§3.1帶電系統的靜電能與電場的能量

1、點電荷組的靜電相互作用能2、電荷連續分布的帶電系統的靜電能3、利用靜電能求靜電力4、電場的能量與能量密度

第一頁第二頁，共30頁。§3.1.1點電荷組的靜電相互作用能

1、真空中N個點電荷組成的點電荷帶電系統，電量分別為q1q2..qN，空間位置分別為r1r2..rN，其中i、j點之間距離rij為：全部rij決定點電荷組中點電荷的相對位置分布。處于一定電荷分布狀態的點電荷組具有與rij有關的能量。這種與點電荷之間相對位置有關的點電荷組能量，稱為點電荷組的靜電相互作用能。第二頁第三頁，共30頁。2、點電荷組W互的具體表達式（1）討論相距r12的兩個點電荷q1和q2組成的點電荷組，從無窮遠處狀態到相距r12狀態，外力克服電場力所做的功與兩點電荷移入的次序無關，只與點電荷組終態的狀態參數q1、q2和r12相關。如前所述，這個功就等于兩個點電荷的點電荷組的靜電相互作用能W互，即第三頁第四頁，共30頁。（2）N個點電荷組的W互由兩個點電荷組的靜電相互作用能公式推廣到N個點電荷組，可以對這N個點電荷進行不重復的組對，然后把每對點電荷的靜電相互作用能加起來，即可得到N個點電荷組成的點電荷組的靜電相互作用能W互。式中，是第j個點電荷在第i個點電荷處產生的電勢。rji是第j個點電荷到第i個點電荷的距離。第四頁第五頁，共30頁。由于第j個點電荷與第i個點電荷組成的點電荷對的相互作用能相等，由此可得N個點電荷組的靜電相互作用能W互為：定義

為點電荷組中除qi外其他點電荷在qi處產生的電勢代數和，即點電荷組中除qi外其他電荷在qi處產生的電場電勢。由此上式可寫成：第五頁第六頁，共30頁。§3.2電荷連續分布的帶電系統的靜電能

對一個體電荷連續分布的帶電體，體積設為V，所帶電荷設為q，電荷在帶電體中的分布情況由體電荷密度ρ描述，我們設想把其分割成許多小體電荷元ΔVi，這些體電荷元都可以視為點電荷，因此可得帶電體的相互作用能

式中，Ui(ri)為除第i個電荷元以外帶電體其他電荷在ri處產生的電勢。第六頁第七頁，共30頁。1、帶電體的靜電能We對帶電體內電荷無限分割時，即過渡到體積分：這里，U(r)包括電荷元ρdV在內的帶電體全部電荷在r處產生的電勢。故U(r)=Ui(r)+dU，其中dU是ρdV在自身r處產生的電勢，可以證明，dU趨于0。因此，帶電體的靜電能包括帶電體內電荷元之間的相互作用能和電荷元內的電能。第七頁第八頁，共30頁。2、N個帶電體的系統的靜電能設N個帶電體的體積為V1,V2..VN，它們在空間r處產生的總電勢為其中，Ui(r)是除了第i個帶電體的電荷以外其余所有電荷在r處產生的電勢，U(i)(r)是第i個帶電體的電荷在r處產生的電勢。則N個帶電體組成的帶電系統的靜電能為：We=W互+W自

第八頁第九頁，共30頁。其中，這里，W自(i)是第i個帶電體的靜電能，并稱為第i個帶電體的自能。W互是帶電系統內N個帶電體之間的相互作用能，簡稱系統的互能。第九頁第十頁，共30頁。帶電體的相互作用能的討論如果系統內帶電體體積Vi非常小，以至于其他帶電體在Vi內產生的電勢Ui(r)在Vi內各點近似相等，即Ui(r)=Ui，則系統的相互作用能為：這和點電荷組的相互作用能完全一致。第十頁第十一頁，共30頁。帶電體的自能的討論對點電荷和線電荷的自能的討論點電荷的自能無限大，即自能是發散的。因此討論點電荷組的電能時，只討論互能。點電荷的自能為無限大表明，真正的點電荷實際上是不存在的。線電荷的自能也是無限大，這表明線電荷只是一種近似模型，真正的線電荷是不存在的。第十一頁第十二頁，共30頁。3、帶電面的靜電能帶電導體的電荷分布在表面上，因此求帶電導體的靜電能是求面電荷分布的帶電系統的靜電能。對面電荷系統的靜電能為：這里U(r)為帶電面上r處的電勢。對于帶電導體，導體表面是等勢面，因此其靜電能為：第十二頁第十三頁，共30頁。4、N個帶電面的帶電系統靜電能由N個帶電面組成的帶電系統的靜電能為：如果是N個帶電導體表面，注意到導體表面是等勢面，則其靜電能為：第十三頁第十四頁，共30頁。5、帶電體的電勢能帶電體或帶電系統的電勢能是我們研究的帶電體同產生外電場的帶電系統之間的相互作用能。由此，兩個帶電系統之間的相互作用能為：其中，U1(r1)為外電場在r1處產生的電勢，U2(r2)為研究的帶電體在r2處產生的電勢。第十四頁第十五頁，共30頁。因此，可得：即兩個帶電系統彼此在對方產生的電場里，它們之間產生的相互作用能可以稱為一個帶電系統在另外一個帶電系統產生的電場里的電勢能，且它們相等。即我們研究的帶電體的電勢能為：第十五頁第十六頁，共30頁。N個帶電體的電勢能當帶電體體積V很小時，可認為外電場的電勢在V內是相等的，如點電荷，則這個帶電體在外電場中的電勢能為：對于由N個體積很小的帶電體所組成的系統，如點電荷組，則其電勢能為：其中，U(ri)為外電場在qi電荷所在位置ri處的電勢。第十六頁第十七頁，共30頁。有電介質存在時帶電系統的靜電能可以證明，有介質存在時，面自由電荷帶電系統在形成過程中外界對帶電系統做功，即帶電系統的靜電能的表達式為：推廣到有電介質情況下的體自由電荷帶電系統的靜電能為：其中，U(r)是由自由電荷和極化電荷共同產生，因此其靜電能與自由電荷和極化電荷都有關。第十七頁第十八頁，共30頁。§3.3利用靜電能求靜電力如果兩個帶電體的電荷分布給定，或者受力帶電體的電荷分布和施力帶電體產生的電場分布已經給定，帶電體之間的靜電力通過積分原則上就可以求了。但在很多情況下，求帶電體之間靜電力的積分不容易求，而受力帶電體和施力帶電體組成的帶電系統的靜電能容易求出，通過對靜電能求微商就可求出受力帶電體所受的靜電力。第十八頁第十九頁，共30頁。（1）由N個彼此絕緣的帶電體組成的系統其中第i個是受力帶電體，其余N-1個帶電體為施力帶電體。設想N-1個施力帶電體保持靜止，讓受力帶電體作無限小的位移，在這過程中系統內電場力做功為：設系統在位移過程中是不與外界進行能量交換的孤立系統，這個過程中系統內帶電體的電荷qi保持不變，系統內電場力做功只消耗系統的靜電能。第十九頁第二十頁，共30頁。即則有：

寫成式中，下標q表示在對We進行偏微商時，系統內的電荷qj應視為常數。第二十頁第二十一頁，共30頁。靜電力矩的表達式如果系統內第i個帶電體不是位移做功，而是繞某軸作無限小轉動角位移，則第i個帶電體受靜電力矩所作的功為：因此，靜電力矩為：如果已知系統的靜電能We的表達式，通過上述兩個公式即可求得系統內第i個帶電體所受的靜電力和力矩。第二十一頁第二十二頁，共30頁。（2）由N個帶電導體組成的系統研究第i個帶電導體所受的靜電力或靜電力矩：設想第i個帶電導體作無限小位移或無限小轉動角位移，在這過程中，設想通過外界電源作功保持系統內各導體的電勢Uj不發生改變，則由能量守恒可知，系統的靜電能的改變量應等于過程中外界所作的功與系統內靜電力作的功之差，即第二十二頁第二十三頁，共30頁。保持系統內各帶電導體電勢不變而其電荷改變，外界（電源）所做的功為：而N個帶電導體組成的系統的靜電能為

保持系統內帶電導體電勢不變而電荷改變，系統的靜電能改變為：故第二十三頁第二十四頁，共30頁。由或可得受力帶電導體i所受靜電力或靜電力矩為：第二十四頁第二十五頁，共30頁。（3）利用互能求靜電力或靜電力矩如果受力帶電體在位移或轉動過程中，受力帶電體和施力帶電體上的電荷分布都不改變，則各帶電體的電荷在自身體積內產生的電勢在過程中就不變化，因而帶電系統內各帶電體的自能在受力帶電體位移或轉動過程中不變，則有由能量守恒定律，受力帶電體所受靜電力或靜電力矩可以通過相互作用能表示為第二十五頁第二十六頁，共30頁。式中下標表示微商時把受力帶電體與施力帶電上的電荷密度看作為常數。即，第二十六頁第二十七頁，共30頁。§3.4電場的能量與能量密度1、一個自由電荷密度為的帶電系統，如果系統空間體積為V，則這帶電