第=page2121頁，共=sectionpages2323頁2023新高考名師三模模擬卷（3）一、單選題1.已知集合，，則A. B. C. D.【答案】B

【解析】本題考查并集運算，一元二次不等式的求解，屬于基礎題.解：由題意可得，，則2.若，其中i為虛數單位，則復數z在復平面內對應的點位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A

【解析】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．

利用復數代數形式的乘除運算化簡復數z，由復數的幾何意義即可得出所在象限．解：因為，所以在第一象限.3.已知向量，滿足，，，則向量與所成的夾角為(

)A. B. C. D.【答案】B

【解析】本題考查向量的數量積，向量的夾角，屬于基礎題.

設的夾角為，由已知結合向量的數量積公式可得

，解得，即可得解.解：，，且，

設的夾角為，，

則，

即，

即，解得，

，則向量與的夾角為

故選4.已知等比數列的前n項和為，若，，則(

)A.3 B.6 C.12 D.14【答案】A

【解析】本題考查等比數列中基本量的計算，屬于中檔題.

由等比數列的通項公式與求和公式求得首項與公比q，即可得到答案.解：設等比數列的公比為q，，若，則，與題意矛盾，所以，由解得所以

故選5.已知雙曲線的左焦點為F，直線l過原點O且與雙曲線C交于P，Q兩點，若直線l與直線相互垂直，且，則雙曲線C的離心率為(

)A. B. C. D.【答案】C

【解析】本題考查求雙曲線的離心率、兩條直線垂直的應用、雙曲線的定義，屬于中檔題.

求出直線l的斜率k，記雙曲線C的右焦點為，P為第二象限上的點，連接PF，，QF，，判斷出四邊形為矩形，利用，即可求出結果.解：依題意，直線l的斜率，

記雙曲線C的右焦點為，P為第二象限上的點，

連接PF，，QF，，

根據雙曲線的和直線l的對稱性知，四邊形為平行四邊形，

因為，

故四邊形為矩形，

而，

故，，

則

故選6.已知事件A，B，C的概率均不為0，則的充要條件是(

)A. B.

C. D.【答案】C

【解析】本題考查充要條件的判斷，隨機事件的概率，屬于基礎題.

由成立的條件判斷A；由判斷B，由判斷C；由條件判斷D；解：對于A，只要A，B是互斥事件等式就成立，

不是的充要條件，故A錯誤；

對于B，由，

，

若\(P(A\cupC)=P(B\cupC)\)，得\(P(A)-P(A?C)=P(B)-P(B?C)\)，\(?P(A)=P(B)\)，故B錯誤；

對于C，由，得，，

，故必要性成立；

當，

由，

則，又，

則，故充分性成立，故C正確；

對于D，當A與C，B與C不相互獨立時，不是的充要條件，故D錯誤.

故選7.蹴鞠，又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球年5月20日，蹴鞠已作為非物質文化遺產經國務院批準列入第一批國家非物質文化遺產名錄打印屬于快速成形技術的一種，它是一種以數字模型文件為基礎，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構造物體的技術即“積層造型法”過去常在模具制造、工業設計等領域被用于制造模型，現正用于一些產品的直接制造，特別是一些高價值應用比如髖關節、牙齒或一些飛機零部件等已知某鞠的表面上有四個點A、B、C、D，滿足任意兩點間的直線距離為，現在利用打印技術制作模型，該模型是由鞠的內部挖去由ABCD組成的幾何體后剩余的部分，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量約為參考數據：取，，，精確到(

)A. B. C. D.【答案】C

【解析】本題考查正四面體的外接球問題.

解題時先計算出ABCD外接球的半徑以及體積，然后減去正四面體的體積，即可得到模型的體積，乘以密度可得質量.解：由已知條件可知正四面體棱長為，

其底面外接圓半徑，高為，

設其外接球半徑為R，則有，

所以正四面體體積，

其外接球體積，

所以制作的模型體積為

，

所以模型質量，

故選

8.已知函數，若對任意正數，，都有恒成立，則實數a的取值范圍(

)A. B. C. D.【答案】C

【解析】本題考查利用導數研究函數的單調性，恒成立問題，屬于中檔偏難題.解題的關鍵是將已知條件轉化為函數的單調性，即，然后構造來進行求解.解：不妨令，則，

即在單調遞增即可，

，

則恒成立，，則，

又，

二、多選題9.最近幾個月，新冠肺炎疫情又出現反復，各學校均加強了疫情防控要求，學生在進校時必須走測溫通道，每天早中晚都要進行體溫檢測并將結果上報主管部門．某班級體溫檢測員對一周內甲、乙兩名同學的體溫進行了統計，其結果如圖所示，則下列結論中正確的是(

)A.甲同學體溫的極差為

B.甲同學體溫的第75百分位數為

C.乙同學體溫的眾數、中位數、平均數相等

D.乙同學的體溫比甲同學的體溫穩定【答案】ACD

【解析】本題考查折線圖以及極差、眾數、中位數、平均數，百分位數，屬于較易題.

根據折線圖的數據由極差、眾數、中位數、平均數、百分位數的定義，逐項判斷即可得到答案.解：對于A，甲同學體溫的極差為，故A正確;

對于B，甲同學的體溫從低到高依次為，，，，，，，

因，則甲同學體溫的第75百分位數為，B不正確.

對于C，乙同學的體溫從低到高依次為，，，，，，，

故眾數為，中位數為，平均數，故C正確;

對于D，從折線圖上可以看出，乙同學的體溫波動較甲同學的小，極差為，也比甲同學的小，因此乙同學的體溫比甲同學的體溫穩定，故D正確;

故選10.設單位圓O與x軸的左、右交點分別為A、B，直線其中分別與直線、交于C、D兩點，則(

)A.時，l的傾斜角為

B.，點A、B到l的距離之和為定值

C.，使l與圓O無公共點

D.，恒有【答案】BD

【解析】本題考查了直線與圓的位置關系，考查了同角三角函數的基本關系，向量的數量積運算，點到直線的距離，屬于中檔題.

代入求出直線l的斜率可判斷A；根據點到直線的距離等于半徑可判斷C；根據梯形中位線定理可判斷B；求出C，D的點坐標，根據平面向量的坐標運算可判斷解：當時，，

故直線l的方程為，即，

故直線l的斜率為，易得直線l的傾斜角為，故A錯誤；

到直線l的距離為，

所以直線l與圓O恒相切，故C錯誤；

如圖，過A作，垂足為E，作，垂足為F，直線l與圓O相切于點Q，

因為O為AB的中點，所以OQ為梯形ABFE的中位線，

所以，故B正確；

在中，令，可得令，可得，

所以，

所以，

所以，恒有，故D正確.

故選

11.已知是定義在的可導函數，且對于任意的x都有，若，給出下列不等式一定成立的是(

)A. B.

C. D.【答案】AC

【解析】本題考查利用導數研究函數單調性，屬中檔題.

根據已知可得進而可得為單調遞增函數.進而判斷AB；利用化簡進而判斷CD，屬于中檔題.解：因為，所以

因為x為正，所以，函數為單調遞增函數.

且，

所以，故A正確，B錯誤；

又因為，

所以

則，故C正確，D不正確;

故選：12.如圖，在正方體中，點M是棱上的動點不含端點，則(

)

A.過點M有且僅有一條直線與AB，都垂直

B.有且僅有一個點M到AB，的距離相等

C.過點M有且僅有一條直線與，都相交

D.有且僅有一個點M滿足平面平面【答案】ABC

【解析】本題考查了空間中直線、平面的位置關系，空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題.

根據題目畫出圖形，結合異面直線和空間中直線與直線的位置關系的相關知識進行判斷ABC；以D為原點，DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，設正方體邊長為1，利用向量法判斷即可.解：對于A選項，在正方體中，，

所以過M作AB，的垂線相當于過M作底面ABCD的垂線，

又過M點有且僅有這一條直線垂直于底面ABCD，故A正確；

對于B選項，在正方體中，

所以平面平面，

因為平面，平面，

所以，，

要使點M到AB，的距離相等，則需，

所以點M為的中點，有且僅有一個點M到AB，的距離相等，故B正確；

對于C選項，如圖所示，連接與相交于點O，連接和BD，

因為，在平面上，所以平面，

由于點M在上，MO的延長線與相交，O又在上，

所以過點M有且僅有一條直線與，都相交，故C正確；

對于D選項，平面平面，

以D為原點，DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系如圖，

設正方體邊長為1，

設，，

則，，，，，

設平面的法向量為，

，，

則，即，取，得，，

所以平面的法向量為，

設平面的法向量為，

，，

則，即

，令，得，，

所以平面的法向量為

要使平面平面，則，

則，

所以不存在點M使得平面平面，故D錯誤.

故選三、填空題13.已知展開式中第5項和第6項的二項式系數最大，則其展開式中常數項是___;【答案】

【解析】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，二項式系數的性質，屬于基礎題．

由二項式系數的性質求得，在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于0，求出r的值，即可求得常數項．

解：展開式中第5項和第6項的二項式系數最大，

，

展開式的通項公式為

令，求得，則展開式中的常數項是，

故答案為：14.已知為R上的奇函數，且，當時，，則__________.【答案】

【解析】本題考查利用函數的奇偶性求函數值，屬于基礎題.

由，求得m，再由，結合奇偶性即可求解.解：由題意，函數為R上的奇函數，且當時，，

所以，即當時，，

又，所以，即，

所以

故答案為15.已知拋物線的焦點和橢圓的右焦點重合，直線過拋物線的焦點F與拋物線交于P、Q兩點和橢圓交于A、B兩點，M為拋物線準線上一動點，滿足，，當面積最大時，直線AB的方程為__________.【答案】

【解析】本題考查橢圓與拋物線的幾何性質、三角形面積公式、基本不等式的應用，屬于中檔題.

由橢圓定義和基本不等式得到，當且僅當時三角形面積最大，即可求傾斜角，得到直線方程.解：由橢圓，可知，，，

，，

，，

，

當且僅當時，等號成立，

P點到準線距離為4，則P點橫坐標x滿足，

故，P點在拋物線上，所以P點坐標為或，

直線AB過P，F，故AB斜率為，

所以直線方程

故答案為

16.已知函數，下列說法正確的是__________.①函數的最小正周期為；②若函數是偶函數，則；③函數的一個零點為；④若，，則【答案】②④

【解析】本題考查了函數的圖象與性質和三角恒等變換，是中檔題.

先利用三角恒等變換得，再由三角函數性質逐一判定即可.解：

，

函數的最小正周期為，故①錯誤；

由為偶函數，得，

得，所以，故②正確；

，故③錯誤；

易知的最大值為，最小值為，所以若，，當為相鄰的最值時，為半個最小正周期，則，故④正確.

故答案為：②④

四、解答題17.本小題分佛山新城文化中心是佛山地標性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單的方塊體作為核心要素，與佛山世紀蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應.坊塔是文化中心的標志性建筑、造型獨特、類似一個個方體錯位堆疊，總高度米.坊塔塔樓由底部4個高度相同的方體組成塔基，支托上部5個方體，交錯疊合成一個外形時尚的塔身結構.底部4個方體高度均為米，中間第5個方體也為米高，再往上2個方體均為24米高，最上面的兩個方體均為米高.請根據坊塔方體的高度數據，結合所學數列知識，寫出一個等差數列的通項公式，該數列以為首項，并使得24和也是該數列的項;佛山世紀蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據你得到的等差數列，連續取用該數列前項的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為米的情況下，采用新的堆疊規則，自下而上依次為、、、、表示高度為的方體連續堆疊層的總高度，請問新堆疊坊塔的高度是否超過310米?并說明理由.【答案】解：由，，，

確定公差的等差數列符合要求，且，

所以，

故等差數列的通項公式為；

以為例，

，，，，

，

則新堆疊坊塔的高度超過310米.

18.本小題分中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，且

求角A的大小;

若的面積為，邊a是b，c的等差中項，求的周長【答案】解：，，，

，，，，，或因為的面積為，所以，由邊a是b，c的等差中項，得，且A不是最大的角，，，，，，，所以的周長為

19.本小題分

如圖，和都是邊長為2的等邊三角形，平面平面BCD，平面證明：平面若點E到平面ABC的距離為，求平面ECD與平面BCD夾角的正切值.【答案】解：取CD的中點O，連接AO，BO，

因為是等邊三角形，所以，

因為平面平面BCD，平面平面，平面ACD，

所以平面BCD，

因為平面BCD，所以，

又平面ACD，平面ACD，

所以平面ACD；

因為O是CD中點，是等邊三角形，

所以，

由知平面BCD，而BO，平面BCD，故，，

則以點O為原點，OD，OB，OA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，

設，

則，，，，，

，，，

設平面ABC的法向量為，

則，得，

取，得，，則，

則E到平面ABC的距離為，，解得，

則，

，，

設平面ECD的法向量為，

則，得，

取，得，，則，

易得平面BCD的法向量為，

則，，

所以平面ECD與平面BCD夾角的余弦值為，

則正切值為，

故平面ECD與平面BCD夾角的正切值為

20.本小題分

某品牌汽車廠今年計劃生產10萬輛轎車，生產每輛轎車都需要安裝一個配件M，其中由本廠自主生產的配件M可以滿足的生產需要，其余的要向甲、乙兩個配件廠家訂購．已知本廠生產配件M的成本為500元/件，從甲、乙兩廠訂購配件M的成本分別為600元/件和800元/件，該汽車廠計劃將每輛轎車使用配件M的平均成本控制為640元/件．

分別求該汽車廠需要從甲廠和乙廠訂購配件M的數量；

已知甲廠、乙廠和本廠自主生產的配件M的次品率分別為，和，求該廠生產的一輛轎車使用的配件M是次品的概率；

現有一輛轎車由于使用了次品配件M出現了質量問題，需要返廠維修，維修費用為14000元，若維修費用由甲廠、乙廠和本廠按照次品配件M來自各廠的概率的比例分擔，則它們各自應該承擔的維修費用分別為多少？【答案】解：設使用甲廠生產的配件M的比例為a，則使用乙廠生產的配件M的比例為，

由已知可得，解得

所以需要從甲廠訂購配件M的數量為萬個；

從乙廠訂購配件M的數量為萬個．

由知甲廠、乙廠和本廠自主生產的配件M的比例分別為，，，

所以該汽車廠使用的配件M的次品率的估計值為，

所以該廠生產的一輛轎車使用的配件M是次品的概率為

設“該轎車使用了次品配件M”，“配件M來自甲廠”，

“配件M來自乙廠”，“配件M來自本廠”．

由可知

該次品配件M來自甲廠的概率為：，

該次品配件M來自乙廠的概率為：，

該次品配件M來自本廠的概率為：，

所以甲廠應承擔的費用為元，乙廠應承擔的費用為元，

本廠應承擔的費用為元．

21.本小題分

在平面直角坐標系xOy中，已知點，，