浙江山河聯盟2022學年第二學期3月聯考高二數學試卷一．單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.2.若等差數列的前7項和，且，則（）A.12 B.13 C.14 D.153.已知向量，．若，則（）A B.C. D.4.若橢圓過點，則其焦距為（）A. B. C. D.5.已知函數，則的極大值為A.2 B. C. D.6.設是以2為首項，1為公差的等差數列，是1為首項，2為公比的等比數列，記，則中不超過2023的項的個數為（）A.8 B.9 C.10 D.117.已知雙曲線的右焦點為F，O為坐標原點，P為雙曲線C在第一象限上的點，直線PO交雙曲線C的左支于點M，若，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B.3 C.2 D.8.已知函數若存在，使得成立，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分共20分.全部全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9.設函數，則下列說法正確的是（）A.B.C.在處的切線方程為D.10.下列說法正確是（）A.是等差數列的第8項B.在等差數列中，若，則當時，前n項和取得最大值C.存在實數a，b，使成等比數列D.若等比數列的前n項和為，則，，成等比數列11.已知拋物線：的焦點為，為上一點，下列說法正確的是（）A.的準線方程為B.直線與相切C.若，則的最小值為D.若，則的周長的最小值為1112.如圖，正三棱柱中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，，D為BC中點，則（）A.直線平面B.點到平面距離為C.異面直線與所成角的余弦值為D.設P，Q分別在線段，上，且，則PQ的最小值為第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.曲線在點處的切線方程為__________.14.設數列的前n項和為，已知，，，則數列的通項公式為________.15.在棱長為2的正方體中，O為平面的中心，E為BC的中點，則點O到直線的距離為________.16.設函數，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是________．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數列是遞增的等差數列，，若成等比數列.（1）求數列通項公式；（2）若，數列前項和，求.18.設圓的半徑為，圓心是直線與直線的交點．（1）若圓過原點，求圓的方程；（2）已知點，若圓上存在點，使，求的取值范圍．19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，△為等邊三角形.（1）求證：；（2）若，，求與平面所成角的正弦值.20.某學校高二年級一個學習興趣小組進行社會實踐活動，決定對某“著名品牌”系列進行市場銷售量調研，通過對該品牌的系列一個階段的調研得知，發現系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格（元/千克）近似滿足關系式，其中，為常數.已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.（1）求函數的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷售價格的值，使該商場每日銷售系列所獲得的利潤最大.21.已知橢圓，右焦點的坐標為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點的直線交橢圓于兩點（直線不與軸垂直），已知點與點關于軸對稱，證明：直線恒過定點，并求出此定點坐標．22.已知函數，其中．（1）討論函數的單調性；（2）對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．山河聯盟2022學年第二學期3月聯考高二數學試卷一．單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線方程求出斜率，根據斜率可得傾斜角.【詳解】解：將直線化為，所以直線的斜率為，即，又，所以.故選：C2.若等差數列的前7項和，且，則（）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】D【解析】【分析】根據已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，即，解得，所以.故選：D3.已知向量，．若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據給定條件利用空間向量平行的坐標表示直接計算作答.【詳解】向量，，因，則，解得，所以，B，D都不正確；，C不正確，A正確.故選：A4.若橢圓過點，則其焦距為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將點代入橢圓方程求出，再根據求出半焦距，從而可得焦距.【詳解】解：因為橢圓過點，所以，解得，所以，所以，解得，所以焦距，故選：D.5.已知函數，則的極大值為A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】，則,令x=1得，所以則，所以函數在（0,2）上遞增，在（2，+）上遞減，則極大值為故選B6.設是以2為首項，1為公差的等差數列，是1為首項，2為公比的等比數列，記，則中不超過2023的項的個數為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】求出數列的通項公式，可得出數列的通項公式，利用分組求和法可求得，找出使得不等式成立的最大正整數的值，進而可得出結論.【詳解】由題意可得，所以，，則，所以，數列單調遞增，因為，則，則使得不等式成立的最大正整數的值為10.因此，數列中不超過2023的項的個數為10.故選:C.7.已知雙曲線的右焦點為F，O為坐標原點，P為雙曲線C在第一象限上的點，直線PO交雙曲線C的左支于點M，若，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B.3 C.2 D.【答案】D【解析】【分析】設雙曲線的左焦點為F1，則四邊形MFPF1為平行四邊形，根據雙曲線定義可得，在△△POF中利用余弦定理得出a，c的關系即可求出離心率．【詳解】設雙曲線的左焦點為F1，由雙曲線的對稱性可知四邊形MFPF1為平行四邊形．∴．設，則，，∴，得，即，∵，∴△MFP中，由余弦定理可得：，得，∴，，在△POF中，由余弦定理可得：，整理，得，即.故選：D8.已知函數若存在，使得成立，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數，利用導數進行研究，通過分離常數法求得的取值范圍.【詳解】函數，則，而，故，所以，令，，所以在區間上遞增，最小值為，所以.故選：C【點睛】求解不等式成立的存在性問題或恒成立問題，可考慮分離常數法.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分共20分.全部全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9.設函數，則下列說法正確的是（）A.B.C.在處的切線方程為D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則，對四個選項一一求導，即可驗證.【詳解】對于A：因為，所以，所以，故A錯誤；對于B：因為，所以，所以，故B正確；對于C：因為，所以，所以.而，所以在處的切線方程為，故C正確；對于D：.故D錯誤.故選：BC10.下列說法正確的是（）A.是等差數列的第8項B.在等差數列中，若，則當時，前n項和取得最大值C.存在實數a，b，使成等比數列D.若等比數列的前n項和為，則，，成等比數列【答案】BD【解析】【分析】求出通項公式，代入即可判斷A項；根據通項公式，得出首項、公差的值，得到表達式，即可判斷B項；設為等比數列，根據等比中項可得，，易知無實數解，即可判斷C項；分和，根據前n項和公式，即可判斷D項.【詳解】對于A項，易知等差數列的通項為，則，故A項錯誤；對于B項，由已知，，所以，所以當時，取得最大值，故B項正確；對于C項，若存在實數a，b，使得成等比數列，則，，顯然無實數解，故C項錯誤；對于D項，設的公比為.當時，有，滿足等比數列；當時，，，，滿足等比數列.綜上所述，，，成等比數列，故D項正確.故選：BD.11.已知拋物線：的焦點為，為上一點，下列說法正確的是（）A.的準線方程為B.直線與相切C.若，則的最小值為D.若，則的周長的最小值為11【答案】BCD【解析】【分析】將拋物線方程化為標準式，即可求出焦點坐標與準線方程，從而判斷A，聯立直線與拋物線方程，消元，由判斷B，設點，表示出，根據二次函數的性質判斷C，根據拋物線的定義轉化求出的周長的最小值，即可判斷D.【詳解】解：拋物線：，即，所以焦點坐標為，準線方程為，故A錯誤；由，即，解得，所以直線與相切，故B正確；設點，所以，所以，故C正確；如圖過點作準線，交于點，，，所以，當且僅當、、三點共線時取等號，故D正確；故選：BCD12.如圖，正三棱柱中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，，D為BC中點，則（）A.直線平面B.點到平面的距離為C.異面直線與所成角的余弦值為D.設P，Q分別在線段，上，且，則PQ的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得；【詳解】解：在正三棱柱中，為的中點，所以，如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，令，則，，所以，因為，即，又平面，所以平面，故A正確；因為，所以，則點到平面的距離為，故B正確；因為，，設直線與所成角為，則，所以異面直線與所成角的余弦值為，故C錯誤；設，則、，因為，，所以，，則，，所以，所以當時有最小值，所以，所以，故D正確；故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.曲線在點處的切線方程為__________.【答案】【解析】【分析】先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式求切線方程.【詳解】函數的導數為，所以切線的斜率，切點為，則切線方程為．故答案為：．【點睛】易錯點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點，考查學生的運算能力，屬于基礎題.14.設數列的前n項和為，已知，，，則數列的通項公式為________.【答案】【解析】【分析】由構造法和與關系求解【詳解】由題意得，而，所以是首項為2，公比為2的等比數列.，，當時，，也滿足此式，綜上，故答案為：15.在棱長為2的正方體中，O為平面的中心，E為BC的中點，則點O到直線的距離為________.【答案】【解析】【分析】如圖，以為原點建系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：如圖，以為原點建系，則，則，則，又，所以，所以點O到直線的距離為.故答案為：.16.設函數，若函數有三個零點，則實數的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】將問題轉化為與有三個不同的交點；在同一坐標系中畫出與的圖象，根據圖象有三個交點可確定所求取值范圍.【詳解】函數有三個零點等價于與有三個不同的交點當時，，則所以在上單調遞減，在上單調遞增且，，從而可得圖象如下圖所示：通過圖象可知，若與有三個不同的交點，則故答案為：【點睛】本題考查根據函數零點個數求解參數取值范圍的問題，關鍵是將問題轉化為曲線和直線的交點個數問題，通過數形結合的方式求得結果，是中檔題.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數列是遞增的等差數列，，若成等比數列.（1）求數列的通項公式；（2）若，數列的前項和，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設等差數列的公差為，根據題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，結合“裂項法”即可求解.【詳解】（1）設等差數列的公差為，因為，若成等比數列，可得，解得，所以數列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.【點睛】關于數列的裂項法求和的基本策略：1、基本步驟：裂項：觀察數列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；累加：將數列裂項后的各項相加；消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數列的前項和.2、消項的規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.18.設圓的半徑為，圓心是直線與直線的交點．（1）若圓過原點，求圓的方程；（2）已知點，若圓上存在點，使，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）聯立兩直線方程，可求得圓心的坐標，求出圓的半徑，由此可得出圓的方程；（2）設點，由可求得點的軌跡為圓，利用圓與圓有公共點可得出關于的不等式，由此可解得的取值范圍．詳解】（1）由，得，所以圓心.又圓過原點，，圓的方程為：；（2）設，由，得：，化簡得.點在以為圓心，半徑為的圓上.又點在圓上，，即，.【點睛】結論點睛：圓與圓的位置關系：設圓與圓的半徑長分別為和.（1）若，則圓與圓內含；（2）若，則圓與圓內切；（3）若，則圓與圓相交；（4）若，則圓與圓外切；（5）若，則圓與圓外離.19.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，△為等邊三角形.（1）求證：；（2）若，，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）是中點，連接，由題設易得，根據線面垂直的判定有面，再由線面垂直的性質即可證結論.（2）根據已知及勾股定理可證，即可構建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，進而確定相關點坐標，求直線的方向向量與平面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求線面角的正弦值.【小問1詳解】∵為菱形，且，∴△等邊三角形，又△為等邊三角形，若是中點，連接，易知：，又，即面，又面，∴【小問2詳解】由，，結合（1）知：，即，∴，又，故可構建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，∴，則，，，若是面的一個法向量，則，令，則，∴，即與平面所成角的正弦值為.20.某學校高二年級一個學習興趣小組進行社會實踐活動，決定對某“著名品牌”系列進行市場銷售量調研，通過對該品牌的系列一個階段的調研得知，發現系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格（元/千克）近似滿足關系式，其中，為常數.已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.（1）求函數的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷售價格的值，使該商場每日銷售系列所獲得的利潤最大.【答案】（1）；（2）當銷售價格為5元/千克時，系列每日所獲得的利潤最大.【解析】【詳解】分析：（1）根據題意已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）設該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，然后根據利潤計算式得出具體表達式，然后根據導數求最值思維求解即可.詳解：（1）有題意可知，當時，，即，解得，所以.（2）設該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，則，，令，得或（舍去），所以當時，為增函數；當時，為減函數，故當時，函數在區間內有極大值點，也是最大值點，即時函數取得最大值.所以當銷售價格為5元/千克時，系列每日所獲得的利潤最大.點睛：考查函數的表示，導函數最值的應用，正確理解題意，寫出具體表達式，然后借助導數分析思維求解是解題關鍵，做此類題要有耐心，認真審題，讀懂題意，屬于中檔題.21.已知橢圓，右焦點的坐標為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點的直線交橢圓于兩點（直線不與軸垂直），已知點與點關于軸對稱，證明：直線恒過定點，并求出此定點坐標．【答案】（1），（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由題意得到關于a,b,c的方程組，求解方程組確定a,b,c的值即可確定橢圓方程和橢圓的離心率；(2)