大地測量學課程設計指導書（適用專業：測繪工程）太原理工大學礦業工程學院

測繪科學與技術系測繪工程教研室

付培義、薛永安編寫2008年6月編寫，2010年10月修訂大地測量學課程設計指導書一、 課程設計目的《大地測量學基礎》是測繪工程專業的專業學科基礎課程，課程涵蓋測量坐標基準建立的理論及坐標系轉換、以及大地控制測量基本方法等內容，理論性、實踐性均很強，學習本課程對學生形成完整的測繪知識體系具有重要意義。進行課程設計的目的在于：通過一個綜合性題目的設計，使學生加深對坐標基準的內涵的理解,培養學生應用本課程知識解決大地測量實際問題的能力。二、 課程設計計劃與時間分配設計時間：教學計劃規定，大地測量學課程設計時間為一周。時間分配：執行大地測量學課程設計大綱規定。三、 設計（參考）題目：《XX礦（或區域）坐標系統設計》或《A坐標系與B坐標系轉換設計》四、 設計方法與步驟將與題目有關的課程內容及素材吃透，并適當查閱相關的專著、論文，深入分析有關實際資料，在此基礎上編寫設計提綱，并與指導教師交流，確定最終的設計提綱。在確定的提綱基礎上進行相關的分析、計算與坐標系設計；或轉換模型精化與計算。五、 設計結果要求設計立論、設計結果、有關模型推演正確，若有軟件設計內容，則軟件需經實例檢驗；設計要嚴謹、科學，說明書要規范，文字通暢，圖表標準，設計成果應具答*田價佰六、 、設計說明書提綱（僅供參考）設計題目：XX實用工程坐標系（投影面與投影帶選擇）設計摘要、關鍵詞（不少于3個），摘要、關鍵詞英譯。第一章緒論第一節工程（或測區）概況及工程精度要求第二節選擇實用工程坐標系的意義、原則、設計依據，所采用的坐標系形式分析（從精度、實用性入手分析）。第二章實用工程坐標系的設計第一節原理簡述第二節實用坐標系設計由工程實際資料通過計算確定實用坐標系投影帶寬度、中央子午線位置、抵償高程面等的具體數值。第三章原坐標資料的歸算將原坐標系統下的坐標換算至所設計的坐標系第四章實用工程坐標系實用性評價參考文獻:注意格式要規范。附錄：坐標系設計圖（含歸算原理、中央子午線、投影面）有關軟件的原代碼、示例檢驗結果，程序使用說明七、實用工程坐標系設計的原理及方法（一）基本原理根據《國家三角測量和精密導線測量規范》規定：“所有大地測量的觀測成果，都須歸化到參考橢球面上，……所有國家大地點均按高斯正形投影計算其在6°帶內的平面直角坐標（一般稱作高斯一克呂格平面坐標）。在1：1萬和更大比例尺測圖的地區，還應加算其在3°帶內的平面直角坐標”，根據這種規定所采用的高斯投影6°帶或3。帶坐標系統通常稱作國家統一坐標系統。實際的工程（或礦山）控制網采用國家統一坐標系統時，常因國家控制網的投影帶太寬，以致控制網各邊的真實長度常被改變，引起長度的變形，這對于工程或礦山的大比例尺地形測圖和工程測量是十分不利的。為了有效地控制投影長度變形，就需要分析長度變形的來源和容許值，以及國家統一坐標系統的適用程度和范圍，設計工程或礦山坐標系統，以期抵償長度變形的影響。.長度變形的產生和容許數值將實地測量的真實長度歸化到國家統一的橢球面上時，應加如下改正數：攵=-生$ （1）式中：Ra一一長度所在方向的地球橢球曲率半徑；Hm一一長度所在高程面對于橢球面的高差；s一一實地測量的水平距離。然后再將橢球面上的長度投影至高斯平面，加入如下改正數△S=+-^S （2）2R2式中；R一測區中點的平均曲率半徑Vm—距離的兩端點橫坐標的均值這樣，地面上的一段距離，經過上列2次改正計算，被改變了真實長度。這種高斯投影平面上的長度與地面長度之差，我們稱之為長度綜合變形，其計算公式為y2HS=+-^S—~^~s2R-Ra為了方便計算，乂不致損害必要精度，可以將橢球視為圓球，取圓球半徑RA=R=6371km,乂取不同投影面上的同一距離近似相等，即S=s,將上式寫成相對變形的形式，則為-=（0.00123y2-15.7//）*10'5 （3）s式中，y表示測區中心的橫坐標（自然值），H表示測區平均高程，y與H均以km作單位。上式表明，采用國家統一坐標系統所產生的長度綜合變形，與測區所處投影帶內的位置和測區平均高程（或生產水平面高程）有關。利用上述公式（3）；可以便捷地計算出測區所用坐標系統的長度相對變形大小。工程或礦山控制網是直接服務于城鎮和工礦地區大比例尺測圖和工程施工測量

的，因此，由控制網所提供的距離應盡可能保持其真實性。這樣，地面施測的距離可以直接繪圖，圖紙上量：取的距離也可直接標設于實地。所以就控制網的實用性而言“長度綜合變形愈小愈好”。對此，《城市測量規范》、《工程測量規范》均對控制網的長度綜合變形的容許范圍作了明確規定，一致確立了平面控制網的坐標系統應該保證長度綜合變形不超過2.5cm/km（相對變形為1：40000）這一原則。這樣的長度變形，與四等平面控制網邊長的必需精度相適應，對于測量精度為1：5000?1：20000的施工放樣，也能起到良好的控制作用。國家統一坐標系統的局限性將長度綜合變形的容許數值1：40000代入式（3）,即可得到下列方程H=0.78（I。-，）±0.16 （4）對于某己知高程面的測區，利用上式可以計算出相對變形不超過1：40000的國家統一3°帶內y坐標取值范圍（用v坐標表示最為直觀簡便）；同理對于3。帶內的不同投影區域可以算出綜合變形不超過容許數值時測區平均高程的取值范圍。如果取測區中心的土y坐標為橫軸，取測區平均高程H為縱軸，根據式（4）就可以畫出相對變形恒為容許數值的兩條曲線。這兩條曲線就是適用于控制測量的投影帶范圍臨界線，或者說兩條曲線之間的區域就是適用于城鎮測圖和工程測量的投影帶范圍，如右圖所示。利用右圖可以直觀形象地判斷國家3°帶統一坐標系是否適合于本測區的需要。如果根據本測區的平均高程和3°帶的y坐標所確定的位置，處于兩曲線以外的“不適用區”,就應該考慮另行選擇坐標系統。為了保證投影的長度綜合變形不超過2.5cm/km（l：40000）,必將極大降低3°帶國家統一坐標系統的適用范圍。從圖可以看出，在3°投影帶的大部分區域，長度綜合變形均超出了《工程測量規范》中規定的范圍，均不適宜測圖和工程測量的需求。所以如何選擇能夠抵償長度綜合變形的坐標系統，就是一個必須解決的問題。（二）實用工程坐標系設計方法如果說高斯投影分帶是限制長度變形的有效措施，那么正確地選擇工程控制網的坐標系統，則是抵償長度綜合變形的有效途徑。由于以地球橢球面作為計算表面（投影面）、按正形投影3°分帶計算的平面坐標稱為國家統一坐標系統，那么對投影面或投影帶作出其它選擇，計算出的坐標就不再屬于國家統一坐標系統，我們稱這種坐標系統為局部坐標系統，有時也稱為獨立坐標系統或工程（礦山）實用坐標系統。下面討論兒種實用坐標系統可供選擇的方案。]—-選擇“抵償高程面”作為投影面，按高斯正形投影3。帶計算平面直角坐標公式(1)表明，將距離由較高的高程面化算至較低的橢球面時，長度總是減小的；公式(2)乂表明，將橢球面上的距離化算至高斯平面時，長度總是增加的。所以兩個投影過程對長度變形具有抵償的性質。如果適當選擇橢球的半徑，使距離化算到這個橢球面上所減小的數值，恰好等于由這個橢球面化算至高斯平面所增加的數值，那么高斯平面上的距離同實地距離就一致了。這個適當半徑的橢球面，就稱為“抵償高程面”。欲使長度綜合變形得以抵償，必須：心2ie將推證式(3)時所引用的關系和數據代入，則TOC\o"1-5"\h\zH=—— mx6371000式中，若y以百公里作單位，H以m作單位，則H=785y2 (5)利用上式可以確定抵償高程面的位置。例如，某地中心在高斯投影3°帶的坐標y=91km,該地平均高程為400m,按式(5)算得：H=785X0.91=650m即抵償面應比平均高程面低650m,如下圖所示。于是，抵償面的高程為： H抵=400m-650m=-250m抵償面位置確定后，就可以選擇其中一個國家大地點作“原點”，保持它在3。帶的國家統一坐標值(xo,yo)不變，而將其它大地控制點坐標(x,y)換算到抵償高程面相應的坐標系中去。換算公式為：%X抵=X+(SX0)才抵=)'+()」)'。)一K式中：R為該地平均緯度處的橢球平均曲率半徑。這樣，經過上式換算的大地控制點坐標就可以作為控制測量的起算數據。需要時，還可將控制點在局部坐標系中的坐標，按下式換算成國家統一坐標系內的坐標：%X=&+(?"X。)一^)'=)‘抵+(y抵一)‘。)2.方法二保持國家統一的地球橢球面作投影面不變，選擇“任意投影帶”，按高斯投影計算平面直角坐標。不同投影帶的出現，是因為選擇了不同經度的中央子午線的緣故。如果我們合理選擇中央子午線的位置，使長度投影到該投影帶所產生的變形，恰好抵償這一長度投影到橢球面所產生的變形，此時高斯投影平面上的長度仍和實地長度保持一致。我們稱這種抵償長度變形的投影帶為“任意投影帶”。為了確定任意投影帶的中央子午線位置，需要在公式(5)中引入經度差取高斯投影坐標正算公式y=——NcosB+…P”代入式(5),略加變換即得(6)/〃=7362〃應(6)NcosBL°=L-1式中B、L一一測區中心位置的緯度和經度；N一一橢球在緯度B處的卯酉圈曲率半徑；H一一測區的平面高程；/一一經度L與任意帶的中央子午線經度L。之差。利用公式(6)可以便捷地確定任意投影帶的中央子午線經度L。，任意帶確定后，應用高斯投影坐標計算的方法，將國家大地點坐標換算成大地坐標(B,L)o再由大地坐標計算這些點在任意帶內的平均直角坐標(x,v)o實際上這僅僅是一個換帶計算問題。反之，己知某點在任意帶內的坐標，也可以方便地求出它在國家統一坐標系統內的坐標值。.方法三選擇平均高程面作投影面，通過測區中心的子午線作為中央子午線，按高斯投影計算平面直角坐標選擇這種局部坐標系統的實質，在于保證測區中心處y?0H“0，使得按式(3)計算的6^0,做到測區范圍內的長度綜合變形為最小。為此，應對用作控制測量起算數據的國家大地點坐標進行如下處理：1)利用高斯投影坐標正反算的方法，將國家點的平面坐標換算成大地坐標(B,

L）；并由大地坐標計算這些點在選定的中央子午線投影帶內的平面直角坐標（x,y）o2）選擇其中一個國家點作為“原點”，保持該點在選定的投影帶內的坐標（設為xo,y。）不變，其它國家點按下式將坐標換算到選定的坐標系中去。， ,、H, <、HX=X+（X-XQ）— y=y+（y-yQ）—K K式中符號意義同前。按下式將換算的坐標換算值（x',y‘），均可作為控制網的起算數據。將上述3種選擇局部坐標系統的方法加以比較，可以看出：方法一是通過變更投影面來抵償長度綜合變形的，具有換算簡便、概念直觀等優點，而且換系后的新坐標與原國家統一坐標系坐標十分接近，有利于測區內外之間的聯系。方在二是通過變更中央子午線、選擇任意投影帶來抵償長度綜合變形的，同樣具有概念清晰、換算簡便等優點，但是換系后的新坐標與原國家統一坐標系坐標差異較大。方法三法是用既改變投影面、乂改變投影帶來抵償長度綜合變形的，這種既換面乂換帶的方法不夠簡便，同時換系后的新坐標與原國家統一坐標系的坐標差異較大。八、坐標變換原理及方法（一）坐標轉換模型1.二維七參數轉換模型△L△B~△L△B~sinL? PNcos8

sinBcosLPcosLM PNcosBsinsinLPcosBMPAXAX+△z0+Nr0+Nr——e-sinBcosBp"Ma0(2-^sm^)sinBcos5p?fgBcosLfgBsinL-f一€4-0siii^cos^p"一sinLcosL0%￡一?一■△B,NL△B,NL同一點位在兩個坐標系下的緯度差、經度差，單位為孤度,心橢球長半軸差（單位米）、扁率差（無量綱）,AX.AK.AZ平移參數，單位為米,

AX.AK.AZ平移參數，單位為米,"旋轉參數，單位為弧度,〃， 尺度參數（無量綱）。2.平面四參數轉換模型屬于兩維坐標轉換，對于三維坐標,計算轉換參數。平面直角坐標轉換模型：屬于兩維坐標轉換，對于三維坐標,計算轉換參數。平面直角坐標轉換模型：需將坐標通過高斯投影變換得到平面坐標再一■——iX。+(1+Hl)COS。-sina'■■J、_.vo_sin。coscrPL其中，xO,vO為平移參數，a為旋轉參數，1】1為尺度參數。x2,y2為2000國家大地坐標系下的平面直角坐標，xl,yl為原坐標系下平面直角坐標。坐標單位為米。綜合法坐標轉換所謂綜合法即就是在相似變換（Bwsa七參數轉換）的基礎上，再對空間直角坐標殘差進行多項式擬合，系統誤差通過多項式系數得到消弱，使統一后的坐標系框架點坐標具有較好的一致性，從而提高坐標轉換精度。綜合法轉換模型及轉換方法：利用重合點先用相似變換轉換Bursa七參數坐標轉換模型XtAXo-zs.r.巧Yr—△Y+Zs.0-xs.￡y+m+AZ『AZ-ys.xs.o?J o _一Zs_式中，3個平移參數△Z】'，3個旋轉參數【A弓弓］,和1個尺度參數，〃o對相似變換后的重合點殘差采用多項式擬合Vx或隊或Vz=%iqB?Ei=oy=o式中：B,L單位：弧度；K為擬合階數；與為系數，通過最小二乘求解。三維七參數坐標轉換模型

—?■△L]\ suMcosLc一0■一AX(N+H)cosB”(N+H)cos8AHsuiBcosLn P(M+H)cosBcosLsinsinLM P(M+H)siuBsiuLcosB(M+H)PsuiB\YAZN(1—)+Hpj 戲BcosLN(1—)+Hpj 戲BcosLN+H(N+H)-Ne2snrB.r sinLN(1W)+H對si2M+H

-Ne2suiBcosBsinL0一蕓/sinBcos陽”(N+H)-Ne's"0N——e2sinBcosB//'Ma-— sin2B)aN+H(N+H)-N5B*lM+HNe2sin5cos5cosL0(2-e2sufB).□Dn-——j_-——-sinBcosB"(1-e2surB)sin2B1一。MiV同一點位在兩個坐標系下的緯度差、經度差、大地高差，經緯度差單位為弧度，大地高差單位為米,/?=180x3600/1孤度秒橢球長半軸差，單位為米，甘扁率差，無量綱，*30平移參數，單位為米,如勺'勺旋轉參數，單位為弧度,〃7尺度參數，無量綱。（二）高斯正反算公式1.高斯投影正算公式/- 1 尸—+——(61—58尸+〃)/- 1 尸—+——(61—58尸+〃)cos，B—p-720 p424x=X+Mcos2B—0.5+——(5-尸+"+4〃4)cos?Bp- 2424TOC\o"1-5"\h\z1 I2 1 /，y=NcosB—Pl+-(l-r2+772)cos2B—+——(5—18尸+尸+14〃2-587/2ry=NcosB—P6 p-120 p子午線弧長X計算見附錄。2.高斯投影反算公式能為一名火1一二(5+3*+〃；一9〃污)($)2+哀(61+9(^+4用)總)42M§N, 12 ?.N了 360 N,1=—-—(―)1一上(1+2*+z；J)(—)2+—(5+28r；+24$+6〃；+cos^yN,[ 6fN( 120ff〃ffNi式中〃/、0分別為按為值計算的相應量，為的計算見附錄。（三）坐標轉換精度評定和評估方法依據計算坐標轉換模型參數的重合點的殘差中誤差評估坐標轉換精度。對于n個點，坐標轉換精度估計公式如下：V（殘差）=重合點轉換坐標-重合點己知坐標空間直角坐標X殘差中誤差=士桓;、=±叵空間直角坐標Y殘差中誤差V〃T空間直角坐標Z殘差中誤差土何?點位中誤差虬=伽；+崎+呢平面坐標x殘差中誤差虬唇m=±i叵平面坐標y殘差中誤差y一V〃-1大地高H殘差中誤差岫土回平面點位中誤差為、=M+m；（四）坐標轉換中用到的基本值1.常用量定義a為橢球長半軸，1954年北京坐標系為6378245m1980西安坐標系為6378140mb為橢球短半軸/為橢球扁率，1954年北京坐標系為1/298.31980西安坐標系為1/298.257Ia-bJ= ab=a>Jl-e2e—第一偏心率>la2-b~€=一、一e—第二偏心率e~bjf=e'2cos2BV=a/1+^2cos25V2=l+/fW=yll-e2si^BB為緯度，單位孤度crc=~bM—子午圈曲率半徑 vN=—=-N一卯酉圈曲率半徑 WV2.子午線弧長X設有子午線上兩點pl和p2,pl在赤道上p2的緯度為B,pl、p2間的子午線孤長X計算公式

X=。(1-e2)(AfarcB-B'sui2B+Csin48-D'sin6B+E'sin曙一尸sinlOB+G'sinl2B)式中A，,3 ,45 4175 611025 s