專題強(qiáng)化九動(dòng)力學(xué)和能量觀點(diǎn)的綜合應(yīng)用(一)——多運(yùn)動(dòng)組合問題學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握運(yùn)用動(dòng)力學(xué)和能量觀點(diǎn)分析復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的方法，進(jìn)而利用動(dòng)力學(xué)和能量觀點(diǎn)解決多運(yùn)動(dòng)組合的綜合問題。1.分析思路(1)受力與運(yùn)動(dòng)分析：根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)過程分析物體的受力情況，以及不同運(yùn)動(dòng)過程中力的變化情況。(2)做功分析：根據(jù)各種力做功的不同特點(diǎn)，分析各種力在不同運(yùn)動(dòng)過程中的做功情況。(3)功能關(guān)系分析：運(yùn)用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律或能量守恒定律進(jìn)行分析，選擇合適的規(guī)律求解。2.方法技巧(1)“合”——整體上把握全過程，構(gòu)建大致的運(yùn)動(dòng)情景。(2)“分”——將全過程進(jìn)行分解，分析每個(gè)子過程對(duì)應(yīng)的基本規(guī)律。(3)“合”——找出各子過程之間的聯(lián)系，以銜接點(diǎn)為突破口，尋求解題最優(yōu)方案。例1(2022·浙江1月選考，20)如圖1所示，處于豎直平面內(nèi)的一探究裝置，由傾角α＝37°的光滑直軌道AB、圓心為O1的半圓形光滑軌道BCD、圓心為O2的半圓形光滑細(xì)圓管軌道DEF、傾角也為37°的粗糙直軌道FG組成，B、D和F為軌道間的相切點(diǎn)，彈性板垂直軌道固定在G點(diǎn)(與B點(diǎn)等高)，B、O1、D、O2和F點(diǎn)處于同一直線上。已知可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊質(zhì)量m＝0.1kg，軌道BCD和DEF的半徑R＝0.15m，軌道AB長度lAB＝3m，滑塊與軌道FG間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝eq\f(7,8)。滑塊與彈性板作用后，以等大速度彈回，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。滑塊開始時(shí)均從軌道AB上某點(diǎn)靜止釋放，圖1(1)若釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的長度l＝0.7m，求滑塊到最低點(diǎn)C時(shí)軌道對(duì)其支持力FN的大小；(2)設(shè)釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的長度為lx，求滑塊第1次經(jīng)F點(diǎn)時(shí)的速度v與lx之間的關(guān)系式；(3)若滑塊最終靜止在軌道FG的中點(diǎn)，求釋放點(diǎn)距B點(diǎn)長度lx的值。答案(1)7N(2)v＝eq\r(12lx－9.6)(m/s)(0.85m≤lx≤3m)(3)見解析解析(1)滑塊從A到C的過程只有重力做功，機(jī)械能守恒，則mglsin37°＋mgR(1－cos37°)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)在C點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律有FN－mg＝eq\f(mveq\o\al(2,C),R)代入數(shù)據(jù)解得FN＝7N。(2)要使得滑塊到達(dá)F點(diǎn)，則必過細(xì)圓管軌道DEF的最高點(diǎn)，即有mglxsin37°－mg(3Rcos37°＋R)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)≥0即lx≥0.85m滑塊運(yùn)動(dòng)到F的過程中，由機(jī)械能守恒定律有mglxsin37°－4mgRcos37°＝eq\f(1,2)mv2解得v＝eq\r(12lx－9.6)(m/s)(0.85m≤lx≤3m)。(3)設(shè)最終摩擦力做的功為滑塊第一次到達(dá)FG中點(diǎn)時(shí)的n倍，由動(dòng)能定理得mglxsin37°－mgeq\f(lFG,2)sin37°－nμmgeq\f(lFG,2)cos37°＝0lFG＝eq\f(4R,tan37°)解得lx＝eq\f(7n＋6,15)m將0.85m≤lx≤3m代入上式可得eq\f(27,28)≤n≤eq\f(39,7)由運(yùn)動(dòng)過程可知，n只能取1、3、5①當(dāng)n＝1時(shí)，lx＝eq\f(13,15)m②當(dāng)n＝3時(shí)，lx＝eq\f(9,5)m③當(dāng)n＝5時(shí)，lx＝eq\f(41,15)m。例2(2023·福建寧德高三期中)如圖2所示，在離水平地面CD高h(yuǎn)1＝40cm的光滑水平平臺(tái)上，質(zhì)量m＝1.2kg的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))壓縮彈簧后被鎖扣K鎖住，彈簧原長小于水平平臺(tái)的長度，此時(shí)彈簧儲(chǔ)存了一定量的彈性勢能Ep。若打開鎖扣K，物塊與彈簧脫離后從A點(diǎn)離開平臺(tái)，并恰好能從光滑圓弧形軌道BC的B點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓弧形軌道。B點(diǎn)距地面CD的高度h2＝20cm，圓弧軌道的圓心O與平臺(tái)等高，軌道最低點(diǎn)C的切線水平，并與長為L＝1m的粗糙水平直軌道CD平滑連接。物塊沿軌道BCD運(yùn)動(dòng)并與右邊墻壁發(fā)生碰撞，且碰后速度等大反向，已知重力加速度g＝10m/s2，不計(jì)空氣阻力。求：圖2(1)物塊從A到B的時(shí)間t；(2)物塊被K鎖住時(shí)彈簧儲(chǔ)存的彈性勢能Ep；(3)若物塊與墻壁發(fā)生碰撞且最終停在CD軌道間，物塊與軌道CD間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ。答案(1)0.2s(2)0.8J(3)eq\f(2,15)≤μ≤eq\f(7,15)解析(1)由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得h1－h(huán)2＝eq\f(1,2)gt2解得t＝0.2s。(2)如圖所示因?yàn)閳A弧半徑為R＝h1＝40cm故由幾何關(guān)系可得sinθ＝eq\f(h1－h(huán)2,h1)＝eq\f(1,2)則θ＝30°設(shè)物塊平拋的水平初速度為v0，在B點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的合成與分解則有tan30°＝eq\f(v0,gt)解得v0＝eq\f(2,3)eq\r(3)m/s由能量守恒定律可得彈簧儲(chǔ)存的彈性勢能為Ep＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得Ep＝0.8J。(3)若物體從B到D的過程，恰好停在D點(diǎn)，則有vB＝eq\f(v0,sinθ)＝eq\f(4,3)eq\r(3)m/s由動(dòng)能定理可得mgh2－μ1mgL＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得μ1＝eq\f(7,15)若物體恰好回到B點(diǎn)時(shí)速度為零由動(dòng)能定理可得－μ2mg·2L＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得μ2＝eq\f(2,15)綜上所述eq\f(2,15)≤μ≤eq\f(7,15)。跟蹤訓(xùn)練1.冬奧會(huì)自由式滑雪大跳臺(tái)的滑道簡圖如圖3所示，abcde為同一豎直平面內(nèi)的滑雪比賽滑道，運(yùn)動(dòng)員從a點(diǎn)自靜止出發(fā)，沿滑道abcd滑至d點(diǎn)飛出，然后做出空翻、抓板等動(dòng)作，在de段的水平區(qū)域上落地并滑到安全區(qū)域。其中ab段和cd段的傾角均為θ＝37°，ab段長L1＝110m，水平段bc長L2＝30m，cd坡高h(yuǎn)＝9m，ce段足夠長。設(shè)滑板與滑道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝0.4，不考慮轉(zhuǎn)彎b和c處的能量損失，運(yùn)動(dòng)員連同滑板整體可視為質(zhì)點(diǎn)，其總質(zhì)量m＝60kg。忽略空氣阻力，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：圖3(1)從a到d運(yùn)動(dòng)員克服摩擦力所做的功；(2)運(yùn)動(dòng)員從d點(diǎn)飛出時(shí)的速度大小；(3)運(yùn)動(dòng)員從d點(diǎn)飛出至落地所需要的時(shí)間(保留2位有效數(shù)字)。答案(1)31200J(2)10m/s(3)2.1s解析(1)從a到d運(yùn)動(dòng)員克服摩擦力所做的功Wf＝μmgcos37°eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(L1＋\f(h,sin37°)))＋μmgL2代入數(shù)值解得Wf＝31200J。(2)由動(dòng)能定理得mg(L1sin37°－h(huán))－Wf＝eq\f(1,2)mv2代入數(shù)值，解得運(yùn)動(dòng)員從d點(diǎn)飛出時(shí)的速度大小v＝10m/s。(3)方法1：設(shè)運(yùn)動(dòng)員從d點(diǎn)飛出至最高點(diǎn)歷時(shí)t1，有vsin37°＝gt1解得t1＝0.6s設(shè)運(yùn)動(dòng)員從最高點(diǎn)到落地歷時(shí)t2，有h＋eq\f(（vsin37°）2,2g)＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)解得t2＝1.47s運(yùn)動(dòng)員從d點(diǎn)飛出至落地所需要的時(shí)間t＝t1＋t2＝2.1s方法2：設(shè)運(yùn)動(dòng)員從d點(diǎn)飛出至落地歷時(shí)t，則－h(huán)＝vsin37°t－eq\f(1,2)gt2代入數(shù)值解得t＝2.1s。2.如圖4所示，一小物塊(視為質(zhì)點(diǎn))從H＝10m高處，由靜止開始沿光滑彎曲軌道AB進(jìn)入半徑R＝2m的光滑豎直圓環(huán)內(nèi)側(cè)，彎曲軌道AB在B點(diǎn)與圓環(huán)軌道平滑相接。之后物塊沿CB圓弧滑下，由B點(diǎn)(無機(jī)械能損失)進(jìn)入右側(cè)的粗糙水平面上壓縮彈簧。已知物塊的質(zhì)量m＝2kg，與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，彈簧自然狀態(tài)下最左端D點(diǎn)與B點(diǎn)距離L＝15m，g＝10m/s2，求：圖4(1)物塊從A滑到B時(shí)的速度大小；(2)物塊到達(dá)圓環(huán)頂點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力；(3)若彈簧最短時(shí)壓縮量為10m，求此時(shí)彈簧彈性勢能。答案(1)10eq\r(2)m/s(2)100N方向豎直向上(3)100J解析(1)物塊從A滑到B的過程由動(dòng)能定理得mgH＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)解得vB＝10eq\r(2)m/s。(2)物塊從A滑到C的過程由動(dòng)能定理得mg(H－2R)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)在C點(diǎn)由牛頓第二定律得mg＋FN＝meq\f(veq\o\al(2,C),R)聯(lián)立解得FN＝100N由牛頓第三定律知FN′＝FN＝100N，方向豎直向上。(3)從B點(diǎn)到彈簧壓縮最短時(shí)的過程由功能關(guān)系得eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)＝μmg(L＋x)＋Ep解得Ep＝100J。1.如圖1所示，AB為傾角θ＝37°的斜面軌道，軌道的AC部分光滑，CB部分粗糙。BP為圓心角等于143°，半徑R＝1m的豎直光滑圓弧形軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)，P、O兩點(diǎn)在同一豎直線上，輕彈簧一端固定在A點(diǎn)，另一自由端在斜面上C點(diǎn)處，現(xiàn)有一質(zhì)量m＝2kg的物塊在外力作用下將彈簧緩慢壓縮到D點(diǎn)后(不拴接)釋放，物塊經(jīng)過C點(diǎn)后，從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)過程中的位移與時(shí)間的關(guān)系為x＝12t－4t2(式中x單位是m，t單位是s)，假設(shè)物塊第一次經(jīng)過B點(diǎn)后恰能到達(dá)P點(diǎn)(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2)，試求：圖1(1)若CD＝1m，物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，彈簧對(duì)物塊所做的功；(2)B、C兩點(diǎn)間的距離x；(3)若BC部分光滑，把物塊仍然壓縮到D點(diǎn)釋放，求物塊運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)受到軌道的壓力大小。答案(1)156J(2)6.125m(3)49N解析(1)由x＝12t－4t2知，物塊在C點(diǎn)速度為v0＝12m/s，加速度大小a＝8m/s2設(shè)物塊從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，彈簧對(duì)物塊所做的功為W，由動(dòng)能定理得W－mgsin37°·CD＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)代入數(shù)據(jù)得W＝156J。(2)物塊在CB段，根據(jù)牛頓第二定律，物塊所受合力F＝ma＝16N物塊在P點(diǎn)的速度滿足mg＝eq\f(mveq\o\al(2,P),R)C到P的過程，由動(dòng)能定理得－Fx－mgR(1＋cos37°)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,P)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得x＝6.125m。(3)物塊從C到P的過程中，由動(dòng)能定理得－mgxsin37°－mgR(1＋cos37°)＝eq\f(1,2)mvP′2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)物塊在P點(diǎn)時(shí)滿足FN＋mg＝eq\f(mvP′2,R)聯(lián)立以上兩式得FN＝49N。2.如圖2所示，半徑R＝1.0m的光滑圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個(gè)端點(diǎn)B和圓心O的連線與水平方向間的夾角θ＝37°，另一端點(diǎn)C為軌道的最低點(diǎn)。C點(diǎn)右側(cè)的光滑水平面上緊挨C點(diǎn)靜止放置一木板，木板質(zhì)量M＝1kg，上表面與C點(diǎn)等高。質(zhì)量為m＝1kg的物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))從空中A點(diǎn)以v0＝1.2m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道。已知物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，取g＝10m/s2。求：圖2(1)物塊經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度vC；(2)若木板足夠長，物塊在木板上相對(duì)滑動(dòng)過程中產(chǎn)生的熱量Q。答案(1)6m/s(2)9J解析(1)設(shè)物塊在B點(diǎn)的速度為vB，在C點(diǎn)的速度為vC，從A到B物塊做平拋運(yùn)動(dòng)，在B點(diǎn)根據(jù)速度的合成有vBsinθ＝v0從B到C，根據(jù)動(dòng)能定理有mgR(1＋sinθ)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)綜上解得vC＝6m/s。(2)物塊在木板上相對(duì)滑動(dòng)過程中由于摩擦力作用，最終將一起共同運(yùn)動(dòng)。設(shè)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)物塊加速度為a1，木板加速度為a2，經(jīng)過時(shí)間t達(dá)到共同運(yùn)動(dòng)速度v，則物塊在滑動(dòng)摩擦力作用下做勻減速運(yùn)動(dòng)，有μmg＝ma1木板在滑動(dòng)摩擦力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，有μmg＝Ma2，v＝vC－a1t，v＝a2t二者速度相等之后由于地面光滑，將一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)能量守恒定律有eq\f(1,2)(m＋M)v2＋Q＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)聯(lián)立解得Q＝9J。3.如圖3所示，BC是高處的一個(gè)平臺(tái)，BC右端連接內(nèi)壁光滑、半徑r＝0.2m的四分之一細(xì)圓管CD，管口D端正下方一根勁度系數(shù)為k＝100N/m的輕彈簧直立于水平地面上，彈簧下端固定，上端恰好與管口D端平齊。一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球在水平地面上的A點(diǎn)斜向上拋出，恰好從B點(diǎn)沿水平方向進(jìn)入高處平臺(tái)，A、B間的水平距離為xAB＝1.2m，小球質(zhì)量m＝1kg。已知平臺(tái)離地面的高度為h＝0.8m，小球與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.2，小球進(jìn)入管口C端時(shí)，它對(duì)上管壁有10N的作用力，通過CD后，在壓縮彈簧過程中小球速度最大時(shí)彈簧彈性勢能Ep＝0.5J。若不計(jì)空氣阻力，取重力加速度大小g＝10m/s2。求：圖3(1)小球通過C點(diǎn)時(shí)的速度大小vC；(2)平臺(tái)BC的長度L；(3)在壓縮彈簧過程中小球的最大動(dòng)能Ekm。答案(1)2m/s(2)1.25m(3)4.5J解析(1)小球通過C點(diǎn)時(shí)，它對(duì)上管壁有F＝10N的作用力，根據(jù)牛頓第三定律可知上管壁對(duì)它也有F′＝10N的作用力，根據(jù)牛頓第二定律有F′＋mg＝meq\f(veq\o\al(2,C),r)，解得vC＝2m/s。(2)小球從A點(diǎn)拋出到B點(diǎn)所用時(shí)間t＝eq\r(\f(2h,g))＝0.4s到B點(diǎn)時(shí)速度vB＝eq\f(xAB,t)＝3m/s小球從B到C的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理，有－μmgL＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)得平臺(tái)BC的長度L＝1.25m。(3)小球壓縮彈簧過程中速度最大時(shí)，加速度為零，則mg＝kx彈簧的壓縮量x＝0.1m從C位置到小球的速度最大時(shí)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有mg(r＋x)＋eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)＝Ekm＋Ep解得Ekm＝4.5J。4.如圖4所示，一傾斜軌道AB，通過微小圓弧與足夠長的水平軌道BC平滑連接，水平軌道與一半徑為R＝0.5m的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，圓弧軌道不會(huì)與其他軌道重合。A、B、C、D均在同一豎直面內(nèi)。質(zhì)量m＝2kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))壓緊輕質(zhì)彈簧并被鎖定，解鎖后小球v0＝4m/s的速度離開彈簧，從光滑水平平臺(tái)飛出，經(jīng)A點(diǎn)時(shí)恰好無碰撞沿AB方向進(jìn)入傾斜軌道滑下。已知軌道AB長L＝6m，與水平方向夾角θ＝37°，小球與軌道AB、BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝0.5，g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：圖4(1)未解鎖時(shí)彈簧的彈性勢能；(2)小球在AB軌道上運(yùn)動(dòng)的加速度大小a；(3)小球在A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)速度的大小