2024屆山西省孝義市第四中學數學高一下期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知三角形ABC，如果，則該三角形形狀為（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上選項均有可能2．已知數列滿足，且，其前n項之和為，則滿足不等式的最小整數n是（）A．5 B．6 C．7 D．83．已知二次函數，當時，其拋物線在軸上截得線段長依次為，則的值是A．1 B．2 C．3 D．44．已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%.現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算出0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.155．記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當為鈍角時，則的取值范圍為()A． B． C． D．6．已知，與的夾角，則在方向上的投影是（）A． B． C．1 D．7．小金同學在學校中貫徹著“邊玩邊學”的學風，他在“漢諾塔”的游戲中發現了數列遞推的奧妙：有、、三個木樁，木樁上套有編號分別為、、、、、、的七個圓環，規定每次只能將一個圓環從一個木樁移動到另一個木樁，且任意一個木樁上不能出現“編號較大的圓環在編號較小的圓環之上”的情況，現要將這七個圓環全部套到木樁上，則所需的最少次數為（）A． B． C． D．8．已知扇形的半徑為，面積為，則這個扇形圓心角的弧度數為（）A． B． C．2 D．49．如圖，設A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，在所在河岸邊選定一點C，測出AC的距離為502m，∠ACB=45°，∠CAB=105A．100m B．50C．1002m10．若集合A=α|α=π6+kπ,k∈ZA．? B．π6 C．-π二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，則__________.（結果用反三角函數表示）12．設，，為三條不同的直線，，為兩個不同的平面，下列命題中正確的是______．(1)若，，，則；(2)若，，，則；(3)若，，，，則；(4)若，，,則．13．如圖，在正方體中，點P是上底面（含邊界）內一動點，則三棱錐的主視圖與俯視圖的面積之比的最小值為______.14．已知，則____．15．已知等差數列的公差為2，若成等比數列，則________．16．已知點及其關于原點的對稱點均在不等式表示的平面區域內，則實數的取值范圍是____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，面積為S，已知（Ⅰ）求證：成等差數列；（Ⅱ）若求.18．已知數列是等差數列，數列是等比數列，且,記數列的前項和為，數列的前項和為.(1)若，求序數的值；(2)若數列的公差，求數列的公比及.19．2019年4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解中學生課外閱讀情況，隨機抽取了100名學生，并獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的數據，按閱讀時間分組：第一組[0,5),第二組[5,10)，第三組[10,15)，第四組[15,20)，第五組[20,25]，繪制了頻率分布直方圖如下圖所示．已知第三組的頻數是第五組頻數的3倍．（1）求的值，并根據頻率分布直方圖估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；（2）現從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加校“中華詩詞比賽”．經過比賽后，從這6人中隨機挑選2人組成該校代表隊，求這2人來自不同組別的概率．20．某科技創新公司在第一年年初購買了一臺價值昂貴的設備，該設備的第1年的維護費支出為20萬元，從第2年到第6年，每年的維修費增加4萬元，從第7年開始，每年維修費為上一年的125%．（1）求第n年該設備的維修費的表達式；（2）設，若萬元，則該設備繼續使用，否則須在第n年對設備更新，求在第幾年必須對該設備進行更新？21．已知等差數列的前n項和為，且，.（1）求；（2）求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由正弦定理化簡已知可得：，由余弦定理可得，可得為鈍角，即三角形的形狀為鈍角三角形.【題目詳解】由正弦定理，，可得,化簡得，由余弦定理可得：，又，為鈍角，即三角形為鈍角三角形.故選：B.【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題.2、C【解題分析】

首先分析題目已知3an+1+an=4（n∈N*）且a1=9，其前n項和為Sn，求滿足不等式|Sn﹣n﹣6|＜的最小整數n．故可以考慮把等式3an+1+an=4變形得到，然后根據數列bn=an﹣1為等比數列，求出Sn代入絕對值不等式求解即可得到答案．【題目詳解】對3an+1+an=4變形得：3（an+1﹣1）=﹣（an﹣1）即：故可以分析得到數列bn=an﹣1為首項為8公比為的等比數列．所以bn=an﹣1=8×an=8×+1所以|Sn﹣n﹣6|=解得最小的正整數n=7故選C．【題目點撥】此題主要考查不等式的求解問題，其中涉及到可化為等比數列的數列的求和問題，屬于不等式與數列的綜合性問題，判斷出數列an﹣1為等比數列是題目的關鍵，有一定的技巧性屬于中檔題目．3、A【解題分析】

當時，，運用韋達定理得，運用裂項相消求和可得由此能求出【題目詳解】當時，，由，可得，，由，．故選：A．【題目點撥】本題主要考查了函數的極限的運算，裂項相消求和，根與系數的關系，屬于中檔題．4、B【解題分析】

已知三次投籃共有20種，再得到恰有兩次命中的事件的種數，然后利用古典概型的概率公式求解.【題目詳解】三次投籃共有20種，恰有兩次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5種∴該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為故選：B【題目點撥】本題主要考古典概型的概率求法，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.5、B【解題分析】

建立空間直角坐標系，利用∠APC不是平角，可得∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0，即

，從而可求λ的取值范圍．【題目詳解】

由題設，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，

則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1）

∴

=（1，1，-1），∴

=（λ，λ，-λ），

∴

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）

顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0

∴

∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

＜λ＜1

因此，λ的取值范圍是（

，1），故選B.

點評：本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．6、A【解題分析】

根據向量投影公式計算即可【題目詳解】在方向上的投影是：故選：A【題目點撥】本題考查向量投影的概念及計算，屬于基礎題7、B【解題分析】

假設樁上有個圓環，將個圓環從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數為，根據題意求出數列的遞推公式，利用遞推公式求出數列的通項公式，從而得出的值，可得出結果.【題目詳解】假設樁上有個圓環，將個圓環從木樁全部套到木樁上，需要最少的次數為，可這樣操作，先將個圓環從木樁全部套到木樁上，至少需要的次數為，然后將最大的圓環從木樁套在木樁上，需要次，在將木樁上個圓環從木樁套到木樁上，至少需要的次數為，所以，，易知.設，得，對比得，，且，所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，，因此，，故選：B.【題目點撥】本題考查數列遞推公式的應用，同時也考查了利用待定系數法求數列的通項，解題的關鍵就是利用題意得出數列的遞推公式，考查推理能力與運算求解能力，屬于中等題.8、D【解題分析】

利用扇形面積，結合題中數據，建立關于圓心角的弧度數的方程，即可解得.【題目詳解】解：設扇形圓心角的弧度數為，因為扇形所在圓的半徑為，且該扇形的面積為，則扇形的面積為，解得：.故選：D.【題目點撥】本題在已知扇形面積和半徑的情況下，求扇形圓心角的弧度數，著重考查了弧度制的定義和扇形面積公式等知識，屬于基礎題.9、A【解題分析】

計算出ΔABC三個角的值，然后利用正弦定理可計算出AB的值.【題目詳解】在ΔABC中，AC=502m，∠ACB=45°，由正弦定理得ABsin∠ACB=ACsin【題目點撥】本題考查正弦定理解三角形，要熟悉正弦定理解三角形對三角形已知元素類型的要求，考查運算求解能力，屬于基礎題.10、B【解題分析】

先化簡集合A,B,再求A∩B.【題目詳解】由題得B={x|-1≤x≤3}，A=?所以A∩B=π故選：B【題目點撥】本題主要考查一元二次不等式的解法和集合的交集運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題,二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、；【解題分析】

由條件利用反三角函數的定義和性質即可求解.【題目詳解】，則，故答案為：【題目點撥】本題考查了反三角函數的定義和性質，屬于基礎題.12、(1)【解題分析】

利用線線平行的傳遞性、線面垂直的判定定理判定．【題目詳解】(1)，，，則，正確(2)若，，，則，錯誤(3)若，則不成立，錯誤(4)若，，,則，錯誤【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定定理判定，考查了空間想象能力，屬于中檔題.13、【解題分析】

設正方體的棱長為，求出三棱錐的主視圖面積為定值，當與重合時，三棱錐的俯視圖面積最大，此時主視圖與俯視圖面積比值最小.【題目詳解】設正方體的棱長為，則三棱錐的主視圖是底面邊為，高為的三角形，其面積為，當與重合時，三棱錐的俯視圖為正方形，其面積最大，最大值為，所以，三棱錐的主視圖與俯視圖面積比的最小值為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了空間幾何體的三視圖面積計算應用問題，屬于基礎題.14、【解題分析】

由于，則，然后將代入中，化簡即可得結果.【題目詳解】，，，故答案為.【題目點撥】本題考查了同角三角函數的關系，屬于基礎題.同角三角函數之間的關系包含平方關系與商的關系，平方關系是正弦與余弦值之間的轉換，商的關系是正余弦與正切之間的轉換.15、【解題分析】

利用等差數列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數列，求出a1，即可求出a1．【題目詳解】∵等差數列{an}的公差為1，a1，a3，a4成等比數列，

∴（a1+4）1=a1（a1+2），

∴a1=-8，

∴a1=-2．

故答案為-2.．【題目點撥】本題考查等比數列的性質，考查等差數列的通項，考查學生的計算能力，屬基礎題.．16、【解題分析】

根據題意，設與關于原點的對稱，分析可得的坐標，由二元一次不等式的幾何意義可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【題目詳解】根據題意，設與關于原點的對稱，則的坐標為，若、均在不等式表示的平面區域內，則有，解可得：，即的取值范圍為，；故答案為，．【題目點撥】本題考查二元一次不等式表示平面區域的問題，涉及不等式的解法，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）4.【解題分析】試題分析：(1)在三角形中處理邊角關系時，一般全部轉化為角的關系，或全部轉化為邊的關系.題中若出現邊的一次式一般采用正弦定理，出現邊的二次式一般采用余弦定理，應用正弦、余弦定理時，注意公式變形的應用，解決三角形問題時，注意角的限制范圍;(2)在三角興中，注意隱含條件（3）解決三角形問題時，根據邊角關系靈活的選用定理和公式.（4）在解決三角形的問題中，面積公式最常用，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯系起來.試題解析：（Ⅰ）由正弦定理得：即2分∴即4分∵∴即∴成等差數列.6分（Ⅱ）∵∴8分又10分由（Ⅰ）得：∴12分考點：三角函數與解三角形.18、（1）；（2），.【解題分析】

（1）先設等差數列的公差為，根據題中條件，求出公差，再由通項公式，得到，即可求出結果；（2）先由題意求出，得到等比數列的公比，再由等比數列的求和公式，即可得出結果.【題目詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，，所以，解得：；又，所以，即，解得：；（2）因為數列的公差，，所以；因此等比數列的公比為，所以其前項和為.【題目點撥】本題主要考查等差數列與等比數列的綜合，熟記通項公式與求和公式即可，屬于常考題型.19、（1）a=0.06，平均值為12.25小時（2）【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和，第三組的頻率，由此能求出a和該樣本數據的平均數，從而可估計該校學生一周課外閱讀時間的平均值；（2）從第3、4、5組抽取的人數分別為3、2、1，設為A，B，C，D，E，F，利用列舉法能求出從該6人中選拔2人，從而得到這2人來自不同組別的概率．【題目詳解】（1）由頻率