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學生姓名上課時間

師

學科數學年級九年級課時計劃第次共次

提交時間學管師教學主管

課題名稱二次函數知識點總結一一題型分類總結

教學目標：

1.掌握二次函數表達式的三種形式，能靈活選用三種形式提高解

題效率。

2.掌握二次函數的圖像與性質，結合解析式確定圖像頂點、對稱

軸和開口方向；熟練掌握其與一元二次方程和一元二次不等式的

關系；能通過基本性質解決圖像的系數符號問題、共存問題、對

稱性問題、以及應用問題。

教學重難點:

教學重點：1、二次函數的三種解析式形式

2、二次函數的圖像與性質

教學難點：1、二次函數與其他函數共存問題

2、根據二次函數圖像，確定解析式系數符號

3、根據二次函數圖像的對稱性、增減性解決相應的

綜合問題。

教學過程

【回顧與思考】

一、二次函數的定義

定義：一般地，如果y=*+bx+c（a也c是常數，"0）,則y叫做X的

二次函數.

（考點：二次函數的二次項系數不為0,且二次函數的表達式必

須為整式）

精典例題:

例1：在下列關系式中，y是x的二次函數的關系式是（）

A.22=1B.y22=0C.2-2=0D.x22+4=0

考點：二次函數的定義.

分析：根據二次函數的定義對四個選項進行逐一分析即可，即一

般地，形如2（a、b、c是常數，a#0）的函數，叫做二次函數.

Lx2

解答：解：A、22=1當x#0時，可化為"石?的形式的形式，不符

合一元二次方程的一般形式，故本選項錯誤；

B、y22=0可化為y22不符合一元二次方程的一般形式，故本選項

錯誤；

C、2-2=0可化為2+2,符合一元二次方程的一般形式，故本選項

正確；

D、x22+4=0可化為y22+4的形式，不符合一元二次方程的一般形

式，故本選項錯誤.

故選C.

點評：本題考查的是二此函數的一般形式，即一般地，形如2（a、

b、c是常數，aWO）的函數，叫做二次函數.其中x、y是變量,

a、b、c是常量，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項.2

（a、b、c是常數，aWO）也叫做二次函數的一般形式.

例2：函數（3嚴，當時，它的圖象是拋物線.

考點:二次函數的定義.

分折二次函數的圖象是拋物線的，由二次函數的定義列出方程

與不等式解答即可.

解答:解：???它的圖象是拋物線，

??.該函數是二次函數，

<11)2-3/2=2

lw-3^0’,解得2或-3,m/-3,.,.2.

點評；用到的知識點為：二次函數的圖象是拋物線；二次函數中

自變量的最高次數是2,二次項的系數不為0.

例3：若,是二次函數，則

考點:二次函數的定義.

分折根據二次函數的定義列出關于m的方程，求出m的值即可.

解答:解：???函數2是二次函數，

.*.2=2,

.*.4,

故答案為4.

點部本題考查了二次函數的定義，比較簡單，屬于基礎題.

學以致用：

1、下列函數中，是二次函數的是.

①,一41；②2x‘；③2x'+4x；④-3x；

⑤-2x—1；⑥之；⑦y=(4)；⑧一5x。

2、在一定條件下，若物體運動的路程s(米)與時間t(秒)的

關系式為5t2+2t,則t=4秒時，該物體所經過的路程為。

3、若函數(m2+2m—7)x?+45是關于x的二次函數，則m的取值范

圍為。

4、若函數(m—2)T+51是關于％的二次函數，則m的值為。

二、二次函數的對稱軸、頂點、最值

考點連接：如果解析式為頂點式：（x-h）2,則對稱軸為：，最值

為:；

如果解析式為一般式：2,則對稱軸為：，最值為：；

如果解析式為交點式：（1）（2）,則對稱軸為：，最值為：。

精典例題：

例1.拋物線2x2+42—8經過坐標原點，則m的值為。

考點:二次函數圖象與幾何變換.

分析:利用二次函數圖象的性質.

解答:解：經過原點，說明（0,0）適合這個解析式.則m2+23=0,

（3）（1）=0.解得：mi3,m2=l.

點部：本題應用的知識點為：在函數圖象上的點一定適合這個函

數解析式.

例2.若拋物線y=2—6x經過點（2,0）,則拋物線頂點到坐標原

點的距離為（）

A.屈B.VioC.Vi5D.714

考點:二次函數圖象上點的坐標特征.

分析:由拋物線2-6x經過點（2,0）,求得a的值，再求出函數

頂點坐標，求得頂點到坐標原點的距離.

解答:解：由于拋物線2-6x經過點（2,0）,則412=0,3,

拋物線3x2-6x,變形，得：3（1）2_3,則頂點坐標M（1,-3）,

拋物線頂點到坐標原點的距離加4+（-3產國-

故選B.

點謂本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，先求解析式,

再求頂點坐標，最后求距離.

學以致用：

1.若直線y=+b不經過二、四象限，則拋物線y=2++c()

A.開口向上，對稱軸是y軸B.開口向下，對稱軸是y

軸

C.開口向下，對稱軸平行于y軸D.開口向上，對稱軸平行于

y軸

2.當n=,m=時，函數y=(m+n)+(m—n)x的圖象是拋物線，

且其頂點在原點，此拋物線的開口.

3.已知二次函數2+(m—1)—1有最小值為0,則m=。

三、函數2的圖象和性質

知識點：(1)①當"0時=拋物線開口向上o頂點為其最低點；

②當a<0時。拋物線開口向下=頂點為其最高點.

③3"越大，開口越小。

(2)頂點是(-2,也士)，對稱軸是直線尤=-2

2a4。2a

(3)①當a〉0時，在對稱軸左邊，y隨X的增大而減小；在在對

稱軸右邊，y隨x的增大而增大；

②當”0時，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大；在在對

稱軸右邊，y隨x的增大而減小。揭枷在三咕的人人尸出口十

c>n0,拋物線與軸的交點在行由上萬,

(4)y軸與拋物線y=ax2+"+c得交點為戲，鵑物線與釉的交點缶軸下方

精典例題：

例1：(2002?十堰)拋物線2+21的頂點坐標是，開口方向是，對

稱軸是考點：二次函數的性質.

分析:根據二次函數的性質解題.

解答:解：V2+21(X-2X)+1(x-21-1)+1(1),+2,

.??拋物線2+21的頂點坐標是(1,2),開口方向是向下，對稱軸

是1.

點評：此題考查了二次函數的性質，頂點坐標、對稱軸及開口方

向.

例2：(2010?蘭州)拋物線2圖象向右平移2個單位再向下平移3

個單位，所得圖象的解析式為2-23,則b、c的值。

考點:二次函數圖象與幾何變換.

分析：易得新拋物線的頂點，根據平移轉換可得原拋物線頂點，

根據頂點式及平移前后二次項的系數不變可得原拋物線的解析

式，展開即可得到b,c的值.

解答:解：由題意得新拋物線的頂點為(1,-4),

???原拋物線的頂點為(-1,-1),

設原拋物線的解析式為()2代入得：(1)2-12+2X,

A2,0.

故選B.

點距拋物線平移不改變二次項的系數的值；討論兩個二次函數

的圖象的平移問題，只需看頂點坐標是如何平移得到的即可.

學以致用：

1.試寫出一個開口方向向上，對稱軸為直線x=—2,且與y軸

的交點坐標為(0,3)的拋物線的解析式。

2.通過配方，寫出下列函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標：

(1)x'—21；(2)—3X2+8X—2；(3)—x‘一4

3.把拋物線-2x2+41沿坐標軸先向左平移2個單位，再向上平移

3個單位，問所得的拋物線有沒有最大值，若有，求出該最大值;

若沒有，說明理由。

4.某商場以每臺2500元進口一批彩電。如每臺售價定為2700元,

可賣出400臺，以每100元為一個價格單位，若將每臺提高一個

單位價格，則會少賣出50臺，則每臺定價為多少元即可獲得最大

利潤？最大利潤是多少兀？

四、函數(X—hT的圖象與性質

知識點回顧：

填表：

拋物線開口方對稱軸頂點坐

向標

y=-3(x-2尸

y=1(x+3)2

典型例題：

例1：拋物線2-43的圖象開口，對稱軸是，頂點坐標，函數y有

最考點：二次函數的性質。

分析:二次函數的二次項系數a>0,可以確定拋物線開口方向和

函數有最小值，然后利用2的頂點坐標公式就可以得到對稱軸，頂

點坐標.

解答:解：..?二次函數的二次項系數a>0,

.??拋物線開口向上，函數有最小值，

V-43,

(_L4ac-b2、v—b_

...根據2的頂點坐標公式為'2/,,對稱軸是、一2a,

代入公式求值就可以得到對稱軸是2,頂點坐標是(2,-7).

故拋物線2-43的圖象開口向上，對稱軸是2,頂點坐標(2,-7),

函數y有最小值.

故填空答案：向上，2,(2,-7),小.

點施本題主要是對拋物線一般形式中對稱軸，頂點坐標的考查,

是中考中經常出現的問題.

學以致用：

1.已知函數2x?2(x—4產，和2(1)2。

(1)分別說出各個函數圖象的開口方、對稱軸和頂點坐標。

(2)分析分別通過怎樣的平移。可以由拋物線2x2得到拋物線2(x

-4產和2⑴2?

2.試寫出拋物線3x2經過下列平移后得到的拋物線的解析式并寫

出對稱軸和頂點坐標。

(1)右移2個單位；(2)左移個單位；(3)先左移1個單位，再

右移4個單位。

3.二次函數(x—h),的圖象如圖：已知，=,試求該拋物線的解

析式。

五、二次函數的增減性

知識點：

(1).20,當時，y隨x的增大而減小；當時，隨*的

2a2a

增大而增大。

(2).a<0,當二時，y隨x的增大而增大；當x"二時，y隨x的

2a2a

增大而減小。

典型例題:

例1：已知二次函數2的圖象如圖:

(1)求函數解析式;

(2)寫出對稱軸，回答x為何值時，y隨著

考點:待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質.

分析:(1)根據圖示知函數經過三點：(-1,0)、(4,0)^(0,-4),

將其代入函數解析式，列出關于a、b、c的三元一次方程組，然

后解方程組即可;

(2)根據圖象求得該函數圖象的對稱軸，然后根據對稱軸、函數

圖象回答問題.

解答:解：(1)根據圖示知，該函數圖象經過點(-1,0)、(4,0)、

0-a-b+c

0=16a+4b+c>

「4二c

a=l

解得，\b二一3,

(0,-4),.c--4

.,.二次函數的解析式是：-34；

(2)根據圖象知，二次函數2-34與x軸的交點是(-1,0)、(4,

0),

5

-

.?.對稱軸是“2

^

<.

X2時

???根據圖象知,y隨著x的增大而減小.

點嚴：本題考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的

性質.解答該題時，采用了“數形結合”的數學思想，要求學生

具備一定的讀圖能力，能從圖形中尋取關鍵性信息.

例2：(2010?呼和浩特)已知：點A(xi,y,)>B(x2,y2)>C(x3,

__3

ys)是函數尸又圖象上的三點，且X1<0<X2<X3則yi、y2>y3的大

小關系是()

A.yi<y2<y:iB.y2<y3<yiC.y3<y2<yiD.無法確定

考點:反比例函數圖象上點的坐標特征.

__3

分析:對尸x-，由X1<0<X2<X3知，A點位于第二象限，yi最大，

第四象限，y隨x增大而增大，y2<y3,故丫2〈丫3〈》.

解答:解：二?中3V0,

??.此函數的圖象在二、四象限，

__3

x

,點A(xi,yi)>B(X2,y2)>C(x3,y3)是函數尸

圖象上的三點，且X1<0<X2<X3,

??.A點位于第二象限，y,>0,B、C兩點位于第四象限，

V0<x2<x3,y2<y3,

**.y2<y3<yi.

故選B.

點淬；本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，要學會比較

圖象上點的坐標.

學以致用：

1.二次函數3x?—65,當x〉l時，y隨x的增大而；當x〈l時，y

隨x的增大而；

當1時，函數有最值是。

2.已知函數4x2—5,當x>-2時隨x的增大而增大；當x<-2

時，y隨x的增大而減少；則當x=l時的值為。

3.已知二次函數2—(1)1,當x2l時，y隨x的增大而增大，則m

的取值范圍是.

2

4.已知二次函數一X+3的圖象上有三點A(xn)(X22)(X33)且

3<XI<X2<X3,

貝U%23的大小關系為.

六、二次函數的平移

知識點：只要兩個函數的a相同，就可以通過平移重合。將二次

函數一般式化為頂點式(x—hT,

平移規律：左加右減，對x；上加下減，直接加減，對y。

典型例題：

例1：(2012?揚州)將拋物線2+1先向左平移2個單位，再向下平

移3個單位，則所得拋物線的函數關系式是()

A.(2)2+2B.(2)-2C.(2)2+2D.(2)2-2

考點:二次函數圖象與幾何變換.

分析:直接根據“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可.

解答:解：將拋物線2+1先向左平移2個單位所得拋物線的函數

關系式是：(2)2+1；

將拋物線(2)2+1向下平移3個單位所得拋物線的函數關系式是:

(2)2+1—3,即(2)-2.

故選B.

點評：本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象

平移的法則是解答此題的關鍵。

例2：(1)已知拋物線2x2,把它向右平移p個單位，或向下平移

q個單位，都能使得拋物線與直線4恰好有一個交點.求p、q的

值；

(2)把拋物線2x2向左平移p個單位，向上平移q個單位，則得

到拋物線經過點(1,3),(4,9),求p、q的值；

(3)把拋物線2向左平移三個單位，向下平移兩個單位后，所得

的圖象是經過點(一匕擊的拋物線之，求原二次函數的解析式.

考點:二次函數圖象與幾何變換.

分析:(1)分為將拋物線向右平移和向下平移兩種情況，設平移

后拋物線的解析式，列方程組，消元成一元二次方程，使△=()即

可得出答案，

(2)首先得出拋物線2x2向左平移p個單位，向上平移q個單位

后的解析式，再通過經過點(1,3),(4,9),列方程組求出結果,

(3)根據物線2經過點I，強得出解析式，然后逆向推理得出原

解析式.

解答:解：(1)①當拋物線2x2向右平移p個單位時，

得到拋物線解析式為2()2,

一y=2(x-p)2

聯立一I尸x-4,

消去y,得2x“-(l+4p)2p2+4,

???拋物線與直線4恰好有一個交點，

.*.△=(l+4p)-8(2p2+4)=0,

,31

解得產百,

②當拋物線2x2向下平移口個單位時，

得到拋物線解析式為2x2,

<y=2x2-q

聯立ly=x-4,

消去y,得2x240,

???拋物線與直線4恰好有一個交點，

?.△=(-1)2-8(4)=0,

_31

解得0-8

_33_31

故本題答案為：P"8"q"8?

(2)當拋物線2x2向左平移p個單位時,

得到拋物線解析式為2()2,

當拋物線2()2,向上平移q個單位時,

得到拋物線解析式為2()2,

;拋物線經過點(1,3),(4,9),

2(l+p)2+q=3

<

12(4+p)2+q=9

解得：2,1,

(3)???拋物線2經過點"1，一?,

12

???拋物線解析式為：‘打一尹，

???拋物線2向左平移三個單位，向下平移兩個單位后得出拋物線解

析式，

」2

尸一尹向右平移三個單位，向上平移兩個單位即可得出原解析

式為：

y=4(x-3)42

點評：本題考查了拋物線的平移的性質、拋物線解析式的確定、

拋物線與直線交點問題以及解方程組等，綜合性較強，難度適中.

學以致用：

L拋物線一齊向左平移3個單位，再向下平移4個單位，所得到

的拋物線的關系式為。

2.拋物線2x2,,可以得到2⑷2—3。

3.將拋物線2+1向左平移2個單位，再向下平移3個單位，所得

到的拋物線的關系式為。

4.如果將拋物線2x2—1的圖象向右平移3個單位，所得到的拋物

線的關系式為。

5.將拋物線,向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到2x2

—4x—1貝ija=,b=,c=.

6.將拋物線y=2向右平移2個單位，再向上平移3個單位，移動

后的拋物線經過點(3,-1),則移動后的拋物線的關系式為

七、函數的交點

1.拋物線2+73與直線29的交點坐標為。

2.直線71與拋物線2+35的圖象有個交點。

八、函數的的對稱

1.拋物線2X2-4X關于y軸對稱的拋物線的關系式為。

2.拋物線2關于x軸對稱的拋物線為2x2—43,則

九、函數的圖象特征與a、b、c的關系：,

典型例題：

例1：拋物線2的圖象如圖所示，則a,b,c的符號為（)

A.a<0,b>0,OB.a<0,b<0,c>0

C.a<0,b<0,OD.a<0,b>0,c<0

考點:二次函數圖象與系數的關系.

分析:由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸

的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點

情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

解答:解：由拋物線的開口方向向下可推出a<0；

由拋物線與y軸的交點為原點可推出0；

因為對稱軸在y軸左側，對稱軸為x=E<°,

又TaVO,

.\b<0.

故選C.

點評:二次函數2系數符號的確定交點.

例2：如圖為二次函數2的圖象，在下列說法中：

①>0；

②方程2。的根為xil,X2=3；

③>0；

④當x>l時，y隨著x的增大而增大.

正確的說法個數是（）

A.IB.2C.3D.4

考點:二次函數圖象與系數的關系.

分析：根據拋物線的開口向上，對稱軸在y軸的右邊，與y軸的

交點在y的負半軸上即可求出a、b、c的正負，即可判斷①；根

據拋物線與x軸的交點坐標即可判斷②；把1代入拋物線即可判

斷③；求出拋物線的對稱軸，根據圖象即可判斷④.

解答:解：:拋物線的開口向上，對稱軸在y軸的右邊，與y軸

的交點在y的負半軸上，

.a>0,-^>0,c<0.

c<0,

即b<0,

.\>0,...①正確；

根據圖象可知拋物線與x軸的交點坐標是(-1,0),(3,0),

，方程2。的根為xj,X2=3,???②正確;

把1代入拋物線得：V0,.?.③錯誤；

對稱軸是直線>=^-=1,

根據圖象當X>1時，y隨x的增大而增大，，④正確；

???正確的個數有3個.

故選C.

點謂本題考查了二次函數與系數的關系的應用，主要考查學生

對二次函數的圖象與系數的關系的理解和運用，同時也考查了學

生觀察圖象的能力，本題是一道比較典型的題目，具有一定的代

表性，還是一道比較容易出錯的題目.

學以致用：產

1.已知拋物線2的圖象如右圖所示，則a、b、c的符號為1

)

>0>0>0>0>00

>0<00>0<0<0

2.已知拋物線2的圖象如右圖所示，則下列結論正確的是P

A.>0B.b>-2a

C.>0D.c<0

3.拋物線2中，b=4a,它的圖象如右圖，有以下結論:

①c>0；②）0③〉0④b?-4<00；

其中正確的為（）Y-

A.①②B.①④C.①②③D.①③⑤

4.當b<0是一次函數與二次函數2在同一坐標系內的圖象可能是

（）

5.已知二次函數y=?++c,如果a〉b〉c,且a+b+c=0,則它的

圖象可能是圖所示的（）

6.二次函數y=?++c的圖象如圖所示，則，b2-4,2a+b,

a+b+c

四個代數式中，值為正數的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.在同一坐標系中，函數2與（a<c）圖象可能是圖所示的（

AB

I）

8.反比例函數的圖象在一、三象限，則二次函數y=22xTc的圖

象大致為圖中的（）

ABCD

9.反比例函數中，當x>0時，y隨x的增大而增大，則二次函

數y=2+2的圖象大致為圖中的（）

ABCD

10.已知拋物線y=2++c（aW0）的圖象如圖所示，

則下列結論中：正確的個數是（）、

①a,b同號；②當x=l和x=3時，函數值相同；J'

③4a+b=0;④當y=-2時，x的值只能取0；

A.1B.2C.3D.4

11.已知二次函數y=2++c經過一、三、四象限（不經過原點和

第二象限）則直線y=+不經過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

十、二次函數與x軸、y軸的交點（二次函數與一元二次方程的

關系）

【回顧與思考】

卜二6-4〃c

A>0△=0A<0

方程有兩個

ax1+Zzx+c=O方程有兩個不相等的實方程沒有

相等的實數

3*0)數根A?無2實數根

根不=入2

y=ax2+bx+c拋物物與X軸有兩個交拋物物與X拋物物與

("0)點4%,0)3(60)軸只有一個X軸沒有

交點（九，0）交點

A8=j(xi+X2)2-4%E

韋達定理：%+無=4,%無=5（二者都可以用）

典型例題：

例1：（2012?濱州）拋物線3x,4與坐標軸的交點個數是（）

A.3B.2C.1D.0

考點:拋物線與x軸的交點.

分析:令拋物線解析式中3求出對應的y的值，即為拋物線與y

軸交點的縱坐標，確定出拋物線與y軸的交點坐標，令拋物線解

析式中0,得到關于x的一元二次方程，求出方程的解有兩個，

可得出拋物線與x軸有兩個交點，綜上，得到拋物線與坐標軸的

交點個數.

解答:解：拋物線解析式3x?4,

令0,解得：4,.,.拋物線與y軸的交點為（0,4）,

令0,得到-3x24=0,BP3X24=0,

分解因式得：（34）（1）=0,

解得：x/,X2=:

???拋物線與x軸的交點分別為"梟0）'（和0）,

綜上，拋物線與坐標軸的交點個數為3.

故選A

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，以及一元二次方程的解

法，其中令拋物線解析式中0,求出的y值即為拋物線與y軸交

點的縱坐標；令0,求出對應的x的值，即為拋物線與x軸交點

的橫坐標.

例2：（2000?湖州）已知：拋物線,的頂點坐標為（1,-4）,

（1）求拋物線的解析式；

（2）求該拋物線與坐標軸的交點坐標.

考點.?待定系數法求二次函數解析式；拋物線與x軸的交點.

（__b_4ac-b2'i

分析:（1）可利用頂點公式2a，工一，把對應的值代入求解，得

出1,2,3,所以2-23；

（2）當。時，X2-23=0,解方程可求得與x軸的交點為（-1,0）,

（3,0）；當0時，3,即求得與y軸的交點坐標為（0,-3）.

解答:解：(1)???拋物線2的頂點坐標為(1,-4)

_互=14ac-b2^_

...2a1，4a4

VI

.\2,3

.?.-23

2

(2)當0時,X-23=0,解得xj,X2=3,即與x軸的交點為(-1,

0),(3,0)

當。時，3,即與y軸的交點坐標為(0,-3).

點部：主要考查了二次函數解析式中系數與頂點之間的關系和二

(__4ac-fc>2、

次函數與一元二次方程之間的關系.要掌握頂點公式2a，f

和利用解析式求坐標軸的交點的方法.

學以致用：

1.如果二次函數y=x?+4x+c圖象與x軸沒有交點，其中c為整

數，則。=(寫一個即可)

2.二次函數y=x2-23圖象與x軸交點之間的距離為

3.拋物線y=-3x2+2x-l的圖象與x軸交點的個數是

()

A.沒有交點B.只有一個交點C.有兩個交點D.有三個

交占

4.如圖所示，二次函數y=x?—4x+3的圖象交x軸于A、B兩點，

交y軸于點C,

則△的面積為()

A.6B.4C.3I).1

5.已知拋物線y=5x?+(m—l)x+m與x軸的兩個交點在y軸同

側，它們的距離平方等于為，則m的值為()

A.-2B.12C.24D.48

6.若二次函數y=(5)x?+2(l)的圖象全部在x軸的上方，則m的

取值范圍是

7.已知拋物線y=x?-28,

(1)求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點；

(2)若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,且它的頂點為P,

求△的面積。

十一、函數解析式的求法

(一)、已知拋物線上任意三點時，通常設解析式為一般式2,然

后解三元方程組求解；

［例1］：圖像經過(1,-4),(-1,0),(-2,5),求二次函數的

解析式。

【解析】：設二次函數的解析式為：/=依題意得：

-4=a+b+c［a=1

<O=a-A+c解得：<b=-2

5=4。-2〃+cc=-3

學以致用：

1.已知二次函數的圖象經過A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)

三點，求該二次函數的解析式。

2.已知拋物線過A(1,0)和B(4,0)兩點，交y軸于C點且

=5,求該二次函數的解析式。

(二)、已知拋物線的頂點坐標，或拋物線上縱坐標相同的兩點和

拋物線上另一點時，通常設解析式為頂點式：

(x—h)?求解。

［例2］：圖象頂點是(-2,3),且過(-1,5),求二次函數的解

析式。

【解析】：設二次函數解析式為：y=a(x-H)2+k,

,：圖象頂點是(-2,3)2,3,

依題意得：5(-1+2y+3,解得：2

：.y-2(x+2)2+3=2%2+8%+11

學以致用：

3.已知二次函數的圖象的頂點坐標為(1,-6),且經過點(2,

-8),求該二次函數的解析式。

4.已知二次函數的圖象的頂點坐標為(1,-3),且經過點P(2,

0)點，求二次函數的解析式。

(三)、已知拋物線與軸的交點的坐標時，通常設解析式為交點式

(X-X1)(X—x2)。

［例2］：圖像與X軸交于(-2,0),(4,0)兩點，且過(1,-2),

2

求二次函數的解析式。

【解析】：設二次函數解析式為：a(x-乂)(x-色)?

???圖像與x軸交于(-2,0),(4,0)兩點，

力|2,72二4

依題意得：2/(1+2)(1-4)

2

：.y-'(x+2)(x-4)=-/2-x-4.

22

學以致用：

5.二次函數的圖象經過A(-1,0),B(3,0),函數有最小值

-8,求該二次函數的解析式。

6.已知x=l時，函數有最大值5,且圖形經過點(0,-3),則

該二次函數的解析式。

7.拋物線2x?與x軸交于(一1,0)、(3,0),則b=,c=.

8.已知二次函數2的圖象與x軸交于⑵0)、(4,0),頂點到x軸

的距離為3,求函數的解析式。

9.-X2+2(k-l)2k-k2,它的圖象經過原點，求①解析式②與x

軸交點0、A及頂點C組成的△面積。

10.拋物線（F—2）x2—4的對稱軸是直線2,且它的最低點在直

線一2上，求函數解析式。

十二、二次函數應用

1、面積問題，主要利用各種圖形的面積公式，如三角形面積=底

-1

X昌）X—

2

2、利潤問題：利潤=銷量x（售價一進價）一其他

（一）、二次函數的實際應用一一利潤最大（小）值問題

知識要點：

定價；（商品調價）；商品銷售量1；銷售量變化率;其他成本。

?單價商品利潤=商品定價一商品售價1

?△（價格變動量）=商品定價一商品售價2（或者直接等于

商品調價）；

?銷售量變化率;銷售變化量+引起銷售量變化的單位價格；

?商品總銷售量=商品銷售量1土△火銷售量變化率；

?總利潤（W）=單價商品利潤X總銷售量一其他成本

［例口：某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，

市場調查反映：每漲價1元，每星期少賣出10件；每降價1元，

每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價

才能使利潤最大？

解：設漲價（或降價）為每件x元，利潤為y元，

必為漲價時的禾IJ潤，%為降價時的利潤

貝!J:y=（60—40+x）（300—10x）

當x=5,即：定價為65元時，ymax=6250（元）

當x=2.5,即：定價為57.5元時，ymax=6125（元）

綜合兩種情況，應定價為65元時，利潤最大.

學以致用：

1.某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售,

則半個月內可以售出400件.根據銷售經驗，提高單價會導致銷

售量的減少，即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件.如

何提高售價，才能在半個月內獲得最大利潤？

2.某旅行社組團去外地旅游，30人起組團，每人單價800元.旅

行社對超過30人的團給予優惠，即旅行團每增加一人，每人的單

價就降低10元.你能幫助分析一下，當旅行團的人數是多少時，

旅行社可以獲得最大營業額？

3.某產品每件成本10元，試銷階段每

X（元）152030???

件產品的銷售價“（元）與產品的日銷售

y（件）252010???

量y（件）之間的關系如下表：

若日銷售量y是銷售價x的一次函數.

⑴求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數關系式;

⑵要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元?

此時每日銷售利潤是多少元?

【點評】解決最值問題應用題的思路與一般應用題類似，也有

區別，主要有兩點:

⑴在“當某某為何值時，什么最大（或最小、最省）”的設問中，

“某某”要設為自變量，“什么”要設為函數；⑵求解方法是依

靠配方法或最值公式，而不是解方程.

4.（2006十堰市）市“健益”超市購進一批20元/千克的綠色食

品，如果以30?元/千克銷售，則每天可售400r/千克二

200..................\

OI13由3040—1/元

出400千克.由銷售經驗知，每天銷售量y（千克）?與銷售單價

x（元）

（x>30）存在如下圖所示的一次函數關系式.

⑴試求出y與x的函數關系式；

⑵設“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤P元，當銷售單

價為何值時，每天可獲得最大利潤？最大利潤是多少?

⑶根據市場調查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元,

?現該超市經理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超

市確定綠色食品銷售單價x的范圍（?直接寫出答案）.

5.（2006年青島市）在2006年青島嶗山北宅櫻桃節前夕，?某果

品批發公司為指導今年的櫻桃銷售，對往年的市場銷售情況進

行了調查統計，得到如下數據:

銷售價X（元/千克）???25242322???

銷售量y（千克）???2000250030003500???

（1）在如圖的直角坐標系內，作出各組有序數對（x,y）所

對應的點.連接各點并觀察所得的圖形，判斷y與x之間的函

數關系，并求出y與x之間的函數關系式;

（2）若櫻桃進價為13元/千克，試求銷售利潤P（元）與銷

售價x（元/千克）之間的函數關系式,

P的值最大?

6.有一種螃蟹，從海上捕獲后不放養，最

放養在塘內，可以延長存活時間，但每天也有一定數量的蟹死

去.假設放養期內蟹的個體質量基本保持不變，現有一經銷商,

按市場價收購這種活蟹1000kg放養在塘內，此時市場價為每

千克30元，據測算，此后每千克活蟹的市場價每天可上升1元,

但是，放養一天需支出各種費用為400元，且平均每天還有10

kg蟹死去，假定死蟹均于當天全部銷售出，售價都是每千克20

元.

(1)設x天后每千克活蟹的市場價為p元，寫出p關于x的函

數關系式；

(2)如果放養x天后將活蟹一次性出售，并記1000kg