專題24立體幾何解答題最全歸納總結(jié)【題型歸納目錄】題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體題型二：立體幾何存在性問題題型三：立體幾何折疊問題題型四：立體幾何作圖問題題型五：立體幾何建系繁瑣問題題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系題型八：空間中的點不好求題型九：創(chuàng)新定義【典例例題】題型一：非常規(guī)空間幾何體為載體例1．如圖，P為圓錐的頂點，O為圓錐底面的圓心，圓錐的底面直徑，母線，M是PB的中點，四邊形OBCH為正方形．（1）設(shè)平面平面，證明：；（2）設(shè)D為OH的中點，N是線段CD上的一個點，當(dāng)MN與平面PAB所成角最大時，求MN的長．【解析】（1）因為四邊形OBCH為正方形，∴，∵平面POH，平面POH，∴平面POH．∵平面PBC，平面平面，∴．（2）∵圓錐的母線長為，，∴，，以O(shè)為原點，OP所在的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，，，為平面PAB的一個法向量，設(shè)MN與平面PAB所成的角為，則，令，則所以當(dāng)時，即時，最大，亦最大，此時，所以．例2．如圖所示，圓錐的底面半徑為4，側(cè)面積為，線段AB為圓錐底面的直徑，在線段AB上，且，點是以BC為直徑的圓上一動點；（1）當(dāng)時，證明：平面平面（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值．【解析】（1）∵垂直于圓錐的底面，∴，當(dāng)時，，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）由題可知，，∴，∴，當(dāng)三棱錐的體積最大時，的面積最大，此時為的中點，如圖，建立空間直角坐標系，則，∴，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，∴，則，∴二面角的余弦值為．例3．如圖，圓錐PO的母線長為，是⊙的內(nèi)接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．（1）證明：；（2）設(shè)點Q滿足，其中，且二面角的大小為，求的值．【解析】（1）∵，，，∴∵平面PAC⊥平面PBC且平面PAC平面，平面PBC，，∴PB⊥平面PAC，又平面PAC，∴，∴，∴，∴是正三角形，，∵∴；（2）在平面ABC內(nèi)作交BC于M，以O(shè)為坐標原點，OM，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示：易知，，所以，，，，，，設(shè)平面OBC的法向量，依題意，即，不妨令，得，易知平面OQB的法向量，由可知，即，解得例4．如圖，為圓錐的頂點，為圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓周上一點，，四邊形為矩形，點在上，且平面．（1）請判斷點的位置并說明理由；（2）平面將多面體分成兩部分，求體積較大部分幾何體的體積．【解析】（1）點是的中點，取的中點，連接，，因為為的中點，所以，又平面，平面，所以平面，由四邊形為矩形，所以，又平面，平面，所以平面，因為，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，（2）由（1）知點是的中點，因為，所以，所以，且，所以，所以三棱錐的體積；又三棱錐的體積，所以四棱錐的體積，所以幾何體的體積，所以體積較大部分幾何體的體積為；例5．如圖，在直角中，PO⊥OA，PO=2OA，將繞邊PO旋轉(zhuǎn)到的位置，使，得到圓錐的一部分，點C為的中點．（1）求證：；（2）設(shè)直線PC與平面PAB所成的角為，求．【解析】（1）證明：由題意知：，∴PO⊥平面AOB，又∵平面AOB，所以PO⊥AB．又點C為的中點，所以O(shè)C⊥AB，，所以AB⊥平面POC，又∵平面POC，所以PC⊥AB．（2）以O(shè)為原點，，，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，所以，，．設(shè)平面PAB的法向量為，則取，則可得平面PAB的一個法向量為，所以．例6．如圖，四邊形ABCD為圓柱的軸截面，EF是該圓柱的一條母線，，G是AD的中點．（1）證明：平面EBG；（2）若，求二面角的正弦值．【解析】（1）由已知平面，平面，所以，因為是圓的直徑，所以，因為，所以平面，平面，故，因為，所以，易知：△△，所以，從而，又，所以平面．（2）以為坐標原點，為軸正方向，為單位向量，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，從而，設(shè)位平面的法向量，則，所以，由（1）知：平面的法向量為因為，所以二面角的正弦值為．例7．如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其內(nèi)部）以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°得到的，G是的中點．（1）設(shè)P是上的一點，且，求證；（2）當(dāng)，時，求二面角的大小．【解析】（1）因為，，AB，平面ABP，，所以平面ABP，又平面ABP，所以．（2）以B為坐標原點，分別以BE，BP，BA所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題意得，，，，故，，．設(shè)是平面AEG的一個法向量，由可得取，可得平面AEG的一個法向量．設(shè)是平面ACG的一個法向量，由，可得取，可得平面ACG的一個法向量．所以，因為，故所求的角為60°．例8．如圖，四邊形是一個半圓柱的軸截面，E，F(xiàn)分別是弧上的一點，，點H為線段的中點，且，點G為線段上一動點．（1）試確定點G的位置，使平面，并給予證明；（2）求二面角的大小．【解析】（1）當(dāng)點G為的中點時，平面．證明：取得中點M，連接．∵G，M分別為與的中點，∴，且，又H為的中點，且，∴．四邊形是平行四邊形，∴又平面平面∴平面（2）由題意知，是半圓柱底面圓的一條直徑，∴．∴．由底面，得底面．∴．以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則設(shè)平面的一個法向量為所以則令則即由．得平面∴平面的一個法向量為設(shè)二面角所成的角為則∴二面角所成的角為．例9．坐落于武漢市江漢區(qū)的漢口東正教堂是中國南方唯一的拜占庭式建筑，象征著中西文化的有機融合．拜占庭建筑創(chuàng)造了將穹頂支承于獨立方柱上的結(jié)構(gòu)方法和與之相呼應(yīng)的集中式建筑形制，其主體部分由一圓柱與其上方一半球所構(gòu)成，如圖所示．其中是下底面圓心，是上三點，是上底面對應(yīng)的三點．且共線，，，，與所成角的余弦值為．（1）若到平面的距離為，求的半徑．（2）在（1）的條件下，已知為半球面上的動點，且，求點軌跡在球面上圍成的面積．【解析】（1）如圖，取上的點．連接．過作于，則，由題意知，設(shè)的半徑為，，由勾股定理知，，，由余弦定理知．代入解得，因為，，所以面，故到面的距離是，因為，，，所以面，，因為，，，所以面，，而，即，解得，，即的半徑為．（2）設(shè)上底面圓心為，則，與的夾角為，所以，解得，過作于，則，所以點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，因此可作出幾何體被面所截得到的截面，如圖所示．設(shè)弧旋轉(zhuǎn)一周所得到的曲面面積為，弧得到的為，則，因此．因此點軌跡在球面上圍成的面積為．例10．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．（1）證明：平面；（2）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值．【解析】（1）證明：如圖，連接，由題意知為的直徑，所以．因為是圓柱的母線，所以且，所以四邊形是平行四邊形．所以，所以．因為是圓柱的母線，所以平面，又因為平面，所以．又因為，平面，所以平面．（2）由（1）知是三棱錐底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形．設(shè)，則在中有：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即點E，F(xiàn)分別是，的中點時，三棱錐的體積最大，（另等積轉(zhuǎn)化法：易得當(dāng)F與距離最遠時取到最大值，此時E、F分別為、中點）下面求二面角的正弦值：法一：由（1）得平面，因為平面，所以．又因為，所以平面．因為平面，所以，所以是二面角的平面角，由（1）知為直角三角形，則．故，所以二面角的正弦值為．法二：由（1）知兩兩相互垂直，如圖，以點E為原點，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則．由（1）知平面，故平面的法向量可取為．設(shè)平面的法向量為，由，得，即，即，取，得．設(shè)二面角的平面角為，，所以二面角的正弦值為例11．如圖，，O分別是圓臺上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，連接BC交圓E于點D，，，為圓臺的母線，．（1）證明；平面；（2）若二面角為，求與平面所成角的正弦值．【解析】（1）連接，C為圓O的直徑AB所對弧的中點，所以△為等腰直角三角形，即，又在圓上，故△為等腰直角三角形，所以且，又是母線且，則，故且，則為平行四邊形，所以，而面，面，故平面．（2）由題設(shè)及（1）知：、、兩兩垂直，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系，過作，則為的中點，再過作，連接，由圓，即圓，圓，則，又，則，故二面角的平面角為，而，所以．則，，，，所以，，，若為面的一個法向量，則，令，則，，故與平面所成角的正弦值．例12．某市在濱海文化中心有濱海科技館，其建筑有鮮明的后工業(yè)風(fēng)格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長方體和圓臺組合，如圖所示，長方體中，，圓臺下底圓心為的中點，直徑為2，圓與直線交于，圓臺上底的圓心在上，直徑為1．（1）求與平面所成角的正弦值；（2）圓臺上底圓周上是否存在一點使得，若存在，求點到直線的距離，若不存在則說明理由．【解析】（1）（1）由長方體可知，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，．所以．設(shè)平面的一個法向量為，則有，即，令，則，，故，所以，故與平面所成角的正弦值為；（2）由（1）可知，，，所以，假設(shè)存在這樣的點P，設(shè)，由題意可知，所以，因為，則有，所以，又，所以，解得（舍），，所以當(dāng)時，，此時點到直線的距離為．題型二：立體幾何存在性問題例13．如圖，三棱錐PABC中，平面ABC，，，，．（1）求三棱錐APBC的體積；（2）在線段PC上是否存在一點M，使得?若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【解析】（1）因為AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，所以．由平面ABC知：PA是三棱錐PABC的高，又PA＝1，所以三棱錐APBC的體積．（2）在線段PC上存在一點M，使得，此時．如圖，在平面PAC內(nèi)，過M作交AC于N，連接BN，BM．由平面ABC，平面ABC，故，所以．由知：，則，在中，，所以，即．由于且面MBN，故平面MBN．又平面MBN，所以．例14．已知四棱錐中，底面是矩形，且，是正三角形，平面，、、、分別是、、、的中點．（1）求平面與平面所成的銳二面角的大小；（2）線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）因為是正三角形，為的中點，所以，，因為平面，平面，，，平面，因為且，、分別為、的中點，所以，且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，，則，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，、、、、、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，所以，，因此，平面與平面所成的銳二面角為．（2）假設(shè)線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的大小為，設(shè)，其中，，由題意可得，整理可得，因為，解得．因此，在線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的大小為，且．例15．已知三棱柱中，，，，．（1）求證：平面平面ABC；（2）若，在線段AC上是否存在一點P，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．【解析】（1）由知：四邊形為菱形．連接，則，又且，∴平面，平面，則；又，即，而，∴平面，而平面ABC，∴平面平面ABC．（2）以C為坐標原點，射線CA、CB為x、y軸的正向，平面上過C且垂直于AC的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．∵，，，∴，，，．設(shè)在線段AC上存在一點P，滿足，使二面角的余弦值為，則，所以，．設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得；平面的一個法向量為．由，解得或．因為，則．故在線段AC上存在一點P，滿足，使二面角的平面角的余弦值為．例16．如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，．（1）證明：；（2）在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，若存在，求與所成角的余弦值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：連接，設(shè)，因為，則，且為等腰直角三角形，因為，則，因為，由余弦定理可得，所以，，則，平面，平面，，，平面，平面，．（2）因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則、、、、，設(shè)，其中，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，由題意可得，因為，解得，此時，，，，所以，，因此，在線段上是否存在一點，使得二面角的余弦值為，且與所成角的余弦值為．例17．如圖，是邊長為6的正三角形，點E，F(xiàn)，N分別在邊AB，AC，BC上，且，為BC邊的中點，AM交EF于點，沿EF將三角形AEF折到DEF的位置，使．（1）證明：平面平面；（2）試探究在線段DM上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）在中，易得，，，由，得，又，，，又為中點，，，因為，平面，平面，又平面，所以平面平面；（2）由（1）平面，以為原點，以為的正方向建立空間直角坐標系，，，，，由（1）得平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，，所以，所以．由題得，所以，所以，所以，因為二面角P—EN—B的大小為60°，所以，解之得（舍去）或．此時，所以．例18．圖是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得到平面的距離為？若存在，求出二面角的大小；若不存在，說明理由．【解析】（1）在圖中取中點，連接，，，，，，，，，，四邊形為矩形，，，又，為等邊三角形；又，為等邊三角形；在圖中，取中點，連接，為等邊三角形，，，，又，，，又，平面，平面，平面，平面平面．（2）以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，設(shè)棱上存在點且滿足題意，即，解得：，即，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，到平面的距離為，解得：，，又平面的一個法向量，，又二面角為銳二面角，二面角的大小為．例19．如圖所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，E為棱AA1上的點，且AE＝．（1）求證：BE⊥平面ACB1；（2）求二面角D1－AC－B1的余弦值；（3）在棱A1B1上是否存在點F，使得直線DF∥平面ACB1？若存在，求A1F的長；若不存在，請說明理由．【解析】（1）底面，平面又，，平面，平面平面，，，，，，又，平面，平面（2）如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，依題意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，－2，0），D1（1，－2，2），，由（1）知，為平面ACB1的一個法向量．設(shè)為平面ACD1的一個法向量．因為＝（1，－2，2），＝（2，0，0），所以，即：，不妨設(shè)z＝1，可得＝（0，1，1）．因此由圖可知二面角D1－AC－B1為銳角，所以二面角D1－AC－B1的余弦值為．（3）假設(shè)存在滿足題意的點F，設(shè)A1F＝a（a>0），則由（2）得F（0，a，2），＝（－1，a＋2，2）．由題意可知a＋2－1＝0，解得a＝－1（舍去），即直線DF的方向向量與平面ACB1的法向量不可能垂直．所以，在棱A1B1上不存在點F，使得直線DF∥平面ACB1．例20．如圖，在五面體中，已知，，，且，．（1）求證：平面與平面；（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面夾角余弦值的絕對值等于，若存在，求的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）證明：，，，平面，平面，平面平面，取的中點，的中點，連接、、，，，又平面，平面平面，平面平面，平面，又，，，，所以，且，四邊形為平行四邊形，，面，則平面，又面，所以，平面平面．（2）因為，，則，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)在線段上存在點，使得平面與平面夾角的余弦值等于，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，由題意可得，整理可得，解得：或（舍），，則，，綜上所述：在線段上存在點，滿足，使得平面與平面夾角的余弦值等于．題型三：立體幾何折疊問題例21．如圖1，在邊上為4的菱形中，，點，分別是邊，的中點，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．（1）在翻折過程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四棱錐體積最大時，求直線和平面所成角的正弦值；（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在一點，使得二面角余弦值的絕對值為？若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由．【解析】（1）在翻折過程中總有平面平面，證明如下：∵點，分別是邊，的中點，又，∴，且是等邊三角形，∵是的中點，∴，∵菱形的對角線互相垂直，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）由題意知，四邊形為等腰梯形，且，，，所以等腰梯形的面積，要使得四棱錐體積最大，只要點到平面的距離最大即可，∴當(dāng)平面時，點到平面的距離的最大值為，此時四棱錐體積的最大值為，直線和平面所成角的為，連接，在直角三角形中，，，由勾股定理得：．．（3）假設(shè)符合題意的點存在．以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，由（2）知，，又，且，平面，平面，平面，故平面的一個法向量為，設(shè)（），∵，，故，∴，，平面的一個法向量為，則，，即令，所以，則平面的一個法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，解得：，故符合題意的點存在且為線段的中點．例22．如圖，在等腰直角三角形中，分別是上的點，且分別為的中點，現(xiàn)將沿折起，得到四棱錐，連接（1）證明：平面；（2）在翻折的過程中，當(dāng)時，求二面角的余弦值．【解析】（1）在四棱錐中，取的中點，連接．因為分別為的中點，，所以又平面，平面，所以平面，同理可得，平面，又平面，所以平面平面，因為MNC平面，所以平面．（2）因為在等腰直角三角形中所以，在四棱錐中，因為則又平面，所以平面，又平面，所以因為則所以，故，所以以點為坐標原點，分別以所在方向為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示，，所以，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，則，，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，則，，設(shè)二面角所成角為，則．因為二面角的余弦值為．例23．如圖1，在平面四邊形PDCB中，，，，．將沿BA翻折到的位置，使得平面平面ABCD，如圖2所示．（1）設(shè)平面SDC與平面SAB的交線為l，求證：BC⊥l；（2）點Q在線段SC上（點Q不與端點重合），平面QBD與平面BCD夾角的余弦值為，求線段BQ的長．【解析】（1）依題意，，因為，所以，由于平面平面ABCD，且交線為AB，平面ABCD，所以平面SAB，因為l是平面SDC與平面SAB的交線，所以平面SAB，故．（2）由上可知，平面SAB，所以，由題意可知，，以點A為坐標原點，分別以AD，AB，AS所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)是平面QBD的一個法向量，則，令，可得由于是平面CBD的一個法向量，依題意，二面角的余弦值為，所以，解得，此時，，即線段BQ的長為．例24．如圖，在平面五邊形中，為正三角形，，且．將沿翻折成如圖所示的四棱錐，使得．，分別為，的中點．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）（1）證明：取的中點，連接，．則，．因為面，面，所以，面，面，因為，所以，面面，因為面，所以面．（2）（2）取的中點，連接，，因為為正三角形，，所以且，在直角梯形中，，，，所以，且，又因為，所以在中，，即，所以，以為坐標原點，分別以，，的方向為，，軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，．因為，即，，所以，，所以，．設(shè)為平面的一個法向量，則，即，取．又平面的一個法向量，設(shè)平面與平面夾角為，．例25．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3，AD＝2，∠A＝60°，E，F(xiàn)分別為線段AB，CD上的點，且BE＝2AE，DF＝FC，現(xiàn)將△ADE沿DE翻折至的位置，連接，．（1）若點G為線段上一點，且，求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐的體積達到最大時，求二面角的正弦值．【解析】（1）在上取一點，使，連接，因為，，所以∥，，因為平行四邊形中，，∥，為的中點，所以，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，（2）當(dāng)平面平面時，三棱錐的體積最大，中，，則，所以，所以，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以二面角的正弦值為例26．如圖1，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是等腰梯形，，現(xiàn)將正方形沿翻折，使與重合，得到如圖2所示的幾何體，其中．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：易得，，所以，則，∴，．又，且，，平面，∴平面．∵平面，∴．∵，平面，平面，∴平面．（2）由（1）知平面，則以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，平面內(nèi)過點且垂直于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，得令，則．由（1）知，平面的一個法向量為．∴．易知二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．例27．如圖，在梯形中，，現(xiàn)將所在平面沿對角線翻折，使點B翻折至點E，且成直二面角．（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：取中點M，連接，由題意可得，平行且等于，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴為直角三角形，即，∵直二面角平面ACD，∴平面平面，平面平面，∴平面，平面，∴平面平面．（2）由（1）可得平面，∴為直線與平面所成角，∴，∴．在中，∵，∴，在中，，∴、為等邊三角形，以中點O為坐標原點，以所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，平面為平面，則其法向量為，在平面內(nèi)，設(shè)其法向量為，，則，即，令，則，∴，設(shè)二面角的平面角為，∴，由圖可知二面角為銳角，∴．例28．如圖1，在△ABC中，，DE是△ABC的中位線，沿DE將△ADE進行翻折，使得△ACE是等邊三角形（如圖2），記AB的中點為F．（1）證明：平面ABC．（2）若，二面角DACE為，求直線AB與平面ACD所成角的正弦值．【解析】（1）如圖，取AC中點G，連接FG和EG，由已知得，且．因為F，G分別為AB，AC的中點，所以，且所以，且．所以四邊形DEGF是平行四邊形．所以．因為翻折的，易知．所以翻折后，．又因為，EA，平面AEC，所以平面AEC．因為，所以平面AEC．因為平面AEC，所以．因為ACE是等邊三角形，點G是AC中點，所以又因為，AC，平面ABC．所以平面ABC．因為，所以平面ABC．（2）（方法一）如圖，過點E作，以E為原點，EH、EC，ED所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系Exyz，設(shè)，則，，，，則，，，因為平面AEC．所以是平面AEC的法向量，設(shè)面ACD的法向量為，則，即，解得．取，得．因為二面角DACE為，所以，解得，所以，．記直線AB與平面ACD所成角為，則，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．（方法二）如圖，連接DG，因為平面AEC，平面AEC，所以．又因為，，DE，平面DEG．所以平面DEC．因為EG，平面DEG，所以，，所以∠DGE是二面角DACE的平面角，故．由△ACE是邊長為2的等邊三角形，得，在RtDGE中，，所以，．過點F作，垂足為I，因為平面DEGF，平面ACD，所以平面平面ACD．又因為平面平面，平面DEGF，且，所以平面ACD．連接AI，則∠FAI即為直線AB與平面ACD所成的角．在Rt△DFG中，，，得，由等面積法得，解得．在RtAFG中，，，所以．在RtFAI中，，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為．題型四：立體幾何作圖問題例29．已知四棱錐中，底面為正方形，O為其中心，點E為側(cè)棱的中點．（1）作出過O、P兩點且與平行的四棱錐截面（在答題卡上作出該截面與四棱錐表面的交線，并寫出簡要作圖過程）；記該截面與棱的交點為M，求出比值（直接寫出答案）；（2）若四棱錐的側(cè)棱與底面邊長均相等，求與平面所成角的正弦值．【解析】（1）連接，，則O為中點，取中點F，連接并延長交于M，連接并延長交于N，連接．則由，平面，平面，所以平面，所以即為所求截面（如圖所示），此時．（2）不妨設(shè)四棱錐的所有棱長均為2，以O(shè)為原點，過O點且分別與、平行的直線為x軸、y軸，為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系（如圖）．可得，，，，，．則，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為．例30．如圖，已知底面為平行四邊形的四棱錐中，平面與直線和直線平行，點為的中點，點在上，且．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求作過作四棱錐的截面，使與截面平行（寫出作圖過程，不要求證明）．截面的定義：用一個平面去截一個幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形．【解析】（1）∵平面，平面，平面平面，∴∵平面，平面，平面平面，∴∴，∵平面，平面，平面平面，∴∵平面，平面，平面平面，∴∴，∴四邊形是平行四邊形．（2）如圖，延長，與交于點，過點作直線，則直線為平面和平面的交線，延長，交于點，連接，與交于點，連接．∵點為的中點，點為的中點，∴是的一條中位線∴，又∵平面，平面，∴截面．故平面即為所求截面．例31．如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）．（1）作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；（2）若為棱的中點，是否存在，使平面平面，若存在，求出的所有可能值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）如圖，延長交的延長線于，連接交于，則所在的直線即為平面與平面的交線．證明：∵平面平面，平面平面，平面平面，∴．又∵平面平面，平面平面，平面平面，∴，∴．（2）以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，，，．設(shè)平面的一個法向量為，則，可得．同理可得平面的一個法向量為，因為平面平面，所以，得，解得．所以存在，使平面平面，此時．例32．如圖，在棱長為的正方體中，為棱的中點，，分別是棱，上的動點（不與頂點重合）．（1）作出平面與平面的交線（要求寫出作圖過程），并證明：若平面平面，則；（2）若，均為其所在棱的中點，求點到平面的距離．【解析】（1）連接并延長交的延長線于點，連接交于，連接，則所在的直線即為平面與平面的交線．因為平面平面，平面平面，平面平面，所以．又因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以．（2）因為，為其所在棱的中點，，，所以，可得，故三棱錐，此時，，為等腰三角形，其底邊上的高為，設(shè)點到平面的距離為，由，解得：，所以點到平面的距離為．例33．如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點．（1）求二面角的余弦值；（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）．【解析】（1）因為面面，為等邊三角形，設(shè)中點為，所以又因為面面面FAB，則平面，以為坐標原點，分別以方向為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：因為，則則，，，，所以，設(shè)平面的一個法向量為則取得，所以設(shè)平面的一個法向量為則取得，所以所以則二面角的余弦值為；（2），如圖所示：例34．如圖，已知多面體的底面是邊長為2的正方形，底面，，且．（1）求多面體的體積；（2）記線段的中點為，在平面內(nèi)過點作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．【解析】試題分析：（1）求多面體體積，一般方法為割補法，即將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則圖形：多面體分割成兩個錐體，一個三棱錐與一個四棱錐，而它們的高分別為和，再代入體積公式求解即可，（2）根據(jù)線面平行性質(zhì)定理，可得所作直線必平行面與面的交線，因此先作兩平面交線，再在平面內(nèi)作交線的平行線．試題解析：（1）如圖，連接，∵底面且，∴底面，∴，∵，，∴平面．∴，，∴多面體的體積．（2）如圖，取線段的中點，連接，直線即為所求的直線．例35．四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，．，且平面，，點分別是線段上的中點，在上．且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；（Ⅲ）請畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟．【解析】分析：（Ⅰ）推導(dǎo)出，由此能證明平面；（Ⅱ）推導(dǎo)出，，，以O(shè)為原點，OA、OB、OP分別為x、y、z軸建立空間直角做消息，利用向量法能求出直線AB與平面EFG的所成角的正弦值；（Ⅲ）法1：延長分別交延長線于，連接，發(fā)現(xiàn)剛好過點，，連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線．法2：記平面與直線的交點為，設(shè)，，利用向量法求出，從而即為點．連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線．解析：解：（Ⅰ）在中，因為點分別是線段上的中點，所以因為平面，平面．所以平面．（Ⅱ）因為底面是邊長為2的菱形，所以，因為平面，所以，，如圖，建立空間直角坐標系，則依題意可得，，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則由可得，令，可得因為．所以直線與平面的成角的正弦值為（Ⅲ）法Ⅰ：延長分別交延長線于，連接，發(fā)現(xiàn)剛好過點，，連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線．法2：記平面與直線的交點為，設(shè)，則由，可得．所以即為點．所以連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線．題型五：立體幾何建系繁瑣問題例36．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點，為上一點．過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心．若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）證明：，分別為，的中點，底面為正三角形，，四邊形為矩形，，，，，，，，平面，平面，平面平面，綜上，，且平面平面．（2）解：三棱柱上下底面平行，平面與上下底面分別交于，，，面，面，面面，，四邊形為平行四邊形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直線在平面內(nèi)的投影為，直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，在等腰梯形中，令，過作于，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．例37．如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，，，分別是，的中點（1）證明：平面（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中點，連接，，在中，根據(jù)余弦定理可以算出，發(fā)現(xiàn)，可以得出，又，又，可以得出，而，平面，而平面，，又，．又，平面．（2）由（1）知，平面，所以為二面角的平面角，在中，，，，由余弦定理得，因此二面角的余弦值為．例38．如圖，是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，點和點為線段的三等分點，平面外一點滿足，．（1）證明：；（2）已知點，為線段，上的點，，，求平面與平面所成二面角的正弦值．【解析】（1）證明：連接，因為是半徑為的半圓，為直徑，點為的中點，所以．在中，．在中，，為等腰三角形，且點是底邊的中點，故．在中，，所以為△，且．因為，，且，所以平面，而平面，．因為，，且，所以平面，而平面，．（2）設(shè)平面與平面的交線為．由，，知．而平面，平面，而平面平面，．由（1）知，平面，平面，而，平面，，，是平面與平面所成二面角的平面角．在中，，，．在中，由知，，由余弦定理得，由正弦定理得，，即，．故平面與平面所成二面角的正弦值為．例39．《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀左右．它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系．《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面．（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：，則三棱錐為“鱉臑”；（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，．（ⅰ）證明：平面平面；（ⅱ）設(shè)平面與平面的交線為，若，，求二面角的大小．【解析】（1）由題意，四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，而平面，要使三棱錐為“鱉臑”，則只需或或或；（2）證明：平面，平面，，又，即，，，平面，平面，又平面，，又，，，平面，平面，又平面，，又，，，平面，平面，又平面，平面平面；由題意知，在平面中，直線與直線相交，如圖所示，設(shè)，連接，則即為，平面，平面，，平面，平面，，又，，平面，平面，又，平面，，，即為二面角的一個平面角，在中，，，，又，，，，即二面角的大小為．例40．已知四面體，，，且平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小．【解析】（Ⅰ）證明：，，，取中點，則，平面，．（Ⅱ）解：過點作交延長線于，連結(jié)，平面平面，平面，為與平面所成角，，，，，在中，直線與平面所成角的大小為．例41．已知四面體，，且平面平面．（Ⅰ）若，求證：；（Ⅱ）求二面角的正切值．【解析】（Ⅰ）證明：，，，，，取中點，則，，平面，平面，．（Ⅱ）解：過點作交延長線于，過作于，連結(jié)，平面平面，平面，根據(jù)三垂線定理知，為二面角的平面角，由已知可知，設(shè)，則，在中，，，，二面角的正切值為．題型六：兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題例42．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點是的中點，連接，（1）證明：平面平面；（2）若，，求三棱錐的體積．【解析】解：（1）證明：如圖所示，因為是等邊三角形，，所以，可得，又因為點是的中點，則，，又，平面，平面，所以平面平面；（2）設(shè)，在中，，則；在等邊中，，在等腰中，；在中，由，得；由余弦定理得，即，解得；所以的面積為，所以三棱錐的體積為．例43．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，點是的中點，連接，．（1）證明：平面平面；（2）若，且二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】證明：（1）是等邊三角形，，，，點是的中點，則，，，平面，平面，平面平面．解：（2）作，垂足為，連結(jié)，，，，為二面角的平面角，由已知二面角為，，在等腰中，由余弦定理得，是等邊三角形，，，在中，，，，，，，，，由上述可知平面，則平面平面，過點作，垂足為，則平面，連結(jié)，則是直線與平面所成角，在中，，，，，直線與平面所成角的正弦值為．例44．如圖，四棱錐中，底面為邊長是2的正方形，，分別是、的中點，，，且二面角的大小為．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：連接，由已知可得，，在中，由余弦定理可得，．，，在中，有．．二面角的大小為，以為坐標原點，以過垂直的直線為軸，以所在直線為軸，以過且垂直于底面的直線為軸建立空間直角坐標系．則，，，，0，，，1，，，，，，，，則，，，則；（2）解：由（1）得，，，．設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，由，取，得，2，；由，取，得．．二面角為銳角，則其余弦值為．例45．如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為2的菱形，，．（Ⅰ）證明：平面平面；（Ⅱ）當(dāng)直線與平面所成的角為時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【解析】證明：過做，垂足為，連接，，，，在中，由余弦定理可得，，，，是等邊三角形，．，，又，，平面，又平面，平面平面．由知，，，平面，為直線與平面所成的角，即，，以為原點，以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，則，，，，0，，，0，，，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令可得，1，，平面，，0，為平面的一個法向量，．平面與平面所成銳二面角的余弦值為．例46．如圖，在四面體中，已知，，（1）求證：；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：，，．，．取的中點，連結(jié)，，則，．又，平面，平面，平面，．（2）解：過作于點．則平面，又平面平面，平面平面，平面．過做于點，連接．平面，，又，平面，．為二面角的平面角．連接．，．，，，．，．，．，，二面角的余弦值為．題型七：利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系例47．如圖：長為3的線段與邊長為2的正方形垂直相交于其中心．（1）若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；（2）在（1）的前提下，以，，，，，為頂點的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）取線段的中點為點，連接，，．由于四邊形是正方形，為其中心，所以，又面面，所以，而，所以面，面，所以，同理可以證出，為二面角的平面角，．設(shè)，，，則．且在中，，同理在中，由，得：故在線段上的靠近點的三分點位置；（2）幾何體存在內(nèi)切球，令球心為，若設(shè)線段的中點為點，內(nèi)切球的半徑為，由對稱性可知：平面四邊形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑即為，故，而，．所以，得．由三角形相似有：所以．故其內(nèi)切球心在點距離為的位置上．（注：也可用分割體積法求例48．在四棱錐中，為棱的中點，平面，，，，，為棱的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若二面角為，求直線與平面所成角的正切值．【解析】解：（Ⅰ）證明：連接交于點，連接，，且，，又，線段是的中位線，，面，面，面；（Ⅱ），，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，；又平面，，；以為坐標原點，，，為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，則，0，，，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，1，；設(shè)平面的一個法向量為，，，由，得；令，得，，，取平面的一個法向量為，0，；，，由二面角為，得，解得；平面，就是直線與平面所成角，在中，，直線與平面所成角的正切值為．例49．三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為．（Ⅰ）求側(cè)棱的長；（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，判斷點的位置并證明；若不存在，說明理由．【解析】解：（Ⅰ）取的中點，的中點，則四邊形為平行四邊形，，，側(cè)面為矩形，，，平面，則，則是二面角的平面角，則，則，，設(shè)，，，，，，又，在中，即，平方整理得，得或（舍，即側(cè)棱的長為2；（Ⅱ）建立以為坐標原點，，，分別為，，軸的空間直角坐標系如圖：過作底面，，，則，，則，，則，0，，，0，，，，，，，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，由，，則，令，則，即，0，，，0，，設(shè)，0，，，，，，0，，，，與平面所成角的正切值，，即，，平方得，得，即在處．即在側(cè)棱上存在點，使得直線與平面所成角的正切值為．例50．如圖，在四棱錐中，底面四邊形內(nèi)接于圓，是圓的一條直徑，平面，，是的中點，（1）求證：平面；（2）若二面角的正切值為2，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）證明：，，是的中點，是的中點，是的中位線，，，平面平面，平面，平面，平面；（2）是圓的一條直徑，，平面，，則平面，則，則是二面角的平面角，若二面角的正切值為2，則，即，建立以為坐標原點，，，垂直于平面的直線分別為，，軸的空間直角坐標系如圖：則，，，，0，，，，，0，，，，，則，，，，0，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，則，，即，0，，則直線與平面所成角的正弦值，，例51．如圖所示，平面，為等邊三角形，，，為中點．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）若與平面所成角的正切值為，求二面角的正切值．【解析】（Ⅰ）證明：因為為等邊的邊的中點，所以．依題意，且、、、四點共面，所以．分又因為平面，平面，所以平面．分（Ⅱ）解：因為，，所以平面，故與平面所成的角即為．分不妨設(shè)，則．由于，所以．分（方法一）在等腰中，過點作于點，再在中作于點（圖1所示）．因為，，所以平面，可得．又，所以即為二面角的平面角．分由題意知，，，所以，即二面角的正切值是．分（方法二）以點為坐標原點，為軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系．則，0，，，0，，，0，，，，．則，，．若設(shè)，，和，，分別是平面和平面的法向量，則，可取．同理，得，，．分所以，故二面角的余弦值是，其正切值是．分題型八：空間中的點不好求例52．如圖，直線平面，直線平行四邊形，四棱錐的頂點在平面上，，，，，，，，分別是與的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）連接，，底面為平行四邊形，是的中點，是的中點，，是的中點，是的中點，，，，平面平面，平面，平面；（2）由平面，平行四邊形平面底面，，，四邊形為矩形，且底面，，過作，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系（如圖）由，知，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，，，即，設(shè)平面的法向量，則，取，，，即，二面角的平面角的余弦值．例53．如圖，四棱錐中，，，側(cè)面為等邊三角形．，．（1）證明：平面（2）求與平面所成角的正弦值．【解析】（1）證明：取中點，連結(jié)，則四邊形為矩形，．連結(jié)，則又，故所以為直角，所以，由，，，得平面，所以．因為，所以平面分（2）解：由平面知，平面平面．作，垂足為，則平面，作，垂足為，則．連結(jié)，則又，，故平面，平面平面，作，為垂足，則平面，即到平面的距離為．由于，所以平面，到平面的距離也為．設(shè)與平面所成的角為，則分．例54．如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，，，點在側(cè)棱上，．（Ⅰ）證明：是側(cè)棱的中點；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）證明：作交于點，則，平面，連接，則四邊形為直角梯形，作，垂足為，則為矩形，設(shè)，則，，，，由，得，解得，即，從而，為側(cè)棱的中點．（Ⅱ）解：，又，，為等邊三角形．又由（Ⅰ）知為中點，，，，，，取中點，連結(jié)，取中點，連結(jié)，則，，由此知為二面角的平面角，連結(jié)，在中，，，，．二面角的余弦值為．例55．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為直角梯形，其中，，，，，，點在棱上且，點為棱的中點．在棱上且，點位棱的中點．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值的大小．【解析】證明：（1）在中，由，得，同理在中，由，得，所以，即（亦可通過勾股定理來證明）在中，在，所以，即解：（2）由（1）知，，兩兩垂直，故以為坐標原點，以射線，，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標系，得，，，0，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為則：不妨設(shè)，則設(shè)平面的法向量為則，不妨設(shè)，則記二面角為（應(yīng)為鈍角）故二面角的余弦值為．例56．如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，，且，是邊長為2的正三角形，頂點在上的射影為點，且，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】證明：（1）由頂點在上投影為點，可知，．取的中點為，連結(jié)，．在中，，，所以．在中，，，所以．所以，，即．，，面．又面，所以面面．解：（2）由（Ⅰ）知，，，且所以面，且面．以所在直線為軸，所在直線為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：，，，，，，，，，設(shè)平面，的法向量分別為，，則，即，取，得，，，，即，取，得，設(shè)二面角的平面角為．則．所以二面角的余弦值為．例57．三棱柱的底面是等邊三