絕密★啟用前

2021屆山西省高三二模數學(文)試題

注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2、請將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.已知集合A={1,2,3,4},6={xeZ|g<2*<4),貝!J(gA)IB=()

A.{1,2,3,4}B.{0,1}C.{1}D.{()}

答案：D

根據集合的補集、交集運算求解即可.

解：?.?A={1,2,3,4},B={XWZ6<2，<4]={0,1},

.-.(QA)I3={()},

故選：D

2.已知復數z滿足力=2+5/缶&為虛數單位)，I為復數z的共匏復數，則zS=

()

A.72B.V6C.2D.6

答案：D

先由zi=2+J于求出復數z,從而可求出I，進而可求出zS的值

解：解：由zi=2+J5i，得力2=2i+J5/，一z=_a+2i，則z=J5—2i，

所以z=V2+23

所以z二=(夜一2/)(V2+2i)=(夜『一(2i『=6,

故選：D

3.已知P：ae(l,3),q：/(x)=log“x在(0,+。)單調遞增，則P是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：A

根據對數函數的單調性與a的關系，充分必要條件的概念分析可得答案.

解：當ae（l,3）時，y=loga%遞增，

當/（x）=log“x遞增時，a>l,推不出a€（1,3）

所以P是4的充分不必要條件.

故選：A

4.設一組樣本數據%，%的方差為100,則數據O.U,,O.lx2,O.lx”的

方差為（）

A.0.1B.1C.10D.100

答案：B

利用方差公式直接求解即可

解：解：設數據須，々,…，X,的平均數為最，則由題意得

一[（西-x）~+（工2—x）-+…+（X”-%）~]=100,

n

數據0.1%,0.1x2,的平均數為0,丘，

所以數據0.1%,SI%，…，的方差為

-

—[（0.1%]—0.lx）+（0.1%2—0.lx）?+…+（0.lxn—0.lx）?]

n

i___

=0.1-X—[（X|—x）2+（々—X）~+…+—X）"]

n

=0.12X100=B

故選：B

222

5.若橢圓工+二=1與雙曲線上—f=i有相同的焦點，則實數加的值為（）

9m2

A.3B.6C.12D.15

答案：C

寫出雙曲線的焦點，根據焦點相同建立方程求解.

2

解：因為雙曲線2--f=1的焦點為尸（o,±JJ）,

2

所以m一9=（士JJ）2=3,

解得加=12?

故選：C

4

6.已知叫產，b=log034,c=0.3.則叫b,c三者之間的關系為（）

A.h<a<cB.b<c<a

C.c<a<bD.c<b<a

答案：B

根據指數函數的單調性，對數函數的單調性與0,1比較即可求解.

4

解：?.?a=403>4°=l,b=log034<log()31=0,0<c=0.3<0.30=1,

:.b<c<a

故選：B

7.平行四邊形ABC。中，E為邊上的中點，連接BE交AC于點G,若

AG^AAB+/JAD,則％+〃=()

521

A.1B.-C.D.-

633

答案：C

1

根據平行線性質及平行四邊形法則知AG=-AC=-(AB+AD),從而求得

33

A=//=-

3

A(ZAp1

解：在平行四邊形A5c。中，由題知一=——=-

GCBC2

—1T1T-

則AG=—AC=-(AB+AD),

33

12

則％=A+.

故選：C.

8.如圖所示，在三棱錐ABC中,■R4_LBC且E4=3C=1,PB=AC=立，

PC=N，則下列命題不正確的是()

P

A.平面P4B_L平面PBCB.平面平面ABC

C.平面平面PBCD.平面PAC，平面ABC

答案：C

根據條件推出線面垂直，再根據面面垂直的判定定理判斷ABD,利用反證法證明判斷C.

解：???P4=3C=1,PB=AC=6,PC=6

???在APBC中，PB-+BC2=12+(V2)2=(石)2=PC2,

:.BCLPB，

又叫_LBC且24np3=P,

：.BC上平面PAB,

又BCu平面ABC,BCu平面PBC

:?平面A4B_L平面P8C,平面Q4B_L平面ABC,

故AB正確；

???在△尸AC中，PA2+AC2=12+(V2)2=(石門=PC2,

.-.PA1AC，

-.■PA±BC,BCHAC=C,

.?.P4JL平面ABC,

又???P4u平面PAC,

：.平面平面4BC,故D正確；

對于C選項，若假設平面B4C_L平面PBC,則過A作AM，PC于Af,如圖

由平面PAC。平面P6C=PC,

AM_L平面,可得4WJLBC,又PAJ_3C,PA^AM^M,

平面PAC，

BCLAC,

這與AA3c中BC_LAB矛盾，故假設不正確，故C選項錯誤.

故選:C

點評：關鍵點點睛：先利用勾股定理證明線線垂直，再得線面垂直，最后推出面面垂直

是關鍵，要證明平面不垂直時，可考慮反證法.

9.三國時期，吳國數學家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理（西方稱之為“畢達

哥拉斯定理”).如圖，四個完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個大正方

形，角夕為直角三角形中的一個銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積S1與大正方

3%)

形面積s2之比為1:25,則COSa+)

A夜nV27727V2

A.B.----rC.----nD.-----

10101010

答案：D

如圖。由題意得。E=OCcosa=EC—E"=OCsina-；Z)C,從而可得

124

sina-cos2=—，給等式兩邊平方化簡后得2sinocosa=一,從而可求出

525

.7

sina4-cosa=—,而

5

(37、3乃..3萬夜.eH-ra■后代4

cos[c+I=coscircos---sinasin-=———(sina+cosa),進而可求得答案

解：由題意得。C=5石H,因為CE=OCsina,

DE-DCcosa=EC-EH=DCsina--DC,

5

所以$指儀一^：05。=’,貝ij1-2sinacosa=',

525

24

所以2sinacosa=一,

25

249

所以(sina+cosc)-=l+2sin^zcosof=—,

717

因為aw(0,—),所以sina+cosa=一,

所以cosja+紅]=cosacos至-sinasin包

V4J44

一冬sina+cosa)

7772

X—=-------------

故選：D

10.將函數y=sin的圖象沿x軸向右平移。3>o）個單位長度得到

y=cos2x的圖象，則9的值可能為（）

1\7T5"5乃1\71

A.----B.—C.—D.----

121266

答案：A

將函數y=sin12x+qj的圖象右移（p（（p>6個單位得到函數

y=sin2%+1（-20）,由sin2x+]-2夕）=cos2x=sin可得

71

（P=-k7T--,進而可得結果.

解：將函數y=sin（2x+（）的圖象右移（p｛（p>0）個單位得到函數

y=sin2（x-0）+?=sin2x+?-2。），

所以sin2x+?-2e）]=cos2x=sin2x+]）,因此（一2e=2Z萬+],

TT1\TT

解得Q=—女萬——，aeZ）.令左=—1可得夕=——.

1212

故選：A.

已知產為雙曲線：。>）的右焦點，以點尸為圓心，為半

11.c7一瓦=1（0/>01

徑的圓與雙曲線的漸近線相切于點尸q—/,則雙曲線C的離心率為()

I5,

A.-B.立C.2D.3

22

答案：B

根據直角△OPR的面積，建立方程，求解即可得出雙曲線離心率.

解：設P竿J在雙曲線與一，=1(。>0/>0)的漸近線y=，x上，

則”匕述=幽，

a55。

斤為右焦點,則尸(c,0),

h

由條件知，以尸為圓心，1為半徑的圓與雙曲線的漸近線丁=—%相切于尸點,

a

7T

則|P￡|=1且NOPb=—,為直角三角形I，

2

b-廣，，\bc\be,

又F(c,0)到y=—x的距離為IPF\-d=-「；=—=b,

a\la-+b-c

則有|PF|=/=1,

RtAOPF的面積為S=；?|PE|?|OP|=gj|OF|2_|PQ2,

又因為S=g|OF|［為|=g?c-f=gc4小b_2亞be2&

5a5a5a

即L2A/5C

25a

所以5a2=5(c2-b2)=5(c2-1)=4&n5c2-4辰-5=0,

解得c=后或c=—.(舍去),

所以a=Vc2—b2=\J5—1=2，e=—=>

a2

故選：B

點評：關鍵點點睛：在中，根據切線的性質及焦點到直線的距離可求出6,再

根據△OPF的面積建立方程是解題的關鍵，屬于中檔題.

12.已知函數=a\nx+]--1(??R),若/(x)的最小值為0,則。的值為()

A.1B.-1C.0D.-2

答案：A

本題首先可通過〃x)=alnx+g—1得出/'(x)=y?,然后分為a=0、a>0、

avO三種情況進行討論，通過導函數性質易知a=0、avO時無最小值，。:>0時有最

小值，最后通過求解aln'+a-1=0即可得出結果.

a

解：因為/(x)=alnx+L1(%>0),所以秋,二生」ax-1,N

F，＞°),

當a=0時，/4勺=9<0,/(x)在(0,+。)上恒為減函數，無最小值;

當a>()時，/1x)=?,

Xw［：,+oo)時/(X)是增函數，工｛0,；)時/(力是減函數,

即當x=L時“X)取最小值，=aln^-+a-1=0,

a\n-+a-1=0,即-alna+a-1=0,-lna+1--=0,lna+--1=0,

aaa

ag(a)=lna+，_l(a>0),則g?a)=--與=^~^,

ae(0,1)時g(a)是減函數，ae(l,+oo)時g(a)是增函數，

則當a=l時g(a)=lna+——1最小，g(l)=(),

即當a=l時，?ln-+a-1=0,經檢驗滿足題意；

a

當a<0時，/<可=號1<0,7(x)在(0,+8)上恒為減函數，無最小值，

綜上所述，。=1,

故選：A.

點評：關鍵點點睛：本題考查根據函數的最小值求參數，考查通過導函數性質確定函數

的最小值，函數/(X)的導函數為了'(X),若/'(x)>0,則函數“X)是增函數，若

/'(x)<0,則函數/(x)是減函數，考查計算能力，是難題.

二、填空題

x+^+1>0

13.若X,y滿足約束條件,則Z=x-3y的最大值為.

x<\

答案：7

1zI

先畫出可行域，由z=x-3y,得y=畫出直線y=]X,向下平移過點8時,

z=x-3y取得最大值，然后求出點6的坐標，代入目標函數中可得答案

1z

解：解：X,y滿足約束條件所表示的可行域如圖所示，由z=x-3y,^y=-x一一，

33

畫出直線y=；x,向下平移過點8時，z=x-3y取得最大值，

X=1fx=1

由《，八，得｛C，即8(1,—2),

x+y+l=O[y=-2

所以z=x-3y有最大值為1—3x(—2)=7,

故答案為：7

14.某校團委為高三學生籌備十八歲成人禮策劃了三種活動方案，分別記作A、8、C,

為使活動開展得更加生動有意義,現隨機調查甲、乙、丙三位同學對三種活動方案的喜歡

程度.甲說：“我不喜歡方案A,但喜歡的活動方案比乙多.”乙說：“我不喜歡方案

B.n丙說：“我們三人都喜歡同一種方案由此可以判斷乙喜歡的活動方案是

答案：C

根據甲，乙，丙說話的內容，進行推理，判斷.

解：因為甲不喜歡方案A,但喜歡的方案比乙多，所以甲喜歡B,C,且乙只喜歡一種

方案，因為乙不喜歡方案8,丙說三人喜歡同一種方案，綜上可知，乙喜歡的活動方案

是C.

故答案為：C

15.若曲線y=ln(3x-8)與曲線y=在公共點處有相同的切線，則該切線的方

程為.

答案：y=3x-9

設公共點為（事,為）,根據公共點的導數值相等求出切點，再利用導數的幾何意義即可

求解.

解：設公共點為（毛,%）,

Q3

由y=ln（3x—8）,（%>-）,則y'=—:—,

33x—8

y=x2-3x則V=2x—3,

3

所以廣二=2%-8,解得%=3,

3x0-8

所以%=0，y'Lf=77^7=3，

所以切線的方程為y—（）=3（x—3）,

即y=3x-9.

故答案為：y=3x-9

16.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,若2sinC上+k+1+2",

a+b

則aA8c面積的最大值為.

1

答嘉

8-

TT

由已知結合sinC<l可得a+b=l,sinC=l,即。=一，可得三角形為直角三角形,

2

根據三角形面積公式和均值不等式求得結果.

解：v2smC=--------------<2,所以（。+人一1）“40,所以。+人=1,

a+b

此時2sinC=---------=2,sinC=1,

a+b

7t

因為0<C<",...c=一,

2

故1（胃）2=：，當且僅當“時等號成立，

故答案為：I

O

點評：關鍵點點睛：根據正弦函數的有界性及2sinC=±+"+"2"可求出

a+b

a+h=\,進而求出。為直角，是解題的關鍵.

三、解答題

17.已知等比數列｛4｝,<a"+|("eN*),生=4,勺+1是q與生的等差中項.

(1)求｛4｝的通項公式；

(2)若求數列出｝的前〃項和S“.

答案：(1)a“=2"(〃eM)；(2)S“=(〃-1>2向+2.

(1)由遞推關系確定數列單調性，根據等差中項列方程求出公比即可求解；

(2)根據錯位相減法求和.

解：(1)設等比數列｛%｝的公比為9，

因為4<a“+i(〃eN*),所以q>l,

/、21

由2(/+1)=4+%及%=4,得5=7+2q,解得q=2或q=5(舍去)，

所以見=4?<2=4X2'-2=2"(〃wN)

n

(2)由⑴^bn=anlog2an=n-2,

23n-n

Sn=lx2+2x2+3x2+---+(/i-l)-2'+?-2,①

2S?=lx22+2x23+3x24+...+(M-l)-2n+n-2B+l,②

由①-②得一5=2+22+23+...+2,,_|+2"-n-2',+'=+

2(、2)_〃,2"',

"1-2

S?=(n-l)-2,,+l+2.

18.如圖所示，在四棱錐產一ABC。中，PA=PB=PD=AB=2,四邊形ABC。為

菱形，且〃4￡>=60。.

(1)證明：平面尸AC；

(2)求三棱錐尸一BCD的體積.

答案：（1）證明見解析；（2）空.

3

（1）由四邊形為菱形可得AC_L3D；設AC與BD交于點F，連接PF,易

證PF_LBD，由線面垂直的判定定理可證得結論；

（2）先求出三棱錐尸-BCD的高，進而求得其體積.

解：（1）證明：（法一）?.?四邊形ABCO為菱形，則AC_L80.設AC與30交于點尸，

連接PE,

如圖所示，?..P￡>=PB，...PF_LBD.

又,：PFcAC=F,PFu平面PAC,ACu平面B4C,

/.80,平面PAC.

（法二）由題可知30=2,因此三棱錐P—ABD是棱長為2的正四面體.

設AC交于尸，取AE的三等分點。且AO=2OF,如圖所示，連接P0,則P01

平面ABCD.

因此POJ_瓦），又?.?四邊形A8CO為菱形，則ACL8。.又因為ACnPO=。，

ACu平面尸AC,POu平面尸4C,所以B￡）_L平面PAC.

276

（2）解：由（1）可知，=所以P0=JPA2-AO2

3亍

皿山_1G$2屈_20

則％-803=§'彳*2X-y-=-J—

點評：關鍵點點睛：本題第（2）問關鍵在于求得三棱錐88的高.

19.某醫藥科技公司研發出一種新型疫苗，為了合理定價.公司將在A地區進行為期一

個月（30天）的試預約疫苗，收錄數據如下：（由于正式開始預約疫苗后，人員會大量增

加，估計全市預約人數為A地區試預約人數的300倍.）

表1：A地區一個月預約疫苗人數統計表

預約人數(10,15](15,20](20,25](25,30](30,35](35,40]

天數a58653

（1）若將人數少于20人稱為“清閑”，則A地區半年（按6x30天計算）中“清閑”

的天數為多少？（將頻率視為概率）

（2）每支疫苗的成本約8元，疫苗前期研發、人員支出等成本約1500萬元，若要在一

年內（12x30天）恰好收回成本，則每支疫苗的合理定價應為多少元？（同組數據用中值

代替）（保留一位小數）

（3）疫苗開始預約后，醫院人流量也受到影響.從某醫院收集到疫苗預約前后各30天

來醫院看病的人數，數據如下表.若規定人數大于30為“看病高峰”，則通過計算判斷

“看病高峰”是否與疫苗開始預約有99%的相關性？

表2：預約疫苗與看病人數2x2列聯表

看病高峰天數非看病高峰天數總計

疫苗預約前8

疫苗預約后3

總計

附:

P（K2>k）0.150.100.050.0100.001

k2.0722.7063.8416.63510.828

答案：（1）48（天）；（2）85.6元；（3）有99%的把握認為“看病高峰”與疫苗開始預

約有關.

（1）計算a后直接根據條件求解；

（2）求出平均值，由題意建立方程求解；

（3）計算卡方，根據臨界值表作出結論.

解：（1）..?共30天，...a=3O—5-8-6—5-3=3（天）.

所以A地區半年中“清閑”的天數為（3+5）+30x180=48（天）.

（2）試預約人數每月平均數為

x=12.5x3+17.5x5+22.5x8+27.5x6+32.5x5+37.5x3=745，

正式預約后一年內人數為745x300x12=2682000,設每支疫苗定價為〃？元，則

268.2（加一80）=1500,解得m=85.6元.

所以每支疫苗的合理定價應為85.6元.

(3)預約疫苗與看病人數2x2列聯表如下:

看病高峰天數非看病高峰天數總計

疫苗預約前82230

疫苗預約后27330

總計352560

???非的觀測值&=6今累鼠;24.754>6.635,

因此有99%的把握認為“看病高峰”與疫苗開始預約有關.

20.已知P為拋物線C：y2=2px(〃>o)上一動點，尸為C的焦點，定點Q(3,l)在。

的內部，若|PQ|+|PF|的最小值為4.

(1)求C的方程；

(2)不經過原點的直線/與C交于A,B兩點(其中點A在x軸上方)，若以線段AB為

直徑的圓經過點尸，且圓心在直線丁=-1上.證明：直線/與。在點A處的切線垂直.

答案：(1)y2=4x；(2)證明見解析.

(1)過點P作。的準線的垂線，垂足為N,連接NQ,當N，P,。三點共線時，|NQ|

取得最小值求得P可得拋物線C的方程；

(2)設直線/方程，且與拋物線聯立利用韋達定理代入西?麗=0,可得直線/的方

,1

程，再與拋物線聯立得A,利用y=-7=,得拋物線在A處的切線的斜率，再由

y/x

勺?題=一1得答案.

解：(1)過點P作。的準線的垂線，垂足為N,連接NQ,

由拋物線的定義知|網=歸目，則+月=|PQ|+|PNm/，

當N,P,。三點共線時，|NQ|取得最小值，

.?.3+^=4,解得〃=2,故拋物線C的方程為；/=4x.

(2)證明：設直線/：無=，政0),且直線/與拋物線。交于A(%,y),

5(七,%),

x=my+n.

則由〈），化簡得y*■-4my-4〃=。，且A=16"?+16〃>0，即

[y2=4%

2

y+%=4m%+/=4m+2n

二，2（,則可得<

2

[%%=—4〃Xj-x2=n

，以AB為直徑的圓的圓心坐標為Rm?+〃,2〃?),

?.?圓心在直線y=-1上，，2m=—1,m=--,

2

又??,以線段AB為直徑的圓經過點尸(1,0),，耳.麗=0,

??.（玉一1）（1）+*必=0，

?，?玉&-（%1+%2）+1+乂％=0，

即—（4"+2〃）+1-4〃=。，化簡得〃2—6力=0，可得〃=0（舍去）或〃=6,

???直線/的方程為x=—gy+6,即2x+y—12=0,且直線/的斜率為占=-2,

1,

x=——y+o./

由J2,得A（4,4）,

y2=4x

當y>0時，拋物線丁=4x在x軸上方曲線的方程為y=2五,

V=白，則拋物線丁=4%在A(4,4)處的切線的斜率為k切=y'li=1；

???匕?左切=(-2)x1=一1,.?.直線I與拋物線C在點A處的切線垂直.

點評：本題考查了直線和拋物線的位置關系，解題的關鍵點是利用韋達定理求得直線的

方程，考查了學生分析問題、解決問題的能力.

21.已知函數/(x)=(x-l)e*-?2,aeR.

(1)討論/(x)的單調性；

(2)若方程/。)+。=0有三個不同的實根，求。的取值范圍.

答案：⑴答案見解析；⑵(丐川仁,+8).

(1)求得導數/'(x)=x(e*-2a),分〃40、0<a<g、a=1■和a〉g四種情況討

論，結合導數的符號，即可求解；

(2)由/。)+。=。-1)[爐一。(尤+1)],由x=l為方程的一個根，得到

e'-a(x+l)=O有兩個不同于1的實根，令g(x)=e'-a(x+l),結合導數，分類討

論求得函數的單調性，得到g(lna)<0且g(l)/O,即可求解.

解：(1)由題意，函數/(x)=(x-l)e*-or?,可得.(x)=xe"-2ox=x(e*-2a),

(i)當時，/一2。>0，/(x)在區間(F,0)上遞減，在區間(0,+。)上遞增；

(ii)當0<a<g時，由e*-2a=0，得x=ln(2a)<0,/(x)在區間(y),ln(2a))

上遞增，在區間0n(2a),O)上遞臧，在區間(0,+e)上遞增；

(5)當。=口寸，由2a=0,得x=ln(2a)=0,在R上單調遞增；

(了。當時，由e*-2a=0，得x=ln(2a)>0,/(x)在區間(，》,0)上單調遞

增，在區間(0,ln(2a))上單調遞減，在區間(ln(2a),+x>)上單調遞增.

(2)由f(x)+a=(x-V)ex-加+a=(x-l)[e*-a(x+l)],

當x=l為/*)+。=0的一個根，故，一a(x+l)=0有兩個不同于1的實根，

令g(x)=e*-a(x+1),可得g'(x)=ex-a.

(i)若。40,g'(x)>o,g(x)在R上單調遞增，所以不滿足題意；

(ii)若。〉0,當x>ln。時，g\x)>0,當x<ln。時，g*(x)<0.

所以g(x)在(Y),lna)單調遞減，在(Ina,”)單調遞增，

并且當X->T0時，g(x)—>+8；當Xf+8時，g(X)->+8,

所以若要滿足題意，只需g(lna)<0且g(l)。。，

因為g(lna)=e'na-a(lna+l)=-alna<0,所以a>l,

又由g(l)=e-2aH0,所以aH、，即a>l且a#],

故”的取值范圍是

點評：對于利用導數研究函數的零點問題的求解策略：

1、通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值

范圍；

2、利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.

3、根據恒成立求解參數的取值時，一般涉及分類參數法，但壓軸試題中很少碰到分離

參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，通常要設出導數的零點，難度較大.

2

A尤—-2Z-------

22.已知曲線G：]（f為參數），曲線。2：p=x?cos2^+cos6*.

V=-4------

2/+1

(I)求G的普通方程與G的直角坐標方程;

(2)設曲線G，的公共點為A,B,。為坐標原點，求AOAB的面積.

2

答案：（1）G：X+2〉-3=0（XH2）,C2：y=x；（2）6.

(1)消去參數可得G的普通方程，根據極坐標與直角坐標的轉化公式求的直角坐

標方程；(2)