高中數學——函數的單調性與最大（小）值

目錄

1.前言........................................................................1

2.情景問題....................................................................1

3.函數的單調性...............................................................4

3.1.增函數的定義............................................................4

3.2.減函數的定義............................................................4

3.3.對定義要點分析..........................................................5

1.前言

本課例既是概念生成課，也是方法應用課。執教老師以“學科育人”為導

向，圍繞“立德樹人”總目標，通過“明”、“暗”兩條并行主線進行教學設

計，讓學科素養真正得以落到實處。

“明線”是按照“問題導學”教學法進行設計，以“問題串”貫穿“情境

引入一概念形成一概念深化一應用探索”等各教學環節，問題設置自然貼切，

指向性強，老師在學生得出一般化結論之后再引導學生去深挖概念的本質特征，

分析概念的內涵外延，重點提升了學生的數學抽象素養，在知識育人、思維育

人、審美育人三方面都較好地完成了育人目標。

“暗線”是沿“背景材料一模型建立一模型分析與求解一模型應用”滲透

數學建模的基本過程，這也是本節課的最大亮點。執教老師通過“詩圣”杜甫

在《望岳》中詩句“會當凌絕頂，一覽眾山小”引入一個實際問題：爬山時如

何判斷“最高處”，引導學生想到一個數學解決辦法，即用數學語言描述，抽

象為數學問題，教會學生如何探究，再用數學的觀點解釋實際問題。學生在問

題的解決過程中積累了應用數學模型解決實際問題的基本技能和基本活動經驗,

提升了發現和提出問題、分析和解決問題的能力，促使生活育人、活動育人等

能更好地融入課堂教學，這就使數學建模核心素養真正地落地。

2.情景問題

如圖為2008年北京奧運會奧林匹克公園場館自動氣象站某日一天24小時

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內的氣溫變化圖(24時與0時氣溫相同為32℃),觀察這張氣溫變化圖:

北京奧運會奧林匹克公園場館

自動氣象站某日逐時氣溫演變圖

問：該圖形是否為函數圖象？定義域是什么？

問：如何用數學語言來刻畫溫度隨時間變化而變化的趨勢呢?

畫出函數f(x)=x和f(x)=x2的圖象

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可觀察到的圖象特征：

(1)函數f(x)=x的圖象由左至右是上升的；

(2)函數f(x)=x2的圖象在y軸左側是下降的，在y軸右側是上升的；也就

是圖象在區間(-8,o］上，隨x著的增大，相應的f(x)隨著減小，在區間(0,+

8)上，隨著x的增大，相應的f(x)也隨著增大。

歸納：從上面的觀察分析可以看出：不同的函數，其圖象的變化趨勢不同，

同一函數在不同區間上的變化趨勢也不同。函數圖象的這種變化規律就是函數

性質的反映。

思考：

1.如何用函數解析式f(x)=x2描述“隨著x的增大，相應的f(x)隨著減小”，

“隨著x的增大，相應的f(x)也隨著增大”？

2.在區間(0,+8)上任取xl,x2,函數值的大小變化與自變量的大小變化

有何關系？如何用數學符號語言來描述這種關系呢？

對于函數f(x)=x2,在區間(0,+8)上，任取兩個xl,x2,當xl>x2時，

有f(xl)>f(x2)。這時，我們就說函數f(x)=x2在區間(0,+8)上是增函數。

請你仿照剛才的描述，說明函數f(x)=x2在區間(-8,0)上是減函數。

對于函數f(x)=x2,在區間(0,+8)上，任取兩個xl,x2,當xl<x2時，

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有f(xl)<f(x2)。這時，我們就說函數在區間(0,+8)上是增函數。

3.函數的單調性

3.1.增函數的定義

設函數f(x)的定義域為I:

如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值xl,x2,當xl<x2

時，都有那么就說函數f(x)在區間D上是增函數(increasing

function)o

3.2.減函數的定義

設函數f(x)的定義域為I:

如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量的值xl,x2,當xl<x2

時，都有f(xl)>f(x2),那么就說函數f(x)在區間D上是減函數(decreasing

function)o

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3.3.對定義要點分析

1)函數是增函數還是減函數，是對定義域內某個區間而言的；

2)應是該區間內任意的兩個實數，忽略需要任意取值這個條件，就不能保

證函數是增函數(或減函數)。

3)如果函數y=f(x)在某一區間D上是增(減)函數，就說f(x)在這個區間D上

具有單調函數，

這一區間D叫做f(x)的單調區間。

說明：

(1)函數的單調區間D是其定義域I的子集；

(2)判斷函數的單調性的方法：

比較法(要注意變形的程度)

(3)證明函數的單調性的步驟：

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例1.圖1.3-4是定義在區間［-5,5］上的函數y=/(x),

根據圖象說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，

(1)增減函數的圖象有什么特點？增函數的圖象從左自右是上升的，減函數

的圖象從左自右是下降的。

(2)用定義證明函數的單調性，需要抓住要點”在給定區間任意取兩個自變

量”去比較它們的函數值的大小。

(3)如果函數y=f(x)在區間D上是增函數或減函數，那么就說函數y=f(x)在

這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y=f(x)的單調區間。

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函數的單調性

【考點精講】

性

圖象定義

質

設函數f(x)的定義域為Io如果對于定義

增

域1內某個區間D上的任意兩個自變量的值

函

XMX2.,當X|VX2時，都有f(X,)<f(x2),

數

那么就說函數千(X)在區間D上是增函數。

設函數f(x)的定義域為Io如果對于定義

臧

域1內某個區間D上的任意兩個自變量的值

函

XOx2,當X]VXz時,都有f(X,)>f(x2),

O]Xjxx

數2

那么就說函數f(X)在區間D上是減函數。

如果一個函數在某個區間M上是增函數或是

單調性與單調區間減函數，就說這個函數在這個區間M上具有

單調性，區間M稱為單調區間。

【典例精析】

例題1利用單調性定義證明：函數f(X)=Q在其定義域內是

增函數。

思路導航：本題是利用單調性定義證明函數單調性的一個典型例

子，由于函數的定義域沒有給出，證明前要先求出定義域，然后證明。

答案：證明：證法一：函數f(x)的定義域是xG[1,+

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°°),任取Xi、X2e[1,+00)且X1VX2,則f(x2)—f(X,)二日二j一

_j_J》]~~[)(“2—|)+“】7)_X,T]

小X?一1+5再一]yjx2_1+J-]-I

+o

?「Xi、x2￡[1,°),且X1VX2,Vx2-i+7r,-i>0,x2—x^Oo

??.f(X,)<f(x2),即函數f(x)=HT在其定義域上是增函數。

7

證法二：函數f(X)二五T的定義域是x￡[1,+°°],任取X[、x2

eE1,+8)且x,vx?,貝1]弼=用=及，

/6)Jx2Tvx2-l

x,\[1,+8),且x〔Vx2,「?0Wxi—1<x2—1o

.?.0W=V1。/.I^<1ovf(X2)=A^T>0,.-.f(x,)<f(x2)o

二函數f(x)=H1在其定義域[1,+8)上是增函數。

點評：函數的單調性是在某指定區間上而言的，自變量x的取值

必須是連續的。用定義證明函數的單調性的基本步驟是“取值——作

差(或作商)——變形——定號——判斷”。當函數在給定區間上恒

正或恒負時，也常用“作商判1”的方法來解決，特別是函數中含有

指數式時常用此法。解決帶根號的問題，常用的方法就是將分子'分

母有理化。從形式上看是由“一”變成“+”。

例題2f(x)是定義在(0,+℃)上的增函數，且尸(上)二尸

y

(x)—f(y)

(1)求尸(1)的值。

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(2)若尸(6)=1,解不等式尸(x+3)-f(1)<2

XO

思路導航：(1)利用賦值法，在等式中令x=y=1,則尸(1)=0。

(2)在等式中令x=36,y=6,則八當=/(3°一/⑹..,./(36)=2/(6)=2。

6

故原不等式為:/(X+3)-/(-)</(36),BPf[x(x+3)]<f(36),又f(x)

X

在(0,+8)上為增函數，

r+3>0

故不等式等價于L>°=0一</2。

x2

0<r(x+3)<36

答案：(1)0(2)。一〈駕口

點評：對于這種抽象函數問題，常利用賦值法解題。

例題3作出函數f(x)-Vx2+2X4-1石I的圖象，并指出函數

f(X)的單調區間。

思路導航：由于所給的函數是兩個被開方數和的形式，而被開方數

恰能寫成完全平方的形式，因此可先去掉根號，轉化成分段函數的形

式，再作圖寫出單調區間。

原函數可化為

__________________-2x,x<-1,

f(x)=&+2x+l+&-2x+l=|x+1|+|x—1|=2,-1<X<1,

2x,x^\.

答案：函數的圖象如圖所示：

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所以函數的遞減區間是（一8,-1],函數的遞增區間是[1,+8）。

點評：若所給的函數解析式較為復雜，可先化簡函數解析式，作

出草圖，再根據函數的定義域和圖象的直觀性寫出單調區間。去絕對

值的關鍵是令每一個絕對值等于0,找到分界點，再討論去絕對值。

【總結提升】

定義法證明

性

1.設f（X）、g（X）都是單調函數，有如下四個命題，其中正確的

命題為（）

①若f（X）單調遞增，g（x）單調遞增，則f（x）-g（X）單調

遞增②若f（X）單調遞增，g（X）單調遞減，則f（x）-g（x）

單調遞增③若f（X）單調遞減，g（X）單調遞增，則f（x）-g（x）

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單調遞減④若f(X)單調遞減，g(X)單調遞減，則f(x)-g(x)

單調遞減

A.①③B.①④C.②③

D.②④

2.已知函數f(x)在［-2,3］上單調，且f(-2)-f(3)<0,

則方程f(x)=0在［-2,3］內()

A.至少有一實根B,至多有一實根C,沒有實根

D.必有唯一實根

3.設函數千(x)是(-8,+8)上的減函數，則()

A.f(a)>f(2a)B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a)D,f(a2+1)<f(a)

4.f(x)是定義在R上的增函數，有下列函數：①丫=Ef(x)］2

是增函數；②y=；是減函數；③丫二-^(x)是減函數；④y=|f(x)

|是增函數。其中錯誤的結論是0

5.已知函數千(x)=x?+mx在(-8,—1)上遞減，在1-1,+

8］上遞增，則f(x)在［-2,2］上的值域為o

6.函數y=戶的單調遞減區間是。

7.用定義證明y=-x'+1在(―8,+8)是遞減函數。

8.求函數y=2x—1—7FT石的最大值。

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函數的單調性

1.c解析：由函數單調性定義可得：②③正確，也可舉反例否定

①④命題。

2.D解析：由于f(x)在［-2,3］上單調，又f(一2)?f(3)

<0,/.y=f(x)在［-2,3］上必與x軸有一交點，如下圖。故選D。

3.D解析：,.4+1—a-(a--!-)2+->0,

24

2

.,.a+1>a0

,/f(x)在(-8,+8)上為減函數,

.'.f(a2+1)<f(a),選D。

4.①②④

解析：利用函數的單調性定義判斷。

5.［-1,8］

解析：由條件知：一￡=一1,.?川=2。

2==

?'?f(x)=X+2X,?'.y.in-1,yMXf(2)=8。

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6.(—8,—1)和(-1,+°°)

解析：解尸口二一1+工，可得單調遞減區間是(一8,一1)和

l+xx+!

(―1,+8)。

7.證明：設XijeR,則。=*?—x)0,

33

△y=f(x2)—f(x,)=(—X2+1)—(—x,+1)

332