浙江山河聯(lián)盟2022學(xué)年第二學(xué)期3月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷一．單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.2.若等差數(shù)列的前7項(xiàng)和，且，則（）A.12 B.13 C.14 D.153.已知向量，．若，則（）A B.C. D.4.若橢圓過點(diǎn)，則其焦距為（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)，則的極大值為A.2 B. C. D.6.設(shè)是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，記，則中不超過2023的項(xiàng)的個數(shù)為（）A.8 B.9 C.10 D.117.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線C在第一象限上的點(diǎn)，直線PO交雙曲線C的左支于點(diǎn)M，若，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B.3 C.2 D.8.已知函數(shù)若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分共20分.全部全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.C.在處的切線方程為D.10.下列說法正確是（）A.是等差數(shù)列的第8項(xiàng)B.在等差數(shù)列中，若，則當(dāng)時，前n項(xiàng)和取得最大值C.存在實(shí)數(shù)a，b，使成等比數(shù)列D.若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.的準(zhǔn)線方程為B.直線與相切C.若，則的最小值為D.若，則的周長的最小值為1112.如圖，正三棱柱中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，，D為BC中點(diǎn)，則（）A.直線平面B.點(diǎn)到平面距離為C.異面直線與所成角的余弦值為D.設(shè)P，Q分別在線段，上，且，則PQ的最小值為第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.14.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.15.在棱長為2的正方體中，O為平面的中心，E為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)O到直線的距離為________.16.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列前項(xiàng)和，求.18.設(shè)圓的半徑為，圓心是直線與直線的交點(diǎn)．（1）若圓過原點(diǎn)，求圓的方程；（2）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使，求的取值范圍．19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，△為等邊三角形.（1）求證：；（2）若，，求與平面所成角的正弦值.20.某學(xué)校高二年級一個學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會實(shí)踐活動，決定對某“著名品牌”系列進(jìn)行市場銷售量調(diào)研，通過對該品牌的系列一個階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格（元/千克）近似滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷售價格的值，使該商場每日銷售系列所獲得的利潤最大.21.已知橢圓，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（直線不與軸垂直），已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．22.已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．山河聯(lián)盟2022學(xué)年第二學(xué)期3月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷一．單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線方程求出斜率，根據(jù)斜率可得傾斜角.【詳解】解：將直線化為，所以直線的斜率為，即，又，所以.故選：C2.若等差數(shù)列的前7項(xiàng)和，且，則（）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，即，解得，所以.故選：D3.已知向量，．若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用空間向量平行的坐標(biāo)表示直接計算作答.【詳解】向量，，因，則，解得，所以，B，D都不正確；，C不正確，A正確.故選：A4.若橢圓過點(diǎn)，則其焦距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將點(diǎn)代入橢圓方程求出，再根據(jù)求出半焦距，從而可得焦距.【詳解】解：因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，解得，所以，所以，解得，所以焦距，故選：D.5.已知函數(shù)，則的極大值為A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】，則,令x=1得，所以則，所以函數(shù)在（0,2）上遞增，在（2，+）上遞減，則極大值為故選B6.設(shè)是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，記，則中不超過2023的項(xiàng)的個數(shù)為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法可求得，找出使得不等式成立的最大正整數(shù)的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】由題意可得，所以，，則，所以，數(shù)列單調(diào)遞增，因?yàn)椋瑒t，則使得不等式成立的最大正整數(shù)的值為10.因此，數(shù)列中不超過2023的項(xiàng)的個數(shù)為10.故選:C.7.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為雙曲線C在第一象限上的點(diǎn)，直線PO交雙曲線C的左支于點(diǎn)M，若，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B.3 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，則四邊形MFPF1為平行四邊形，根據(jù)雙曲線定義可得，在△△POF中利用余弦定理得出a，c的關(guān)系即可求出離心率．【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F1，由雙曲線的對稱性可知四邊形MFPF1為平行四邊形．∴．設(shè)，則，，∴，得，即，∵，∴△MFP中，由余弦定理可得：，得，∴，，在△POF中，由余弦定理可得：，整理，得，即.故選：D8.已知函數(shù)若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究，通過分離常數(shù)法求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)，則，而，故，所以，令，，所以在區(qū)間上遞增，最小值為，所以.故選：C【點(diǎn)睛】求解不等式成立的存在性問題或恒成立問題，可考慮分離常數(shù)法.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分共20分.全部全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9.設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.C.在處的切線方程為D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，對四個選項(xiàng)一一求導(dǎo)，即可驗(yàn)證.【詳解】對于A：因?yàn)椋裕裕蔄錯誤；對于B：因?yàn)椋裕裕蔅正確；對于C：因?yàn)椋裕?而，所以在處的切線方程為，故C正確；對于D：.故D錯誤.故選：BC10.下列說法正確的是（）A.是等差數(shù)列的第8項(xiàng)B.在等差數(shù)列中，若，則當(dāng)時，前n項(xiàng)和取得最大值C.存在實(shí)數(shù)a，b，使成等比數(shù)列D.若等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，，成等比數(shù)列【答案】BD【解析】【分析】求出通項(xiàng)公式，代入即可判斷A項(xiàng)；根據(jù)通項(xiàng)公式，得出首項(xiàng)、公差的值，得到表達(dá)式，即可判斷B項(xiàng)；設(shè)為等比數(shù)列，根據(jù)等比中項(xiàng)可得，，易知無實(shí)數(shù)解，即可判斷C項(xiàng)；分和，根據(jù)前n項(xiàng)和公式，即可判斷D項(xiàng).【詳解】對于A項(xiàng)，易知等差數(shù)列的通項(xiàng)為，則，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，由已知，，所以，所以當(dāng)時，取得最大值，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，若存在實(shí)數(shù)a，b，使得成等比數(shù)列，則，，顯然無實(shí)數(shù)解，故C項(xiàng)錯誤；對于D項(xiàng)，設(shè)的公比為.當(dāng)時，有，滿足等比數(shù)列；當(dāng)時，，，，滿足等比數(shù)列.綜上所述，，，成等比數(shù)列，故D項(xiàng)正確.故選：BD.11.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.的準(zhǔn)線方程為B.直線與相切C.若，則的最小值為D.若，則的周長的最小值為11【答案】BCD【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，從而判斷A，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，由判斷B，設(shè)點(diǎn)，表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化求出的周長的最小值，即可判斷D.【詳解】解：拋物線：，即，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，故A錯誤；由，即，解得，所以直線與相切，故B正確；設(shè)點(diǎn)，所以，所以，故C正確；如圖過點(diǎn)作準(zhǔn)線，交于點(diǎn)，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時取等號，故D正確；故選：BCD12.如圖，正三棱柱中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，，D為BC中點(diǎn)，則（）A.直線平面B.點(diǎn)到平面的距離為C.異面直線與所成角的余弦值為D.設(shè)P，Q分別在線段，上，且，則PQ的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得；【詳解】解：在正三棱柱中，為的中點(diǎn)，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，因?yàn)椋矗制矫妫云矫妫蔄正確；因?yàn)椋裕瑒t點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；因?yàn)椋O(shè)直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，故C錯誤；設(shè)，則、，因?yàn)椋裕瑒t，，所以，所以當(dāng)時有最小值，所以，所以，故D正確；故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以切線的斜率，切點(diǎn)為，則切線方程為．故答案為：．【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P為切點(diǎn)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為________.【答案】【解析】【分析】由構(gòu)造法和與關(guān)系求解【詳解】由題意得，而，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.，，當(dāng)時，，也滿足此式，綜上，故答案為：15.在棱長為2的正方體中，O為平面的中心，E為BC的中點(diǎn)，則點(diǎn)O到直線的距離為________.【答案】【解析】【分析】如圖，以為原點(diǎn)建系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：如圖，以為原點(diǎn)建系，則，則，則，又，所以，所以點(diǎn)O到直線的距離為.故答案為：.16.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與有三個不同的交點(diǎn)；在同一坐標(biāo)系中畫出與的圖象，根據(jù)圖象有三個交點(diǎn)可確定所求取值范圍.【詳解】函數(shù)有三個零點(diǎn)等價于與有三個不同的交點(diǎn)當(dāng)時，，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且，，從而可得圖象如下圖所示：通過圖象可知，若與有三個不同的交點(diǎn)，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求解參數(shù)取值范圍的問題，關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為曲線和直線的交點(diǎn)個數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式求得結(jié)果，是中檔題.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，結(jié)合“裂項(xiàng)法”即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋舫傻缺葦?shù)列，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)于數(shù)列的裂項(xiàng)法求和的基本策略：1、基本步驟：裂項(xiàng)：觀察數(shù)列的通項(xiàng)，將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式；累加：將數(shù)列裂項(xiàng)后的各項(xiàng)相加；消項(xiàng)：將中間可以消去的項(xiàng)相互抵消，將剩余的有限項(xiàng)相加，得到數(shù)列的前項(xiàng)和.2、消項(xiàng)的規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng).18.設(shè)圓的半徑為，圓心是直線與直線的交點(diǎn)．（1）若圓過原點(diǎn)，求圓的方程；（2）已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，使，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）聯(lián)立兩直線方程，可求得圓心的坐標(biāo)，求出圓的半徑，由此可得出圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，由可求得點(diǎn)的軌跡為圓，利用圓與圓有公共點(diǎn)可得出關(guān)于的不等式，由此可解得的取值范圍．詳解】（1）由，得，所以圓心.又圓過原點(diǎn)，，圓的方程為：；（2）設(shè)，由，得：，化簡得.點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上.又點(diǎn)在圓上，，即，.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)圓與圓的半徑長分別為和.（1）若，則圓與圓內(nèi)含；（2）若，則圓與圓內(nèi)切；（3）若，則圓與圓相交；（4）若，則圓與圓外切；（5）若，則圓與圓外離.19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，△為等邊三角形.（1）求證：；（2）若，，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）是中點(diǎn)，連接，由題設(shè)易得，根據(jù)線面垂直的判定有面，再由線面垂直的性質(zhì)即可證結(jié)論.（2）根據(jù)已知及勾股定理可證，即可構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求直線的方向向量與平面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值.【小問1詳解】∵為菱形，且，∴△等邊三角形，又△為等邊三角形，若是中點(diǎn)，連接，易知：，又，即面，又面，∴【小問2詳解】由，，結(jié)合（1）知：，即，∴，又，故可構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，則，，，若是面的一個法向量，則，令，則，∴，即與平面所成角的正弦值為.20.某學(xué)校高二年級一個學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會實(shí)踐活動，決定對某“著名品牌”系列進(jìn)行市場銷售量調(diào)研，通過對該品牌的系列一個階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格（元/千克）近似滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷售價格的值，使該商場每日銷售系列所獲得的利潤最大.【答案】（1）；（2）當(dāng)銷售價格為5元/千克時，系列每日所獲得的利潤最大.【解析】【詳解】分析：（1）根據(jù)題意已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）設(shè)該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，然后根據(jù)利潤計算式得出具體表達(dá)式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求最值思維求解即可.詳解：（1）有題意可知，當(dāng)時，，即，解得，所以.（2）設(shè)該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，則，，令，得或（舍去），所以當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù)，故當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即時函數(shù)取得最大值.所以當(dāng)銷售價格為5元/千克時，系列每日所獲得的利潤最大.點(diǎn)睛：考查函數(shù)的表示，導(dǎo)函數(shù)最值的應(yīng)用，正確理解題意，寫出具體表達(dá)式，然后借助導(dǎo)數(shù)分析思維求解是解題關(guān)鍵，做此類題要有耐心，認(rèn)真審題，讀懂題意，屬于中檔題.21.已知橢圓，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，且點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)（直線不與軸垂直），已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1），（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組確定a,b,c的值即可確定橢圓方程和橢圓的離心率；(2)