重慶市涪陵中學2024屆數學高一上期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．若函數在區間上存在零點，則實數的取值范圍是A. B.C. D.2．已知，且，則A. B.C. D.3．下列等式中，正確的是（）A. B.C. D.4．已知底面邊長為1，側棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為A. B.C. D.5．已知集合，，則中元素的個數是（）A. B.C. D.6．已知函數，下列關于該函數結論錯誤的是（）A.的圖象關于直線對稱 B.的一個周期是C.的最大值為 D.是區間上的增函數7．下列四個集合中，是空集的是（）A. B.C. D.8．若函數在區間上為減函數，在區間上為增函數，則A.3 B.2C. D.9．在空間坐標系中，點關于軸的對稱點為（）A. B.C. D.10．已知函數，若（其中．），則的最小值為（）A. B.C.2 D.4二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11．已知，α為銳角，則___________.12．已知函數，正實數，滿足，且，若在區間上的最大值為2，則________.13．若，則_________14．已知函數同時滿足以下條件：①定義域為；②值域為；③.試寫出一個函數解析式___________.15．要制作一個容器為4，高為無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是_______（單位：元）三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知函數是定義域為R的奇函數.（1）求t的值，并寫出的解析式；（2）判斷在R上的單調性，并用定義證明；（3）若函數在上的最小值為，求k的值.17．揭陽市某體育用品商店購進一批羽毛球拍，每件進價為100元，售價為160元，每星期可賣出80件.商家決定降價促銷，根據市場調查，每降價10元，每星期可多賣出20件.（1）求商家降價前每星期的銷售利潤為多少元?（2）降價后，商家要使每星期的銷售利潤最大，應將售價定為多少元?最大銷售利潤是多少?18．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分別為AB、BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證：(1)直線A1C1∥平面B1DE；(2)平面A1B1BA⊥平面A1C1F.19．已知（1）求函數的單調遞增區間；（2）當時，函數的值域為，求實數的范圍20．某高校的入學面試中有3道難度相當的題目，李明答對每道題的概率都是0.6，若每位面試者都有三次機會，一旦答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第三次為止.用Y表示答對題目，用N表示沒有答對的題目，假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的，那么：（1）在圖的樹狀圖中填寫樣本點，并寫出樣本空間；（2）求李明最終通過面試的概率.21．已知函數（1）證明：函數在上是增函數；（2）求在上的值域

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、C【解析】由函數的零點的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得實數a的取值范圍【詳解】由題，函數f（x）＝ax+1單調，又在區間（﹣1，1）上存在一個零點，則f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1故選C【點睛】本題主要考查函數的零點的判定定理的應用，屬于基礎題2、A【解析】由條件利用兩角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函數的基本關系與二倍角公式，求得的值【詳解】解：∵tan（α），則tanα，∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），可得sinα∴2sinα＝2（）故選A點睛】本題主要考查兩角和的正切公式的應用，同角三角函數的基本關系，二倍角公式，考查計算能力，屬于基礎題3、D【解析】按照指數對數的運算性質依次判斷4個選項即可.【詳解】對于A，當為奇數時，，當為偶數時，，錯誤；對于B，，錯誤；對于C，，錯誤；對于D，，正確.故選：D.4、D【解析】根據正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對角線，故，即得，所以該球的體積，故選D.考點：正四棱柱的幾何特征；球的體積.5、B【解析】根據并集的定義進行求解即可.【詳解】由題意得，，顯然中元素的個數是5.故選：B6、C【解析】利用誘導公式證明可判斷A；利用可判斷B；利用三角函數的性質可判斷C；利用復合函數的單調性可判斷D.【詳解】對于A，，所以的圖象關于直線對稱，故A正確；對于B，，所以的一個周期是，故B正確；對于C，，所以的最大值為，當時，，取得最大值，所以的最大值為，故C不正確；對于D，在上單調遞增，，在上單調遞增，在上單調遞減，，根據復合函數的單調性易知，在上單調遞增，所以是區間上的增函數，故D正確.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是熟練掌握函數對稱性及周期性的判定及三角函數的圖象與性質.7、D【解析】對每個集合進行逐一檢驗，研究集合內的元素是否存在即可選出.【詳解】選項A，；選項B，；選項C，；選項D，，方程無解，.選:D.8、C【解析】由題意得當時，函數取得最小值，∴，∴又由條件得函數的周期，解得，∴．選C9、C【解析】兩點關于軸對稱，則縱坐標相同，橫坐標互為相反數，豎坐標互為相反數，由此可直接得出結果.【詳解】解：兩點關于軸對稱，則縱坐標相同，橫坐標互為相反數，豎坐標互為相反數，所以點關于軸的對稱點的坐標是.故選：C.10、B【解析】根據二次函數的性質及對數的運算可得，利用均值不等式求最值即可.詳解】,由，，即，，當且僅當，即時等號成立，故選：B二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應題中橫線上）11、【解析】由同角三角函數關系和誘導公式可得結果.【詳解】因為，且為銳角，則，所以，故.故答案為：.12、【解析】先畫出函數圖像并判斷，再根據范圍和函數單調性判斷時取最大值，最后計算得到答案.【詳解】如圖所示：根據函數的圖象得，所以．結合函數圖象，易知當時在上取得最大值，所以又，所以，再結合，可得，所以.故答案為：【點睛】本題考查對數型函數的圖像和性質、函數的單調性的應用和最值的求法，是中檔題.13、【解析】先求得，然后求得.【詳解】，.故答案為：14、或（答案不唯一）【解析】由條件知，函數是定義在R上的偶函數且值域為，可以寫出若干符合條件的函數.【詳解】函數定義域為R，值域為且為偶函數，滿足題意的函數解析式可以為：或【點睛】本題主要考查了函數的定義域、值域、奇偶性以，屬于中檔題.15、160【解析】設底面長方形的長寬分別為和,先求側面積，進一步求出總的造價，利用基本不等式求出最小值.【詳解】設底面長方形的長寬分別為和,則，所以總造價當且僅當的時區到最小值則該容器的最低總造價是160.故答案為：160.三、解答題（本大題共6小題.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）或，；（2）R上單調遞增，證明見解析；（3）【解析】（1）是定義域為R的奇函數，利用奇函數的必要條件，求出的值，進而求出，驗證是否為奇函數；（2）可判斷在上為增函數，用函數的單調性定義加以證明，取兩個不等的自變量，對應函數值做差，因式分解，判斷函數值差的符號，即可證明結論；（3）由，換元令，，由（2）得，，根據條件轉化為在最小值為-2，對二次函數配方，求出對稱軸，分類討論求出最小值，即可求解【詳解】解：（1）因為是定義域為R的奇函數，所以，即，解得或，可知，此時滿足，所以.（2）在R上單調遞增.證明如下：設，則.因為，所以，所以，可得.因為當時，有，所以R單調遞增.（3）由（1）可知，令，則，因為是增函數，且，所以.因為在上的最小值為，所以在上的最小值為.因為，所以當時，，解得或（舍去）；當時，，不合題意，舍去.綜上可知，.【點睛】本題考查函數的奇偶性應用和單調性的證明，考查復合函數的最值，用換元方法，將問題化歸為二次函數函數的最值，屬于較難題.17、（1）4800（2）將售價定為150元，最大銷售利潤是5000元.【解析】（1）由銷售利潤=單件利潤×銷售量，即可求商家降價前每星期的銷售利潤；（2）由題意得銷售利潤，根據二次函數的性質即可知最大銷售利潤及對應的售價.【小問1詳解】由題意，商家降價前每星期的銷售利潤為（元）；【小問2詳解】設售價定為元，則銷售利潤.當時，有最大值5000∴應將售價定為150元，最大銷售利潤是5000元.18、證明過程詳見解析【解析】（1）先證明DE∥A1C1，即證直線A1C1∥平面B1DE.(2)先證明DE⊥平面AA1B1B，再證明A1F⊥平面B1DE，即證平面AA1B1B⊥平面A1C1F.【詳解】證明：（1）∵D，E分別為AB，BC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，∵ABC-A1B1C1為棱柱，∴AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，∵DE?平面B1DE，且A1C1?平面B1DE，∴A1C1∥平面B1DE；（2）在ABC-A1B1C1的直棱柱中，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1?平面AA1B1B，∴A1C1⊥平面AA1B1B，∵DE∥A1C1，∴DE⊥平面AA1B1B，又∵A1F?平面AA1B1B，∴DE⊥A1F，又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D?平面B1DE，∴A1F⊥平面B1DE，又∵A1F?平面A1C1F，∴平面AA1B1B⊥平面A1C1F【點睛】本題主要考查空間直線平面位置關系的證明，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象轉化能力.19、（1），（2）【解析】（1）根據正弦函數的性質計算可得；（2）首先求出函數取最大值時的取值集合，即可得到，再根據函數在上是減函數，且，則的最大值為內使函數值為的值，即可求出的取值范圍；【小問1詳解】解：對于函數，令，，求得，故函數的單調遞增區間為，【小問2詳解】解：令，，解得，．即時取得最大值因為當時，取到最大值，所以又函數在上是減函數，且，故的最大值為內使函數值為的值，令，即，因為，所以，所以，解得，所以的取值范圍是20、（1）（2）