2024屆福建省數學高一第二學期期末達標檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，則下列結論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．生活中有這樣一個實際問題：如果一杯糖水不夠甜，可以選擇加糖的方式，使得糖水變得更甜．若，則下列數學模型中最能刻畫“糖水變得更甜”的是（）A． B．C． D．3．下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的平面幾何圖形．此圖由兩個圓構成，O為大圓圓心，線段AB為小圓直徑．△AOB的三邊所圍成的區域記為I，黑色月牙部分記為Ⅱ，兩小月牙之和（斜線部分）部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則（）A． B． C． D．4．過△ABC的重心任作一直線分別交邊AB，AC于點D、E．若,，，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．15．已知函數，則下列說法正確的是（）A．圖像的對稱中心是B．在定義域內是增函數C．是奇函數D．圖像的對稱軸是6．單位圓中，的圓心角所對的弧長為()A． B． C． D．7．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，則8．函數y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．9．已知各個頂點都在同一球面上的正方體的棱長為2，則這個球的表面積為（）A． B． C． D．10．設，則下列不等式恒成立的是A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數在區間上的最大值為，則的值是_____________.12．某扇形的面積為1，它的周長為4cm，那么扇形的圓心角的大小為____________.13．已知，則______.14．已知數列的前n項和為，，且（），記（），若對恒成立，則的最小值為__．15．下列命題中：①若，則的最大值為；②當時，；③的最小值為；④當且僅當均為正數時，恒成立.其中是真命題的是__________．(填上所有真命題的序號)16．已知三棱錐，若平面ABC，，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知不等式.（1）當時，求此不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求實數的取值范圍．18．某地區有小學21所，中學14所，大學7所，現采取分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調查．（I）求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目．（II）若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數據分析，（1）列出所有可能的抽取結果；（2）求抽取的2所學校均為小學的概率．19．記為數列的前項和，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）記，求滿足等式的正整數的值．20．已知函數.（1）求函數的最小正周期和值域；（2）設為的三個內角，若，，求的值.21．某廠每年生產某種產品萬件，其成本包含固定成本和浮動成本兩部分.已知每年固定成本為20萬元，浮動成本，.若每萬件該產品銷售價格為40萬元，且每年該產品產銷平衡.（1）設年利潤為（萬元），試求與的關系式；（2）年產量為多少萬件時，該廠所獲利潤最大？并求出最大利潤.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據不等式的基本性質逐一判斷可得答案．【題目詳解】解：A．當時，不成立，故A不正確；B．取，，則結論不成立，故B不正確；C．當時，結論不成立，故C不正確；D．若，則，故D正確．故選：D．【題目點撥】本題主要考查不等式的基本性質，屬于基礎題．2、B【解題分析】

由題意可得糖水甜可用濃度體現，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，對照選項，即可得到結論．【題目詳解】由題意，若，設糖的量為，糖水的量設為，添加糖的量為，選項A，C不能說明糖水變得更甜，糖水甜可用濃度體現，而，能體現糖水變甜；選項D等價于，不成立，故選：B．【題目點撥】本題主要考查了不等式在實際生活中的運用，考查不等式的等價變形，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．3、D【解題分析】

設OA＝1，則AB，分別求出三個區域的面積，由測度比是面積比得答案．【題目詳解】設OA＝1，則AB，，以AB中點為圓心的半圓的面積為，以O為圓心的大圓面積的四分之一為，以AB為弦的大圓的劣弧所對弓形的面積為π﹣1，黑色月牙部分的面積為π﹣（π﹣1）＝1，圖Ⅲ部分的面積為π﹣1．設整個圖形的面積為S，則p1，p1，p3．∴p1＝p1＞p3，故選D．【題目點撥】本題考查幾何概型概率的求法，考查數形結合的解題思想方法，正確求出各部分面積是關鍵，是中檔題．4、B【解題分析】

利用重心以及向量的三點共線的結論得到的關系式，再利用基本不等式求最小值.【題目詳解】設重心為，因為重心分中線的比為，則有，，則，又因為三點共線，所以，則，取等號時.故選B.【題目點撥】（1）三角形的重心是三條中線的交點，且重心分中線的比例為；（2）運用基本不等式時，注意取等號時條件是否成立.5、A【解題分析】

根據正切函數的圖象與性質逐一判斷即可．【題目詳解】．，由得，，的對稱中心為，，故正確；．在定義域內不是增函數，故錯誤；．為非奇非偶函數，故錯誤；．的圖象不是軸對稱圖形，故錯誤．故選．【題目點撥】本題考查了正切函數的圖象與性質，考查了整體思想，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬基礎題．6、B【解題分析】

將轉化為弧度，即可得出答案.【題目詳解】，因此，單位圓中，的圓心角所對的弧長為.故選B.【題目點撥】本題考查角度與弧度的轉化，同時也考查了弧長的計算，考查計算能力，屬于基礎題.7、D【解題分析】

試題分析：，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，在A中：若，，則，相交、平行或異面，故A錯誤；在B中：若，，，則，相交、平行或異面，故B錯誤；在C中：若，，則或，故C誤；在D中：若，，由面面平行的性質定理知，，故D正確.考點：空間中直線、平面之間的位置關系.8、D【解題分析】分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環往復．9、A【解題分析】

先求出外接球的半徑，再求球的表面積得解.【題目詳解】由題得正方體的對角線長為，所以.故選A【題目點撥】本題主要考查多面體的外接球問題和球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10、C【解題分析】

利用不等式的性質，合理推理，即可求解，得到答案.【題目詳解】因為，所以，所以A項不正確；因為，所以，，則，所以B不正確；因為，則，所以，又因為，則，所以等號不成立，所以C正確；由，所以，所以D錯誤.【題目點撥】本題主要考查了不等式的性質的應用，其中解答中熟記不等式的性質，合理運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用同角三角函數平方關系，易將函數化為二次型的函數，結合余弦函數的性質，及函數在上的最大值為1，易求出的值．【題目詳解】函數又函數在上的最大值為1，≤0，又,且在上單調遞增，所以即．故答案為：【題目點撥】本題考查的知識點是三角函數的最值，其中利用同角三角函數平方關系，將函數化為二次型的函數，是解答本題的關鍵，屬于中檔題．12、【解題分析】

根據扇形的面積和周長列方程組解得半徑和弧長，再利用弧長公式可求得結果.【題目詳解】設扇形的半徑為，弧長為，圓心角為，則，解得，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查了扇形的面積公式，考查了扇形中弧長公式，屬于基礎題.13、【解題分析】

利用同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入計算可得.【題目詳解】解：，故答案為：【題目點撥】本題考查同角三角函數的基本關系，齊次式的計算，屬于基礎題.14、【解題分析】

,即為首項為，公差為的等差數列，，，，由得，因為或時，有最大值，，即的最小值為，故答案為.【方法點晴】裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到裂項的方向，突破這一難點的方法是根據式子的結構特點，掌握一些常見的裂項技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現丟項或多項的問題，導致計算結果錯誤.15、①②【解題分析】

根據均值不等式依次判斷每個選項的正誤，得到答案.【題目詳解】①若，則的最大值為，正確②當時，，時等號成立，正確③的最小值為，取錯誤④當且僅當均為正數時，恒成立均為負數時也成立.故答案為①②【題目點撥】本題考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具體含義是解題的關鍵.16、【解題分析】

過B作，且，則或其補角即為異面直線PB與AC所成角由此能求出異面直線PB與AC所成的角的余弦值．【題目詳解】過B作，且，則四邊形為菱形，如圖所示：或其補角即為異面直線PB與AC所成角．設.，，平面ABC，，．異面直線PB與AC所成的角的余弦值為．故答案為．【題目點撥】本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）不等式為，解得（2）不等式的解集非空，則，求解即可【題目詳解】（1）當時，不等式為，解得，故不等式的解集為；（2）不等式的解集非空，則，即，解得，或，故實數的取值范圍是．【題目點撥】二次函數，二次方程，一元二次不等式三個二次的相互轉換是解決一元二次不等式問題的常用方法，數形結合是解決函數問題的基本思想．18、(1)3,2,1(2)【解題分析】(1)從小學、中學、大學中分別抽取的學校數目為3、2、1．(2)①在抽取到的6所學校中，3所小學分別記為A1，A2，A3,2所中學分別記為A4，A5，大學記為A6，則抽取2所學校的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．②從6所學校中抽取的2所學校均為小學(記為事件B)的所有可能結果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種．所以P(B)＝315＝119、（1）；（2）【解題分析】

（1）首先利用數列的遞推關系式求出數列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求出數列的和，解出即可．【題目詳解】（1）由為數列的前項和，且滿足．當時，，得．當時，，得，所以數列是以2為首項，以為公比的等比數列，則數列的通項公式為．（2）由，得由，解得．【題目點撥】本題考查了等比數列的通項公式的求法，裂項相消法求數列的和，屬于基礎題．20、（1）周期，值域為；（2）.【解題分析】

（1）利用二倍角降冪公式與輔助角公式將函數的解析式進行化簡，利用周期公式求出函數的最小正周期，并求出函數的值域；（2）先由的值，求出角的值，然后由結合同角三角函數的基本關系以及兩角和的余弦公式求出的值．【題目詳解】（1）∵且，∴所求周期，值域為；（2）∵是的三個內角，，∴∴又，即，又∵，故，故.【題目點撥】本題考查三角函數與解三角形的綜合問題，考查三角函數的基本性質以及三角形中的求值問題，求解三角函數的問