5.1.1任意角第五章教學(xué)目標1.了解任意角的概念,能區(qū)分各類角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握象限角的概念,并會用集合表示象限角.(直觀想象)3.理解終邊相同的角的含義及表示,并能解決有關(guān)問題.(數(shù)學(xué)運算)思維導(dǎo)圖任意角角的概念象限角終邊相同的角正角負角零角創(chuàng)設(shè)情境

引出問題初中角的定義：有公共頂點的兩條射線組成的圖形.

現(xiàn)實生活中隨處可見超出0°-360°范圍的角．例如,體操中有“前空翻轉(zhuǎn)體540度”,“后空翻轉(zhuǎn)體720度”.齒輪旋轉(zhuǎn)的示意圖很顯然，0°—360°角難以滿足我們的需要，所以我們需要對角的概念進行推廣.一.任意角的概念高中角的定義：1.角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條

射線

繞著它的端點

選轉(zhuǎn)

所成的

圖形

.2.角的表示：如圖，OA是∠AOB的

始邊

，OB是∠AOB的

終邊

，O是∠AOB的

頂點

.∠AOB可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”.始邊：射線的起始位置.終邊：射線的終止位置.頂點三要素一.任意角的概念3.角的分類類比實數(shù)的學(xué)習(xí)，我們對角的范圍進行擴充：角正角零角負角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角一條射線繞其端點按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)(始邊與終邊重合)任意角動態(tài)定義注意：（1）在判斷角度時，應(yīng)時刻抓住“選轉(zhuǎn)”二字：要明確選轉(zhuǎn)方向；要明確旋轉(zhuǎn)量的大小；要明確射線的起始位置。（2）角的概念推廣后，角度的范圍就不再局限于0°-360°。思考：（1）正角、負角、零角是根據(jù)什么區(qū)分的？（2）如果一個角的終邊與始邊重合，那么這個角一定是零角嗎？選轉(zhuǎn)方向：順時針為負角；逆時針為正角；不旋轉(zhuǎn)為零角OA(B)例1.判斷正誤：（1）零角的始邊與終邊重合。（2）始邊與終邊重合的角為零角。（3）如圖，以O(shè)A為始邊，OB為終邊，則∠AOB=30°例2.課間10分鐘，鐘表的分針走過的角度是多少度？思考：若經(jīng)過1小時30分鐘的時間，鐘表的時針和分針各轉(zhuǎn)過的角度是多少？OAB30°

類比實數(shù)，思考下列問題：1.你認為相等的兩個角應(yīng)該怎樣規(guī)定？2.兩角相加又是怎樣規(guī)定的？3.你知道什么是互為相反角嗎？兩角怎樣相減？角α與角β旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α=β角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時終邊所對應(yīng)的角為α+β類似于實數(shù)a的相反數(shù)是-a，我們引入任意角的相反角的概念：射線OA繞端點O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角α的相反角記為-α類比實數(shù)的減法，定義：α

-β=α

+（-β）.

二.角的關(guān)系與運算思考：（1）以O(shè)B為終邊的角唯一嗎？（2）若不唯一，那么終邊相同的角有什么關(guān)系呢？OAB30°不唯一如：390°=360°+30° -330°=-360°+30°

三.終邊相同的角

四.例題講解一、任意角的概念例1下列結(jié)論：①三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等；③小于90°的角為銳角；④鈍角比第三象限角小；⑤小于180°的角是鈍角、直角或銳角.其中正確的結(jié)論為______(填序號).②解析①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正確；②始邊相同而終邊不同的角一定不相等，故②正確；③小于90°的角可以是零角，也可以是負角，故③不正確；④鈍角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正確；⑤0°角或負角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故⑤不正確.反思感悟理解與角的概念有關(guān)的問題關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大小.另外需要掌握判斷結(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可.二、終邊相同的角及象限角例2將下列各角表示為k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第幾象限角.(1)420°；解420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角.(2)－510°；解－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角.(3)1020°.解1020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1020°是第四象限角.反思感悟首先把各角寫成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判斷α所在的象限即可.三、區(qū)域角的表示解終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此，終邊在圖中陰影部分內(nèi)的角α的取值范圍為{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.例3已知角α的終邊在圖中陰影部分內(nèi)，試指出角α的取值范圍.反思感悟表示區(qū)域角的三個步驟第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；第二步：分別標出起始和終止邊界對應(yīng)的－180°～180°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α<x<β}；第三步：起始、終止邊界對應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合.確定nα及

所在的象限典例已知α是第二象限角，求角

所在的象限.素養(yǎng)提升解方法一∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z).當k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1(n∈Z)，得方法二如圖，先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，變形：若本例條件中角α變?yōu)榈谌笙藿牵蠼?/p>

是第幾象限角.解如圖所示，先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，素養(yǎng)提升分類討論時要對k的取值分以下幾種情況進行討論：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下結(jié)論.幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合，簡單直觀.通過該類問題，提升邏輯推理和直觀想象等核心素養(yǎng).小試牛刀1.與－30°終邊相同的角是A.－330° B.150° C.30° D.330°解析因為所有與－30°終邊相同的角都可以表示為α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.2.－240°是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角解析因為－240°角的終邊落在第二象限，故為第二象限角.3.下列說法正確的是A.銳角是第一象限角

B.第二象限角是鈍角C.第一象限角是銳角

D.第四象限角是負角解析由于銳角范圍是0°<α<90°，顯然是第一象限角；－200°是第二象限角，但不是鈍角；380°是第一象限角，但不是銳角；330°是第四象限角，但不是負角.4.終邊與坐標軸重合的角α的集合是A.{α|α＝k·360°，k∈Z} B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°，k∈Z} D.{α|α＝k·90°，k∈Z}解析終邊在坐標軸上的角大小為90°或90°的整數(shù)倍，所以終邊與坐標軸重合的角的集合為{α|α＝k·90°，k∈Z}.故選D.5.已知角α的終邊在如圖陰影表示的范圍內(nèi)(不包含邊界)，那么角α的集合是____________________________________.{α|k·360°＋45°<α<k·360°＋150°，k∈Z}