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2016年溫州大學623量子力學考研真題

2015年溫州大學623量子力學考研真題

2014年溫州大學623量子力學考研真題

2013年溫州大學623量子力學考研真題

2012年溫州大學620量子力學考研真題

2011年溫州大學619量子力學考研真題

2010年溫州大學619量子力學考研真題

2009年溫州大學619量子力學考研真題

2008年溫州大學618量子力學考研真題

2007年溫州大學量子力學考研真題

2016年溫州大學623量子力學考研真題

科目代碼及名稱：623量子力學

適用專業：理論物理凝聚態物理

（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）

一、簡答題(每題10分，共30分)

1．簡述波函數的統計解釋。

2．簡述量子力學中力學量和力學量算符的關系。

3．什么是全同粒子和全同性原理？

二、證明題(每題10分，共30分)

1．歸一化函數的推導：

設，證明歸一化函數。（

）

2．如果算符滿足關系式，求證

(1)；(2)。

3．若算符和具有共同的本征函數完全系，從和的本

征方程出發，證明和必對易，即。

三、計算題（15分）

求一維諧振子處在第一激發態時幾率最大的位

置。

四、計算題（15分）

建立算符的本征方程，并求出該算符的本征函數。

五、計算題（20分）

已知，當氫原子處在基態，求：

(1)r的平均值；

(2)勢能的平均值；

(3)動量的幾率分布函數。

六、計算題（20分）

已知一維無限深勢阱中粒子能量的本征值為，對應的本

征函數為（）。求能量表象中，一維無限深勢

阱的坐標的矩陣元和動量的矩陣元。

七、計算題（20分）

求的本征值和所屬的本征函數。

2015年溫州大學623量子力學考研真題

科目代碼及名稱：623量子力學

適用專業：理論物理、凝聚態物理

（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）

一、填空題(每題5分，共20分)

（1）如果某一粒子處于所描述的量子態，根據波函數的統計

解釋，的物理意義為。

（2）量子力學中表示力學量的算符都為_____________________算

符，其特點是本征值都為________________（選實數或復數）。

（3）不考慮自旋情況下描述氫原子的波函數為Ψnlm(r,θ,φ)，其中三

個量子數n,l,m的物理含義分別為：____________、_______________、

_______________。

（4）費米子所組成的全同粒子體系的波函數是

________________（選對稱或反對稱）的，同時對費米子還應滿足泡利

原理，其內容為______________________________。

二、簡答題(每題10分，共30分)

1．什么是微觀粒子的波粒二象性？如何理解波粒二象性（可舉例

說明）？

2．簡述態疊加原理。

3．請給出算符的本征值方程，并說明力學量用算符表示的含

義。

三、證明題（每題10分，共20分）

歸一化函數的推導：

，求歸一化波函數。

從動量和坐標的對易關系出發，證明：

四、計算題（本題20分）

有一個質量為m的粒子在一維無限深勢阱中運動，

基于薛定諤方程和邊界條件求粒子的能級和對應的波函數。

五、計算題（本題20分）

設t=0時刻，一微觀粒子的狀態為，

（1）將波函數用動量的本征態展開，分析粒子動量的可能值及其相

應的幾率；

（2）計算粒子動量的期望值和動能的期望值。

六、計算題（本題20分）

設已知在和的共同表象中，算符的矩陣為

，求它們的本征值和歸一化的本征函數，并求的對角化矩陣。

七、計算題（本題20分）

設體系的哈密頓量可寫為，其中為微擾，的本征

能量為，n=1,2,3,...?，F已知該體系未受微擾作用時只有兩個能

級：，在能量表象中微擾矩陣元為，；

a，b都是實數。寫出體系哈密頓量在能量表象中的矩陣表示，并用微

擾法求能量至二級修正值。

提示：若體系的能量是非簡并的，則基于定態非簡并微擾論，該定

態的能量精確到二級近似的表達式為

2014年溫州大學623量子力學考研真題

科目代碼及名稱：623量子力學

適用專業：理論物理、凝聚態物理

（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）

一、判斷正誤，并做簡要分析(每題5分，共25分)

(1)兩個不同的定態波函數疊加后還是定態波函數。

(2)一個力學量處在其本征態中時具有確定的值。

(3)線性諧振子和一維無限深勢阱的粒子能級分立，且能級間距都

相等。

(4)算符和可以有共同的本征函數，在某些狀態下可以同時確

定。

(5)兩個玻色子和費米子都可以分別處于同一個量子態。

二、填空題(每題5分，共25分)

(1)微觀粒子具有波粒二性，即微觀粒子既有粒子性又有波動，其

中粒子性是指微觀粒子具有等屬性，波動性是指粒子具有等屬

性。

(2)某一粒子處于所描述的量子態，根據波函數的統計解釋，

的物理意義為;的物理意義為.

(3)設一力學量算符滿足的本征方程為，、、

......為該算符的本征值。則粒子處于歸一化波函數

（c1和c3為常量）態時，測量該力學量，所得的

可能值有，相應的概率分別為。

(4)以力學量坐標和為例，它們滿足的對易關系為

____________，可知兩個力學量的測不準關系為__________________。

(5)設體系的自旋量子數為，則自旋角動量平方算符的本征

值為_________，自旋角動量z分量算符的本征值為

___________________（可能有多個）。

三、簡答題(每題10分，共20分)

1．簡述量子力學中的基本假設（至少3個）。

2．簡述厄米算符的定義及主要特點，并簡要說明力學量用算符表

示的含義。

四、證明題（每題10分，共20分）

（1）已知角動量分量算符，基于坐

標和動量算符的對易關系,證明。

（2）若算符具有共同的本征函數完全系，則必對易。

五、計算題（本題20分）

有一個質量為m的粒子處在一維無限深勢阱，

（1）基于薛定諤方程和邊界條件試求粒子的能級和波函數;

（2）粒子處于第一激發態n=2時，給出粒子的歸一化波函數和能

級，求坐標的平均值并分析粒子出現的最可幾位置。

六、計算題（本題20分）

一維諧振子的Hamilton算符為，本征方程可表示為

引入無量綱算符，

。

計算（提示）

將用表示，并計算；

由本征方程，計算在能量表象中

算符的矩陣元。

七、計算題（本題20分）

設體系的哈密頓量可寫為，其中為微擾，的本征能

量為，n=1，2，3，…。若體系的能量是非簡并的，則基于定態非簡

并微擾論，該定態的能量精確到二級近似的表達式為

現已知該體系未受微擾作用時只有兩個能級：，在能量表

象中用矩陣表示為，用微擾

法求能量至二級修正值并與嚴格解（把H矩陣對角化）比較。

2013年溫州大學623量子力學考研真題

科目代碼及名稱：623量子力學

適用專業：理論物理凝聚態物理

（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）

1．判斷下列說法正誤（每小題5分，共25分）：

（1）如均為厄密算符，則也是厄密算符。

（2）海森伯的不確定關系表明，不管將來的測量技術如何改進，

同時測準一個微觀粒子的坐標和動量是不可能的。

（3）不同定態的線性疊加還是定態。

（4）所謂全同粒子就是指該系統的粒子的所有性質都相同。

（5）中心力場中單粒子系統，不考慮自旋自由度，我們可選該系

統的力學量完全集為。

2．若函數滿足，則稱為算符的本征函數，為相應

的本征值。下列函數哪些是算符的本征函數，其本征值是什么？

（每小題5分，共25分）

①，②，③，④，⑤

3．一個質量為的粒子處于的無限深勢阱中，體系的能量

本征態為，相應的能量本征值為,為正整數。

若體系在時的歸一化波函數為

求：（1）將波函數寫為能量本征態的疊加的形式；（2）

時，體系處于能量本征態

的概率分別是多少；（3）時，體系的平均能

量；（4）時，粒子處于內的概率是多少；（5）體系在后來

某一時刻的波函數。（共35分）

4．指數算符函數的泰勒展開式可表示為：，為任

意復數。若算符滿足條件，請證明：，其中為

實常數。（正弦函數以及余弦函數的級數展開分別為：

）。（共25分）

5．請證明：與三個泡利矩陣都對易的2×2矩陣只

能是常數矩陣（即：矩陣元相等的對角矩陣）。其中三個泡利矩陣分別

為,，。（共20分）

6．按照定態非簡并微擾論：體系的哈密頓量可寫為，其

中為微擾，的本征能量為。設的某一定態能量

是非簡并的，則該定態的能量精確到二級近似的表達

式為?，F已知某一量子體系的

哈密頓量在表象中的矩陣表示為

其中為實數，且小得多，試寫出

以及的矩陣表達式，并用微擾論分別求定態能量至二級近

似。（共20分）

2012年溫州大學620量子力學考研真題

科目代碼及名稱:620量子力學

適用專業：理論物理、凝聚態物理

（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）

一、填空題（每題10分，共60分）：

1．等現象揭露了光的波粒二象性。(10分)

2．量子力學中用描寫微觀體系的狀態。(10分)

3．設是體系可能的狀態，那么，這些態的線性迭加

也是體系的一個可能狀態。(10分)

4．波函數應滿足三個基本條件：、、。(10分)

5．量子力學中的力學量用表示，這些算符的組成完全系。

(10分)

6．如果一個力學量在經典力學中有對應的量，則表示這個力學量

的算符由經典表示式中將三維空間的動量用算符代換得出。(10分)

二、計算或證明題：

1．(20分)已知在坐標表象中，坐標算符，動量算符，

請利用算符對任意波函數作用來證明對易關系：。

2．(25分)在薛定諤方程中，若不含時

間，則方程的特解可以寫為，請推導以及遵從

的方程，解出的表達式并用以寫出的表達式。

3．(25分)考慮在一維空間中運動的質量為的微觀粒子，它的勢能

為

請求出粒子能量的表達式。

4．(20分)已知請證明：

2011年溫州大學619量子力學考研真題

科目代碼及名稱：619量子力學A

適用專業：理論物理凝聚態物理

（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）

1．（20分）簡述題：

（1）簡述波函數的統計解釋；

（2）簡述量子態疊加原理。

2．（30分）一維無限深勢阱

中運動的粒子的能量本征函數為，相

應的能量本征值為。若粒子初始狀態的波函數為

，求：（1）歸一化常數A；（2）粒子能量的可能取值；（3）粒

子能量的平均值。

3.（30分）已知角動量算符關系式，以及角動量各

分量間

的對易關系，其中Levi-Civita符號

在下標為時等于1，即，當任何兩個相鄰下標交換位

置時

改變正負號，例如：，有兩個下標相同時為0，

例如：。請證明：。

4.（30分）一維線性諧振子的哈密頓算符可表示為

其本征方程為其中產生

算符與消滅算符滿足以下關系式：

且與坐標算符及動量算符之間滿足如下關系：

。

能量本征態之間滿足正交歸一性關系。

請計算以下算符矩陣元：

5．（20分）若函數存在任意階導數，則相應的算符函數可有

以下泰勒

展開式：

其中上標表示階導數。已知，

。請證明：

6．（20分）角動量z分量算符為，求的本征態和本

征值

（提示：體系的狀態在繞z軸旋轉后保持不變）。

2010年溫州大學619量子力學考研真題

2009年溫州大學619量子力學考研真題

科目代碼及名稱：619量子力學

適用專業：凝聚態物理，理論物理

（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）

一、（共七道題,第1題30分，其余6題，每題20分，共150分）

1、（30分）問答題：

（1）寫出微觀粒子波粒二象性的德布羅意關系式；(5分)

（2）寫出能量與時間的測不準關系表達式，由此說明為什么存在光

譜的自然寬度。（10分）

（3）什么叫一維方勢阱的共振透射,發生共振透射的條件是什么？

（10分）

（4）全同粒子體系波函數有什么特點？（5分）

2、(20分)對一維線性諧振子，求其x,x2的平均值。

(已知：)

3、(20分)求出如下對易關系：

。

4、(20分)在t=0時，自由粒子狀態為，求:

(1)t>0時的波函數；

(2)t>0時的自由粒子的動量可能值、相應幾率與動能平均值。

5．（20分）設氫原子的狀態是,試求：

（1）歸一化系數C；

（2）能量E、軌道角動量LZ分量、電子自旋SZ分量的平均值；

（3）電子自旋Sx分量的可能值與相應幾率。

（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）

6、（20分）一維無限深勢阱（）中的粒子受到微擾

的作用，λ是一小常量，求基態能量的一級修正。

（已知公式：）

7、（20分）在自旋態下，求和。

2008年溫州大學618量子力學考研真題

科目代碼及名稱:618，量子力學

適用專業：凝聚態物理，理論物理

（請考生在答題紙上答題，在此試題紙上答題無效）

1、已知、是厄米算符，設，。（30分）

（1）求證：a),b)是厄米算符；

（2）若[，]=，求：

（3）求證厄米算符在某一表象的矩陣是厄米矩陣。

(4)

2、設質量為m的粒子處在半壁無限高勢壘（25分）

中運動，考慮求粒子能量所滿足關系式。

3、設質量為m粒子在一維勢場中運動，其哈密頓算符為：

。（20分）

求證：(1)，(2)

4、（1）（20分）a)、；

b)、用測不準關系估計一維諧振子基態能量。

，

（2）（5分）在坐標表象里，處于勢場為的粒子的能量本征方

程為:

。試寫出在動量表象中的相應能量本征方程。

5．一粒子的哈密頓算符，在Q表象中的矩陣分別為：（25分）

，其中E0為正實數，，

為微擾。

忽略微擾，求出的本征值與本征函數。

考慮微擾，求出基態的二級近似能量與一級近似波函數。

6、設有兩個全同粒子，自旋都為1/2，處在一維諧振子勢阱：

中，（1）忽略二粒子間相互作用，求體系基態與第一激

發態的能量和對應的符合全同原理的波函數（要考慮自旋部分）以及它

的簡并度。（2）若兩個全