專題3.4一元一次不等式組的整數解【典例1】已知關于x的不等式組4(2x-1)+2＞（1）若該不等式組有且只有三個整數解，求a的取值范圍；（2）若該不等式組有解，且它的解集中的任何一個值均不在x≥5的范圍內，求a的取值范圍．【思路點撥】（1）先求出不等式組的解集，再根據不等式組有且只有三個整數解求出整數解，得出關于a的不等式組，從而求解；（2）結合不等式組有解及它的解集中的任何一個值均不在x≥5的范圍內，得關于a的不等式組，從而求解．【解題過程】解：（1）4(2x-1)+2＞解不等式①，得：x＞2，解不等式②，得：x＜7﹣a，∴不等式組的解集為2＜x＜7﹣a，又∵不等式組有且只有三個整數解，∴5＜7﹣a≤6，解得：1≤a＜2；（2）由（1）可得，不等式組的解集為2＜x＜7﹣a，∵不等式組有解，∴7﹣a＞2，解得：a＜5，又∵它的解集中的任何一個值均不在x≥5的范圍內，∴7﹣a≤5，解得：a≥2，∴a的取值范圍2≤a＜5．1．（2021?巴東縣模擬）不等式組1-2x≤31-A．14 B．15 C．0 D．無數個【思路點撥】先解出每個不等式的解集，即可得到該不等式組的解集，然后即可寫出該不等式組的整數解個數．【解題過程】解：1-2x≤3①解不等式①，得：x≥﹣1，解不等式②，得：x≤﹣16，∴該不等式組無解，∴不等式組1-2x≤31-x+13故選：C．2．（2021?河北模擬）已知不等式組-2x+1≥□3x+12＞0的整數解有2A．2 B．3 C．4 D．11【思路點撥】求出不等式的解集，找出不等式組的解集，根據已知得出3＜□≤5，即可得出答案．【解題過程】解：-2x+1≥□①3x+12解不等式①得：x≤1-□解不等式②得：x＞﹣4，∴不等式組的解集為﹣4＜x≤1-□∵不等式組-2x+1≥□3x+12＞0∴﹣2≤1-□2∴3＜□≤5，故選：C．3．（2021春?碑林區校級月考）若關于x的不等式組5x+1＞3(x-1)x2≤6-A．﹣15≤a＜﹣12 B．﹣12＜a≤﹣9 C．﹣9＜a≤﹣6 D．﹣6≤a＜﹣3【思路點撥】先求出不等式組5x+1＞3(x-1)x2≤6-5x2+a中每個不等式的解集，再根據關于【解題過程】解：5x+1＞解不等式①，得：x＞﹣2，解不等式②，得：x≤6+a∵關于x的不等式組5x+1＞3(x-1)x∴0≤6+a3解得﹣6≤a＜﹣3，故選：D．4．（2021秋?零陵區期末）某班數學興趣小組對不等式組x＞①若a＝6，則不等式組的解集為3＜x≤6；②若a＝3，則不等式組無解；③若不等式組有解，則a的取值范圍a≥3；④若不等式組只有四個整數解，則a的值只可以為7．其中，正確結論的個數是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】①把a＝6代入不等式組，求出解集即可作出判斷；②把a＝3代入不等式組，判斷即可；③根據不等式組有解確定出a的范圍，即可作出判斷；④由不等式組只有四個整數解，確定出a的范圍，即可作出判斷．【解題過程】解：不等式組x＞當a＝6時，解集為3＜x≤6，選項①正確；當a＝3時，不等式無解，選項②正確；若不等式組有解，a的范圍是a＞3，選項③錯誤；若不等式組只有四個整數解，∵不等式解集為3＜x≤a，∴整數解為4，5，6，7，∴a的范圍是7≤a＜8，選項④錯誤，則正確的個數是2個．故選：B．5．（2021春?荊門期末）已知關于x的不等式組x-3x-52＜22x-a≤-1，有以下說法：①若它的解集是1＜x≤2，則a＝5；②當a＝0時，它無解；③若它的整數解僅有3個，則整數a＝10；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【思路點撥】先求出各不等式的解集，再根據各小題的結論解答即可．【解題過程】解：解不等式x-3x-52＜2得，x解不等式2x﹣a≤﹣1得，x≤a-1①∵它的解集是1＜x≤2，∴a-12=2，解得a＝②∵a＝0，解不等式2x﹣a≤﹣1得a≤-1∴不等式組無解，故本小題正確；③∵它的整數解僅有3個，則整數解為2，3，4，∴4≤a-12∴9≤a＜11，∴整數a為9或10，故本小題錯誤；④∵不等式組有解，∴a-12＞∴a＞3，故本小題錯誤．故選：B．6．（2021?北碚區校級開學）已知關于x的不等式組x-a≥26-2x＞0的整數解共有3個，且（a+2）x＜1的解集為x＞A．3 B．2 C．1 D．0【思路點撥】解不等式組兩個不等式，根據整數解共有3個，得出∴﹣3＜a≤﹣2；由（a+2）x＜1的解集為x＞1a+2．得出a＜2，從而得出﹣3＜a＜﹣【解題過程】解：解不等式組x-a≥2①6-2x解不等式①得x≥a+2，解不等式②得x＜3，∵原不等式只有3個整數解∴這3個整數解分別為2，1，0﹣1＜a+2≤0∴﹣3＜a≤﹣2，∵（a+2）x＜1的解集為x＞1∴a+2＜0，∴a＜﹣2，∴滿足所有條件的a的取值范圍是﹣3＜a＜﹣2，∴a一個整數也取不到，故選：D．7．（2021?淅川縣一模）不等式組5x-2＞3x-413x≥x-2【思路點撥】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進而求出最大的整數解即可．【解題過程】解：不等式組整理得：x＞解得：﹣1＜x≤1，則不等式組的最大整數解為1．故答案為：1．8．（2021?樊城區一模）已知不等式組3x+a＜2x-13x＜53x+2有解但沒有整數解，則【思路點撥】解兩個不等式求得x的范圍，由不等式組有解，但沒有整數解可得關于a的不等式組，解之可得答案．【解題過程】解：解不等式3x+a＜2x，得：x＜﹣a，解不等式-13x＜53x+2，得：則不等式組的解集為﹣1＜x＜﹣a，∵有解但沒有整數解，∴﹣1＜﹣a≤0，解得：0≤a＜1，故答案為：0≤a＜1．9．（2021秋?錦江區校級期中）如果關于x的不等式組3x-a≥02x-b≤0的整數解只有1，2，3，那么a的取值范圍是0＜a≤3，b的取值范圍是6≤b＜8【思路點撥】先求出不等式組的解集，再由整數解，可得a、b的取值范圍．【解題過程】解：由3x﹣a≥0，得：x≥a由2x﹣b≤0，得：x≤b∵不等式組的整數解為1、2、3，∴0＜a3≤1，3∴0＜a≤3，6≤b＜8，故答案為：0＜a≤3，6≤b＜8．10．（2021春?東臺市月考）若關于x的不等式組5x-a＞7x-12＜2的所有整數解之和等于9，則a的取值范圍是﹣2≤a＜3或﹣【思路點撥】解不等式組得出解集，根據整數解的和為5，可以確定不等式組的整數解為2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，再根據解集確定a的取值范圍．【解題過程】解：5x-a＞解不等式①得x＞a+7解不等式②得x＜5，∵所有整數解的和是9，∴不等式組的整數解為2，3，4或﹣1，0，1，2，3，4，∴1≤a+75＜2或﹣2∴﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12故答案為：﹣2≤a＜3或﹣17≤a＜﹣12．11．（2020秋?西湖區期末）對于任意實數p，q，定義一種運算：p@q＝p﹣q+pq，例如2@3＝2﹣3+2×3＝5．請根據上述定義解決問題：若關于x的不等式組2@x＜4x@2≥m；有3個整數解，則m的取值范圍為﹣8＜m≤﹣【思路點撥】先根據已知新運算變形，再求出不等式組的解，根據已知得出關于m的不等式組，求出m的范圍即可．【解題過程】解：∵2@x＜∴2-x+2x＜解不等式①得：x＜2，解不等式②得：x≥m+2∴不等式組的解集是m+23≤x＜∵不等式組有3個整數解，∴﹣2＜m+23解得：﹣8＜m≤﹣5，故答案為：﹣8＜m≤﹣5．12．（2021春?東湖區期末）定義：把b﹣a的值叫做不等式組a≤x≤b的“長度”若關于x的一元一次不等式組x+a≥0x-2a+3≤0解集的“長度”為3，則該不等式組的整數解之和為﹣2【思路點撥】解不等式組求得不等式的解集為﹣a≤x≤2a﹣3，根據題意得出2a﹣3﹣（﹣a）＝3，解得a＝2，即可得到不等式的解集為﹣2≤x≤1，進而即可求得不等式組的整數解之和為﹣2．【解題過程】解：x+a≥0①x-2a+3≤0②由①得x≥﹣a，由②x≤2a﹣3，∴不等式組的解集為﹣a≤x≤2a﹣3，∵關于x的一元一次不等式組x+a≥0x-2a+3≤0解集的“長度”為3∴2a﹣3﹣（﹣a）＝3，∴a＝2，∴不等式組的解集為﹣2≤x≤1，∴不等式組的整數解為﹣2，﹣1，0，1，它們的和為﹣2．故答案為﹣2．13．（2020?浙江自主招生）已知不等式組|x-2|-3a+4＜0|x-1|-a+1＜0的整數解僅有1，則實數a的取值范圍是【思路點撥】由已知可得|x-2|＜3a-4|x-1|＜a-1，因為不等式組的整數解只有一個，則有0＜a﹣1≤1，3a﹣4【解題過程】解：∵|x-2|-3a+4＜∴|x-2|＜∵整數解僅有1，∴0＜a﹣1≤1，3a﹣4＞1，∴53＜a故答案為53＜a14．（2021?韓城市模擬）解不等式組2(x-1)≤3x+11【思路點撥】先解出每個不等式的解集，即可得到該不等式組的解集，然后即可得到該不等式組的最大整數解．【解題過程】解：2(x-1)≤3x+1①解不等式①，得：x≥﹣3，解不等式②，得：x≤4，故該不等式組的解集是﹣3≤x≤4，∴該不等式組的最大整數解是4．15．（2021秋?龍鳳區校級期末）解不等式組2x-13【思路點撥】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分確定出不等式組的解集，進而求出整數解即可．【解題過程】解：2x-13解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜3，∴不等式組的解集為：﹣1≤x＜3，∴不等式組的整數解為：﹣1，0，1，2．16．（2021春?東坡區校級月考）解不等式組x-34【思路點撥】先求出不等式組x-34【解題過程】解：x-34解不等式①，得：x＞﹣3，解不等式②，得：x≤2，∴該不等式組的解集為﹣3＜x≤2，解集在數軸上表示如下所示：該不等式組的所有非負整數解是0，1，2．17．（2021春?蘿北縣期末）關于x的不等式組x+152＞x-3（1）a的取值范圍；（2）當a取最大值時，在數軸上表示不等式組的解集．【思路點撥】（1）分別求出每一個不等式的解集，根據不等式組整數解的個數得到關于a的不等式組，解之即可得到a的范圍；（2）先確定a的值，再得出不等式組的解集，繼而將其表示在數軸上即可．【解題過程】解：（1）解不等式x+152＞x﹣3，得：x＜解不等式2x+23＜x+a，得：x＞2﹣3∵不等式組只有4個整數解，∴16≤2﹣3a＜17，解得﹣5＜a≤-14（2）當a取最大值，即a=-14不等式組的解集為16＜x＜21，其解集在數軸上的表示見如下：18．（2021秋?金華期中）對x，y定義一種新運算F（x，y）＝（ax+by）（x+3y）（其中a，b均為非零常數）．例如：F（1，1）＝4a+4b；已知F（3，1）＝0，F（0，1）＝﹣9．（1）求a，b的值；（F（3t+1，t）≥k；（2）若關于F的不等式組F(3t+1，t)≥kF(6t，1-2t)【思路點撥】（1）根據定義的新運算F，列出二元一次方程組，解方程組求出a，b的值；（2）根據（1）求出的a，b的值和新運算列出方程組求出t的取值范圍，根據題意列出不等式，解不等式求出實數k的取值范圍．【解題過程】解：（1）由題意得，6(3a+b)=03b=-9解得a=1b=-3（2）把a＝1，b＝﹣3代入可得F（x，y）＝（x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣9y2，所以不等式組可轉化為：(3t+1)2解得k-16因為原不等式組只有1個整數解，所以﹣1＜k-16解得﹣5＜k≤1．19．（2021春?海陵區校級期末）對x，y定義一種新的運算A，規定：A（x，y）=ax+by(當x≥y時（1）若已知a＝1，b＝﹣2，則A（4，3）＝﹣2．（2）已知A（1，1）＝3，A（﹣1，2）＝0．求a，b的值；（3）在（2）問的基礎上，若關于正數p的不等式組A(3p，2p-1)＞4A(-1-3p【思路點撥】（1）根據新定義運算列出算式求解；（2）根據題中的新定義列出方程組，求出方程組的解即可得到a與b的值；（3）由（2）化簡得A（x，y）的關系式，先判斷括號內數的大小，再轉化成不等式組求解即可．【解題過程】解：（1）∵4＞3，∴A（4，3）＝4a+3b，又∵a＝1，b＝﹣2，∴A（4，3）＝4×1+3×（﹣2）＝4﹣6＝﹣2，故答案為：﹣2；（2）由題意可得：a+b=32a-b=0解得：a=1b=2∴a的值為1，b的值為2；（3）在（2）問的基礎上，可得A（x，y）=x+2y(x≥y)∵p為正數，∴3p＞2p﹣1，﹣1﹣3p＜﹣2p，∴A（3p，2p﹣1）＝3p+2（2p﹣1）＝7p﹣2＞4，A（﹣1﹣3p，﹣2p）＝﹣2p+2（﹣1﹣3p）＝﹣8p﹣2≥m，可得7p-2＞解得67∵恰好有2個整數解，∴2個整數解為1，2，∴2≤-m+28解得：﹣26＜m≤﹣18．20．（2021秋?開福區校級月考）若一個不等式（組）A有解且解集為a＜x＜b（a＜b），則稱a+b2為A的解集中點值，若A的解集中點值是不等式（組）B的解（即中點值滿足不等式組），則稱不等式（組）B對于不等式（組）A（1）已知關于x的不等式組A：2x-3＞56-x＞0，以及不等式B：﹣1＜x≤5（2）已知關于x的不等式組C：2x+7＞2m+13x-16＜9m-1和不等式組D：x＞m-4（3）關于x的不等式組E：x＞2n