導學案【學習目標】1.理解任意角的概念．2．掌握終邊相同角的含義及其表示．(重點、難點)3．掌握軸線角、象限角及區間角的表示方法．(難點、易混點)【自主學習】一.任意角1.角的概念：角可以看成平面內一條繞著它的端點所成的.2.角的表示：如圖所示：角α可記為“α”或“∠α”或“∠AOB”，始邊：，終邊：，頂點.3.角的分類：名稱定義圖示正角一條射線繞其端點按

方向旋轉形成的角負角一條射線繞其端點按

方向旋轉形成的角零角一條射線

做任何旋轉形成的角這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角（要注意旋轉方向和大小）。【答案】射線旋轉圖形逆時針順時針沒有二．象限角1.把角放在平面直角坐標系中，使角的頂點與重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的在第幾象限，就說這個角是第幾_______；如果角的終邊在，就認為這個角不屬于任何一個象限.【答案】原點終邊象限角坐標軸上象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°90°<α<k·360°,k∈Z}三．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和.【答案】{β|β＝α＋k·360°，kZ}【當堂達標基礎練】°~

360°范圍內，找出與950°12解：-950°所以在0°~

360°范圍內，與-950°y軸上的角的集合.解：在0°~

360°范圍內,終邊在y軸上的角有兩個，即90°，270°.因此，所有與90°角終邊相同的角構成集合S1={β|β=90°+k?360°，k∈S=S1∪S={β|β=90°+2k?180°，y=x上的角的集合S.S中滿足不等式-360°≤β≤720°的元素β有哪些？解：如圖，在直角坐標系中畫出直線y=x，可以發現它與x軸的夾角是45°，在0°~

360°范圍內,終邊在直線y=x上的角有兩個，45°，225°.因此，終邊在直線y=xS中適合不等式-360°≤β≤720°的元素β有：45°-2×180°=-315°4.什么是銳角?它是幾象限角，反過來成立嗎?鈍角呢？直角呢？解：5.今天是星期三,則7k(k∈Z)天后的那一天是星期幾?7k(k∈Z)天前的那一天是星期幾?100天后的那一天是星期幾?解：7k(k∈Z)天后和7k天前的那一天都是星期三∵100=14×7+2∴100天后的那一天是星期五6.已知角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,請作出下列各角，并指出它們各是哪個象限的角？(1)420o,(2)－75o,(3)855o,(4)－510o解：【當堂達標提升練】一、單選題1．角－870°的終邊所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故選C.2．在－360°～0°范圍內與角1250°終邊相同的角是()A．170° B．190°C．－190° D．－170°【答案】C【解析】與1250°角的終邊相同的角α＝1250°＋k·360°，k∈Z，因為－360°＜α＜0°，所以－eq\f(161,36)＜k＜－eq\f(125,36)，因為k∈Z，所以k＝－4，所以α＝－190°.3．若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是()A．90°－α B．90°＋αC．360°－α D．180°＋α【答案】C【解析】因為α是第一象限角，所以－α為第四象限角，所以360°－α為第四象限角．4．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，則α所在象限是()A．第一或第三象限 B．第一或第二象限C．第二或第四象限 D．第三或第四象限【答案】A【解析】當k＝0時，α＝45°為第一象限角，當k＝1時，α＝225°為第三象限角．5．已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A．第一象限角 B．第一、二象限角C．第一、三象限角 D．第一、四象限角【答案】C【解析】由題意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性進行討論．當k＝2n(n∈Z)時，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第一象限；當k＝2n＋1(n∈Z)時，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，所以α在第三象限．故α是第一或第三象限角．二、多選題6．已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【分析】設出扇形所在圓的半徑及其弧長，再由條件列出方程求解即可作答.【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，則解得或，又圓心角，所以或，故選：AD.7．中國傳統扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結論正確的是（參考數據：）（

）A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為【答案】AC【分析】首先確定所在扇形的圓心角，結合扇形面積公式可確定A正確；由可求得，代入扇形面積公式可知B錯誤；由即可求得，知C正確；由扇形面積公式可直接判斷出D錯誤.【詳解】對于A，與所在扇形的圓心角分別為，，，A正確；對于B，，，，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：AC.8.已知扇形的周長是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．3【答案】AB【分析】利用扇形的弧長與面積公式建立方程組求解，再利用圓心角公式.【詳解】設扇形的半徑為，弧長為，面積為S，圓心角為，則，，解得，或，，則或1．故C，D錯誤.故選：AB．9．（

）A．是正數 B．是負數 C．大于 D．大于【答案】ACD【分析】根據弧度的含義，判斷2弧度的角是第二象限角，由此可判斷答案.【詳解】由于，故2弧度的角是第二象限角，則，故A正確，B錯誤；，，故,故C，D正確；故選：ACD三、填空題10．已知角α的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(不包括邊界)，那么α∈________.【答案】{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}【解析】在0°～360°范圍內，終邊落在陰影內的角為30°＜α＜150°和210°＜α＜330°.所以α∈{α|k·360°＋30°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°＜α＜k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°＜α＜2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°＜α＜(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°＜α＜n·180°＋150°，n∈Z}．11．與2019°角的終邊相同的最小正角是________，絕對值最小的角是________．【答案】219°－141°【解析】與2019°角的終邊相同的角為2019°＋k·360°(k∈Z)．當k＝－5時，219°為最小正角；當k＝－6時，－141°為絕對值最小的角．12．若α，β兩角的終邊互為反向延長線，且α＝－120°，則β＝________.【答案】k·360°＋60°(k∈Z)【解析】在0°～360°范圍內與α＝－120°的終邊互為反向延長線的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．四、解答題13．在與530°終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最大的負角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角．[解]與530°終邊相同的角為k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°且k∈Z，可得k＝－2，故所求的最大負角為－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z，可得k＝－1，故所求的最小正角為170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z，可得k＝－3，故所求的角為－550°.14．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐標系中，表示出角α終邊所在區域；(2)在平面直角坐標系中，表示出角β終邊所在區域；(3)求A∩B.[解](1)角α終邊所在區域如圖(1)所示．(2)角β終邊所在區域如圖(2)所示．圖(1)圖(2)(3)由(1)(2)知A∩B＝{γ|k·360°＋45°＜γ＜k·360°＋55°，k∈Z}.【當堂達標素養練】一、單選題1．已知θ為第二象限角，那么eq\f(θ,3)是()A．第一或第二象限角B．第一或第四象限角C．第二或第四象限角D．第一、二或第四象限角【答案】D【解析】∵θ為第二象限角，∴90°＋k·360°＜θ＜180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k·120°＜eq\f(θ,3)＜60°＋k·120°，k∈Z，當k＝0時，30°＜eq\f(θ,3)＜60°，屬于第一象限，當k＝1時，150°＜eq\f(θ,3)＜180°，屬于第二象限，當k＝－1時，－90°＜eq\f(θ,3)＜－60°，屬于第四象限，∴eq\f(θ,3)是第一、二或第四象限角．2．角α與角β的終邊關于y軸對稱，則α與β的關系為()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z【答案】B【解析】法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，則α＋β＝180°.故α與β的關系為α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.法二：(直接法)因為角α與角β的終邊關于y軸對稱，所以β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.二、填空題3．終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為________．【答案】{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}【解析】如圖所示終邊落在射線y＝eq\r(3)x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在射線y＝eq\r(3)x(x≤0)上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}．于是終邊落在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．4．若角α滿足180°<α<360°，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________.【答案】270°【解析】由于5α與α的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應是360°的整數倍，即5α－α＝4α＝k·360°.又180°<α<360°，令k＝3，得α＝270°.三、解答題5．已知α，β都是銳角，且α＋β的終邊與－280°角的終邊相同，α－β的終邊與670°角的終邊相同，求角α，β的大小．[解]由題意可知：α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β為銳角，∴0°＜α＋β＜180°.取k＝1，得α＋β＝80°，①α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.∵α，β為銳角，∴－90°＜α－β＜90°.取k＝－2，得α－β＝－50°，②由①②得：α＝15°，β＝65°.6．已知相互咬合的兩個齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，當大輪順時針轉動一周時，小輪轉動的角是多少度？多少弧度？如果大輪的轉速是150r/min，小輪的半徑為10cm，那么小輪圓周上的點每秒轉過的弧長是多少？【答案】小輪轉動的角是，弧度，小輪圓周上的點每秒轉過的弧長為cm【分析】通過相互咬合的兩個齒輪轉動的齒數相同，得到小輪轉動的角度，再通過大輪的轉速，得到小輪的轉速【詳解】由題意得，相互咬合的兩個齒輪，大輪有48齒，小輪有20齒，所以當大輪旋轉一周時，大輪轉了48個齒，小輪轉了20齒，所以小輪轉動了周，即，，所以當大輪的轉速為150r/min時，小輪的轉速為r/min，所以小輪圓周上的點每秒轉過的弧度數為，因為小輪的半徑為10cm，所以小輪圓周上的點每秒轉過的弧長cm7．某企業欲