九年級數學（上冊）考點解析

第一章：證明（二）

§1.2直角三角形

一、考點解析

1、勾股定理及逆定理的應用；

2、互逆命題和互逆定理，能寫出?個命題的逆命題;

3、直角三角形全等的判定定理；

4、理解并掌握判定直角三角形全等的各種方法.

二、典型例題解析

例1、以下不能構成直角三角形三邊長的數組是（）.

A、V3,V4,V5B、03,0.4,0.5C、-,1,-D、7,25,24

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斛：本題利用勾股定理的咬定理直接驗證即可.瞼證的步驟：弟一步，找出數組中的鍛

大教；第二步，驗證最大數的平方是否等于另兩個數的平方和.經驗證，不難發現答

案應該為A.

例2、如圖1,已知CD是RtAABC斜邊AB的高,

若AC=3,BC=4,求CD的長.

努：?..△ABC是直南三角形，JLZACB=9O°,

AC=3,BC=4,

由勾股定理得：AB=>JAC2+BC2=13'+4?=5,

-.■S=-ACBC=-ABCD,

AA8BCC22

,,CD=^￡=12

AB5

例3、如圖2,已知在aABC中，ZA=90°,AB=AC,

D為BC邊中點，E、F分別在AB、AC±,且DELDF,求證：AE+AF是一個定值.

證明：4.#AD,

???AB=AC,D為BC中點，.'.AD1BC,

???ZBAC=90°,AB=AC,，NB=NC=45°,

.-.ZBAD=45°,ZCAD=45°,.-.AD=BD=CD,

?."EDF=90°,/.ZEDA+ZADF=90°,

又由AD_LBC得NBDE+/ADE=90°,/.ZBDE=ZADF,

在ABDE和AADF中，ZB=ZDAF,BD=AD,ZBDE=ZADF,ABDE^AADF,

；.BE=AF,.,.AE+AF=AE+BE=AB(定值).

思考：四邊形AEDF的面積是否也是定值呢？為什么？

解：由上面的證明可以再到△BDE"Z\ADF,即S.DE=1'?AEDF=+^AADF

1c

=^MDE+S.DE=&ABD=]&ABC(定值).

例4、如圖4,在aABC中，NACB=90°,AC=BC,//

M是AB上一點，求證：AM2+BM2^2CM2.//

證明：過(：作CD1AB于點D,"MD圖4B

???/ACB=90°,AC=BC,CD1AB,/A=/B=45°,ZACD=ZBCD=45°,

ZA=/_ACD,ZB=ZBCD,AD=BD,BD=CD,即AD=BD=CD,

VCDIAB,DM1+CD-^CM-,

；.AM2+BM2=(AD-DM)2+(BD+DM)2=2(DM2+CD2)=2CM2.

例5、如圖5,已知點E在正方形ABCD的邊AB上,

BF平分NABC的外角NCBG,若AE=BE,DE±FE,

求證：DE=FE.

證明：取AD的中點H,連接EH,

,.1四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD,ZA=ZABC=90°,

??,H是AD中點，E是AB中點，，AH=DH=AE=BE,

.-.ZAHE=ZAEH=45°,.-.ZDHE=135°,

??,BF平分NCBG,/.ZEBF=ZABC+ZCBG=900+45°=135°=ZDHE,

?.?DEIEF,/.ZDEF=900,即/AED+/BEF=900,

而NAED+NADE=900,/.ZHDE=ZBEF,

在ADHE和AEBF中，ZDHE=ZEBF,DH=EB,/HDE=/BEF,

.-.△DHE^AEBF,.-.DE=FE.

i我測評試題

一、選擇題

1、具備下列條件的兩個三角形可以判定它們全等的是（）.

A、一邊和這邊上的高對應相等

B、兩邊和第三邊上的中線對應相等

C、兩邊和其中一邊的對角對應相等

D、直角三角形的斜邊相等

2、在AABC中，NA,NB,NC的對邊分別是a,b,c,若NA：ZB：ZC=1：2：3,

則a:。：c=（）.

A、1:2:3B、1:2:百C、1:6:2D、1:a:0

3、若直角三角形的三邊長恰好是三個連續的整數，則它的面積為（）.

A、6B、8C、12D、24c

4、如圖6,已知在aABC中，NACB=90°,AC=BC,D是/

BC邊的中點，如果AD=5,那么aABC的面積為（）.

A、5B、10C、275D、4有人圖6B

5、已知a,b,c為aABC三邊長，且滿足6,2一/，2=。4一。4,則這個三角形為（）.

A、等腰三角形B、直角三角形

C、等腰直角三角形D、等腰三角形或直角三角形

二、填空題

6、若直角三角形兩條邊的長分別為5和12,則第三邊的長為（）.

7、請你寫出命題“面積相等的兩個三角形全等”的逆命題（

）,它是一個（）命題（填“真”或“假”）.

8、觀察一組式子：32+42=52,52+122=132,72+242=252,92+402=412,…，

請你猜想一下，第8個式子是（).

9、如圖7,在4ABC中，NABC=60°,ABA

=10,AC=14,那么邊BC的長度為（）.

10、在等腰三角形中，一腰上的高是3cm,

這條高與底邊的夾角為30。，則這個三角形,

圖7G

的面積為（）.

三、解答題

11、如圖8,已知aABC、Z\CDE都是等腰三角形，且點C在AD上，AE的延長線與BD

交于點F,請你在圖中找出一對全等三角形，并證明它彳,］全等.

A'A圖9-2

圖8

12、已知在aABC中，AC=BC,ZACB=90°,直線m過點C,過點A、B作直線m的垂

線，垂足分別為E、F,

(1)如圖9-1,當直線m與底邊AB不相交時，求證：EF=AE+BF；

(2)如圖9-2,將直線m繞點C旋轉，使直線m與底邊AB相交于點D,當AD>BD時,

線段AE、BF、EF之間有怎樣的數量關系？為什么？

參考答案：

一、選擇題

答案：1、B2、C3、A4、B5、D

提示：1、由于選項A、C、D都不對，故選擇B.事實上，選項B的問題也就是：如

圖10,已知在aABC和aA'B'C中，點D、D'分別是邊BC和B'C'中點，且AB

=A'B',AC=A'C,AD=A'D’,求證：△ABC四B'Cz.

AA'

B///\//\

DCB'D*C*

圖10

??

EE'

證明思路為：延長AD到點E,使得DE=AD,則可以證明△ACD^^EBD,從而BE=AC,

同理可證得B'E'=A'C,再證AABE四4A'B'E',ZBAE=ZB/A'E',ZE

=NE',所以NBAC=NB'A'C,于是可得aABC四4A'B'Cz.

2、由NA：ZB：ZC=1：2：3,及NA+/B+NC=180°可得，ZA=30°,

ZB=60°,NC=90°,因此應選擇C.

3、設三邊長分別為x,x+1,x+2,由題意得尤2+(%+ip=(x+,解得x=3,

即三邊長分別為3、4、5,其面積為！x3x4=6.

2

4、由題意可知AC=BC=2CD,且在RtAACD中，由勾股定理可以求得CD=亞,

從而AC=BC=275,因此4ABC的面積為！x2石x26=10.

2

5、由a2c2-b2c2=</-￡/*變形得（。+匕）（a-》）（q2+〃一。2）=0.所以a=b或

a2+b2=c2,即該三角形是等腰三角形或直角三角形，應選擇D.

二、填空題

答案：6、13或7、逆命題為：如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形

的面積相等.這是一個真命題.8、172+1442=14529、1610、3百

提示：6、分兩種情況討論：（1）當12是斜邊時，另一條直角邊長為"W；（2）

當12不是斜邊時，斜邊長為13.

8、172+1442=1452.觀察規律時，先觀察每一個等式的第一項，由此確定

第8個等式的第一個數應為17,再觀察每一個等式的后兩項，它們總是連續的整數，

從而可以計算得出第8個等式的后兩項.

9、過A點作ADLBC于點D,則在4ABD中，ZB=60°,.,.ZBAD=30°,A

BD=5,AD=5/，在RtaACD中，由勾股定理得CD=U,，BC=5+11=