第13講數據的分析

'平均數

中位數和眾數

數據的分析，

統計圖的選擇

、數據的離散程度

知識點1平均數

1.平均數：在一組數據中，用數據的總和除以數據的總個數就得到這組數據的平均數；

2.加權平均數：在一組數據中，各個數在總結果中所占的百分I；匕稱為這個數的權重，每個數

乘以它相應的權重后所得的平均數叫做這組數據的加權平均數.

【隨堂練習】

1.（2018?桂林）某學習小組共有學生5人，在一次數學測驗中，有2人得85

分，2人得90分，1人得70分，該學習小組的平均分為一分.

【解答】解：（85x2+90x2+70）-（2+2+1）

=（170+180+70）+5

=420+5

=84（分）.

答：該學習小組的平均分為84分.

故答案為：84.

2.（2018?柳州）一位同學進行五次投實心球的練習，每次投出的成績如表：

投實心球序12345

次

成績（m）10.510.210.310.610.4

求該同學這五次投實心球的平均成績.

【解答】解：該同學這五次投實心球的平均成績為：

105+10.2+10.3+10.6+1。4=]0彳

-5''

故該同學這五次投實心球的平均成績為10.4m.

知識點2中位數與眾數

中位數：將一組數據按照大小N頁序排列，若數據的個數是奇數，則處于最中間位置的那個數

據就是該組數據的中位數；若數據的個數是偶數，則處于最中間位置的兩個數據的平均數就

是該組數據的中位數。一組數據的中位數是唯一的。

眾數：一般地，一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的眾數。

【典例】

1.一組數據：1,2,1,0,2,a,若它們.的眾數為1,則這組數據的平均數為

【答案】|

6

【解析】本題考查眾數、平均數的概念.根據眾數為1,求出〃的值，然后根據平均數的概念

求解..??眾數為1,."=L.?.平均數為1+2+1：°+2+11

66

2.在“愛滿揚州”慈善一日捐款活動中，學校團總支為了了解本校學生的捐款情況，隨機抽取

了50名學生的捐款數進行了統計，并繪制成下面的統計圖.

20

14

6

2

010152025捐款/元

第11題圖

(1)這50名同學捐款的眾數為元，中位數為.

(2)求這50名同學捐款的平均數；

(3)該校共有600名學生參與捐款，請估計該校學，生的捐款總數

【解析】（1）解：15,15；（4分）

（2）.解:x=^x（5x8+10x14+15x20+20x6+25x2）=13；

（3）解：600x13=7800（元）；

答：估計該校學生的捐款總數為7800元

【方法總結】L中位數也是反映一組數據的集中趨勢的量，有時我們更關注的是該組數據的

中位數，因為中位數不受極端值的影響。求中位數第一步必須按照順序進行排列

2.一組數據中的眾數可能不止一個，眾數是反映一組數據的“多數水平”的數據代表

【隨堂練習】

1.（2018?臨安區）某青年排球隊12名隊員的年齡情況如表：

年齡1819202122

人數14322

則這個隊隊員年齡的眾數和中位數是（）

A.19,20B.19,19C.19,20.5D.20,19

【解答】解：數據19出現了四次最多為眾數；20和20處在第6位和第7位，

其平均數是20,所以中位數是20.

所以本題這組數據的中位數是20,眾數是19.

故選：A.

2.（2018?平度市一模）小明調查了班級里20位同學本學期購買課外書的花費

情況，并將結果繪制成了如圖的統計圖.在這20位同學中，本學期購買課外書

的花費的眾數和中位數分別是（）

⑤①

5%10%

①100元

②80兀

③50匹

④30匹

⑤20元

A.50,50B.50,30C.80,50D.30,50

【解答】解：由扇形統計圖可知，

購買課外書花費為100元的同學有：20xl0%=2（人），

購買課外書花費為80元的同學有：20x25%=5（人），

購買課外書花費為50元的同學有：20x40%=8（人），

購買課外書花費為30元的同學有：20X20%=4（人），

購買課外書花費為20元的同學有：20x5%=1（人），

20個數據為100,100,80,80,80,80,80,50,50,50,50,50,50,50,

50,30,30,30,30,20,

在這20位同學中，本學期計劃購買課外書的花費的眾數為50元，

中位數為（50+50）+2=50（元）；

故選：A.

知識點3從統計圖計算集中趨勢

數據的統計:條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖是三種最常用的統計圖.

要點詮釋：

這三種統計圖各具特點：

條形統計圖可以直觀地反映出數據的數量特征；

折線統計圖可以直觀地反映出數據的數量變化規律；

扇形統計圖可以直觀地反映出各部分數量在總量中所占的份額.

【典例】

某校分別于2012年、2014年隨機調查相同數量的學生，對數學課開展小組合作學習的情況

進行調查(開展情況分為較少、有時、常常、總是四種)，繪制成部分統計圖如下，請根據

圖中信息，解答下列問題：

2014年小組合作的

情況扇形統計圖

(1)a=%力=%，“總是”對應阻影的圓心角為°；

(2)請你補全條形統計圖；

(3)若該校2014年共有1200名學生，請你統計其中認為數學課“總是”開展小組合作學習

的學生有多少名？

(4)相比2012年，2014年數學課開展小組合作學習的情況有何變化？

【答案】

【解析】(1)解：80-40%=200(A),a=38-200=19%,6=100%-40%-21%-19%=20%,

40%x360°=144°；

(2)解：2014年“有時”的人數為:20%x200=40(人)，

2014年“常常”的人數為：200x21%=42(人),

補全統計圖如解圖所示：

9O

8O

7O

6O

5O

4O

3O

2O

1O

O

(3)解：1200x-=480(A),

答：數學課“總是”開展.小組合作學習的學生有480人；

(4)解：相比2012年，2014年數學課開展小組合作學習情況有所好轉

【方法總結】

1.解決統計圖問題的方法，通常是結合兩種統計圖，對照統計圖中各已知量，分析要

求解的量.一般地，首先求出總量，再由總量及部分中的一個已知項求出另一個未知項，由

此逐一求出所有的未知量，從而由所得結果補全統計圖

2.統計圖中相關量的計算方法：

(1)條形統計圖：一般涉及補圖，也就是求未知組的頻數，方法如下：

①未知組頻數=樣本容量-已知組頻數之和；

②未知組頻數=樣本容量x該組所占樣本容量的百分比.

(2)扇形統計圖：一般涉及求未知組的百分比或其所占扇形圓心角的度數

若求未知組在扇形統計圖中圓心角的度數，利用36(rx其所占百分比即可.

(3)折線統計圖一般涉及求增長量.

(4)用樣本估算總體：樣本頻數=總數x樣本頻率

【隨堂練習】

1.(2018?婁底)為了取得扶貧工作的勝利，某市對扶貧工作人員進行了扶貧知

識的培訓與測試，隨機抽取了部分人員的測試成績作為樣本，并將成績劃分為A、

B、C、D四個不同的等級，繪制成不完整統計圖如圖，請根據圖中的信息，解

答下列問題：

(1)求樣本容量；

(2)補全條形圖，并填空：n=；

(3)若全市有5000人參加了本次測試，估計本次測試成績為A級的人數為多

少？

【解答】解：(1)樣本容量為18?30%=60；

(2)C等級人數為60-(24+18+6)=12人，n%=Axi00%=10%,

補全圖形如下：

故答案為：10；

(3)估計本次測試成績為A級的人數為5000x^1=2000人.

2.(2018?隴南)“足球運球”是中考體育必考項目之一.蘭州市某學校為了解今

年九年級學生足球運球的掌握情況川迨機抽取部分九年級學生足球運球的測試成

績作為一個樣本，按A,B,C,D四個等級進行統計，制成了如下不完整的統

計圖.(說明：A級：8分-10分，B級：7分-7.9分，C級：6分-6.9分，D

級：1分-5.9分)

根據所給信息，解答以下問題：

(1)在扇形統計圖中，C對應的扇形的圓心角是______度；

(2)補全條形統計圖；

(3)所抽取學生的足球運球測試成績的中位數會落在—等級；

(4)該校九年級有300名學生，請估計足球運球測試成績達到A級的學生有多

少人？

【解答】解：(1):總人數為18+45%=40人,

，C等級人數為40-(4+18+5)=13人,

則C對應的扇形的圓心角是360耿絲=117。，

40

故答案為：117；

(2)補全條形圖如下：

扇除計圖

(3)因為共有40個數據，其中位數是第20、21個數據的平均數，而第20、21

個數據均落在B等級，

所以所抽取學生的足球運球測試成績的中位數會落在B等級，

故答案為：B.

(4)估計足球運球測試成績達到A級的學生有300XA=30人.

知識點4數據的離散程度

極差：一組數據中最大值與最小值的差，能反映這組數據的變化范圍，我們

就把這樣的數據叫做極差。一般來說，極差越小則說明數據的波動幅度越小。

方差：各個數據與它們的平均數的差的平方的平均數叫做這組數據的方差，

記作s2.

標準差：方差的算術平方根叫做一組數據的標準差，記作s

【典例】

1.甲乙兩人8次射擊的成績如圖所示(單位：環).根據圖中的信息判斷，這8次射擊中成績

比較穩定的是(填“甲”或“乙”)

【答案】甲

【解析】本題考查了方差,乙的8次成績為5,9,6,8,6,8,8,6；甲的8次成績為6,

79

7,7,8,5,9,5,9,乙=:加甲=,二8次射擊中成績比較穩定的是甲.

44

2.某工程隊有14名員工，他們的工種及相應每人每月工資如下表所示：

工種人數每人每月工資/元

電工57000

木工46000

瓦工55000

現該工程隊進行了人員調整：減少木工2名，增加電工、瓦工各1名.與調整前相比，該工

程隊員工月工資的方差________（填“變小”，“不變”或“變大”）

【答案】變大

【解析】變化前每月工資數據為5個7000,4個6000,5個5000,變化后每月工資數據為6

個7000,2個6000,6個5000,因為兩組數據的平均數均為6000，明顯變化后數據的波動較大,

方差較大，所以調整后的該工程隊員工月工資的方差變大.

【隨堂練習】

1.（2018春?贛縣區期末）我市某中學舉辦“網絡安全知識答題競賽"，初、高中

部根據初賽成績各選出5名選手組成初中代表隊和高中代表隊參加學校決賽，兩

個隊各選出的5名選手的決賽成績如圖所示.

平均分（分）中位數（分）眾數（分）方差（分2）

2

初中部a85bs初中,

高中部85C100160

(1)根據圖示計算出a、b、c的值；

(2)結合兩隊成績的平均數和中位數進行分析，哪個隊的決賽成績較好？

(3)計算初中代表隊決賽成績的方差s初中2,并判斷哪一個代表隊選手成績較

【解答】解：(1)初中5名選手的平均分0J5+80+85+85+10°二甌,眾數b=85,

5

高中5名選手的成績是：70,75,80,100,100,故中位數c=80；

(2)由表格可知初中部與高中部的平均分相同，初中部的中位數高，

故初中部決賽成績較好；

2(75-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(85-85)2+(100-85)2”

(§>S初中:-----------------------------g------------------------=7。，

??2/2

,S初中<s高中，

，初中代表隊選手成績比較穩定.

2.(2017秋?寧德期末)某射擊隊為了解運動員的年齡情況，作了一次年齡調查,

根據射擊運動員的年齡(單位：歲)，繪制出如下的統計圖.

(1)你能利用該統計圖求出平均數、眾數和中位數中的哪些統計量？并直接寫

出結果；

(2)小穎認為，若從該射擊隊中任意挑選四名隊員，則必有一名隊員的年齡是

15歲.你認為她的判斷正確嗎？為什么？

(3)小亮認為，可用該統計圖求出方差.你認同他的看法嗎？若認同，請求出

方差；若不認同，請說明理由.

A16安、/z14A夕\

［解答］解,(I)平均數」3X10%+、x30%+15X25%+16X20%+17X15蚊］§

眾數為14,中位數為15；

(2)判斷錯誤.可能抽到13歲，14歲，16歲，17歲；

(3)可以.

設有n個運動員，

則S2=l?［10%?n(13-15)2+30%*n(14-15)2+25%?n?(15-15)2+20%*n*(16

-15)2+15%*n(17-15)2］=1.5.

綜合運用：

1.某班體育委員對本班學生一周鍛煉時間(單位：小時)進行了統計，繪制了如圖所示的折

線統計圖，則該班這些學生一周鍛煉時間的中位數是

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

【答案】11

【解析】解：由統計圖可知，

一共有：6+9+10+8+7=40(人)，

，該班這些學生一周鍛煉時間的中位數是第20個和21個學生對應的數據的平均數，

該班這些學生一周鍛煉時間的中位數是11,

故答案為：11.

2.2017年6月2日，貴陽市生態委發布了《2016年貴陽市環境狀況公報》，公報顯示，2016

年貴陽市生態環境質量進一步提升，小穎根據公報中的部分數據，制成了下面兩幅統計圖,

請根據圖中提供的信息，回答下列問題：

(1)a=,b=；(結果保留整數)

(2)求空氣質量等級為“優”在扇形統計圖中所占的圓心角的度數；(結果精確到1。)

(3)根據了解，今年1~5月貴陽市空氣質量優良天數為142天，優良率為94%,與2016

年全年的優良率相比，今年前五個月貴陽市空氣質量的優良率是提高還是降低了？請對改善

貴陽市空氣質量提一條合理化建議

2016年貴陽市空氣質量扇形嫵計圖201年貴陽市空氣度量條形統計圖

【答案】

225225

【解析】解：(l)ax3.83%=14,b=14-225-1-1=125;

61.48%61.48%

故答案為：14,125;

(2)因為2。16年全年總天數為：3225+W(天)，則36。。,裝=123。,

所以空氣質量等級為“優”在扇形統計圖中所占的圓心角的度數為123°;

(3)如6年貴陽市空氣質量的優良率為埒薩xM%‘95.6%,

V94%<95.6%,

.?.與2016年全年的優良相比，今年前5個月貴陽市空氣質量優良率降低了，建議：低碳出

行，少開空調等.

3.家庭過期藥品屬于“國家危險廢物“，處理不當將污染環境，危害健康.某市藥監部門為了

解市民家庭處理過期藥品的方式，決定對全市家庭作一次簡單隨機抽樣調直.

(1)下列選取樣本的方法最合理的一種是—.(只需填上正確答案的序號)

①在市中心某個居民區以家庭為單位隨機抽取忿在全市醫務工作者中以家庭為單位隨機抽

取；③在全市常住人口中以家庭為單位隨機抽取.

(2)本次抽樣調查發現，接，受調查的家庭都有過期藥品，現將有關數據呈現如圖：

A:繼續使用

B:直接拋棄

C:送回收站

D:撬置家中

E:賣給藥販

?m=,n=;

②補全條形統計圖；

③根據調鰻據，你認為該市市民家庭處理過期藥品最常見的方式是什么？

④家庭過期藥品的正確處理方式是送回收點，若該市有180萬戶家庭，請估計大約有多少戶

家庭處理過期藥品的方式是送回收點.

【答案】

【解析】解：（1）根據抽樣調查時選取的樣本需具有代表性，可知下列選取樣本的方法最

合理的一種是③.

①在市中心某個居民區以家庭為單位隨機抽取您在全市醫務工作者中以家庭為單位隨機抽

取；③在全市常住人口中以家，庭為單位隨機抽取.

(2)①抽樣調直的家庭總戶數為：80+8%=1000(戶)，

m%=-^-=20%,m=20,

1000

n%==6%,n=6.

1000

故答案為20,6;

②C類戶數為：1000-(80+510+200+60+50)=100,

條形統計圖補充如下：

J5-x&IX

\A:繼續鯽

400(B:直接拋棄

C:送回峰

B

3002(K)\\譚，D:擱置家中

2002曾\51%\

80100V\/E:賣給藥販

100□Hmh^,

ABCDEF處理方式

③根據調杳數據，即可知道該市市民家庭處理過期藥品最常見的方式是B類;

④180X10%=18(萬戶).

若該市有180萬戶家庭，估計大約有18萬戶家庭處理過期藥品的方式是送回收點.

4.（2017秋?寶豐縣期末）某公司對應聘者A,B,C,D進行面試，并按三個

方面給應聘者打分，每方面滿分20分，最后打分結果如下表，根據實際需要,

公司將專業知識、工作經驗和儀表形象三項成績得分按6：3：1的比例確定各人

的成績，此時誰將被錄用？

ABCD

專業知識14181716

工作經驗18161416

儀表形象12111414

【解答】解：A的最后得分：14X6+18X3+12X1=15.0,

6+3+1

B的最后得分：18X6+16X3+11X1=16.7,

6+3+1

的最后得分：

C17X6+14X3+14X1=15.8,

6+3+1

D的最后得分：16X6+16X3+14X1

=15.8,

6+3+1

由于B的最后得分最高，應錄用B.

5.(2017?金東區模擬)某市為了解高峰時段從總站乘16路車出行的人數，隨

機抽查了10個班次乘該路車人數，結果如下：

14,23,16,25,23,28,26,27,23,25.

(1)計算這10個班次乘車人數的平均數；

(2)如果16路車在高峰時段從總站共出車60個班次，根據上面的計算結果，

估計在高峰時段從總站乘該路車出行的乘客共有多少？

【解答】解：(1)這10個班次乘車人數的平均數為上x

10

(14+23+16+25+23+28+26+27+23+25)=23；

(2)60x23=1380,

答：估計在高峰時段從總站乘該路車出行的乘客共有1380人.

6.(2018?福州二模)李先生從家到公司上班,可以乘坐20路或66路公交車,

他在乘坐這兩路車時，對所需的時間分別做了20次統計，并繪制如下統計圖

次叫路公交

920

8

7

6

5

4

3

2

1

請根據以上信息，解答下列問題

公交線路20路66路

乘車時間統計量平均數34(i)

中位數(ii)30

(I)完成右表中(i),(ii)的數據：

(II)李先生從家到公司，除乘車時間外，另需10分鐘鐘(含等車，步行等).該

公司規定每天8點上班，16點下班

(i)某日李先生7點20分從家里出發，乘坐哪路車合適？并說明理由；

(ii)公司出于人文關懷，允許每個員工每個月遲到兩次.若李先生每天同一時

刻從家里出發，則每天最遲幾點出發合適？并說