常微分方程

1、二階線性常系數方程的解法2、二階變系數方程的級數解法3、一階微分方程組的矩陣解法4、穩定性問題分析常微分方程——二階常系數方程一、二階常系數方程的解法

1。齊次方程通解 設

得常微分方程——二階常系數方程相異實根共軛復根重根

2。非其次方程特解：比較系數法常微分方程——二階變系數方程二、二階變系數方程的解法1、級數解法

廣義冪級數

代入方程，比較系數法確定參數c和

an

常微分方程——二階變系數方程

設

代入，得

常微分方程——二階變系數方程首項xc的系數為0——指標方程第n項xn+c的系數為0

——遞推公式

常微分方程——二階變系數方程

由指標方程的第一根c=c1可以得到方程的第一個解當c1－c2不為整數或0時，由常規方法可得第二解。當c1、c2

為重根時，第二解為當c1－c2為整數時，第二解為

常微分方程——二階變系數方程2。Bessel方程及其級數解

稱為k階Bessel方程。采用冪級數解法，得首項系數為0的指標方程

常微分方程——二階變系數方程遞推公式

第一解

常微分方程——二階變系數方程第二解分為以下三種情況

i)k為分數

ii)k=0

常微分方程——二階變系數方程

常微分方程——二階變系數方程iii)k為整數

常微分方程——二階變系數方程

3、Legendre方程與Legendre函數 設

代入，得

常微分方程——二階變系數方程遞推公式 根據冪級數收斂判別法知，在x=±1處級數發散，但物理上函數又是有界的，因此只有參數l取整數才能保證級數在x=±1處收斂，此時級數成為Legendre多項式

常微分方程——二階變系數方程性質

Bessel函數、Legendre函數均為正交函數族，滿足正交條件，可以作為函數基將任意分片光滑的函數展開成Fourier級數，分別稱為Fourier－Bessel級數和Fourier－Legendre級數。

常微分方程——一階常系數方程組三、一階常系數方程組的矩陣解法

齊次方程

常微分方程——一階常系數方程組設代入方程得 從中可解出n個特征根和特征向量，構成基解矩陣常微分方程——一階常系數方程組通解或

y=Yc

常數c由初始條件確定

常微分方程——線性穩定性分析

四、線性穩定性分析方法穩定性（stability)——系統的一種動態特性，指偏離定常狀態后能否自動返回該定常態的性質,系統抗干擾能力的度量。定常態（steadystate)——穩態（與瞬態對應），系統不隨時間變化的某個狀態。穩定態（stablestate)——穩定的定常態。 穩定——差之毫厘，失之毫厘 不穩定——差之毫厘，失之千里

常微分方程——線性穩定性分析

流動的穩定性——雷諾實驗、圓柱型水流 反應器的熱穩定性——飛溫與熄火 平行平板間的熱對流穩定性——Benard現象 壓桿、板殼的屈曲穩定性穩定性分析方法 線性穩定性分析：小擾動的線性化動態分析，獲得失穩判據。 非線性穩定性理論：分叉、混沌，非線性科學問題。

常微分方程——線性穩定性分析1、線性穩定性分析方法 目的——獲取失穩判據； 方法——穩態附近對小擾動線性展開，由特征根確定非線性動力系統 定常態f(ys)=0

設x(t)為小擾動，令

y(t)=ys+x(t)

常微分方程——線性穩定性分析代入原方程，泰勒展開，保留線性項通解穩定性判別

若A的特征根都是負的，則零解是漸近穩定的；若至少有一個根的是正的，則系統是不穩定的；若都為零，則不定。

常微分方程——線性穩定性分析

因此，線性穩定性分析的問題轉化為線性化方程的矩陣A的特征根的正負號判別問題。如何根據A得到穩定性判據？Routh-Hurwitz系數判別法。 特征根方程

Routh方法： 如果系數aj不同號，或某些系數為零，則方程必然有大于等于零的根，系統不穩定。

常微分方程——線性穩定性分析Routh－Hurwitz判定行列式

常微分方程——線性穩定性分析Routh指出，若采用如下的判定函數RiR0=△0,R1=△1,R2=△2/△1,…,Rn

=△n/△n-1=an則當所有的判定函數為正值時，系統是穩定的，否則是不穩定的。Hurwitz則證明了以下定理：實系數的n次代數方程的一切根的實部都是負數的充分必要條件是所有判定行列式均大于0。

常微分方程——線性穩定性分析2、穩態點的分類

常微分方程——線性穩定性分析1）tr2－4

>0，

>0：

1

2

>0，穩態點為結點2）tr2－4

>0，

<0：

1

2

<0， 穩態點為鞍點

常微分方程——線性穩定性分析3）tr2－4

<0，tr0

：

1，

2

為復數，穩態點振蕩焦點4）tr＝0，

>0，

1，

2都是純虛數 穩態點為中心點

常微分方程——線性穩定性分析3、化學反應器的熱穩定性取 x=cA－cAs,y=T－Ts

常微分方程——線性穩定性分析將反應項與移熱項線性展開特征根方程

常微分方程——線性穩定性分析漸近穩定性條件

a)斜率條件——系統移熱曲線的斜率必須大于系統放熱曲線的斜率

b)動態條件

常微分方程——線性穩定性分析斜率條件的物理解釋

一階偏微分方程

1、特征線法2、非線性波與追趕現象一階偏微分方程——特征線法§1.1一階偏微分方程的定解問題偏微分方程與常微分方程求解思路的不同

常微分方程：求方程通解，初、邊值定常數 一階偏微分：求方程通解，初、邊值確定任意函數 二階偏微分：不求通解，從問題出發求解

例，一階PDE

通解一階偏微分方程——特征線法初值問題（Cauchy問題）初、邊值問題（Riemann問題）

一階偏微分方程——特征線法一般的一階擬線性偏微分方程的問題

一階偏微分方程——特征線法§1.2特征線法的幾何原理向量

(P,Q,R)

與解曲面u=u(x,y)的法線方向 相互垂直，與

(P,Q,R)

共線的線元(dx,dy,du)必定滿足偏微分方程，稱為特征曲線，經過初始曲線的特征曲線的全體構成解曲面u=u(x,y)

。 一階偏微分方程——特征線法

一階偏微分方程——特征線法

一階偏微分方程——特征線法因此，特征線法的求解思路是

——用特性曲線來編織解曲面

1。求出與向量場(P,Q,R)

共線的特征曲線；

2、讓該曲線通過初始曲線

一階偏微分方程——特征線法特征線方程解x=x(s),y=y(s),u=u(s)含任意常數，由初始曲線 確定 一階偏微分方程——特征線法解曲面由以下雙參變量形式給出 參變量s沿特征曲線方向變化， 參變量

沿初始曲線方向變化。

一階偏微分方程——特征線法例2.1

特征線方程初始曲線

一階偏微分方程——特征線法解出

消去參變量

一階偏微分方程——特征線法以積分常數形式給出的特征線解

特征方程通解初始曲線限制解曲面

一階偏微分方程——特征線法例2.3

特征方程通解解曲面由初值得解 一階偏微分方程——特征線法§1.3特征線法的物理意義 波動——物理量在空間的傳播過程 特征線——物理量的傳播軌跡，沿該軌跡的變化關系例1．管道中的溶質輸送問題

一階偏微分方程——特征線法特征線

初始曲線解得

x－vt＝ξ

一階偏微分方程——特征線法圖象——矩形方波以速度v傳播

c0xt=0t=t1t=t2vvv一階偏微分方程——特征線法 x-t平面的特征線及圖解法

一階偏微分方程——特征線法

例2．線性色譜問題 特征線

一階偏微分方程——特征線法x軸給出的初值的解

t軸給出的邊值的解

一階偏微分方程——特征線法 x-t平面的特征線

一階偏微分方程——特征線法

斜坡輸入時的圖象

一階偏微分方程——特征線法

例3

有化學反應時的色譜波動圖象

——濃度沿特征線傳播時呈指數衰減線性波的特點 波速與因變量無關 保持初始間斷和光滑性質不變 特征線不相交

一階偏微分方程——追趕現象

§2非線性波與追趕現象

1。追趕問題——稀疏波 身高曲線 初始分布

一階偏微分方程——追趕現象特征線

解得

一階偏微分方程——追趕現象圖象——

稀疏波

xh00hh00hxx

t=0時刻的初始分布t=t1時刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0攜帶不同h值的特征線一階偏微分方程——追趕現象 2。追趕問題——激波初始分布：前低后高 解得

一階偏微分方程——追趕現象圖象

xh00hx

/h0t0

t<

/h0t=

/h0t>

/h0t=0h=h0h=0

一階偏微分方程——追趕現象特點 追趕，特征線相交，不真實的多值分布， 非線性本征屬性原因：形成強間斷——激波，微分方程失效 問題：補充間斷面上的關系

一階偏微分方程——追趕現象 3。激波間斷關系

x0

xsxrxl

l,ql

r,qrdxs/dt一階偏微分方程——追趕現象激波間斷關系

熵條件處理含間斷問題的原則：分段求解

一階偏微分方程——追趕現象例1

含有激波的追趕問題

間斷條件

初值

一階偏微分方程——追趕現象圖象

xh00hx

/h0t0

t<

/h0t=

/h0t>

/h0t=0CSI

一階偏微分方程——追趕現象

例2

非線性吸附反應器

一階偏微分方程——追趕現象特征曲線

波速

一階偏微分方程——追趕現象激波間斷條件

特征線光滑解

一階偏微分方程——追趕現象

將光滑解代入激波間斷條件，解出激波軌跡

一階偏微分方程——追趕現象圖象

x0cxt0t=t1S一階偏微分方程——色譜段塞問題

§3化學劑段塞的色譜運動問題

一階偏微分方程——色譜段塞問題物理圖象：前沿——激波；后緣——中心稀疏波 激波與稀疏波相互作用

一階偏微分方程——色譜段塞問題特征線

一階偏微分方程——色譜段塞問題解題思路

1。運動初期：激波與稀疏波互不干擾，分別求解；

2。運動后期：后緣侵蝕，稀疏波與激波聯立求解。

一階偏微分方程——色譜段塞問題

問題

一階偏微分方程——色譜段塞問題特征線方程

初始曲線

一階偏微分方程——色譜段塞問題

1。運動初期激波稀疏波平臺區 一階偏微分方程——色譜段塞問題2。運動后期激波（濃度在變化）稀疏波（給出激波濃度） 聯立得到 一階偏微分方程——色譜段塞問題激波軌跡激波濃度段塞寬度

一階偏微分方程——小結1、關于特征線法 幾何上，一階偏微分方程可以看成向量（P,Q,R)與曲面法向之間的正交關系.特征線法就是先由向量（P,Q,R)求出滿足方程的特征線，再以此為元素構造出解曲面。 物理上，波動總是從初始曲線出發沿特征線傳播，特征線方程給出了波的速度和傳播中的變化關系。

一階偏微分方程——小結2、關于非線性波動的概念 線性波的波速與因變量無關，傳播過程中保持初始間斷或光滑性質不變，特征線不相交。 非線性波容易發生追趕，形成稀疏波和激波，其類型與通量曲線的性質和初始分布狀況兩方面因素有關。 處理激波問題的思路是：分段求解，聯立確定。二階偏微分方程與分離變量法

1、二階方程的分類2、分離變量法3、特征值理論4、特殊函數的應用5、典型問題分析二階偏微分方程——概述化學工程中常見的PDE對流－擴散－反應方程常微分方程：求通解，初值定積分常數；一階偏微分方程：求通解，初值定任意函數；二階偏微分方程：從問題出發確定求解方法。二階偏微分方程——概述二階導數項占優時，一般采用以下兩種方法求解 分離變量法：適用于有限空間區域； 積分變換法：適用于無限空間區域； 均化為常微分方程求解。二階偏微分方程——方程的分類§1

二階偏微分方程的分類令得

二階偏微分方程——方程的分類由線性代數，可通過線性變換將特征二次型化為對角型

二階偏微分方程——方程的分類二階方程分類：當b2－ac＜0時，曲線為橢圓，方程稱為橢圓型方程當b2－ac=0時，曲線為拋物線,方程稱為拋物型方程當b2

－ac＞0時，曲線為雙曲線，方程稱為雙曲型方程二階偏微分方程——方程的分類標準形式： 橢圓型方程 拋物型方程 雙曲型方程二階偏微分方程——方程的分類物理意義：橢圓型方程——位勢方程，描述與時間無關的定常分布；拋物型方程——熱傳導方程，描述不可逆的發展演變；雙曲型方程——波動方程，描述可逆的雙向波動。二階偏微分方程——方程的分類定解問題的提法——方程與初、邊值的組合 初值問題(Cauchy問題)

邊值問題 混合問題二階偏微分方程——分離變量法§2分離變量法

——試探問題的變量分離形式的解例1

設二階偏微分方程——分離變量法變量分離，得求X(x)的非零解，通過調整參數

的值二階偏微分方程——分離變量法

ⅰ)當

＜0時，方程的通解

c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡0

ⅱ)當

=0時，方程的通解

c1=c2=0，也即Ｘ(x)≡0二階偏微分方程——分離變量法

ⅲ)當

＞0時，方程通解具有如下形式

由邊界條件X(0)=0知c1=0,再由 為了有非零解c2≠0，必須sin=0，由此確定出參數

二階偏微分方程——分離變量法由此得變量分離解二階偏微分方程——分離變量法為滿足初值，將解疊加由初值得解。二階偏微分方程——分離變量法例2矩形區域的Laplace方程例3圓形區域的Laplace方程

令二階偏微分方程——分離變量法特征值問題解得＝n二階偏微分方程——分離變量法由邊值二階偏微分方程——分離變量法得 得解。二階偏微分方程——分離變量法小結：分離變量法

1、假設變量分離形式的解

2、導出并求解特征值問題

3、疊加成級數，滿足初值或邊值關鍵問題——特征值問題 能否通過調整不定參數獲得齊次方程的非零解。

二階偏微分方程——分離變量法§3分離變量法

——非齊次方程與邊界條件：化齊與展開1、非齊邊值的處理：迭加邊值問題特解，化齊例1二階偏微分方程——分離變量法

令

特解v(x)要求滿足邊值，有無窮多種選擇，規范為

二階偏微分方程——分離變量法于是，問題化為w(x,t)的齊次邊值問題方程化齊的要點，是要求疊加的特解v(x)既要滿足邊值，又要滿足原微分方程，使得化齊后的問題最簡單。 二階偏微分方程——分離變量法例2

令

二階偏微分方程——分離變量法

解出 問題化齊為

例3環形區域上的熱傳導方程(p207)二階偏微分方程——分離變量法方程與邊值同時化齊

二階偏微分方程——分離變量法2、非齊方程的處理：級數展開 難以直接分離變量，但可將所有函數按特征函數展開

二階偏微分方程——分離變量法

代入方程，得

二階偏微分方程——分離變量法

二階偏微分方程——分離變量法小結：分離變量法的關鍵 特征函數 級數展開 問題——

特征函數的存在性？ 特征函數的正交性？ 特征函數的完整性？ 在一般條件下需要從理論上予以回答。二階偏微分方程——分離變量法分離變量法的歷史發展1700’s——弦振動方程的三角函數試探解(Tayler)二階偏微分方程——分離變量法1800～1900’s——Fourier方法 無窮級數解 特征值問題

Fourier級數理論

Fourier變換1800’s——Strum－Liouville特征值理論 分離變量法的理論基礎 特殊函數的應用二階偏微分方程——特征值理論§4

特征值問題

1、正交性的定義

Fourier展開二階偏微分方程——特征值理論 2、特征值理論定理一存在著無窮多個實特征值定理二當q(x)≥0時,所有特征值非負定理三不同的所對應的特征函數帶權ρ(x)正交定理四任意函數f(x)可展開為特征函數yn(x)的級數二階偏微分方程——特征值理論說明

1、S-L特征值方程具有一般性；

2、四個定理只回答了特征函數的存在性、正交性、完整性問題，可據此判斷分離變量法的可行性，給出解的結構。但沒有給出特征值方程的求解方法。二階偏微分方程——特殊函數§5特殊函數的應用

1、極坐標系與Bessel函數 令二階偏微分方程——特殊函數得到

判斷：特征值存在，特征函數Rn(r)正交，完整二階偏微分方程——特征函數解的構造 由正交性二階偏微分方程——特征值理論二階偏微分方程——特征值理論求特征函數R(r)，令，將特征值問題化為 上式是0階Bessel方程，可用級數解法得到其解 式中，J0和Y0分別為第一類和第二類Bessel函數二階偏微分方程——特征值理論二階偏微分方程——特征值理論

由邊界條件確定特征值和特征函數

得解二階偏微分方程——特征值理論2、球坐標系與Legendre函數 問題——球形區域的穩態傳熱與傳質分離變量，令u(r,

)=H(

)R(r)得到二階偏微分方程——特征值理論特征值問題為H，作變換x=cos

,化為Legendre方程

二階偏微分方程——特征值理論自然邊界條件由特征值理論，特征函數存在，分離變量法可行。

Legendre方程的解為無窮級數，若邊界上有限，必須相應的特征函數為n階的Legendre多頂式二階偏微分方程——特征值理論于是，問題的分離變量解為其中系數B＝0，A由邊界條件確定二階偏微分方程——特征值理論二階偏微分方程——典型問題1、球形催化劑顆粒的瞬態響應化齊邊值，令二階偏微分方程——典型問題S=2時，特解 令

得二階偏微分方程——典型問題再求齊次邊值問題二階偏微分方程——典型問題令w(x,t)=X(x)T(t),得到特征值問題

作變換得二階偏微分方程——典型問題于是二階偏微分方程——典型問題2、管式反應器的動態行為

問題二階偏微分方程——典型問題為化齊邊值，令v(x)為固定床反應器穩態解二階偏微分方程——典型問題齊次邊值問題分離變量w=X(x)T(t)

，得特征值問題二階偏微分方程——典型問題化為Sturm－Liouville型方程非零解Xn(x)存在，帶權exp(-Pex)正交二階偏微分方程——典型問題特征函數欲得非零解，要求二階偏微分方程——典型問題

令 得 由x=1處的邊界條件確定特征值二階偏微分方程——典型問題二階偏微分方程——典型問題3、管道中的層流換熱Graetz問題二階偏微分方程——典型問題無量綱化后分離變量法求解,令

二階偏微分方程——典型問題

得特征值問題冪級數解二階偏微分方程——典型問題由x=１處的邊值確定特征值λ

解得二階偏微分方程——小結分離變量法的適用條件有限空間區域線性方程方程中系數可分離變量自變量區域可分離變量滿足S－L方程的條件積分變換與矩量分析方法

1、Fourier變換2、Laplace變換3、基本解與傳遞函數4、矩量分析方法5、線性色譜理論積分變換與矩量分析——概述積分變換——一種數學運算特點：微分的逆運算，可將求導轉變為乘積運算；應用：積分變換性質的利用 方程求解，化微分方程為代數方程；頻譜分析——隨機信號的譜處理方法； 傳遞函數矩量分析積分變換與矩量分析——Fourier變換§1

Fourier變換來源與發展：

Fourier級數（有限區域，－l，+l） －→Fourier積分（無限區域） －→Fourier變換（－∞，＋∞） －→Laplace變換（0，＋∞）定義積分變換與矩量分析——Fourier變換性質 導數－→乘積 變量平移－→指數乘積

卷積－→像的乘積 能量積分積分變換與矩量分析——Fourier變換應用——解PDE三步驟 對問題進行積分變換 解像函數的問題 反變換，得到原函數解

積分變換與矩量分析——Laplace變換§2

Laplace變換Fourier變換的問題 變換條件苛刻（絕對可積） 區間含負值（－∞，∞）改進，令 則函數f1(x)的Fourier變換就不存在上述缺陷，得Laplace變換積分變換與矩量分析——Laplace變換性質 導數－→s乘積 變量平移－→指數乘積

卷積－→像的乘積 端點性質積分變換與矩量分析——Laplace變換Laplace逆變換

1）查表法

2）根據定義計算復平面上的圍道積分

3）有理函數展開法——化為簡單分式求逆

積分變換與矩量分析——基本解§3

基本解與傳遞函數δ函數基本解E(t)滿足物理意義——單位脈沖輸入或單位點源（質量源、動量源、熱源、點電荷）形成的響應或分布

積分變換與矩量分析——基本解為什么要求基本解？ 為了構造一般非齊次方程的解基本解的求取——積分變換法 方法優勢：δ函數的積分變換恒為1，正、逆變換易例5.15

積分變換與矩量分析——傳遞函數傳遞函數 系統對單位脈沖輸入的響應 基本解的像函數傳遞函數的求取——積分變換法為什么要引入傳遞函數？因為不需求逆變換，可方便復雜系統的運算，特別對于串連系統和反饋回路系統積分變換與矩量分析——矩量分析§4

矩量分析矩的概念——分布函數的數字特征矩與積分變換的關系

矩量分析——不求逆變換而獲得數字特征的方法

積分變換與矩量分析——矩量分析停留時間分布的矩量分析

RTD方法思想：熱模與冷模解耦研究 矩量分析：建立矩與返混參數之間關系，指導冷模 實驗測定 模型

積分變換與矩量分析——矩量分析傳遞函數矩與參數的關系

積分變換與矩量分析——矩量分析脈沖動態實驗方法原理

數學模型傳遞函數輸出信號的各階矩測定矩值積分變換與矩量分析——矩量分析§5

線性色譜理論考慮外擴散時的色譜過程床層模型顆粒模型積分變換與矩量分析——矩量分析

顆粒傳遞函數床層傳遞函數方差加和原理積分變換與矩量分析——矩量分析同時考慮內外擴散的色譜過程顆粒模型積分變換與矩量分析——矩量分析

顆粒傳遞函數 方差加和性質 串連過程的總方差等于各步方差之和積分變換與矩量分析——矩量分析傳遞阻力的等效模型在保持過程總方差相同的情況下，可以采用簡化的等效模型代替復雜的多步串連模型顆粒內外擴散阻力的歸并——等效傳質系數積分變換與矩量分析——小結傳遞阻力的等效模型在保持過程總方差相同的情況下，可以采用簡化的等效模型代替復雜的多步串連模型顆粒內外擴散阻力的歸并——等效傳質系數積分變換與矩量分析——矩量分析傳質阻力與返混項的歸并——等效簡化模型 表觀擴散系數 等效的平衡模型第五章積分變換與矩量分析——小結積分變換概念的引出及其發展Fourier級數－→Fourier變換－→Laplace變換－→－→基本解－→傳遞函數－→矩量分析 上述方法在概念上都是一脈相承的。方法應用 積分變換 傳遞函數 各有其適用的問題與條件 矩量分析近似解析方法1、奇異攝動法2、試驗函數法3、正交配置法近似解析方法——概論解析解與數值解的比較

解析解——由簡單函數關系式直接給出的對應關系 結構簡單，計算代價小 結果可靠，直觀，便于應用 對一般問題難以得到 數值解——以大量數字對應方式給出的函數關系 適用性廣，可處理復雜問題和大規模問題依賴于計算工具和特定算法，代價較大近似解析方法——概論

近似解析解——準確解的近似解析表達式 局部精確性較差，但整體規律性好 形式簡單而滿足工程應用 容易得到數學問題的求解原則 首先求準確解析解 其次求近似解析解 最后采用數值解近似解析方法——攝動法§1攝動法

攝動法——將問題對小參數進行級數展開的求解方法 正則攝動：小參數直接展開的方法 奇異攝動：直接展開失效后采用的專門方法或改進方 法近似解析方法——攝動法1、正則攝動與奇異攝動例1

最高次項含小參數的非線性代數方程的求解 設

得

近似解析方法——攝動法正則攝動只能得到一個根，因為直接展開失去了問題的非線性性質。 近似解析方法——攝動法如果作變換y=u/

，得

然后對u直接展開，得到另一個根近似解析方法——攝動法

準確解為

當

→0時，其兩個根分別趨于y→a和y→

－1，對應的兩個攝動解分別稱為正則攝動解與奇異攝動解。近似解析方法——攝動法例2小參數位于非導數項中的情況 設 得近似解析方法——攝動法近似解與準確解極為接近，這種情況下正則攝動法是奏效的。

近似解析方法——攝動法

例3方程最高階導數乘小參數的情況 當

＝0時，方程由二階退化成一階方程，近似解只能滿足一個邊值而難以同時滿足兩個邊值。近似解析方法——攝動法直接展開得到

取x=1處的邊界條件y0(1)=

，y1(1)=0，得到

近似解析方法——攝動法

在x=0處 因此，近似解不滿足x=0處的邊值。近似解析方法——攝動法分析：x=0處存在一個邊界層 邊界層的存在是小參數乘最高階導數問題的特征

近似解析方法——攝動法概念：漸近級數與收斂級數 收斂級數：按變量展開的級數，如泰勒級數，三角級數，冪級數等，級數的精度隨項數的增加而提高； 漸近級數：按參數展開的級數 系數yn(x)是由展開后的問題順序解出的，因此級數不一定收斂，一般只取級數的2～3項。近似解析方法——攝動法2、邊界層方法 基本思想：放大鏡——將空間邊界層放大，使分布變平緩，突出邊界層內的作用；慢鏡頭——將時間尺度放大，使變化減緩，突出快速變化的過程。歷史來源與發展：

Prandtl邊界層方程，Blasuis匹配方法，PLK方法近似解析方法——攝動法邊界層方法的求解步驟

1、外解——直接展開

2、內解——邊界層放大

3、匹配——內解與外解的銜接

4、合成——內解與外解的組合近似解析方法——攝動法例3

1、外解

近似解析方法——攝動法

2、內解

邊界層放大，定義內部坐標近似解析方法——攝動法

取

＝1以保留二階導數項，得 令 得近似解析方法——攝動法

解出0階近似 常數C由匹配條件確定近似解析方法——攝動法 3、匹配

Prandtl匹配原理——0階近似的匹配方法 得0階內解近似解析方法——攝動法 4、合成

加法合成法 合成解＝外解＋內解－公共部分

高階近似的匹配——VanDyke匹配原理

n項外解的m項內部展開＝m項內解的n項外部展開

近似解析方法——攝動法匹配后的兩項近似內解合成后的兩項近似解近似解析方法——攝動法3、時間邊界層——剛性問題（stiffequs)

剛性問題：具有不同時間尺度的變化問題； 特點：快步驟與慢步驟共存 擬穩態近似與定常態近似 計算難點：數值振蕩，多步Gear方法 奇異攝動：慢鏡頭分析，給出完整的結果近似解析方法——攝動法

例

慢時間尺度解（

＝0）——擬穩態近似近似解析方法——攝動法

快時間尺度解——定常態近似近似解析方法——攝動法合成與匹配——VonDyke匹配原理 例：催化劑的平行失活問題

反應快、失活慢，二者均需要考慮近似解析方法——攝動法無量綱化

1、先求內解，內解可完全確定

近似解析方法——攝動法

令

近似解析方法——攝動法得到兩項近似內解

近似解析方法——攝動法2、直接展開求外解，外解不滿足初值，含任意常數3、內、外解匹配確定外解任意常數

得到外解近似解析方法——攝動法

近似解析方法——攝動法4、合成含有快、慢尺度的統一解

近似解析方法——攝動法

近似解析方法——攝動法4、移動的空間邊界層問題

非線性色譜過程的濃度前沿 非線性吸附效應與擴散效應之間的競爭作用 移動的空間邊界層的形成求解思路 外解——非線性色譜問題的激波解 內解——采用跟隨激波的移動坐標系，放大邊界層 匹配與合成近似解析方法——攝動法問題

近似解析方法——攝動法1、外解

由特征線法濃度激波位置xs由匹配條件確定

近似解析方法——攝動法2、邊界層內解

積分得3、匹配近似解析方法——攝動法由以上Prandtl匹配條件得激波間斷關系解得激波軌跡

邊界層內解近似解析方法——攝動法

近似解析方法——攝動法4、0階近似合成解

近似解析方法——試驗函數法§2試驗函數方法

思想：用已知的、含待定參數的簡單函數近似代替準確解，用積分形式的方程或點近似方程代替微分方程，確定不定參數。 以犧牲一些局部的精確性為代價，換取對問題整體規律性的把握，在一定的近似范圍內解決問題。 要點：試驗函數的選擇 殘差處理方法近似解析方法——試驗函數法1、試驗函數與方程殘差

例1落石問題 分析：下落速度從零增加到末速度近似解析方法——試驗函數法設試驗函數為

是待定參數，代入方程得到殘差若要求在t=τ時刻方程成立，R(τ)=0，得近似解析方法——試驗函數法由準確解

特點：方程只在一個點滿足，近似解“八九不離十” 例2催化劑顆粒有效系數計算

近似解析方法——試驗函數法

設試驗函數要求方程積分滿足，得近似解析方法——試驗函數法取s=0，r(y)=y

，得

準確解

<1時，相差甚微（1%左右），

越大相差越大。 原因：快速反應濃度分布空心化，偏離拋物分布。近似解析方法——試驗函數法改進，對于快速反應，采用以下蛋白型試驗函數

仍要求方程積分滿足，確定參數xp近似解析方法——試驗函數法

準確解，說明試驗函數越接近真實，結果越準確。

例3試井問題

拭井：反求地層參數的工業試驗方法，壓力變化方程近似解析方法——試驗函數法

近似解析方法——試驗函數法分析：影響半徑R＝R(

)，漏斗型分布，擬穩態假設

無窮遠邊值的有限化

積分平均近似

擬穩態試驗函數近似解析方法——試驗函數法由邊界條件

影響半徑為待定函數，代入積分的壓力方程，得準確解近似解析方法——試驗函數法小結：試驗函數法試驗函數的選擇 盡可能接近真實 事先滿足初始與邊界條件方程殘差的處理 點近似 積分平均近似 加權積分近似近似解析方法——試驗函數法2、空間平均近似

例：球形顆粒上的不定常擴散

采用拋物型試驗函數:近似解析方法——試驗函數法代入方程，令空間積分為0，得

系數A由初始條件確定，定義空間平均濃度，得由初值為0

近似解析方法——試驗函數法近似解與準確解的比較： 長時間后準確，短時間內偏離。 原因：滲透區的存在，偏離拋物型試驗函數。近似解析方法——試驗函數法近似解析方法——試驗函數法改進——取滲透型試驗函數由空間平均近似近似解析方法——試驗函數法短時間解準確解近似解析方法——試驗函數法3、邊界層動量積分方法 問題：Prandtl邊界層方程，非線性PDE方程組

y=0:u=v=0;y→∞:u=U,v=0

x<0:u=U,v=0近似解析方法——試驗函數法

方法要點： 在邊界層內用積分形式的動量方程代替微分方程 選擇滿足邊界條件的多項式或其它函數為試驗函數近似解析方法——試驗函數法1）邊界層積分動量方程的推導 邊界層厚度(x)是一個待定的函數近似解析方法——試驗函數法2）試驗函數的選取 滿足以下邊界條件取近似解析方法——試驗函數法代入動量積分方程得到確定邊界層厚度

(x)的方程準確解近似解析方法——試驗函數法4、加權余量法（Galerkin方法）

殘差加權積分為0的近似方法權函數的選擇