湖南省郴州市一中2024屆數學高一第二學期期末監測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若直線xa+yb=1(a>0,b>0)A．3 B．4 C．3+22 D．2．在中，角，，所對的邊分別為，，，則下列命題中正確命題的個數為()①若,則；②若，則為鈍角三角形；③若，則．A．1 B．2 C．3 D．03．如圖，中，，，用表示，正確的是()A． B．C． D．4．有四個游戲盤，將它們水平放穩后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是A． B． C． D．5．函數圖像的一條對稱軸方程為（）A． B． C． D．6．在平面直角坐標系xOy中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.若，則（）A． B． C． D．7．等比數列的各項均為正數，且，則（）A． B． C． D．8．已知等差數列的前n項和為，且，，則（）A．11 B．16 C．20 D．289．平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．10．設集合，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓，設，則陰影部分的面積是__________.12．已知函數，下列說法：①圖像關于對稱；②的最小正周期為；③在區間上單調遞減；④圖像關于中心對稱；⑤的最小正周期為；正確的是________.13．已知為直線，為平面，下列四個命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確命題的序號是______．14．在等比數列中，，公比，若，則的值為．15．某地甲乙丙三所學校舉行高三聯考，三所學校參加聯考的人數分別為200、300、400。現為了調查聯考數學學科的成績，采用分層抽樣的方法在這三所學校中抽取一個樣本，已知甲學校中抽取了40名學生的數學成績，那么在丙學校中抽取的數學成績人數為_________。16．已知則sin2x的值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，在直三棱柱中，，平面，D為AC的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）設E是上一點，試確定E的位置使平面平面BDE，并說明理由.18．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推廣線下分店，計劃在S市的A區開設分店，為了確定在該區開設分店的個數，該公司對該市已開設分店的其他區的數據作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區開設分店的個數，y表示這個x個分店的年收入之和.(1)該公司已經過初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程(2)假設該公司在A區獲得的總年利潤z(單位:百萬元)與x，y之間的關系為，請結合(1)中的線性回歸方程，估算該公司應在A區開設多少個分店時，才能使A區平均每個分店的年利潤最大?(參考公式:，其中，)19．是亞太區域國家與地區加強多邊經濟聯系、交流與合作的重要組織，其宗旨和目標是“相互依存、共同利益，堅持開放性多邊貿易體制和減少區域間貿易壁壘.”2017年會議于11月10日至11日在越南峴港舉行.某研究機構為了了解各年齡層對會議的關注程度，隨機選取了100名年齡在內的市民進行了調查，并將結果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分組區間分別為，，，，）.（1）求選取的市民年齡在內的人數；（2）若從第3，4組用分層抽樣的方法選取5名市民進行座談，再從中選取2人參與會議的宣傳活動，求參與宣傳活動的市民中至少有一人的年齡在內的概率.20．如圖，當甲船位于處時獲悉，在其正東方向相距20海里的處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往處救援？（角度精確到1°，參考數據：，）21．某地區2012年至2018年農村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數據如下表：年份2012201320142015201620172018年份代號1234567人均純收入2.93.33.64.44.85.25.9（1）已知y與x線性相關，求y關于x的線性回歸方程；（2）利用（1）中的線性回歸方程，預測該地區2020年農村居民家庭人均純收入.（附：線性回歸方程中，，，其中為樣本平均數）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

將1,2代入直線方程得到1a+2【題目詳解】將1,2代入直線方程得到1a+b=(a+b)(當a=2故答案選C【題目點撥】本題考查了直線方程，均值不等式，1的代換是解題的關鍵.2、C【解題分析】

根據正弦定理和大角對大邊判斷①正確；利用余弦定理得到為鈍角②正確；化簡利用余弦定理得到③正確.【題目詳解】①若,則；根據，則即，即，正確②若，則為鈍角三角形；，為鈍角，正確③若，則即，正確故選C【題目點撥】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學生對于正弦定理和余弦定理的靈活運用.3、C【解題分析】

由平面向量基本定理和三角形法則求解即可【題目詳解】由，可得，則，即.故選C.【題目點撥】本題考查平面向量基本定理和三角形法則,熟記定理和性質是解題關鍵,是基礎題4、A【解題分析】由幾何概型公式：A中的概率為，B中的概率為，C中的概率為，D中的概率為．本題選擇A選項.點睛：解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍．當考察對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當考察對象為線時，一般用角度比計算，即當半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應的圓心角的度數之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比．5、B【解題分析】

對稱軸為【題目詳解】依題意有解得故選B【題目點撥】本題考查的對稱軸，屬于基礎題。6、D【解題分析】

由題意得到，再由兩角差的余弦及同角三角函數的基本關系式化簡求解.【題目詳解】解：∵角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱，

∴，

，

故選：D.【題目點撥】本題考查了兩角差的余弦公式的應用，是基礎題.7、D【解題分析】

本題首先可根據數列是各項均為正數的等比數列以及計算出的值，然后根據對數的相關運算以及等比中項的相關性質即可得出結果．【題目詳解】因為等比數列的各項均為正數，，所以，，所以，故選D．【題目點撥】本題考查對數的相關運算以及等比中項的相關性質，考查的公式為以及在等比數列中有，考查計算能力，是簡單題．8、C【解題分析】

可利用等差數列的性質，，仍然成等差數列來解決．【題目詳解】為等差數列，前項和為，，，成等差數列，，又，，，．故選：．【題目點撥】本題考查等差數列的性質，關鍵在于掌握“等差數列中，，仍成等差數列”這一性質，屬于基礎題．9、A【解題分析】

試題分析：如圖，設平面平面=，平面平面=，因為平面，所以，則所成的角等于所成的角.延長，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【題目點撥】求解本題的關鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補.10、B【解題分析】

已知集合A,B，取交集即可得到答案.【題目詳解】集合，集合，則故選B【題目點撥】本題考查集合的交集運算，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

：設兩個半圓交于點,連接,可得直角扇形的面積等于以為直徑的兩個半圓的面積之和，平分,可得陰影部分的面積.【題目詳解】解：設兩個半圓交于點，連接,,∴直角扇形的面積等于以為直徑的兩個半圓的面積之和，由對稱性可得：平分,故陰影部分的面積是：.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查扇形的計算公式，相對不難.12、②③⑤【解題分析】

將函數解析式改寫成：，即可作出函數圖象，根據圖象即可判定.【題目詳解】由題：，，所以函數為奇函數，，是該函數的周期，結合圖象分析是其最小正周期，，作出函數圖象：可得，該函數的最小正周期為，圖像不關于對稱；在區間上單調遞減；圖像不關于中心對稱；故答案為：②③⑤【題目點撥】此題考查三角函數圖象及其性質的辨析，涉及周期性，對稱性和單調性，作為填空題，恰當地利用圖象解決問題能夠起到事半功倍的作用.13、③④【解題分析】

①和②均可以找到不符合題意的位置關系，則①和②錯誤；根據線面垂直性質定理和空間中的平行垂直關系可知③和④正確.【題目詳解】若，此時或，①錯誤；若，此時或異面，②錯誤；由線面垂直的性質定理可知，若，則，③正確；兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條直線必垂直于該平面，可知④正確本題正確結果：③④【題目點撥】本題考查空間中的平行與垂直關系相關命題的判斷，考查學生對于平行與垂直的判定和性質的掌握情況.14、1【解題分析】

因為，，故答案為1．考點：等比數列的通項公式．15、80【解題分析】

由題意，求得甲乙丙三所學校抽樣比為，再根據甲學校中抽取了40名學生的數學成績，即可求解丙學校應抽取的人數，得到答案.【題目詳解】由題意知，甲乙丙三所學校參加聯考的人數分別為200、300、400，所以甲乙丙三所學校抽樣比為，又由甲學校中抽取了40名學生的數學成績，所以在丙學校應抽取人.【題目點撥】本題主要考查了分層抽樣概念及其應用，其中解答中熟記分層抽樣的概念，以及計算的方法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.16、【解題分析】

利用二倍角的余弦函數公式求出的值，再利用誘導公式化簡，將的值代入計算即可求出值．【題目詳解】解：∵，，則sin2x＝=，故答案為.【題目點撥】此題考查了二倍角的余弦函數公式，以及誘導公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解，（2）證明見詳解，（3）當為的中點時，平面平面BDE，證明見詳解【解題分析】

（1）連接與相交于，可得，結合線面平行的判定定理即可證明平面（2）先證明和即可得出平面，然后可得，又，即可證明平面（3）當為的中點時，平面平面BDE，由已知易得，結合平面可得平面，進而根據面面垂直的判定定理得到結論.【題目詳解】（1）如圖，連接與相交于，則為的中點連接，又為的中點所以，又平面，平面所以平面（2）因為，所以四邊形為正方形所以又因為平面，平面所以所以平面，所以又在直三棱柱中，所以平面（3）當為的中點時，平面平面BDE因為分別是的中點所以,因為平面所以平面，又平面所以平面平面BDE【題目點撥】本題考查的是立體幾何中線面平行和垂直的證明，要求我們要熟悉并掌握平行與垂直有關的判定定理和性質定理，在證明的過程中要注意步驟的完整.18、(1);(2)該公司應開設4個分店時，在該區的每個分店的平均利潤最大【解題分析】

（1）由表中數據先求得.再結合公式分別求得,即可得y關于x的線性回歸方程.（2）將（1）中所得結果代入中,進而表示出每個分店的平均利潤,結合基本不等式即可求得最值及取最值時自變量的值.【題目詳解】（1）由表中數據和參考數據得:,,因而可得,,再代入公式計算可知,∴,∴.（2）由題意,可知總收入的預報值與x之間的關系為:,設該區每個分店的平均利潤為t,則,故t的預報值與x之間的關系為,當且僅當時取等號,即或（舍）則當時,取到最大值,故該公司應開設4個分店時,在該區的每個分店的平均利潤最大.【題目點撥】本題考查了線性回歸方程的求法,基本不等式求函數的最值及等號成立的條件,屬于基礎題.19、（1）30人；（2）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖，先求出年齡在內的頻率，進而可求出人數；（2）先由分層抽樣，確定應從第3，4組中分別抽取3人，2人，記第3組的3名志愿者分別為，第4組的2名志愿者分別為，再用列舉法，分別列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件個數比即為所求概率.【題目詳解】（1）由題意可知，年齡在內的頻率為，故年齡在內的市民人數為.（2）易知，第4組的人數為，故第3，4組共有50名市民，所以用分層抽樣的方法在50名志愿者中抽取5名志愿者，每組抽取的人數分別為：第3組；第4組.所以應從第3，4組中分別抽取3人，2人.記第3組的3名志愿者分別為，第4組的2名志愿者分別為，則從5名志愿者中選取2名志愿者的所有情況為，，，，，，，，，，共有10種.其中第4組的2名志愿者至少有一名志愿者被選中的有：，，，，，，，共有7種，所以至少有一人的年齡在內的概率為.【題目點撥】本題主要考查由頻率分布直方圖求頻數，以及古典概型的概率問題，會分析頻率分布直方圖，熟記古典概型的概率計算公式即可，屬于常考題型.20、乙船應朝北偏東約的方向沿直線前往處救援.【解題分析】

根據題意，求得，利用余弦定理求得的長，在中利用正弦定理求得，根據題目所給參考數據求得乙船行駛方向.【題目詳解】解：由已知，則，在中，由余弦定理，得，∴海里.在中，由正弦定理