PAGE直線與圓的方程一、直線的方程1、傾斜角：L ，范圍0≤＜，若軸或與軸重合時，=00。2、斜率：k=tan與的關系：=0=0已知L上兩點P1（x1,y1）0＜＜P2（x2,y2）=不存在k=當=時，=900，不存在。當時，=arctank，＜0時，=+arctank3、截距（略）曲線過原點橫縱截距都為0。4、直線方程的幾種形式已知方程說明幾種特殊位置的直線斜截式K、bY=kx+b不含y軸和行平于y軸的直線①x軸：y=0點斜式P1=(x1,y1)ky-y1=k(x-x1)不含y軸和平行于y軸的直線②y軸：x=0兩點式P1(x1,y1)P2(x2,y2)不含坐標輛和平行于坐標軸的直線③平行于x軸：y=b截距式a、b不含坐標軸、平行于坐標軸和過原點的直線④平行于y軸：x=a⑤過原點：y=kx一般式Ax+by+c=0A、B不同時為0兩個重要結論：①平面內任何一條直線的方程都是關于x、y的二元一次方程。②任何一個關于x、y的二元一次方程都表示一條直線。5、直線系：（1）共點直線系方程：p0（x0,y0）為定值，k為參數y-y0=k（x-x0）特別：y=kx+b，表示過（0、b）的直線系（不含y軸）（2）平行直線系：①y=kx+b，k為定值，b為參數。②AX+BY+入=0表示與Ax+By+C=0平行的直線系③BX-AY+入=0表示與AX+BY+C垂直的直線系（3）過L1,L2交點的直線系A1x+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含L2）6、三點共線的判定：①，②KAB=KBC，③寫出過其中兩點的方程，再驗證第三點在直線上。二、兩直線的位置關系1、L1：y=k1x+b1L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0L2：A2X+B2Y+C2=0L1與L2組成的方程組平行K1=k2且b1≠b2無解重合K1=k2且b1=b2有無數多解相交K1≠k2有唯一解垂直K1·k2=-1A1A2+B1B2=0（說明：當直線平行于坐標軸時，要單獨考慮）2、L1

到L2的角為0，則（）3、夾角：4、點到直線距離：（已知點（p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0）①兩行平線間距離：L1=AX+BY+C1=0L2：AX+BY+C2=0②與AX+BY+C=0平行且距離為d的直線方程為Ax+By+C±③與AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距離相等的直線方程是5、對稱：（1）點關于點對稱：p(x1,y1)關于M（x0,y0）的對稱（2）點關于線的對稱：設p(a、b)對稱軸對稱點對稱軸對稱點X軸Y=-xY軸X=m(m≠0)y=xy=n(n≠0)一般方法：如圖：(思路1)設P點關于L的對稱點為P0(x0,y0)則Kpp0﹡KL=－1P,P0中點滿足L方程解出P0(x0,y0)（思路2）寫出過P⊥L的垂線方程，先求垂足，然后用中點坐標公式求出P0(x0,y0)的坐標。 P y L P0 x（3）直線關于點對稱L：AX+BY+C=0關于點P（X0、Y0）的對稱直線：A（2X0-X）+B（2Y0-Y）+C=0（4）直線關于直線對稱①幾種特殊位置的對稱：已知曲線f(x、y)=0關于x軸對稱曲線是f(x、-y)=0關于y=x對稱曲線是f(y、x)=0關于y軸對稱曲線是f(-x、y)=0關于y=-x對稱曲線是f(-y、-x)=0關于原點對稱曲線是f(-x、-y)=0關于x=a對稱曲線是f(2a-x、y)=0關于y=b對稱曲線是f(x、2b-y)=0一般位置的對稱、結合平幾知識找出相關特征，逐步求解。三、簡單的線性規劃LY不等式表示的區域OXAX+BY+C=0約束條件、線性約束條件、目標函數、線性目標函數、線性規劃，可行解，最優解。要點：①作圖必須準確（建議稍畫大一點）。②線性約束條件必須考慮完整。③先找可行域再找最優解。四、圓的方程1、圓的方程：①標準方程，c（a、b）為圓心，r為半徑。②一般方程：，，當時，表示一個點。當時，不表示任何圖形。③參數方程：為參數以A（X1，Y1），B（X2，Y2）為直徑的兩端點的圓的方程是（X-X1）（X-X2）+（Y-Y1）（Y-Y2）=02、點與圓的位置關系：考察點到圓心距離d，然后與r比較大小。3、直線和圓的位置關系：相交、相切、相離判定：①聯立方程組，消去一個未知量，得到一個一元二次方程：△＞0相交、△＝0相切、△＜0相離②利用圓心c(a、b)到直線AX+BY+C=0的距離d來確定：d＜r相交、d＝r相切d＞r相離（直線與圓相交，注意半徑、弦心距、半弦長所組成的kt△）4、圓的切線：（1）過圓上一點的切線方程與圓相切于點（x1、y1）的切線方程是與圓相切于點（x1、y1）的切成方程為：與圓相切于點（x1、y1）的切線是（2）過圓外一點切線方程的求法：已知：p0(x0，y0)是圓外一點①設切點是p1(x1、y1)解方程組先求出p1的坐標，再寫切線的方程②設切線是即再由，求出k，再寫出方程。（當k值唯一時，應結合圖形、考察是否有垂直于x軸的切線）③已知斜率的切線方程：設（b待定），利用圓心到L距離為r，確定b。5、圓與圓的位置關系由圓心距進行判斷、相交、相離（外離、內含）、相切（外切、內切）6、圓系①同心圓系：，（a、b為常數，r為參數）或：（D、E為常數，F為參數）②圓心在x軸：③圓心在y軸：④過原點的圓系方程⑤過兩圓和的交點的圓系方程為（不含C2），其中入為參數若C1與C2相交，則兩方程相減所得一次方程就是公共弦所在直線方程。類型一：圓的方程例1求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程并判斷點與圓的關系．分析：欲求圓的標準方程，需求出圓心坐標的圓的半徑的大小，而要判斷點與圓的位置關系，只須看點與圓心的距離和圓的半徑的大小關系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內．解法一：（待定系數法）設圓的標準方程為．∵圓心在上，故．∴圓的方程為．又∵該圓過、兩點．∴解之得：，．所以所求圓的方程為．解法二：（直接求出圓心坐標和半徑）因為圓過、兩點，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因為，故的斜率為1，又的中點為，故的垂直平分線的方程為：即．又知圓心在直線上，故圓心坐標為∴半徑．故所求圓的方程為．又點到圓心的距離為．∴點在圓外．說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關鍵的量，然后根據圓心與定點之間的距離和半徑的大小關系來判定點與圓的位置關系，若將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關系呢？例2求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程．分析：根據問題的特征，宜用圓的標準方程求解．解：則題意，設所求圓的方程為圓．圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標為或．又已知圓的圓心的坐標為，半徑為3．若兩圓相切，則或．(1)當時，，或(無解)，故可得．∴所求圓方程為，或．(2)當時，，或(無解)，故．∴所求圓的方程為，或．說明：對本題，易發生以下誤解：由題意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心坐標為，且方程形如．又圓，即，其圓心為，半徑為3．若兩圓相切，則．故，解之得．所以欲求圓的方程為，或．上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線下方的情形．另外，誤解中沒有考慮兩圓內切的情況．也是不全面的．例3求經過點，且與直線和都相切的圓的方程．分析：欲確定圓的方程．需確定圓心坐標與半徑，由于所求圓過定點，故只需確定圓心坐標．又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上．解：∵圓和直線與相切，∴圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等．∴．∴兩直線交角的平分線方程是或．又∵圓過點，∴圓心只能在直線上．設圓心∵到直線的距離等于，∴．化簡整理得．解得：或∴圓心是，半徑為或圓心是，半徑為．∴所求圓的方程為或．說明：本題解決的關鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規求法．例4、設圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程．分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標和半徑，便可求得圓的標準方程．滿足兩個條件的圓有無數個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標，進而確定圓的半徑，求出圓的方程．解法一：設圓心為，半徑為．則到軸、軸的距離分別為和．由題設知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為，故圓截軸所得弦長為．∴又圓截軸所得弦長為2．∴．又∵到直線的距離為∴當且僅當時取“=”號，此時．這時有∴或又故所求圓的方程為或解法二：同解法一，得．∴．∴．將代入上式得：．上述方程有實根，故，∴．將代入方程得．又∴．由知、同號．故所求圓的方程為或．說明：本題是求點到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最小呢？類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程例5已知圓，求過點與圓相切的切線．解：∵點不在圓上，∴切線的直線方程可設為根據∴解得所以即因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在．易求另一條切線為．說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注意補回漏掉的解．本題還有其他解法，例如把所設的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）．還可以運用，求出切點坐標、的值來解決，此時沒有漏解．例6兩圓與相交于、兩點，求它們的公共弦所在直線的方程．分析：首先求、兩點的坐標，再用兩點式求直線的方程，但是求兩圓交點坐標的過程太繁．為了避免求交點，可以采用“設而不求”的技巧．解：設兩圓、的任一交點坐標為，則有：①②①－②得：．∵、的坐標滿足方程．∴方程是過、兩點的直線方程．又過、兩點的直線是唯一的．∴兩圓、的公共弦所在直線的方程為．說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點的坐標，雖然設出了它們的坐標，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達到了目標．從解題的角度上說，這是一種“設而不求”的技巧，從知識內容的角度上說，還體現了對曲線與方程的關系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質認識．它的應用很廣泛．例7、過圓外一點，作這個圓的兩條切線、，切點分別是、，求直線的方程。練習：1．求過點，且與圓相切的直線的方程．解：設切線方程為，即，∵圓心到切線的距離等于半徑，∴，解得， ∴切線方程為，即，當過點的直線的斜率不存在時，其方程為，圓心到此直線的距離等于半徑，故直線也適合題意。所以，所求的直線的方程是或．2、過坐標原點且與圓相切的直線的方程為解：設直線方程為，即.∵圓方程可化為，∴圓心為（2，-1），半徑為.依題意有，解得或，∴直線方程為或.3、已知直線與圓相切，則的值為.解：∵圓的圓心為（1，0），半徑為1，∴，解得或.類型三：弦長、弧問題例8、求直線被圓截得的弦的長.例9、直線截圓得的劣弧所對的圓心角為解：依題意得，弦心距，故弦長，從而△OAB是等邊三角形，故截得的劣弧所對的圓心角為.例10、求兩圓和的公共弦長類型四：直線與圓的位置關系例11、已知直線和圓，判斷此直線與已知圓的位置關系.例12、若直線與曲線有且只有一個公共點，求實數的取值范圍.解：∵曲線表示半圓，∴利用數形結合法，可得實數的取值范圍是或.例13圓上到直線的距離為1的點有幾個？分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數計算中尋找解答．解法一：圓的圓心為，半徑．設圓心到直線的距離為，則．如圖，在圓心同側，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點，這兩個交點符合題意．又．∴與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意．∴符合題意的點共有3個．解法二：符合題意的點是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點．設所求直線為，則，∴，即，或，也即，或．設圓的圓心到直線、的距離為、，則，．∴與相切，與圓有一個公共點；與圓相交，與圓有兩個公共點．即符合題意的點共3個．說明：對于本題，若不留心，則易發生以下誤解：設圓心到直線的距離為，則．∴圓到距離為1的點有兩個．顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1．到一條直線的距離等于定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點．求直線與圓的公共點個數，一般根據圓與直線的位置關系來判斷，即根據圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷．練習1：直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是解：依題意有，解得.∵，∴.練習2：若直線與圓有兩個不同的交點，則的取值范圍是.解：依題意有，解得，∴的取值范圍是.練習3、圓上到直線的距離為的點共有（）．（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個點到直線的距離等于，所以選C．練習4、過點作直線，當斜率為何值時，直線與圓有公共點，如圖所示．分析：觀察動畫演示，分析思路．PEOyxPEOyx即根據有整理得解得．類型五：圓與圓的位置關系問題導學四：圓與圓位置關系如何確定？例14、判斷圓與圓的位置關系，例15：圓和圓的公切線共有條。解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，∴.∵，∴兩圓相交.共有2條公切線。練習1：若圓與圓相切，則實數的取值集合是.解：∵圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，且兩圓相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴實數的取值集合是.2：求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程.解：設所求圓的圓心為，則所求圓的方程為.∵兩圓外切于點，∴，∴，∴，∴所求圓的方程為.類型六：圓中的對稱問題例16、圓關于直線對稱的圓的方程是GOBNMyAx圖3CA’例17GOBNMyAx圖3CA’（1）求光線和反射光線所在的直線方程．（2）光線自到切點所經過的路程．分析、略解：觀察動畫演示，分析思路．根據對稱關系，首先求出點的對稱點的坐標為，其次設過的圓的切線方程為根據，即求出圓的切線的斜率為或進一步求出反射光線所在的直線的方程為或最后根據入射光與反射光關于軸對稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得．說明：本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解．類型七：圓中的最值問題例18：圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是.例19(1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值．(2)已知圓，為圓上任一點．求的最大、最小值，求的最大、最小值．分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數方程或數形結合解決．解：(1)(法1)由圓的標準方程．可設圓的參數方程為（是參數）．則（其中）．所以，．(法2)圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1，圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1．所以．．所以．．(2)(法1)由得圓的參數方程：是參數．則．令，得，．所以，．即的最大值為，最小值為．此時．所以的最大值為，最小值為．(法2)設，則．由于是圓上點，當直線與圓有交點時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值．由，得．所以的最大值為，最小值為．令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值．由，得．所以的最大值為，最小值為．例20：已知，，點在圓上運動，則的最小值是.解：設，則.設圓心為，則，∴的最小值為.練習：1：已知點在圓上運動.（1）求的最大值與最小值；（2）求的最大值與最小值.解：（1）設，則表示點與點（2，1）連線的斜率.當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.（2）設，則表示直線在軸上的截距.當該直線與圓相切時，取得最大值與最小值.由，解得，∴的最大值為，最小值為.2設點是圓是任一點，求的取值范圍．分析一：利用圓上任一點的參數坐標代替、，轉化為三角問題來解決．解法一：設圓上任一點則有，∴，∴∴．即（）∴．又∵∴解之得：．分析二：的幾何意義是過圓上一動點和定點的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點，可確定出的取值范圍．解法二：由得：，此直線與圓有公共點，故點到直線的距離．∴解得：．另外，直線與圓的公共點還可以這樣來處理：由消去后得：，此方程有實根，故，解之得：．說明：這里將圓上的點用它的參數式表示出來，從而將求變量的范圍問題轉化成三角函數的有關知識來求解．或者是利用其幾何意義轉化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便．3、已知點，點在圓上運動，求的最大值和最小值.類型八：軌跡問題例21、基礎訓練：已知點與兩個定點，的距離的比為，求點的軌跡方程.例22、已知線段的端點的坐標是（4，3），端點在圓上運動，求線段的中點的軌跡方程.例23如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點，點在直線上運動，過做圓的切線，切點為，求垂心的軌跡．分析：按常規求軌跡的方法，設，找的關系非常難．由于點隨，點運動而運動，可考慮，，三點坐標之間的關系．解：設，，連結，，則，，是切線，所以，，，所以四邊形是菱形．所以，得又滿足，所以即是所求軌跡方程．說明：題目巧妙運用了三角形垂心的性質及菱形的相關知識．采取代入法求軌跡方程．做題時應注意分析圖形的幾何性質，求軌跡時應注意分析與動點相關聯的點，如相關聯點軌跡方程已知，可考慮代入法．類型九：圓的綜合應用例24、已知圓與直線相交于、兩點，為原點，且，求實數的值．分析：利用幾何法求解，或利用轉移法求解，或利用參數法求解．解法一：如圖，在矩形中，連結，交于，顯然，，在直角三角形中，若設，則．由，即，也即，這便是的軌跡方程．解法二：設、、，則，．又，即．①又與的中點重合，故，，即②①＋②，有．這就是所求的軌跡方程．解法三：設、、，由于為矩形，故與的中點重合，即有，①，②又由有③聯立①、②、③消去、，即可得點的軌跡方程為．說明：本題的條件較多且較隱含，解題時，思路應清晰，且應充分利用圖形的幾何性質，否則，將使解題陷入困境之中．本題給出三種解法．其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數量關系．而解法二與解法三，從本質上是一樣的，都可以稱為參數方法．解法二涉及到了、、、四個參數，故需列出五個方程；而解法三中，由于借助了圓的參數方程，只涉及到兩個參數、，故只需列出三個方程便可．上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數形結合的思想方法求解．練習：1、由動點向圓引兩條切線、，切點分別為、，=600，則動點的軌跡方程是.解：設.∵=600，∴=300.∵，∴，∴，化簡得，∴動點的軌跡方程是.練習鞏固：設為兩定點，動點到點的距離與到點的距離的比為定值，求點的軌跡.解：設動點的坐標為.由，得，化簡得.當時，化簡得，整理得；當時，化簡得.所以當時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓；當時，點的軌跡是軸.2、已知兩定點，，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的面積等于解：設點的坐標是.由，得，化簡得，∴點的軌跡是以（2，0）為圓心，2為半徑的圓，∴所求面積為.4、已知定點，點在圓上運動，是線段上的一點，且，問點的軌跡是什么？解：設.∵，∴，∴，∴.∵點在圓上運動，∴，∴，即，∴點的軌跡方程是.例5、已知定點，點在圓上運動，的平分線交于點，則點的軌跡方程是.解：設.∵是的平分線，∴，∴.由變式1可得點的軌跡方程是.練習鞏固：已知直線與圓相交于、兩點，以、為鄰邊作平行四邊形，求點的軌跡方程.解：設，的中點為.∵是平行四邊形，∴是的中點，∴點的坐標為，且.∵直線經過定點，∴，∴，化簡得.∴點的軌跡方程是.類型九：圓的綜合應用例25、已知圓與直線相交于、兩點，為原點，且，求實數的值．分析：設、兩點的坐標為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與系數的關系求解．或因為通過原點的直線的斜率為，由直線與圓的方程構造以為未知數的一元二次方程，由根與系數關系得出的值，從而使問題得以解決．解法一：設點、的坐標為、．一方面，由，得，即，也即：．①另一方面，、是方程組的實數解，即、是方程②的兩個根．∴，．③又、在直線上，∴．將③代入，得．④將