5.1任意角與弧度制5.1.1任意角1.通過觀察圓的周期性變化，理解任意角的概念；2.理解象限角的概念及終邊相同的角的含義；3.通過對任意角的建構過程，掌握用集合表示終邊相同的角.

知識點1：任意角的概念回顧：角的概念：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形；角的表示：如圖，OA是角

α

的始邊，OB是角

α

的終邊，O是角的頂點；角

α

可記為“角

α”或“∠α”或簡記為“α”．OABα主動輪被動輪問題1：如圖，若主動輪旋轉兩周，你能準確描述出被動輪旋轉的現象嗎？AB通過觀察，可知：主動輪和被動輪的旋轉方向是相反的，但題中未給明主動輪旋轉方向，故同樣不能判斷被動輪旋轉方向，無法準確描述被動輪旋轉現象.思考：如圖，如何區(qū)分主動輪、被動輪旋轉形成的不同方向的角？概念講解角的分類：按一條射線繞其端點的旋轉方向，角可以分為三類：正角：按逆時針方向旋轉形成的角，如圖∠α；負角：按順時針方向旋轉形成的角，如圖∠β；零角：沒有做任何旋轉形成的角；OABα正角O1A1B1β負角注意：如果角α與角β的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱α=β；用圖像表示角時，箭頭的方向體現角的正負，因此箭頭不能少.知識點2：任意角的運算問題2：如圖，類比實數的加減運算，說說將α

的終邊再次逆時針旋轉β

后該如何表示？αβ把角α的終邊旋轉角β，這時終邊所對應的角是α+β；思考：若將α

的終邊順時針旋轉β

后又該如何表示？順時針旋轉的角β為負角，這時終邊所對應的角是α–|β|；注：字母α、β

表示任意角，本身即是帶有符號的.任意角的運算當α，β的符號為正時，射線的旋轉方向為逆時針；符號為負時，射線的旋轉方向為順時針；為了方便，可用|α|、|β|表示相應的旋轉量；

按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角；

即：角α的相反角記為–α.總結歸納OAB1αB2-αOAB1-αB2α知識點3：終邊相同的角OxyB–30°330°–390°例1：結合上述發(fā)現，完成下列填空：–390°=–30°+（

）；330°=30°+（

）.–360°360°思考：分別將30°、–390°及330°的角，畫在坐標系中，結合圖象說說你有什么發(fā)現？由圖可知，角的終邊OB除了可以表示-30°的角之外，還可以表示-390°，330°等角；即：

30°、–390°及330°是終邊相同的角.思考：結合上述例題，你發(fā)現了終邊相同的角的變化規(guī)律嗎？規(guī)律：由圖可知，與–30°終邊相同的這些角都可以表示成-30°角與k個周角的和，其中k∈Z；OxyB–30°330°–390°–390°=–30°–360°（k=–1）；330°=30°+360°（k=1）.概念講解一般地，所有與α終邊相同的角，連同角α在內，可以構成一個集合：S={β|β=α+k·360°，k∈Z}即：任一與α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.注意：（1）α是任意角；（2）集合中α與k·360°間用“+”連接；如：k·360°-30°應看成k·360°+(-30°)，表示與-30°角終邊相同的角.例2：寫出與α＝－910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°＜β＜360°的元素β寫出來．解：與α＝－910°終邊相同的角的集合為{β|β＝－910°+k·360°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜－910°+k·360°＜360°，k∈Z，∴k可取1，2，3；當k＝1時，β＝－910°+360°＝－550°；當k＝2時，β＝－910°+2×360°＝－190°；當k＝3時，β＝－910°+3×360°＝170°.1.下面與－850°12′終邊相同的角是(

)A．230°12′

B．229°48′C．129°48′ D．130°12′練一練BOα=25°β=–120°xy知識點3：象限角與軸線角問題3：如圖，計算α+β的值，并說說結果所得的角位于第幾象限？α+β=25°+(-120°)=-95°；

-95°的角位于第三象限.總結：如圖，角α

是第一象限角，角β

、角α+β是第三象限角；象限角：角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角.思考：若角α

的終邊在坐標軸上，那么角α

還是象限角嗎？若角的終邊在坐標軸（x/y）上，那么這個角不屬于任何一個象限，我們把這樣的叫軸線角，如右圖的角γ.Oxyγ思考：你能說說在坐標系中討論角的好處嗎？例3：已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合；

請作出下列各角，并判斷它們分別是第幾象限角．①65°；②155°；③-135°；④288°.解：如圖所示，作出各角的終邊；由圖可知：oxy65°oxy155°oxy-135°oxy288°注意：作圖時，可根據角的正負判斷角的旋轉方向！！！1.下列說法中正確說法的序號為________．①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180°的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角．練一練①注意：負角中的“負”表示的是角的方向，而不是角的大小，因此不能單純的認為-360°的角小于180°的角.1.象限角只能反映角的終邊所在象限，不能反映角的大小；2.負角中的“負”表示的是角的方向，而不是角的大小；

因此不能片面的用象限、正負判斷角的大小.總結歸納

解：因為α是第二象限角，所以90°+

k·360°<α<

180°+k·360°，k∈Z；

思考：你還能寫出其他不同象限角的集合表示嗎？象限角的集合表示象限角象限角α

的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角{α|k·360°＜α＜90°+k·360°，k∈Z}{α|90°+k·360°＜α＜180°+k·360°，k∈Z}{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°，k∈Z}{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°，k∈Z}思考：若角不在象限內，你能寫出它們的集合表示嗎？軸線角的集合表示：角α

終邊的位置象限角α

的集合表示在x軸的非負半軸上在x軸的非正半軸上在y軸的非負半軸上在y軸的非正半軸上在x軸上在y軸上在坐標軸上{α|α=k·360°，k∈Z}{α|α=180°+k·360°，k∈Z}{α|α=90°+k·360°，k∈Z}{α|α=270°+k·360°，k∈Z}{α|α=k·180°，k∈Z}{α|α=90°+k·180°，k∈Z