jiǎn)可得從=。2,從而可求出雙曲

線的離心率

【詳解】由題意設(shè)A(-x(),-%),8(Xo，%)(x0>0),P(x?yl),

-22

%

-%

-L2.-至=1

<Q

22

IA

X

-

2-

aF=1

I

2222

兩式相減得，至券=近三工，

cTb

所以)。+再)(％一？=〈,

(%+%)(%-%)力

因?yàn)槿?聲,%=金，

,2

所以攵4口，&P=屋，

因?yàn)辂?麗=0，所以

因?yàn)?AP=tan(4一Z.ADO),kBP=tan[g+Z.AOD

所以tan(1-ZADO)-tan^+ZAOZ)j,

所以-tanNA。。1——三］=2，

ItanZ.AODJa2

.2

因?yàn)閆ADO=NAOD,所以1=1,

所以匕2=/,

所以c?=匕2+.2=勿？，所以°=后°,

所以離心率e=￡=0,

a

故選：A

12.A

【分析】現(xiàn)根據(jù)題目對(duì)函數(shù)性質(zhì)的描述得出函數(shù)是關(guān)于x=2軸對(duì)稱，且在(f。,2)單調(diào)遞減，在

(2,+8)單調(diào)遞增，從而得到|2$+244卜+1|,去絕對(duì)值得到不等式組，利用線性規(guī)劃求解即可.

【詳解】由題，由條件①結(jié)合單調(diào)性定義可知，函數(shù)〃x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，由條件②可知,

函數(shù)f(x)向左平移2個(gè)單位關(guān)于y軸對(duì)稱則說明f(x)關(guān)于x=2軸對(duì)稱；

所以“X)是關(guān)于x=2軸對(duì)稱，且在(f。，2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增的函數(shù)；

若實(shí)數(shù)s,r滿足/(2s+2f+2)?/(s+3),結(jié)合圖像，則說明橫坐標(biāo)距離x=2越近，函數(shù)值就越小；

所以可得關(guān)于實(shí)數(shù)s,?的不等式|2$+244卜+1|,兩邊平方得

(2s+2t)z=(s+l)2n(2s+2f)2-(s+l)2M0n(s+2r-l)(3s+2f+l)40所以得:

f.v+2r-l<0f.v+2z-l>0

13$+2/+120①或j3s+2/+140②

☆s=y,x=f(O4Yl),畫出不等式組可行域:

[y+2x-l=0/、

聯(lián)立方程組;，r一八得點(diǎn)。。,-1);

1+1=x+l=X+1_=_1_y-(-2)

f+s+3x+y+3x+l+y+21?y+2,令2=.=(口，由此z的范圍可看作點(diǎn)A與8,

x+1X+'"1一)

13112

C兩點(diǎn)連線斜率的范圍,即齊Z43,所以齊l+z*=V用3

所以上品另

故選：A

13.11

【分析】作出不等式組所表示的可行域，平移直線2=、+2方，觀察該直線在y軸上截距最大值即可

求出答案.

【詳解】作出不等式組所表示的可行域，如下圖,

|x_y_1^0/、

聯(lián)立:°“八，解得：A4,3,所以z取得最大值為：11.

[x-2y+2<0

故答案為：II.

14.1

【分析】由題得(x2+a)0+gj=x2(x+￡[+“x+；j,再借助二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)分兩種情況討論

得解.

【詳解】解：，+“)(x+1'=犬[+:]+°.1+￡[,且(x+g)展開式的通項(xiàng)

4-

當(dāng)8-2r=6時(shí)，r=l,此時(shí)x‘的系數(shù)為C；.

當(dāng)8-2r=8時(shí)，r=0,此時(shí)V的系數(shù)為C；>.

二展開式中f的系數(shù)為C+仁=8+。=9,\a=1.

故答案為：1

⑸信力。加z)

【分析】根據(jù)V=tanx的對(duì)稱中心為仁,0)￡Z可求解.

E

=-解得x=入z,所以對(duì)稱中心為佟->,o],我Z.

【詳解】令y2%￡Z

618\olo7

故答案為:

16.(0-)Ud,y)

e

【分析】先討論4、4與1的大小關(guān)系確定/(%)、/(4),進(jìn)而確定々的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)

的單調(diào)性進(jìn)行求解.

【詳解】①當(dāng)O<w<毛<1時(shí)，則/(占)=占，/(占)=七，

又由『(々)=叭%),得％=%€(0,1),

所以不€(0,-),則王?/(々)=占*2=若€(0,3;

ee

②當(dāng)0<%<14々時(shí)，因?yàn)椴?(4)=西?0，e),f(x2)=c^>e,

所以不存在0<%<1<々，使得/(毛)=歹&)；

③當(dāng)IVx,<三時(shí)，則/(xj=e*,/&)=e*,

又由/(N)=W(xJ,得e-=e-e*=e*田，

則Xz=X,+l,X1?/(9)=石d"，

令g(x)=xe*T,則g(x)在口,”)上單調(diào)遞增,

所以g(x)2g(l)=e2,則辦?f(w)2e；!；

綜上所述，可/(毛)的取值范圍為(0,》11面,+=0).

故答案為：(O」)Ud,y).

e

17.(l)a=0.020

(2)74.5

⑶65分

【分析】(1)由所有頻率和為1,列方程求出〃的值，

(2)由平均數(shù)公式求解即可，

(3)設(shè)分?jǐn)?shù)線定為x,根據(jù)頻率分布直方圖可知工￡[60,70),列出方程估計(jì)錄取的分線

(1)

由題意得(0005+0.010+。+0.030+4+0.015)乂10=1,解得。=0.020

(2)

這些應(yīng)聘者筆試成績(jī)的平均數(shù)為

45x0.05+55x0.10+65x0.204-75x0.30+85x0.204-95x0.15=74.5

(3)

根據(jù)題意，錄取的比例為第=。75,

設(shè)分?jǐn)?shù)線定為x,根據(jù)頻率分布直方圖可知xe[60,70),則

(70-x)x0.02+().3+0.2+0.15=().75,解得犬二65,

所以估計(jì)應(yīng)該把錄取的分?jǐn)?shù)線定為65分

18.(1)—；

2

⑵[6,3句.

【分析】(1)根據(jù)余弦定理，結(jié)合五邊形內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)五邊形的面積，結(jié)合梯形面積公式進(jìn)行求解即可；

(1)

連結(jié)EB,在八線此中，NA=120",AB=AE=3,

由余弦定理可得，BE2=AE2+AB2-2AE-ABcos\20°

=9+9-2-3-3.27,所以BE=3百，同時(shí)可得/AE8=NA8E=30°,

NCBM=60\又由五邊形內(nèi)角和可求得NO=120°=ZDCB,

所以BE//CD,

進(jìn)而四邊形BCDE為等腰梯形過點(diǎn)C作CML8E于M,

3

可求得8M=8Ccos60*=-6，

4

進(jìn)而DC=BE-2BM=36-2』g=aG；

42

(2)

S?.=-,4B-A￡-sinl200=--3-3--=->/3,

MEF2224

eg]527

又^ABCDE[673,9\/3),所以V3,—,

i巧

設(shè)8C邊長(zhǎng)為尤，所以8M=BC-cos60=—x,CM=BCsin60

22

則與=g(BE+CZ>)-C7W=；(36+3石-x)?日x

化簡(jiǎn)整理得15M66x-x2<27,解得A/5VX<3X/5,或36<X456,

又DC=BE-2BM=3&-x>Q,x<3^,

所以BC的取值范圍是［0,3百）.

19.（1）證明見解析；（2）亞.

3

【分析】（1）取6E中點(diǎn)〃，連接MO、MF,根據(jù)題目條件可證明出四邊形AOME為平行四邊形,

則AO//MF,再根據(jù)線面平行的判定定理可證明出AC//平面BEF；

（2）利用等體積法先計(jì)算三棱錐VB.DEF的體積，然后計(jì)算出Si利用VBT詡=gS.BEF-dD.Ba.計(jì)

算出點(diǎn)。到平面BEF的距離.

【詳解】解：（1）設(shè)ACnBD=。，取8E中點(diǎn)/，連接MO、MF,

???四邊形AfiCD是正方形，

，。是BO的中點(diǎn)，又M是BE的中點(diǎn)，...aw〃Q￡,OM=^DE,

?..四邊形ADEF是直角梯形，AF//DE,AF=}-DE,：.OM/_LAF,

2-

，四邊形4FM0是平行四邊形，，

又R0u平面BEP,4。二平面3EF,，AO〃平面B￡F,即AC〃平面3所；

(2)VBC//AD,BCU平面ADEF,ADu平面A￡>EBC//平面,

VAB1AD,平面43C￡)_L平面A￡>￡7"

AB］平面ABC￡>,平面ABC。Pl平面49瓦'=49,

1114

平面ADEF,V_

A3_L，BDEF=-5iD￡f-AB=-x-x2x2x2=-,

：A8_L平面ADEF,4/匚平面4￡)￡：/，ABLAF,BF={AB2+AF=G

VDELAD,平面ABCD_L平面ADEF,

DEu平面ADEF,平面ABCDQ平面ADEF=AD,

/.OE，平面ABCD,又BDu平面ABCD，二DEVBD,

在ABDE中，BD=2&，DE=2,BE^BD,+DE?=26,

在ABEF中,EF=BF=5BE=2y/3,，S0b=；x26xa=",

設(shè)點(diǎn)O到平面BEF的距離為d,

］41r~4

由%-BEF得：-S^BEF-d=—,即］X>/63=5，

【點(diǎn)睛】計(jì)算空間點(diǎn)到面距離的一般方法有：

（1）定義法：過已知點(diǎn)作面的垂線，計(jì)算垂線段的長(zhǎng)度即可;

（2）利用等體積法求解；

（3）空間向量法:求解點(diǎn)P到平面a的距離時(shí)，先計(jì)算平面a的法向量而，在平面a內(nèi)任取一點(diǎn)A,

\AP-nA

利用d：*"1求解即可.

網(wǎng)

2

20.(I)\MN\=—;(II)證明見解析.

e-l

【解析】(I)求出導(dǎo)函數(shù)，得切線方程，然后求得交點(diǎn)M,N坐標(biāo)后可得線段長(zhǎng)|MN|；

(ID由零點(diǎn)存在定理得f(x)存在一個(gè)零點(diǎn)x°e(l,2),并求出最小值/(%),利用/'(%)=0化簡(jiǎn)

/(%)后根據(jù)%e(L2)可證上得結(jié)論.

【詳解】解：(【)函數(shù)人力的導(dǎo)函數(shù)為/(x)=l+lnx—1—，=lnx-L

XX

所以八1)=TJ(e)=1又因?yàn)?(I)=O,f(e)=0,

e

因此y=f(x)在x=l和x=e處的切線方程分別為y=-x+l和y=0(x-e).

e

令y=l,可得M和N的坐標(biāo)分別為(0,1)和p,故|MN|=工^.

(ID因?yàn)閞(x)=lnx-,在(0,+co)上單調(diào)遞增，而/(l)=-l<0j'(2)=ln2-!>0,

所以必然存在與e(1,2),滿足/'(x0)=O,

且當(dāng)工€(0,%))時(shí)((x)<0,當(dāng)xe($,+<?)時(shí)/'(x)>0.

即/(X)在(0,玉>)上單調(diào)遞減，在(天,招>)上單調(diào)遞增，

當(dāng)x=x()時(shí)，f(x)取得最小值=+

由「(』)=0可得ln%=,，所以/a)=2—(xo+，.

玉>kxo)

當(dāng)天e(l,2)時(shí)，.^o+~e^2>'|j>所以(毛))<0.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.求最值時(shí)在極值點(diǎn)與

不能直接求出時(shí)，對(duì)極值點(diǎn)(最值點(diǎn))/進(jìn)行定性分析：確定其取值范圍，利用注意r(x°)=0得

出％滿足的性質(zhì)，代入/(%)化簡(jiǎn)表達(dá)式后再求解.

21.⑴e-丫+2道=0或&x+y-2行=0

⑵存在，4=4

【分析】（1）先求得橢圓M的方程，再以設(shè)而不求的方法即可求得直線/的方程;

（2）先以設(shè)而不求的方法得到%、%的解析式，再去計(jì)算小?%是否為定值即可解決.

（1）

橢圓的方程5+「=1（。＞〃＞0）,由題可得b=2；

由《=￡=苴，結(jié)合〃=從+‘2,得。=4,

a2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：^+―=1;

164

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，8=8,與題意不符，

故設(shè)直線/的方程為），=依+2石，代入橢圓方程產(chǎn)+4/=16

整理得（公+4k+47m—4=0,設(shè)C（Ay）,。（W,月），

-4&_-4

X|+%2=-F74,y々=口；

-'■\CD\=卜號(hào)==4，

解得z=±&.則直線/的方程為五x-y+26=o或岳+y-2山=（）.

（2）

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/與），軸重合，

由橢圓的對(duì)稱性可知直線AC與直線8。平行，不符合題意；

???由題意可設(shè)直線的方程：A沖+w（加^0,〃/0）代入橢圓方程,

得（l+4〃?2）y2+8〃”?），+4〃2_］6=0；設(shè)C（x，yJ,￡＞（%,,y2）,

-8/?77?4n2-16

?,?口+%=h/2，%?i2；

1+4m1+4m~

?■?沖「必=^-（%+%）①

2n

直線AC的方程為）”本（》+2）②

則直線BD的方程為y=f（x-2）③

X?一乙

由②③得3=、仇-2）=乂（叱+〃-2）=，盯%+M（〃-2）

傳x+2%&+2）%（物+〃+2）my\y2+y2（n+2）

（2-〃）［（〃+2）%+（2-