第十章概率10.2事件的相互獨立性課后篇鞏固提升必備知識基礎練1.如圖,在兩個圓盤中,指針落在本圓盤每個數所在區域的機會均等,那么兩個指針同時落在奇數所在區域的概率是()A.49 B.29 C.23答案A解析左邊圓盤指針落在奇數區域的概率為46=23,右邊圓盤指針落在奇數區域的概率也為22.社區開展“建軍90周年主題活動——軍事知識競賽”,甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為35和23,兩人是否獲得一等獎相互獨立,A.35 B.215 C.1315答案C解析由題意可知,甲、乙兩人都不能獲得一等獎的概率為135×123=215,故這兩人中至少有一人獲得一等獎的概率為1215=1315.3.在某道路A,B,C三處設有交通燈,這三盞燈在一分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒.某輛車在這條道路上勻速行駛,則三處都不停車的概率為()A.21192 B.25192 C.35192答案C解析由題意可知,每個交通燈開放綠燈的概率分別為512,712,34.袋內有除顏色外其他都相同的3個白球和2個黑球,從中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”記為事件B,否則記為事件C,那么事件A與B,A與C間的關系是()A.A與B,A與C均相互獨立B.A與B相互獨立,A與C互斥C.A與B,A與C均互斥D.A與B互斥,A與C相互獨立答案A解析由于摸球是有放回的,則第一次摸球的結果對第二次摸球的結果沒有影響,故A與B,A與C均相互獨立.而A與B,A與C均能同時發生,從而不互斥.5.臺風在危害人類的同時,也在保護人類.臺風給人類送來了淡水資源,大大緩解了全球水荒,另外還使世界各地冷熱保持相對均衡.甲、乙、丙三顆衛星同時監測臺風,在同一時刻,甲、乙、丙三顆衛星準確預報臺風的概率分別為0.8,0.7,0.9,各衛星間相互獨立,則在同一時刻至少有兩顆衛星預報準確的概率是.

答案0.902解析設甲、乙、丙預報準確依次記為事件A,B,C,不準確記為事件A,B,C,則P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1,至少兩顆預報準確的事件有ABC,ABC,ABC,∴至少兩顆衛星預報準確的概率為P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.6.有一道數學難題,在半小時內,甲能解決的概率是12,乙能解決的概率是13,2人試圖獨立地在半小時內解決它,則2人都未解決的概率為,問題得到解決的概率為答案1解析甲、乙兩人都未能解決的概率為112113=12×2問題得到解決就是至少有1人能解決問題,∴P=1137.甲、乙、丙三位大學畢業生同時應聘一個用人單位,其能被選中的概率分別為25,3(1)求三人都被選中的概率;(2)求只有兩人被選中的概率.解記甲、乙、丙被選中的事件分別為A,B,C,則P(A)=25,P(B)=34,P(C)=(1)∵A,B,C是相互獨立事件,∴三人都被選中的概率為P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25(2)三種情形:①甲未被選中,乙、丙被選中,概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1-②乙未被選中,甲、丙被選中,概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25③丙未被選中,甲、乙被選中,概率為P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=25以上三種情況是互斥的.因此,只有兩人被選中的概率為P2=320關鍵能力提升練8.從某地區的兒童中預選體操學員,已知這些兒童體型合格的概率為15,身體關節構造合格的概率為14.從中任挑一名兒童,這兩項至少有一項合格的概率是(假定體型與身體關節構造合格與否相互之間沒有影響)(A.1320 B.15 C.14答案D解析這兩項都不合格的概率是1-15×19.人的眼皮單雙是由遺傳基因決定的,其中顯性基因記作A,隱性基因記作a.成對的基因中,只要出現了顯性基因,就一定是雙眼皮,也就是說,“雙眼皮”的充要條件是“基因對是AA,aA或Aa”.人的卷舌與平舌(指是否能左右卷起來)也是由一對基因對決定的,分別用B,b表示顯性基因、隱性基因,基因對中只要出現了顯性基因B,就一定是卷舌的.生物學上已經證明:控制不同性狀的基因遺傳時互不干擾,基因對中兩個基因分別來自父本和母本,且是隨機組合的.若有一對夫妻,兩人決定眼皮單雙和舌頭形態的基因都是AaBb,不考慮基因突變,那么他們的孩子是雙眼皮且卷舌的概率為()A.116 B.316 C.716答案D解析父母決定眼皮單雙的基因均為Aa,遺傳給孩子的基因可能為AA,Aa,aA,aa,所以孩子為雙眼皮的概率為P1=34.同理孩子卷舌的概率為P2=34.根據相互獨立事件的概率公式知孩子是雙眼皮且卷舌的概率為P=10.設兩個相互獨立事件A和B都不發生的概率為19,A發生且B不發生的概率與B發生且A不發生的概率相同,則事件A發生的概率P(A)等于(A.29 B.118 C.13答案D解析由題意知,P(A)P(B)=19,P(A)P(B)=P(A)P(B).設P(A)=x,P(B)=y,則(1-x)(1-y)=19,(1-x)y=x(1-y),即1-x-y+xy=1911.(多選題)下列各對事件中,M,N是相互獨立事件的有()A.擲1枚質地均勻的骰子一次,事件M表示“出現的點數為奇數”,事件N表示“出現的點數為偶數”B.袋中有5個白球,5個黃球,除顏色外完全相同,依次不放回地摸兩次,事件M表示“第1次摸到白球”,事件N表示“第2次摸到白球”C.擲一枚質地均勻的骰子一次,事件M表示“出現點數為奇數”,事件N表示“出現點數為3或4”D.一枚硬幣擲兩次,事件M表示“第一次為正面”,事件N表示“第二次為反面”答案CD解析在A中,M,N是互斥事件,不相互獨立;在B中,M,N不是相互獨立事件;在C中,P(M)=12,P(N)=13,P(MN)=16,P(MN)=P(M)P(N),因此M,N是相互獨立事件;在D中,第一次為正面對第二次的結果不影響,因此M,12.(多選題)下列對各事件發生的概率判斷正確的是()A.某學生在上學的路上要經過4個路口,假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是13,那么該學生在上學路上到第3個路口首次遇到紅燈的概率為B.三人獨立地破譯一份密碼,他們能單獨破譯出的概率分別為15,13,C.甲袋中有8個白球,4個紅球,乙袋中有6個白球,6個紅球,從每袋中各任取一個球,則取到同色球的概率為1D.設兩個獨立事件A和B都不發生的概率為19,A發生B不發生的概率與B發生A不發生的概率相同,則事件A發生的概率是答案AC解析對于A,該學生在第3個路口首次遇到紅燈的情況為前2個路口沒遇到紅燈,第3個路口遇到紅燈,所以概率為1132×13=427,故A正確;對于B,用A,B,C分別表示事件甲、乙、丙三人能破譯出密碼,則P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,“三個人都不能破譯出密碼”發生的概率為45×23×34=25,所以此密碼被破譯的概率為125=35,故B不正確;對于C,設“從甲袋中取到白球”為事件A,則P(A)=812=23,設“從乙袋中取到白球”為事件B,則P(B)=612=12,故取到同色球的概率為23×12+13即P(A)[1P(B)]=P(B)[1P(A)],所以P(A)=P(B).又P(AB)=所以P(A)=P(B)=13所以P(A)=23,故D錯誤13.(多選題)如圖所示的電路中,5只箱子表示保險匣,設5個盒子分別被斷開為事件A,B,C,D,E.箱中所示數值表示通電時保險絲被切斷的概率,下列結論正確的是()A.A,B兩個盒子串聯后暢通的概率為1B.D,E兩個盒子并聯后暢通的概率為1C.A,B,C三個盒子混聯后暢通的概率為5D.當開關合上時,整個電路暢通的概率為29答案ACD解析由題意知,P(A)=12,P(B)=13,P(C)=14,P(D)=15,P(E)=16,所以A,B兩個盒子暢通的概率為112×113=12×23=13,因此A正確;D,E兩個盒子并聯后暢通的概率為115×16=1130=2930,因此B錯誤;A,B,14.設兩個相互獨立事件A與B,若事件A發生的概率為p,事件B發生的概率為1p,則A與B同時發生的概率的最大值為.

答案1解析事件A與B同時發生的概率為p(1p)=pp2(p∈[0,1]),當p=12時,最大值為115.事件A,B,C相互獨立,如果P(AB)=16,P(BC)=18,P(ABC)=18,則P(B)=,P(AB)=答案1解析∵P(ABC)=P(AB)P(C)=16P(C)=1∴P(C)=34,即P(C)=1又P(BC)=P(B)P(C)=18∴P(B)=12,P(B)=1又P(AB)=16,則P(A)=1∴P(AB)=P(A)P(B)=1-16.某種電子玩具按下按鈕后,會出現紅球或綠球,已知按鈕第一次被按下后,出現紅球與綠球的概率都是12,從按鈕第二次被按下起,若前一次出現紅球,則下一次出現紅球、綠球的概率分別為13,23;若前一次出現綠球,則下一次出現紅球、綠球的概率分別為35,25.記第n(n∈(1)求P2的值;(2)當n∈N,n≥2時,求用Pn1表示Pn的表達式.解(1)P2=12(2)Pn=Pn1×13+(1Pn1)×=415Pn1+35(n∈N,n≥學科素養創新練17.(2021江蘇淮安期末)某企業生產兩種如圖所示的電路子模塊R,Q:要求在每個模塊中,不同位置接入不同種類型的電子元件,且備選電子元件為A,B,C型.假設不同位置的元件是否正常工作不受其他元件影響.在電路子模塊R中,當1號位與2號位元件中至少有一件正常工作時,電路子模塊才能正常工作.在電路子模塊Q中,當1號位元件正常工作,同時2號位與3號位元件中至少有一件正常工作時,電路子模塊才能正常工作.(1)若備選電子元件A,B型正常工作的概率分別為0.9,0.8,依次接入位置1,2,求此時電路子模塊R能正常工作的概率;(2)若備選電子元件A,B,C型正常工作的概率分別為0.7,0.8,0.9,試問如何接入備選電子元件,電路子模塊Q能正常工作的概率最大,并說明理由.解假設事件A,B,C分別表示電子元件A,B,C正常工作,(1)電路子模塊R不能正常工作的概率為P(AB),由于事件A,B所以