./白淑敏崔紅衛(wèi)概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題1.11．試判斷下列試驗是否為隨機試驗：〔1在恒力的作用下一質點作勻加速運動；〔2在5個同樣的球〔標號1,2,3,4,5,中,任意取一個,觀察所取球的標號；〔3在分析天平上稱量一小包白糖,并記錄稱量結果．解〔1不是隨機試驗,因為這樣的試驗只有唯一的結果．〔2是隨機試驗,因為取球可在相同條件下進行,每次取球有5個可能的結果：1,2,3,4,5,且取球之前不能確定取出幾號球．〔3是隨機試驗,因為稱量可在相同條件下進行,每次稱量的結果用x表示,則有,其中m為小包白糖的重量,為稱量結果的誤差限．易見每次稱量會有無窮多個可能結果,在稱量之前不能確定哪個結果會發(fā)生．2．寫出下列試驗的樣本空間．〔1將一枚硬幣連擲三次；〔2觀察在時間[0,t]內進入某一商店的顧客人數(shù)；〔3將一顆骰子擲若干次,直至擲出的點數(shù)之和超過2為止；〔4在單位圓內任取一點,記錄它的坐標．解〔1={〔正正正,〔正正反,〔正反正,〔反正正,〔正反反,〔反正反,〔反反正,〔反反反}；〔2={0,1,2,3,……}；〔3={〔3,4,〔5,6,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<1,1,1>,<1,1,2>,<1,1,3>,<1,1,4>,<1,1,5>,<1,1,6>}.〔4在單位圓內任取一點,這一點的坐標設為〔x,y,則x,y應滿足條件故此試驗的樣本空間為3．將一顆骰子連擲兩次,觀察其擲出的點數(shù)．令="兩次擲出的點數(shù)相同",="點數(shù)之和為10",="最小點數(shù)為4"．試分別指出事件、、以及、、、、各自含有的樣本點．解={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>};={<4,6>,<5,5>,<6,4>};={<4,4>,<4,5>,<4,6>,<5,4>,<6,4>};;={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<5,5>,<6,6>};={<4,5>,<4,6>,<5,4>,<6,4>};4．在一段時間內,某電話交換臺接到呼喚的次數(shù)可能是0次,1次,2次,…．記事件〔k=1,2,…表示"接到的呼喚次數(shù)小于k",試用間的運算表示下列事件：〔1呼喚次數(shù)大于2；〔2呼喚次數(shù)在5到10次范圍內；〔3呼喚次數(shù)與8的偏差大于2．解<1>；<2>；<3>.5．試用事件、、及其運算關系式表示下列事件：〔1發(fā)生而不發(fā)生；〔2不發(fā)生但、至少有一個發(fā)生；〔3、、中只有一個發(fā)生；〔4、、中至多有一個發(fā)生；〔5、、中至少有兩個發(fā)生；〔6、、不同時發(fā)生．解<1>；<2>；<3>；<4>；<5>；<6>6．在某大學金融學院的學生中任選一名學生．若事件表示被選學生是女生,事件表示該生是大學二年級學生,事件表示該生是運動員．〔１敘述的意義．〔2在什么條件下成立？〔3在什么條件下成立？解〔1該生是二年級女生,但非運動員．〔2全學院運動員都是二年級女生．〔3全系男生都在二年級7．化簡下列各事件：〔1；〔2；〔3；〔4〔5．.解．<1>；<2>；<3>；<4>；<5>.習題1.21．已知事件、、的概率分別為0.4,0.3,0.6．求解由公式及題設條件得又2．設,,,求〔1、、中至少有一個發(fā)生的概率；〔2、、都不發(fā)生的概率.解〔1由已知,且有,所以由概率的單調性知再由概率的加法公式,得、、中至少有一個發(fā)生的概率為〔2因為"、、都不發(fā)生"的對立事件為"、、中至少有一個發(fā)生",所以得P〔、、都不發(fā)生=1-0.625=0.375.3．設,,,求>,,>．解.由得則4．設、、是三個隨機事件,且有,,=0.8,求．解因則又由知,于是5．某城市共有、、三種報紙發(fā)行.已知該市某一年齡段的市民中,有45%的人喜歡閱讀報,34%的人喜歡閱讀報,20%的人喜歡閱讀報,10%的人同時喜歡閱讀報和報,6%的同時人喜歡閱讀報和報,4%的人同時喜歡閱讀報和報,1%的人、、三種報紙都喜歡讀.從該市這一年齡段的市民中任選一人,求下列事件的概率：〔1至少喜歡讀一種報紙；〔2不喜歡讀任何一種報紙；〔3只喜歡讀報；〔4只喜歡讀一種報紙.解設、、分別表示從該市這一年齡段的市民中任選一人喜歡讀報、報、報由題設知〔1該市這一年齡段的市民中任選一人至少喜歡讀一種報紙的概率〔2該市這一年齡段的市民中任選一人不喜歡讀任何一種報紙的概率<3>該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀報的概率<4>同理可以求得：該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀報的概率該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀報的概率故該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀一種報紙的概率6．設,則下列說法哪些是正確的？〔1和不相容；〔2和相容；〔3是不可能事件；〔4不一定是不可能事件〔5或；〔6.解因為概率為零的事件不一定是不可能事件,所以〔4正確；又因為,所以〔6正確.習題1.31．將10本書任意放到書架上,求其中僅有的3本外文書恰排在一起的概率．解設"3本外文書排在一起".10本書總的排法有10！種；3本書排成一列共有3！種,將這3本書排列后作為一個元素與另外7本書在一起有8！種排法,所以,事件含有的樣本點數(shù)為,故2．假設十把鑰匙中有三把能打開門,今任取兩把,求能打開門的概率．解設"能打開門".樣本空間的樣本點總數(shù)是,事件含有的樣本點數(shù)為,則3．某人欲給朋友打電話,但只記得朋友的電話由五個不同數(shù)字組成,其首位是5,末位是3,中間號不是0,只好試撥．求其試撥一次即撥對的概率．解設"試撥一次即撥對".由題意,樣本空間的樣本點總數(shù)為個,而正確的號碼只有一個.因此4．從裝有5只紅球4只黃球3只白球的袋中任意取出3只球,求下列事件的概率：〔1取到同色球；〔2取到的球的顏色各不相同．解〔1設"取到3只同色球".任取3只球的樣本點總數(shù)是,取到3只紅球的樣本點數(shù)是,取到3只黃球的樣本點數(shù)是,取到3只白球的樣本點數(shù)是,則〔2設"取到的球顏色各不相同".任取3只球的樣本點總數(shù)是,取到的球顏色各不相同,即取到一只紅球一只黃球一只白球,其樣本點數(shù)是,則5．將上題中的抽取方式改為"放回抽樣",即每次取出1球,記下顏色后放回,再作抽取,連取三次,求上述兩個事件的概率．解〔1設"取到3只同色球".樣本空間的樣本點總數(shù)是,取到3只紅球的樣本點數(shù)是,取到3只黃球的樣本點數(shù)是,取到3只白球的樣本點數(shù)是,則設"取到的球顏色各不相同".任取3只球的樣本點總數(shù)是,取到的球顏色各不相同,即取到一只紅球一只黃球一只白球,其樣本點數(shù)是,則6．一部四卷的文集,按任意次序放到書架上,問各卷自左向右,或自右向左的卷號的順序恰好為1,2,3,4的概率是多少?解設={文集排列為1,2,3,4或4,3,2,1的次序},而一切可能的排列總數(shù)為有利于所討論的事件的排序項序總數(shù)為k=2,即按1,2,3,4及4,3,2,1兩種次序排列.則所求概率為=0.08337．從5雙不同的的鞋中任取4只,求這4只鞋中至少有兩只配成一雙的概率.解〔1設="4只鞋中至少有兩只配成一雙},因為有利于事件A的取法總數(shù)為〔即先從5雙中任取一雙,再在其余8只中任取2只的取法共有種.是所取四只恰為兩雙的取法數(shù)是重復的數(shù)目,應用中扣掉,所以有8．兩封信隨機地投入四個郵筒,求前兩個郵筒內沒有信的概率．解設="前兩個郵筒內沒有信".因為每封信有4種投法,所以兩封信共有種投法,而所包含的樣本點數(shù)為,從而9．一間宿舍內住有6位同學,求他們中有4個人的生日在同一個月份的概率．解設="6位同學中有4個人的生日在同一個月份".每位同學的生日可能是12個月份中的一個月份,6位同學的生日可能有種不同分布方式,而事件的樣本點數(shù)為,于是,所求概率為10．某貨運碼頭僅能容一船卸貨,而甲已兩船在碼頭卸貨時間分別為1小時和2小時．設甲、乙兩船在24小時內隨時可能到達,求它們中任何一船都不需等待碼頭空出的概率.解設x,y分別表示兩船到達某地的時刻,用A表示兩船中的任何一船都不需等待碼頭空出.依題設,樣本空間事件顯然這是一個幾何概型,故習題1.4１．設,．問<1>什么條件下可以取最大值,其值是多少？〔２什么條件下可以取最小值,其值是多少？解〔１因為.要使最大,則需最大,當時,可以取最大值,此時；<2>因為所以時,取最小值,此時2．設箱中有5個零件,其中2個為不合格品,現(xiàn)從中一個個不放回取零件,求在第三次才取到合格品的概率．解設表示第i次取到合格品,則所求概率為3．由長期統(tǒng)計資料得知,某一地區(qū)在4月份下雨〔記為事件的概率為,刮風〔記為事件的概率為,既刮風又下雨的概率為．求解由題設知,,,則4．某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中36％為一等品,54％為二等品,10％為三等品．從中任意取出1件產(chǎn)品,已知它不是三等品,求其是一等品的概率．解設"取出的產(chǎn)品為一等品","取出的產(chǎn)品為二等品","取出的產(chǎn)品為三等品",則故所求概率為5．一批電子元件中,甲類的占80％,乙類的占12％,丙類的占8％．三類元件的使用壽命能達到指定要求的概率依次為0.9、0.8和0.7．今任取一個元件,求其使用壽命能達到指定要求的概率．解設"任取一個元件為甲類","任取一個元件為乙類","任取一個元件為丙類","達到指定要求",則有故由全概率公式,有6．某商店收進甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱,乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱．甲廠每箱裝100個,廢品率為0.06,乙廠每箱裝120個,廢品率是0.05,求：〔1任取一箱,從中任取1個為廢品的概率；〔2若將所有產(chǎn)品開箱混放,則任取1個為廢品的概率為多少？解〔1設"任取一箱為甲廠的產(chǎn)品","任取一箱為乙廠的產(chǎn)品","任取一個產(chǎn)品為廢品",則構成完備事件組,由全概率公式,有〔2甲廠產(chǎn)品30箱,每箱100個,廢品率為0.06,故共有甲廠產(chǎn)品個,其中次品個；乙廠產(chǎn)品20箱,每箱120個,廢品率為0.05,故共有乙廠產(chǎn)品個,其中次品個；兩廠產(chǎn)品混到一起,共有產(chǎn)品3000+2400=5400個,其中有次品180+120=300個,所以,從中任取一個為廢品的概率是7．甲袋中有3只白球4只紅球,乙袋中有5只白球2只紅球．從甲袋中任取2球投入乙袋,再從乙袋中任取2球．求最后取出的2球全是白球的概率．解設表示"第一次取到只白球",表示"第二次取到2只均為白球",則是的一個分割．且,即又故由全概率公式,可得8．設一箱產(chǎn)品共100件,其中次品個數(shù)從0到2是等可能的．開箱檢驗時,從中隨機抽取10件,如果發(fā)現(xiàn)有次品,則認為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收．〔1求該箱產(chǎn)品通過驗收的概率；〔2若已知該箱產(chǎn)品已通過驗收,求其中確實沒有次品的概率．解〔1設表示"次品個數(shù)為",表示"該箱產(chǎn)品通過驗收"．則由題意,有由全概率公式,得于是該箱通過驗收的概率為<2>所求概率為習題1.51.設,證明、相互獨立的充分必要條件是證明充分性因為P<A︱B>＋P<|>=1即故有即相互獨立．必要性因為相互獨立,則有從而即2.甲、乙、丙三門炮向同一飛機射擊．設甲、乙、丙射中的概率分別為0.4、0.5、0.7,又設若只有一門炮射中,飛機墜毀的概率為0.2；若有二門炮射中,飛機墜毀的概率為0.6；若三門炮射中,飛機墜毀的概率為0.8；無人射中,飛機不會墜毀．求飛機墜毀的概率．解設"飛機墜毀","門炮彈射中飛機"．顯然,構成完備事件組．三門炮各自射擊飛機,射中與否相互獨立,按加法公式及乘法公式,得再由題意知由全概率公式,得3.假設每名射手命中目標的概率都是0.3．問須多少名射手同時射擊,方能以0.99以上的概率擊中目標？解設有n名射手同時射擊,則目標被擊中的概率為由題意,求n,使即可得4.某商家對其銷售的筆記本電腦液晶顯示器作出如下承諾：若一年內液晶顯示器出現(xiàn)重大質量問題,商家保證免費予以更換．已知此種液晶顯示器一年內出現(xiàn)重大質量問題的概率為0.005,試計算該商家每月銷售的200臺電腦中一年內須免費予以更換液晶顯示器的臺數(shù)不超過1的概率．解根據(jù)題意,這是一個的200重的伯努利試驗問題,所求概率為5.某工廠生產(chǎn)的儀器中一次檢驗合格的占60％,其余的需重新調試．經(jīng)重新調試的產(chǎn)品中有80％經(jīng)檢驗合格,而20％會被判定為不合格產(chǎn)品而不能出廠．現(xiàn)該廠生產(chǎn)了200臺儀器,求下列事件的概率：〔1全部儀器都能出廠；〔2恰有10臺不合格.解設"儀器需要重新調試",那么"儀器能直接出廠"；又設"儀器能出廠",則"儀器經(jīng)調試后能出廠",且易知.于是考察200臺儀器,相當于的200重伯努利試驗,則〔1〔2.6.某廠的產(chǎn)品,80％按甲工藝加工,20％按乙工藝加工,兩種工藝加工出來的產(chǎn)品的合格率分別為0.8與0.9．現(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中放回地取5件來檢驗,求其中最多只有一件次品的概率．解設"產(chǎn)品是按甲工藝加工的",那么"產(chǎn)品是按乙工藝加工的"；又設"取出一件產(chǎn)品為次品",則由全概率公式,得現(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中放回地取5件來檢驗,相當于的200重伯努利試驗,則所求概率為綜合練習一一填空題1.將一顆骰子連擲兩次,該試驗的樣本空間為〔.2.三事件至多發(fā)生兩個可表示為〔.3.若事件互斥,,則〔0.4..4.已知兩個事件滿足條件且,則<>.5.設為二隨機事件,,則〔0.6.6.將一枚硬幣連擲兩次,則出現(xiàn)一次正面一次反面的概率為〔.7.已知兩個隨機事件滿足條件,則<0.4>.8.設5產(chǎn)品中有2件不合格品,從中任取兩件,已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品,則另一件也是不合格品的概率為〔.9.設某系統(tǒng)由元件和兩個并聯(lián)的元件串聯(lián)而成,若損壞與否相互獨立,且它們損壞的概率依次為0.3,0.2,0.1,則系統(tǒng)正常工作的的概率為〔0.089..10.將一只骰子連續(xù)擲3次,則至少有一次出現(xiàn)3點的概率為〔.二選擇題1．.對擲一枚硬幣的試驗,"出現(xiàn)正面"稱為〔<d>.<a>樣本空間<b>必然事件<c>不可能事件<d>隨機事件2．設A,B是任意兩個概率不為零的互不相容事件,則必有〔<d>.<a><b>與相容<c>與互不相容<d>3．設當同時發(fā)生時,事件C必發(fā)生,則〔<b>.<a><b><c><d>4．設,則<<d>>.5．設為三個隨機事件,且,則〔<a>6．設對于事件有,,,則至少發(fā)生一個的概率為<<d>>7．設為兩個隨機事件,且,則有〔<c><a><b><c> <d>8．事件相互獨立,且〔<b>.9．設兩個相互獨立的事件都不發(fā)生的概率為,發(fā)生B不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等,則<<c>>10．若則〔<a>.三解答題1．判斷關于事件的結論是否成立,為什么?解利用事件運算的分配律,有顯然,一般不等于A,故結論不一定成立,,只有時,結論成立.2．設6位同學每位都等可能地進入十間教室中任何一間自習,求下列事件的概率：〔1某指定教室有2位同學；〔26位同學所在的教室各不相同；〔3只有2位同學在同一教室；〔4至少有2位同學在同一教室．解因為對教室中的人數(shù)沒有限制,所以每位同學都有10種選擇,6位同學共有種選法,即樣本點總數(shù)為．〔1設"某指定教室有2位同學",則包含的樣本點數(shù)為,故〔2設"6位同學所在的教室各不相同",則包含的樣本點數(shù)為,故〔3設"只有2位同學在同一教室",則包含的樣本點數(shù)為,故〔4設"至少有2位同學在同一教室",則"6個同學均在不同的教室",故3．〔1從7副同型號的手套中任意取出4只,求恰有一雙配套的概率；〔2若是7副不同型號的手套,上述事件的概率為何？解〔1設="從7副同型號的手套中任意取出4只,恰有一雙配套",則樣本空間的樣本點總數(shù)為,事件包含的樣本點數(shù)為,于是〔2設"從7副不同型號的手套中任意取出4只,恰有一雙配套",則樣本空間的樣本點總數(shù)為,事件包含的樣本點數(shù)為,于是4．甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同種產(chǎn)品,次品率分別為0.05、0.08、0.1．從三個車間各取1件產(chǎn)品檢查,求下列事件的概率：〔1恰有2件次品；〔2至少有1件次品．解設="從甲車間取出的是次品","從乙車間取出的是次品","從丙廠取出的是次品".〔1設D="恰有2件次品",則,于是〔2設"至少有1件次品",則5．在[0,1]區(qū)間內任取兩個數(shù),求兩數(shù)乘積小于的概率.解設任取得兩個數(shù)為x,y,用A表示兩數(shù)的乘積小于這一事件,樣本空間事件顯然利用幾何概型的計算公式有,6．甲、乙兩人輪流投籃,甲先開始,假定他們的命中率分別為0.4及0.5,問誰先投中的概率較大,為多少？解設表示"甲第次投中",表示"乙第次投中"．事件"甲先投中"可表示為則甲先投中的概率為即甲先投中的概率較大,概率為0.57.7．某保險公司把被保險人分為3類："謹慎的"、"一般的"、"冒失的".統(tǒng)計資料表明,上述3種人在一年內發(fā)生事故的概率依次為0.05、0.15和0.30；如果"謹慎的"被保的人占20%,"一般的"占50%,"冒失的"占30%.<1>求被保險的人一年內出事故的概率.〔2現(xiàn)知某被保險的人在一年內出了事故,則他是"謹慎的"的概率是多少？解〔1設"被保險的人一年出事故","被保險的人是謹慎的","被保險的人是一般的,"被保險的人是冒失的"顯然,構成完備事件組．三類人一年內是否出事故,相互獨立,<2>8．設某車間共有5臺車床,每臺車床使用電力是間歇性的,平均每小時約有6分鐘使用電力.假設車工們工作是相互獨立的,求在同一時刻,〔1至少有三臺車床被使用的概率〔2至多有有三臺車床被使用的概率〔3至少有一臺車床被使用的概率.解設A表示"車床被使用"即使用電力事件.有9．某種疾病在牲畜中傳染的概率為0.25.設對20頭牲畜注射某種血清后,其中仍有一頭受到感染,試問這種血清是否有效？解若這種血清無效,則因每頭牲畜注射血清后都有受到感染和未受感染兩種結果,且牲畜間是相互獨立的,故此試驗相當于20重貝努利試驗,n=20,p=0.25,故知20頭牲畜中出現(xiàn)至多一頭受感染的概率為因為這個概率很小,一般在一次試驗中不易發(fā)生,故根據(jù)小概率推斷原理,知此種血清是有效的.10．某自動化機器發(fā)生故障的概率為0.2.如果一臺機器發(fā)生故障只需要一個維修工人去處理,因此,每8臺機器配備一個維修工人.試求：<1>維修工人無故障可修的概率；〔2工人正在維修一臺出故障的機器時,另外又有機器出故障待修的概率.如果認為每四臺機器配備一個維修工人,還經(jīng)常出來故障得不到及時維修.那么,四臺機器至少應配備多少個維修工人才能保證機器發(fā)生了故障待維修的概率小于3%.解〔1由已知條件知,每臺機器發(fā)生故障是相互獨立的,故維修工人無故障可修的事件,即為8臺機器均不發(fā)生故障的事件,故所求概率為〔2因為工人正在維修一臺出故障的機器時,另外又有機器出了故障待修的事件的逆事件為8臺機器中至多有一臺發(fā)生故障,故所求機器待修的概率為又按四臺機器配備維修工人時,若配備一個工人,則當機器發(fā)生故障,又不能及時維修〔發(fā)生故障的機器多于1臺的概率為若四臺機器配備2人時,則當機器發(fā)生故障又不能及時維修的概率為故四臺機器至少應配備2個維修工人才能保證機器發(fā)生了故障待維修的概率小于3%.11*巴拿赫火柴盒問題：某數(shù)學家有甲、乙兩盒火柴,每盒有N根火柴,每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中任取一根．試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時另一盒恰有r根的概率是多少〔r=1,2,3,┄,N？第一次用完一盒火柴時〔不是發(fā)現(xiàn)空而另一盒恰有r根的概率又是多少？解設選取甲盒火柴為"成功",選取一盒火柴為"失敗",于是相繼選取甲盒"成功"與"失敗"的概率均為1∕2,且為獨立試驗序列〔1當在某一時刻首次發(fā)現(xiàn)甲盒中無火柴,意味著取到甲盒N+1次,取到乙盒N-r次.且最后一次取到甲盒,前N+N-r=2N-r次中恰有N次取到甲盒,故其概率為再由對稱性可知,他首次發(fā)現(xiàn)乙盒中無火柴而甲盒中恰剩r根事件的概率亦為故所求概率為〔2同理,第一次用完一盒火柴〔不是發(fā)現(xiàn)空而另一盒恰有r根事件的概率為事實上,第一次用完一盒火柴〔不是發(fā)現(xiàn)空而另一盒恰有r根意味著取到甲盒N次,取到乙盒N-r,且最后一次取到甲盒,前N-1+N-r=2N-r-1次中恰有N-1次取到甲.習題2.11．試分別給出隨機變量的可能取值為可列、有限的實例．解用表示一個電話交換臺每小時收到呼喚的次數(shù),的全部可能取值為可列的0,1,2,3,…,；用表示某人擲一枚骰子出現(xiàn)的點數(shù),的全部可能取值為有限個1,2,3,4,5,6；2．試給出隨機變量的可能取值至少充滿一個實數(shù)區(qū)間的實例．解用表示某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命〔以小時記,的全部可能取值為區(qū)間〔0,+∞〔0,+∞3．設隨機變量的分布函數(shù)為=確定常數(shù)的值,計算.解由可得.4．試討論：、取何值時函數(shù)是分布函數(shù)．解由分布函數(shù)的性質,有,可得于是習題2.21．設10個零件中有3個不合格．現(xiàn)任取一個使用,若取到不合格品,則丟棄重新抽取一個,試求取到合格品之前取出的不合格品數(shù)的概率分布．解由題意知,的取值可以是0,1,2,3.而取各個值的概率為因此的概率分布為2．從分別標有號碼1,2,…,7的七張卡片中任意取兩張,求余下的卡片中最大號碼的概率分布．解設X為余下的卡片的最大號碼,則X的可能取值為5、6、7,且即所求分布為3．某人有n把外形相似的鑰匙,其中只有1把能打開房門,但他不知道是哪一把,只好逐把試開．求此人直至將門打開所需的試開次數(shù)的概率分布．解設此人將門打開所需的試開次數(shù)為,則的取值為,事件,且,,……,故所需試開次數(shù)的分布為4．隨機變量只取1、2、3共三個值,并且取各個值的概率不相等且組成等差數(shù)列,求的概率分布．解設,則由題意有解之得設三個概率的公差為,則,即的概率分布為,5．設隨機變量的全部可能取值為1,2,…,n,且與成正比,求的概率分布．解由題意,得其中是大于0的待定系數(shù)．由,有即,解之得.把代入,可得到的概率分布為6．一汽車沿街道行駛時須通過三個均設有紅綠燈的路口．設各信號燈相互獨立且紅綠兩種信號顯示的時間相同,求汽車未遇紅燈通過的路口數(shù)的概率分布．解設汽車未遇紅燈通過的路口數(shù)為,則的可能值為0,1,2,3．以表示事件"汽車在第個路口首次遇到紅燈",則相互獨立,且． 對,有所以汽車未遇紅燈通過的路口數(shù)的概率分布為7．將一顆骰子連擲若干次,直至擲出的點數(shù)之和超過3為止．求擲骰子次數(shù)的概率分布．解設擲骰子次數(shù)為,則可能取值為1,2,3,4,且；；所以擲骰子次數(shù)的概率分布為8．設的概率分布為01230.20.30.10.4試求〔1的分布函數(shù)并作出其圖形；〔2計算,,．解〔1由公式,得〔29．設隨機變量的分布函數(shù)為試求〔1求的概率分布；〔2計算,,,解<1>對于離散型隨機變量,有,因此,隨機變量的概率分布為<2>由分布函數(shù)計算概率,得；；；10．已知隨機變量服從0—1分布,并且=0.2,求的概率分布．解只取0與1兩個值,=－＝0.2,11．已知=,n=1,2,3,,求的值．解因為有解此方程,得.12．商店里有5名售貨員獨立地售貨．已知每名售貨員每小時中累計有15分鐘要用臺秤．〔1求在同一時刻需用臺秤的人數(shù)的概率分布；〔2若商店里只有兩臺臺秤,求因臺秤太少而令顧客等候的概率．解<1>由題意知,每名售貨員在某一時刻使用臺秤的概率為,設在同一時刻需用臺秤的人數(shù)為,則,所以<2>因臺秤太少而令顧客等候的概率為13．保險行業(yè)在全國舉行羽毛球對抗賽,該行業(yè)形成一個羽毛球總隊,該隊是由各地區(qū)的部分隊員形成．根據(jù)以往的比賽知,總隊羽毛球隊實力較甲地區(qū)羽毛球隊強,但同一隊中隊員之間實力相同,當一個總隊運功員與一個甲地區(qū)運動員比賽時,總隊運動員獲勝的概率為0.6,現(xiàn)在總隊、甲隊雙方商量對抗賽的方式,提出三種方案：〔1雙方各出3人；〔2雙方各出5人；〔3雙方各出7人．3種方案中得勝人數(shù)多的一方為勝利．問：對甲隊來說,哪種方案有利？解設以上三種方案中第i種方案甲隊得勝人數(shù)為則上述3種方案中,甲隊勝利的概率為〔1〔2〔3因此第一種方案對甲隊最為有利．這和我們的直覺是一致的.14．有某商店過去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來描述．為了以95%以上的把握保證不脫銷,問商店在月底至少應進某種商品多少件？解設該商店每月銷售這種商品數(shù)為X,月底進貨為a件,則為了時不脫銷,故有由于上式即為查表可知于是,這家商店只要在月底進貨這種商品9件〔假定上個月沒有存貨,就可以95%以上的把握保證這種商品在下個月不會脫銷.15．一本300頁的書中共有240個印刷錯誤．若每個印刷錯誤等可能地出現(xiàn)在任意1頁中,求此書首頁有印刷錯誤的概率．解根據(jù)題意,可將問題看作是一個240重伯努利試驗,每一個錯誤以概率出現(xiàn)在指定的一頁上,以概率不出現(xiàn)在這一頁上．以表示出現(xiàn)在首頁上的錯誤數(shù),則,而所求概率為16．設某高速公路上每天發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為=2的泊松分布．已知今天上午該公路上發(fā)生了一起交通事故,求今天該公路上至少發(fā)生三起交通事故的概率．解設每天發(fā)生交通事故的次數(shù)為,由題知服從參數(shù)為的泊松分布,即已知今天上午該公路上發(fā)生了一起交通事故,則今天至少發(fā)生一次交通事故,其概率為該公路上每天至少發(fā)生三起交通事故的概率為所以所求概率為17．某傳呼臺有客戶3000．已知每個客戶在任意時刻打傳呼的概率為千分之二,問傳呼臺至少應安排多少名傳呼員才能以不低于0.9的概率保證客戶打入電話時立刻有人接？解設在任意時刻打傳呼的客戶數(shù)為,由題意可知,．又設安排名傳呼員,則由題意有．由泊松定理,近似服從的泊松分布,即查的泊松分布表,可得．18．某公司采購人員在購買一種電腦用芯片時被告知：此種芯片的合格率為0.98,為了以不低于0.95的概率保證至少買到80只合格的芯片,該采購員應購買多少只芯片？解設該采購員應購買只芯片,則其中的不合格芯片數(shù)為,由題意可知,,且由泊松定理近似服從參數(shù)為的泊松分布,其中〔這里n顯然不會太大.于是有查表得,所以該采購員應購買84只芯片習題2.31．已知函數(shù)其,問是否為密度函數(shù),為什么？解顯然又所以是密度函數(shù).2．設隨機變量試確定常數(shù)的值,如果=0.5,求的值．解解方程得解關于b的方程：得3．某種電子元件的壽命是隨機變量,概率密度為3個這種元件串聯(lián)在一個線路中．計算這3個元件使用了150小時后仍能使線路正常工作的概率解由已條件知,串聯(lián)線路正常工作當且僅當3個元件都能正常工作.而三個元件的壽命是三個相互獨立同分布的隨機變量,因此若用事件A表示"線路正常工作",則故4．設隨機變量的密度為試求〔1常數(shù)；〔2的分布函數(shù)．解<1>由密度函數(shù)的性質,有<2>由,有于是,X的分布函數(shù)為.5．已知連續(xù)隨機變量的密度為〔1求的分布函數(shù)；〔2計算,．解<1>由分布函數(shù)的定義,有6．設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為試確定、并求．解因X為連續(xù)型隨機變量,故其分布函數(shù)在上連續(xù),從而解得于是習題2.41．設隨機變量在[2,5]上服從均勻分布．現(xiàn)對進行3次獨立觀測,求至少有兩次的觀測值大于3的概率．解因為隨機變量X服從均勻分布,故其密度函數(shù)為易得設A表示"對進行3次獨立觀測,至少有兩次的觀測值大于3的"事件,則2．設隨機變量服從[0,5]上的均勻分布,求關于x的二次方程=0有實數(shù)根的概率．解的二次方程有實根的充要條件是它的判別式即解得或由假設,在區(qū)間上服從均勻分布,其概率密度為故所求概率為3．設,求：〔1的分布函數(shù)；〔2；〔3常數(shù),使=．解由題知,即的概率密度為〔1由定義當時,,當時,所以,的分布函數(shù)為<2><3>由題知,則4．某種電腦顯示器的使用壽命〔單位：千小時服從參數(shù)為的指數(shù)分布．生產(chǎn)廠家承諾：購買者使用1年內顯示器損壞將免費予以更換．〔1假設用戶一般每年使用電腦2000小時,求廠家須免費為其更換顯示器的概率；〔2顯示器至少可以使用10000小時的概率為何？〔3已知某臺顯示器已經(jīng)使用10000小時,求其至少還能再用10000小時的概率．解因為服從參數(shù)為的指數(shù)分布,所以的密度函數(shù)為<1><2><3>5．設,求：〔1,,；〔2常數(shù),使=0.8944．解<1>因為故有<2>由得即于是6．某種電池的使用壽命〔單位：小時是一個隨機變量,．〔1求其壽命在250小時以上的概率；〔2求一允許限x,使落入?yún)^(qū)間〔300－x,300＋x內的概率不小于0.9．解<1>由,可得<2>由題意,知即查表得則,即．7．某高校一年級學生的數(shù)學成績X近似地服從正態(tài)分布,其中90分以上的占學生總數(shù)的4％．求：〔1數(shù)學不及格的學生的百分比；〔2數(shù)學成績在65～80分之間的學生的百分比．解先求方差.因為90分以上的占學生總數(shù)的4%,所以有即從而查表可知,則．于是.<1>數(shù)學不及格的學生的百分比為<2>數(shù)學成績在分之間的學生的百分比為習題2.51．設的分布列為－2－101求及的概率分布．解將函數(shù)值相同的概率相加,得隨機變量的概率分布為隨機變量的概率分布為2．設,求的概率密度．解因為,所以的密度函數(shù)為由于函數(shù)單增且其反函數(shù)故Y=的概率密度函數(shù)為3．設=,求的密度．解函數(shù)單增且其反函數(shù),故Y=lnX的密度函數(shù)為．4．設服從的指數(shù)分布,證明在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布．證由定義知,的分布函數(shù)為當時,當時,當時,由服從的指數(shù)分布,故因而所以隨機變量的分布函數(shù)為即證得在區(qū)間上服從均勻分布．5．隨機變量服從[0,]上的均勻分布,,求的概率密度.解由于在上單調,于是在上,．又隨機變量服從[0,]上的均勻分布,因此綜合練習二一、填空題1.設隨機變量的概率分布為,則〔6.2.一批零件的次品率為0.01,連取三次,每次一件<有放回>,則取到的次品次數(shù)服從的概率分布為〔.3.設隨機變量X～B<2,p>,Y～B<3,p>,若P<X1>=,則P<Y1>=<>.4.設,且,則〔.5.設隨機變量的密度函數(shù)為,則〔100.6.設隨機變量的分布函數(shù)為,則〔.7.設隨機變量的分布列為,則的分布函數(shù)為〔.8.已知隨機變量的密度函數(shù)為,則〔.9.設連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)為,則的密度函數(shù)為〔.10.設,則〔二、選擇題1．下列函數(shù)為某隨機變量密度函數(shù)的是<>．<a><b><c><d>2．設隨機變量的密度函數(shù)為且,是的分布函數(shù),則對任意實數(shù),有〔．3．設與分別為隨機變量與的分布函數(shù),為使是某一隨機變量的分布函數(shù),在下列給定的各組數(shù)值中應取〔〔a<a><b><c><d>．4．設是連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù),則〔<d>．5．設隨機變量X的概率密度函數(shù)為,則的分布函數(shù)為〔<c>．6．設一個零件的使用壽命X的密度函數(shù)為,則三個這樣的零件中恰好有一個的使用壽命超過1000的概率為〔<b>．.7．設隨機變量,其概率密度函數(shù)為,分布函數(shù)是,則正確的結論是〔<b>8．下列函數(shù)中不是正態(tài)密度函數(shù)的為〔<b>．9．設隨機變量的密度函數(shù)為,則的密度函數(shù)為〔<c>．<a><b><c><d>10．若隨機變量服從均勻分布,則的密度函數(shù)為〔<d>．三、解答題1．如果,n=1,2.,問它是否能成為一個離散型概率分布,為什么？解因為由于級數(shù)收斂,若記,只要取則有且所以它可以成為離散型隨機變量的分布.2．一條公共汽車路線的兩個站之間,有四個路口處設有信號燈,假定汽車經(jīng)過每個路口時遇到綠燈可順利通過,其概率為0.6,遇到紅燈或黃燈則停止前進,其概率為0.4,求汽車開出站后,在第一次停車之前已通過的路口信號燈數(shù)目X的概率分布〔不計其他因素停車．解X可以取0,1,2,3,4.,3．一盒中有6個球,在這6個球上標注的數(shù)字分別為-3,-3,1,1,1,2,現(xiàn)從盒中任取一球,試取得的球上標注的數(shù)字的分布律及分布函數(shù)．解的全部可能取值為-3,1,2.則分布律為-312故的分布函數(shù)為4．據(jù)調查有同齡段的學生,他們完成一道作業(yè)的時間是一個隨機變量,單位為小時．它的密度函數(shù)為〔1確定常數(shù)；〔2寫出的分布函數(shù)；〔3試求出在20分鐘內完成一道作業(yè)的概率；〔4試求10分鐘以上完成一道作業(yè)的概率．解<1>由密度函數(shù)的性質,有由,有〔2X的分布函數(shù)為〔3P{20分鐘內完成一道作業(yè)的}=<4>P{10分鐘以上完成一道作業(yè)}=5.某工廠為了保證設備正常工作,需要配備一些維修工．如果各臺設備發(fā)生故障是相互獨立的,且每臺設備發(fā)生故障的概率都是0.01,試在以下各種情況下,求設備發(fā)生故障而不能及時修理的概率．〔1一名維修工負責20臺設備．〔23名維修工負責90臺設備．〔310名維修工負責500臺設備．解<1>由題意,用X表示20臺設備中同時發(fā)生故障的臺數(shù),則用參數(shù)的泊松分布作近似計算,得所求概率為<2>用Y表示90臺設備中同時發(fā)生故障的臺數(shù),則用參數(shù)的泊松分布作近似計算,得所求概率為由這一結論說明,在這種情況下不但所求概率比〔1中有所降低,而且3名維修工負責90臺設備相當于每個維修工負責30臺設備,工作效率顯然高于〔1中,是〔1中的1.5倍.〔3用Z表示500臺設備中同時發(fā)生故障的臺數(shù),則用參數(shù)的泊松分布作近似計算,得所求概率為由這一結論說明,在這種情況下所求概率比與〔2中基本一致,,而且10名維修工負責500臺設備相當于每個維修工負責50臺設備,工作效率顯然高于〔2中,是〔2中的1.67倍,是〔1中的2.5倍.6．某汽車站為職工上班方便每日特地安排了兩趟定員均為30人的早班車,分別于7：20和7：30準時開車．已知汽車站周邊每日有50名職工要趕這兩班車上班,每名職工都獨自趕往車站,且每人到達車站的時刻均勻分布于7：15～7：30之間．試求：〔1任何1名職工在7：15～7：20之間到達車站的概率；〔2有職工在7：15～7：20之間到達車站但卻須乘第二班車上班的概率〔只給出表達式,不必計算．解<1>因為每人到達車站的時刻均勻分布于7:157:30之間,所以任意一名職工在7:157:20之間到達車站的概率為<2>設在7:157:20之間到達車站的乘客人數(shù)為,根據(jù)題意,而所求概率為7．隨機變量隨機變量,若,計算的值,求解因,所以,查表得解之得查表得0.32288．某單位招聘員工,共有10000人報考.假設考試成績服從正態(tài)分布,且已知90分以上有359人,60分以下有1151人.現(xiàn)按考試成績從高分到低分依次錄用2500人,試問被錄用者中最低分為多少？解用隨機變量X表示考試成績,則則有,整理后得解方程組得設錄用者中最低分數(shù)為a,則有,即,查表得a=78.7可見,被錄用者中最低分為78.7.9．設隨機變量,求的密度函數(shù)．解因為,所以的分布函數(shù)從而的密度函數(shù)為10．設,求的密度．.解由于在上滿足,故時,．當時所以當時,綜上所述得于是Y=sinX的密度函數(shù)為習題3.11.試給出二維隨機變量的實例解.參考教材2.已知二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為〔1求關于和的邊緣分布函數(shù)和．〔2求．解〔1關于的邊緣分布函數(shù)為關于的邊緣分布函數(shù)為注意到所以=．3．二元函數(shù)是否是某個二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)？說明理由．解若二元函數(shù)為某二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù),則必須滿足二維分布函數(shù)的所有性質.但若取,便可得到所以不是任何二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)．習題3.21．盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,在其中任取4只．以表示取到黑球的只數(shù),以表示取到紅球的只數(shù)．求的聯(lián)合概率分布．解設和的可能取值分別為,則.因盒子里有3種球,在這3種球中任取4只,其中黑球和紅球的個數(shù)之和另一方面,因為白球只有2個,則在取的4只球中,故當時當或時于是有012000102302．將一顆骰子連擲兩次,令為第一次擲出的點數(shù),為兩次擲出的最大點數(shù),求的聯(lián)合分布和邊緣分布．解設第二次擲出的點數(shù)為,則的可能取值都為1,2,3,4,5,6,且有依次可求得,,,即有1234561203004000500006000003．設,令,求的聯(lián)合分布和邊緣分布．解由已知,的所有可能取值為〔0,-1,〔0,1,〔1,-1,〔1,1,〔2,-1,〔2,1.其概率分別為于是,的聯(lián)合分布和邊緣分布為10010204．設,,且．求的聯(lián)合分布.解由,得,于是設和的聯(lián)合分布及邊緣分布有如下的結構01-100101則可得,即同理可得由,可得于是的聯(lián)合分布如下表：01-1000105．將一硬幣拋擲三次,以表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù),以表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與反面次數(shù)之差的絕對值,試寫出與的聯(lián)合分布律與邊緣分布．解的可能取值為0,1,2,3；的可能取值為1,3,即正面出現(xiàn)1次或2次時=1,正面出現(xiàn)3次或0次時=3.,,,,,,,所求概率分布為1300102030習題3.31．設的聯(lián)合密度為〔1求常數(shù)；〔2求的聯(lián)合分布函數(shù)；〔3求與．解〔1由密度函數(shù)的性質得〔2當時,當為其他情況時,所以,聯(lián)合分布函數(shù)為〔32．設二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)為試求：〔1聯(lián)合密度函數(shù)及的邊緣密度函數(shù)．〔2求概率．解〔1對分布函數(shù)求偏導可得的概率密度函數(shù)為故X的邊緣密度函數(shù),同理Y的邊緣密度函數(shù)．〔2．3．設的聯(lián)合密度為〔1求常數(shù)；〔2求邊緣密度；〔3求與．解〔1由概率密度函數(shù)的性質知所以,得〔2的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為〔34．設的聯(lián)合密度函數(shù)為〔1求邊緣密度函數(shù)；〔2求．解<1>的邊緣密度為的邊緣密度函數(shù)為<2>5．設二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為〔1求隨機變量的密度函數(shù)；〔2求概率．解〔1的邊緣概率密度為〔26．設在上服從均勻分布,試證明分別服從和上的均勻分布．證明因為區(qū)域的面積,所以的聯(lián)合分布密度為的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為所以X,Y分別服從區(qū)間上的均勻分布.7．設在上服從均勻分布,求：〔1的邊緣密度；〔2．解因區(qū)域D=的面積為,故的聯(lián)合密度函數(shù)為〔1的邊緣密度為的邊緣密度為〔2設半圓形區(qū)域的面積為,則因,又區(qū)域D=的面積為,且〔X,Y在區(qū)域D上服從均勻分布,故8．設～求.解顯然有,所以引進極坐標則習題3.41.設二維隨機變量的聯(lián)合分布律如下表所示：3690.40.80.150.050.300.120.350.03〔1求關于的邊緣分布律；〔2與是否相互獨立？解〔1由聯(lián)合分布律的邊緣分布為3690.40.80.150.050.300.120.350.030.80.20.20.420.38〔2由于故與不獨立.2.設已知的分布列分別為Y01PX01P且．試問是否獨立？解設〔X,Y的聯(lián)合分布列為YX01pi·01因為所以于是可得從而即得〔X,Y的聯(lián)合分布列為YX01pi·01000因為,可見不獨立.3.設在圓域上服從均勻分布,問X和Y是否相互獨立？解的聯(lián)合密度為可見在在圓域上,,故不獨立.4.從〔0,1中任取兩個數(shù),求下列事件的概率〔1兩數(shù)之和小于1.2.〔2兩數(shù)之積小于0.25.解設從〔0,1中任取兩個數(shù)分別記為X,Y,則X和Y相互獨立,且都服從〔0,1上的均勻分布,由此〔X,Y的聯(lián)合密度函數(shù)為x+x+y=1.2xyoSA用A表示"兩數(shù)之和小于1.2"事件,則所求事件的概率,如右圖陰影部分面積SA與正方型面積SΩ之比,即xy=0.25xyxy=0.25xyoSB如右圖陰影部分面積SB與正方型面積SΩ之比,于是5．甲、乙相約9：10在車站見面．假設甲、乙到達車站的時間分別均勻分布在9：00～9：30及9：10～9：50之間,且兩人到達的時間相互獨立．求下列事件的概率：〔1甲后到；〔2先到的人等后到的人的時間不超過10分鐘．解設甲和乙到達車站的時間分別為隨機變量和,則由題知,和的邊緣密度分別為,又因為和相互獨立,所以聯(lián)合概率密度為由的聯(lián)合密度函數(shù)可知二維隨機變量在矩形區(qū)域內服從均勻分布.〔1設,則〔2設,則習題3.51．設的聯(lián)合分布為YX01230120.0500.10.10.10.10.10.050.10.10.20求下列各隨機變量的概率分布：〔1；〔2；〔3解〔1的可能取值有0,1,2,3,4,5故的分布律為〔2的可能取值有0,1,2,3故的分布律為〔3的可能取值有0,1,2故的分布律為2．設隨機變量服從參數(shù)為的幾何分布,即〔,k=1,2,…與獨立同分布,求的分布．解已知則當時,有由于Y與X獨立,從而3．設與相互獨立且,.求的密度函數(shù)．解設Z=X＋Y的密度函數(shù)為,則由卷積公式顯然,當時,當時,注意到只有當時,才均取非0表達式,故于是,Z=X＋Y的密度函數(shù)為.4．設與相互獨立且都服從〔0,a上的均勻分布,求隨機變量的密度函數(shù).解由題意有,由于與相互獨立,故由卷積公式當時,當時,欲使被積函數(shù)非零,必須有,從而,所以當時,欲使被積函數(shù)非零,必須有,從而,所以；當時,不可能同時滿足,所以.綜合起來,有.5．設為隨機變量,已知=,=〔1求；〔2求解〔1〔26．設與相互獨立,已知服從〔0,1上的均勻分布,服從指數(shù)分布e<3>.試求,的概率密度．解因即其概率密度及分布函數(shù)分別為,即其概率密度及分布函數(shù)分別為<1>的分布函數(shù)為故〔2的分布函數(shù)為故習題3.61．盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,在其中任取4只．以X表示取到黑球的只數(shù),以表示取到紅球的只數(shù)．求隨機變量在條件下的條件分布．解條件分布的公式為代入習題3.2中第1題的數(shù)字,得依次為依次為依次為2．將一顆骰子連擲兩次,令為第一次擲出的點數(shù),為兩次擲出的最大點數(shù),求隨機變量條件下的條件分布．解條件分布的公式為代入習題3.2中第2題的數(shù)字,得3．已知的聯(lián)合密度函數(shù),求兩個條件密度與．〔1〔2〔3〔4解〔1于是,有當時當時〔2于是,有當時當時〔3可以求得于是,有當時當時〔4先求兩個邊緣密度函數(shù)從而可得綜合習題三一、填空題1.將一枚硬幣連續(xù)擲兩次,以分別表示兩次所出現(xiàn)的正面次數(shù),則的聯(lián)合概率分布為〔.X01012.二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合概率分布為Y－112X00.10.050.210.20.10.0520.10.20則〔0.6.3.設隨機變量,令,則的聯(lián)合概率分布為〔01.014.設二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合分布律為XY0101則〔,b＝〔.5.設的聯(lián)合密度函數(shù)為,則〔8.6.設隨機變量都服從均勻分布,且與相互獨立,則隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)<>.7.設與相互獨立同分布,且的分布律為X01P則隨機變量的分布律為〔.8.維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合概率分布為Y01X00.10.310.20.120.10.2則隨機變量的概率分布律為〔.9.若隨機變量與相互獨立,且,,則服從的分布是〔.10.設與相互獨立同分布,服從參數(shù)為的指數(shù)分布,即,則的概率密度函數(shù)為〔.二、選擇題1.設二維隨機變量的聯(lián)合分布律為XY0101則〔<c>.2.設二維隨機變量在區(qū)域內服從均勻分布,則的聯(lián)合密度函數(shù)〔<b>.<a><b><c><d>3.若二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為,則系數(shù)〔<b>.4.若二維隨機變量在區(qū)域內服從均勻分布,則<<d>>..5.與相互獨立且均在在區(qū)間〔0,3上服從均勻分布,則〔<b>.6.設與相互獨立,且在區(qū)間〔0,2上服從均勻分布,服從指數(shù)分布,則的聯(lián)合密度函數(shù)為〔<b>.<a><b><c><d>7*.設與相互獨立,分布函數(shù)分別為,則的分布函數(shù)為〔<c>.<a><b><c><d>8*.設,,且與相互獨立,則〔<c>.9.下列命題不正確的是〔<a>.<a>兩個獨立的服從指數(shù)分布的隨機變量之和仍服從指數(shù)分布；<b>兩個獨立的服從正態(tài)分布的隨機變量之和仍服從正態(tài)分布；<c>二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布均為一維正態(tài)分布；<d>若在區(qū)域上服從均勻分布,則X與Y相互獨立.10*.若的聯(lián)合密度函數(shù)為,則條件密度〔<a>.<a><b><c><d>三、解答題1.某高校學生會共有8名成員,其中來自會計學院2名,來自金融學院和工商管理學院各3名,現(xiàn)從8名成員中隨機指定3名擔任學生會主席和副主席,設分別為主席和副主席來自會計學院和金融學院的人數(shù)．求〔1的聯(lián)合分布；〔2邊緣分布．解<1>的聯(lián)合分布為〔2邊緣分布為．YX01230120002．設二連續(xù)型維隨機變量在區(qū)域內服從均勻分布,試求的分布函數(shù)及邊緣概率密度函數(shù),判斷隨機變量與的獨立性.解依題意在區(qū)域內服從均勻分布,則其概率密度函數(shù)為其分布函數(shù)于是所得分布函數(shù)為X的邊緣概率密度函數(shù)為Y的邊緣概率密度函數(shù)為由于故與的獨立.3．設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為〔1求常數(shù)；〔2求；〔3求和；〔4求；解<1>由聯(lián)合密度函數(shù)性質知即得<2><3><4>4．設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為<1>求的邊緣密度；〔2與是否獨立？〔3落在區(qū)域的概率,其中為曲線與所圍成的區(qū)域.解〔1X的邊緣密度函數(shù)Y的邊緣密度函數(shù)；〔2由于,所以與不獨立.〔35．某電腦批發(fā)商經(jīng)營臺式電腦和筆記本電腦．該商家每月收到的臺式電腦和筆記本電腦訂單的1周內能及時發(fā)貨的比例分別為隨機變量和,其聯(lián)合密度函數(shù)為p<x,y>=〔1求某月內臺式電腦和筆記本電腦訂單在1周內能及時發(fā)貨的比例都超過75%的概率；〔2假設某月內臺式電腦和筆記本電腦訂單數(shù)量相同,求全部訂單的75%以上在1周內能及時發(fā)貨的概率；〔3隨機變量與是否相互獨立？〔4已知某月內臺式電腦訂單在1周內能及時發(fā)貨的比例為x〔0<x<1,試確定筆記本電腦能及時發(fā)貨的比例不少于50%的概率．當x增大時,此條件概率如何變化？解〔1〔2取x=0.2,y=0.8所以隨機變量與是不相互獨立.〔4當0<x<1時令,說明當x增大時,此條件概率增大.6．某公司生產(chǎn)一種化工原料的月平均價格〔萬元/每公斤和月銷售量〔噸都是隨機變量,其聯(lián)合密度函數(shù)為求〔1公司某個月內銷售此種產(chǎn)品的總收入超過1000萬元的概率；〔2月平均價格的密度函數(shù)；〔3月銷售量的條件密度函數(shù),并分別計算當=0.15和=0.2時月銷售量超過4噸的概率,比較兩結果,說明其經(jīng)濟意義．解〔1〔2月平均價格的密度函數(shù)〔3當時,月銷售量的條件密度函數(shù)為分別將=0.15和=0.2代入上式得：通過以上計算可得：價格提高時售出同樣數(shù)量產(chǎn)品的概率降低．7．在區(qū)間〔-1,2上隨機選取兩點,其坐標分別為與．求兩坐標之和大于1且兩坐標之積小于1的概率．解由于與在區(qū)間〔-1,2上隨機選取點,故與在區(qū)間〔-1,2上都服從均勻分布,且相互獨立,其聯(lián)合密度函數(shù)為所以8．設離散型隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律為XY12312試問,為什么數(shù)值時,X和Y才是相互獨立的？解易得X和Y的邊緣概率分布分布分別為,由概率分布的性質有又由X和Y相互獨立,則有解得9*．設隨機變量,當觀察到<0<x<1>時,,求的概率密度.解因為,有同理,對于任給定的值x<0<x<1>,在的條件下,的條件概率密度因此,的聯(lián)合概率密度為于是,的概率密度10*.設X和Y是相互獨立的隨機變量,其概率密度分別為其中為常數(shù).設隨機變量,求Z的概率分布和分布函數(shù)．解因為X與Y相互獨立,所以的聯(lián)合概率密度函數(shù)為即Z的概率分布為Z的分布函數(shù)為習題4.11．設10個零件中有3個不合格．現(xiàn)任取一個使用,若取到不合格品,則丟棄重新抽取一個,試求取到合格品之前取出的不合格品數(shù)X的數(shù)學期望．解可得的概率分布為于是的數(shù)學期望為2．.某人有n把外形相似的鑰匙,其中只有1把能打開房門,但他不知道是哪一把,只好逐把試開．求此人直至將門打開所需的試開次數(shù)X的數(shù)學期望．解可得的概率分布為于是的數(shù)學期望為3．設5次重復獨立試驗中每次試驗的成功率為0.9,若記失敗次數(shù)為X,求X的數(shù)學期望.解由題意,則的數(shù)學期望為4．設某地每年因交通事故死亡的人數(shù)服從泊松分布．據(jù)統(tǒng)計,在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡兩人的概率的,求該地每年因交通事故死亡的平均人數(shù).解設該地每年因交通事故死亡的人數(shù)為,由題意服從泊松分布.因即于是的數(shù)學期望為所以地每年因交通事故死亡的平均人數(shù)為4人.5．設隨機變量X在區(qū)間上服從均勻分布,求.解因X在區(qū)間上服從均勻分布,故的數(shù)學期望為于是6．設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為又知,求的值解由密度函數(shù)的性質可得即又由,可得即求解可得.7．設隨機變量X的概率密度為求數(shù)學期望解8.設隨機變量X的概率分布為X-2-101P0.20.30.10.4求；〔2.解<1>其中則<29．假設一部機器在一天內發(fā)生故障的概率為0.2,機器發(fā)生故障時全天停止工作.若一周5個工作日里無故障,可獲利潤10萬元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤5萬元；發(fā)生兩次故障所獲利潤0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬元.求一周內期望利潤是多少？解設為一周內機器發(fā)生故障的次數(shù),由題意,；又設為一周的利潤〔單位：萬元,則于是一周的期望利潤為10．計算第1,2,3各題中隨機變量的方差.解〔1因的分布律為故于是<2>因的概率分布為可得的數(shù)學期望為,又于是〔3由題意,則的方差為11.設隨機變量的概率密度為求的方差.解故12.設某公共汽車站在5分鐘內的等車人數(shù)服從泊松分布,且由統(tǒng)計數(shù)據(jù)知,5分鐘內的平均等車人數(shù)為6人,求.解由題設知,隨機變量的期望為,則泊松分布的參數(shù),于是的方差,故13.已知隨機變量X的概率密度為<<1>設,求.<2>設,求解由隨機變量的密度函數(shù)可知,服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則,則〔1〔2又故有14*.設隨機變量X和Y同分布,均具有概率密度令已知A與B相互獨立,且.試求：〔1a的值.〔2的數(shù)學期望.解由題意知故于是由及A與B相互獨立知解得<2>習題4.21.設二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合概率密度為求.解2.設二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合概率密度為試求.解3.設隨機變量X,Y的概率密度分別為求.解由的密度函數(shù)可知,分別服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則,于是4.設隨機變量X與Y相互獨立,且,,求解由數(shù)學期望的性質知又由相互獨立可得于是有5將一顆均勻的骰子連擲10次,求所得點數(shù)之和的數(shù)學期望及方差.解設為第i次擲骰子所出的點數(shù),則10次擲骰子的點數(shù)之和為由數(shù)學期望的性質,有其中故又因相互獨立,故其中于是6.設〔X,Y的概率密度函數(shù)為求cov<X,Y>.解由已知得,因此,7.設<X,Y>的聯(lián)合概率分布為XY-10100.10.20.110.20.30.1求解由<X,Y>的聯(lián)合概率分布可得及則可得故8.*設X與Y是相互獨立的兩個隨機變量,且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布.試求隨機變量的協(xié)方差..解因相互獨立且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則于是,的協(xié)方差為9.設隨機變量X與Y均服從標準正態(tài)分布,相關系數(shù)為0.5.求.解由題設知則習題４.３1．設X是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點數(shù),若給定=1,2,實際計算并驗證切比雪夫不等式成立．解因X的概率函數(shù)為所以可見切比雪夫不等式成立.2．已知正常成人男性每升血液中的白細胞數(shù)平均是7.3ⅹ109,標準差是0.7ⅹ109．試利用切比雪夫不等式估計每升血液中的白細胞數(shù)在5.2ⅹ109至9.4ⅹ109之間的概率的下界.解設每升血液中的白細胞數(shù)為隨機變量,由題設則由切比雪夫不等式3．將一顆骰子連續(xù)擲4次,點數(shù)總和記為,試估計．解利用習題4.2的5題計算結果,可求得則由切比雪夫不等式有4．設隨機變量X與Y的數(shù)學期望均為2,方差分別為1和4,而相關系數(shù)為0.5,試用切貝雪夫不等式估計．證明則由切比雪夫不等式,有5．設事件Ａ發(fā)生的概率記為P,P未知,若試驗1000次,用發(fā)生的頻率替代概率P,估計所產(chǎn)生的誤差小于10%的概率為多少？解設1000次試驗中事件A發(fā)生次數(shù)為X,,.由于P未知,用切比雪夫不等式估計最后一步是由于p的二次函數(shù)p〔1-p,當p=0.5時取最大值0.25.習題4.41.隨機變量序列X1,X2,…,Xn,…相互獨立同分布N〔,,當n充分大時,可否認為近似服從正態(tài)分布N〔n,n,為什么？解可以,事實上,由于X1,X2,…,Xn,…相互獨立同分布N〔,,當n充分大時,由定理4.10知,近似服從正態(tài)分布N〔n,n,且進一步由定理3.8得,精確地服從正態(tài)分布N〔n,n.2．設隨機變量序列,X1,X2,…,Xn,…相互獨立同分布,其概率密度i=1,2,…,問它們是否滿足中心極限定理,為什么？解不滿足.因為可見,Xi的數(shù)學期望不存在.因此不滿足中心極限定理.3．一個復雜的系統(tǒng),由100個相互獨立起作用的部件所組成.在整個運行期間,每個部件損壞的概率為0.1為了使整個系統(tǒng)起作用,至少需有85個部件.求整個系統(tǒng)工作的概率..解設為100個部件中正常工作的部件數(shù),由題意,.根據(jù)棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理,有近似服從正態(tài)分布.于是,系統(tǒng)正常工作的概率為4．設有30個電子器件,它們的使用壽命〔單位：小時T1,T2,…,T30服從參數(shù)λ=0.1的指數(shù)分布.其使用情況使第一個損壞第二個立即使用,第二個損壞第三個立即使用等等.令T為30個器件使用的總時間,求T超過350小時的概率.解由已知條件可知記,由勒維—林德伯格中心極限定理知近似服從正態(tài)分布,則所求概率為5．抽樣檢查產(chǎn)品質量時,如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個,則認為這批產(chǎn)品不能接受.問應檢查多少產(chǎn)品才能使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達到0.9.解設檢查產(chǎn)品的個數(shù)為,其中的次品個數(shù)為,則.由題意,要求,使由棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理,近似服從正態(tài)分布,于是即查表得,所以故,即應該檢查145個產(chǎn)品,可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不被接受的概率達到0.9.6．某商店負責供應某地區(qū)1000人的某種商品,設該商品在一段時間內每人需用一件的概率為0.6,并假設這段時間內各人購買與否彼此無關,問商店應準備多少這種商品才能以99.7%的概率保證該商品不脫銷？解設為1000人中需要商品的人數(shù),由題意,,由中心極限定理知,近似服從正態(tài)分布.設應準備件商品,則若想不脫銷,需滿足,于是有查表得,所以7*．某運輸公司有500輛汽車參加保險,在一年內汽車出事故的概率為0.006,參加保險的汽車每年交保險費800元,若出事故保險公司最多賠償50000元,試利用中心極限定理計算,保險公司一年賺錢不小于200000元概率.解設在一年內發(fā)生事故的汽車數(shù)量為,則,由中心極限定理,近似服從正態(tài)分布,所求概率為.綜合練習四一、填空題1.若的分布函數(shù)為,則的數(shù)學期望〔.2.設隨機變量且,則〔1.3.設隨機變量,則〔3.4.設隨機變量服從泊松分布,且,則〔4.5.若隨機變量X的概率密度為,則〔2.6.設的密度函數(shù)為,則的方差＝〔.7.設,令,則的方差＝〔.8.設〔X,Y～N,則〔9.設的協(xié)方差,且,則〔91.10.設,,令,則〔10.二、選擇題1.已知隨機變量服從二項分布,且,則參數(shù)的值為〔<b>.2.已知隨機變量的數(shù)學期望為,則必有〔<b>.3.設X服從泊松分布,且,則〔<c>.4.設隨機變量的分布密度為,則〔<a>.5．對于兩個隨機變量X與Y,若,則〔<b>.6.若二維隨機變量〔X,Y服從二維正態(tài)分布,則〔<b>.7.設為不為零的常數(shù),隨機變量X與Y的協(xié)方差為,令,則的協(xié)方差為〔<d>.8.設隨機變量獨立同服從參數(shù)為的指數(shù)分布.令,則〔<d>.9.設,且與獨立,則由切比雪夫不等式有〔<c>.10.設隨機變量相互獨立且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則下列結論正確的是〔<a>.其中.三、解答題1.從分別標有號碼1,2,…,6的6張卡片中任意取兩張,求余下的卡片中最大號碼X的數(shù)學期望．解可得的概率分布為于是的數(shù)學期望為2.設某型號的輪船橫向搖擺的隨機振幅X的密度函數(shù)為求〔1；〔2遇到大于其振幅均值的概率．解〔1〔2搖擺的隨機振幅X大于其振幅均值的概率3．某公司經(jīng)銷某種原料,根據(jù)歷史資料表明；這種原料的市場需求量X〔單位：噸服從<300,500>上的均勻分布．每售出1噸該原料,公司可獲利1.5〔千元；若積壓一噸,則公司損失0.5〔千克．問公司應該組織多少貨源,可使平均收益最大？解設公司組織貨源t噸.則顯然應該有又設Y為在t噸貨源的條件下的收益〔單位：千元,則收益額Y為需求量X的函數(shù),即當時,則此t噸貨源全部售出,共獲利1.5t.當時,則售出X噸〔獲利1.5X,且還有噸積壓〔獲利所以共獲利由此知以上是關于t的一元二次函數(shù),用求極值的方法得,當噸時,能使達到最大,即公司應該組織450噸貨源.4.設隨機變量的概率密度為對獨立重復觀察4次,表示觀察值大于的次數(shù),求.解設A表示事件"表示觀察值大于",則由題意,服從二項分布,即,則有,于是5.證明函數(shù)在當t=EX時取得最小值,且最小值為證明因為可見,當即時,取得最小值,且6.設<X,Y>的聯(lián)合概率分布為XY-101-11解由聯(lián)合分布的性質有即〔1〔2通過上表求得X,Y的邊緣分布律見下表XY-101-11于是X與Y不相關的充要條件為由此得或解方程組得得故當或時X與Y不相關.〔3當時可以驗證,對任意的〔i,j,均有,故X與Y相互獨立.當時,由于,故X與Y不獨立.7...設二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合概率密度為求解又故8.設隨機變量X與Y相互獨立,且分別具有下列概率密度：試求：解因為X的概率密度為：故,即又故,即于是由期望與方差的性質可得：9*.設隨機變量X與Y相互獨立,并有相同的分布令試求U與V的相關系數(shù).解因為則10*.某餐廳每天接待400名顧客,設每位顧客的消費額〔元服從〔20,100上的均勻分布,且顧客消費額是相互獨立的.試求：〔1該餐廳每天的營業(yè)額；〔2該餐廳每天的營業(yè)額在平均營業(yè)額760元內的概率.解設每天400位顧客中第i位顧客消費額為Xi,則i=1,2,3…,400,.又顧客消費額是相互獨立的,故該餐廳每天的營業(yè)額為〔1〔2設表示該餐廳每天的營業(yè)額,由中心極限定理得查表得.11.某公司生產(chǎn)的電子元件合格率為99%.裝箱出售時：〔1若每箱中裝1000只,不合格品在2到6只之間的概率是多少？〔2若要以99.5%的概率保證每箱中合格品數(shù)不少于1000只,每箱至少應多裝幾只這種電子元件？解〔1設X表示〔一箱1000只中的不合格品數(shù),則利用中心極限定理,不合格品數(shù)在2到6只之間的概率〔2設每箱多裝x只元件,,以Y表示一箱1000+x只元件中不合格品的只數(shù),則根據(jù)中心極限定理于是,,可求得故取習題解答習題5.11．設樣本值如下：15,20,32,26,37,18,19,43計算樣本均值、樣本方差、2階樣本矩及2階樣本中心矩．解由樣本均值的計算公式,有由樣本方差的計算公式,有由2階樣本矩的計算公式,有由2階樣本中心矩的計算公式,有2.設總體,是來自總體的樣本,求概率.解3.設總體X～P〔,是容量為n的樣本的均值,求和.解因總體X～P〔,故有,于是4.某保險公司記錄的起火災事故的損失數(shù)據(jù)如下〔單位：萬元：1.86,0.75,3.21,2.45,1.98,4.12.求該樣本的經(jīng)驗分布函數(shù).解將樣本觀測值排序可得：則經(jīng)驗分布函數(shù)為5．求標準正態(tài)分布的上側0.01分位數(shù)和上側0.48分位數(shù).解由題知,～,求的上側分位數(shù).即求使?jié)M足得即取,查標準正態(tài)分布表得上側0.01分位數(shù)為取,查標準正態(tài)分布表得上側0.48分位數(shù)為習題5.21.設總體,是取自總體的樣本,是樣本均值,求．解因,且樣本容量,故,于是2.設,求使其滿足解由,得,因為,所以查表可得3.設總體,是取自總體的樣本,求及.解由總體可知,且相互獨立,于是故有4.設總體X～N〔20,3,從中獨立地抽取容量分別為10和15的兩個樣本,求它們的樣本均值之差的絕對值大于0.3的概率．解設這兩個樣本分別為和,則對樣本均值有～～依定理～,所以<查標準正態(tài)分布表可得>5.設X～t<12>,<1>求使得；〔2求使得解〔1由利用t分布的對稱性可得,查表可得〔2由得,又由t分布的對稱性可得于是6.設,求使得.解由得,于是查表可得習題5.31．設總體X～N〔,4,〔X1,X2,…,X16為