2024屆福建省建甌市芝華中學九年級數學第一學期期末達標測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，的直徑，弦于．若，則的長是()A． B． C． D．2．如圖，現有兩個相同的轉盤，其中一個分為紅、黃兩個相等的區域，另一個分為紅、黃、藍三個相等的區域，隨即轉動兩個轉盤，轉盤停止后指針指向相同顏色的概率為()A． B． C． D．3．某水庫大壩高米，背水壩的坡度為，則背水面的坡長為（）A．40米 B．60米 C．米 D．米4．已知函數y=ax2-2ax-1（a是常數且a≠0），下列結論正確的是（）A．當a=1時，函數圖像過點(-1，1)B．當a=-2時，函數圖像與x軸沒有交點C．當a，則當x1時，y隨x的增大而減小D．當a，則當x1時，y隨x的增大而增大5．己知正六邊形的邊長為2，則它的內切圓的半徑為（

）A．1 B． C．2 D．26．若反比例函數y=的圖象經過點（2，﹣6），則k的值為（）A．﹣12 B．12 C．﹣3 D．37．如圖，是的直徑，弦于點，如果，，那么線段的長為（）A．6 B．8 C．10 D．128．若二次函數的圖象經過點P

(-1，2)，則該圖象必經過點()A．(1，2) B．(-1，-2) C．(-2，1) D．(2，-1)9．已知關于x的方程x2+ax﹣6＝0的一個根是2，則a的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．210．等腰三角形底邊長為10，周長為36，則底角的余弦值等于（）A． B． C． D．11．將拋物線向上平移兩個單位長度，再向右平移一個單位長度后，得到的拋物線解析式是（）A． B． C． D．12．如圖，在圓O中，弦AB=4，點C在AB上移動，連接OC，過點C作CD⊥OC交圓O于點D，則CD的最大值為（）A． B．2 C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．已知：如圖，在平面上將繞點旋轉到的位置時，，則為__________度．14．飛機著陸后滑行的距離y（m）與滑行時間x（s）的函數關系式為y=﹣x2+60x，則飛機著陸后滑行_____m才停下來．15．拋物線y=x2–6x+5的頂點坐標為__________．16．大潤發超市對去年全年每月銷售總量進行統計，為了更清楚地看出銷售總量的變化趨勢，應選用________統計圖來描述數據.17．已知銳角α，滿足tanα=2，則sinα=_____．18．如圖，直線y＝kx與雙曲線y＝(x＞0)交于點A(1，a)，則k＝_____．三、解答題（共78分）19．（8分）綜合與實踐問題情境數學課上，李老師提出了這樣一個問題：如圖1，點是正方形內一點，，，.你能求出的度數嗎？(1)小敏與同桌小聰通過觀察、思考、討論后，得出了如下思路：思路一：將繞點逆時針旋轉，得到，連接，求出的度數.思路二：將繞點順時針旋轉，得到，連接，求出的度數.請參考以上思路，任選一種寫出完整的解答過程.類比探究(2)如圖2，若點是正方形外一點，，，，求的度數.拓展應用(3)如圖3，在邊長為的等邊三角形內有一點，，，則的面積是______.20．（8分）兩會期間，記者隨機抽取參會的部分代表，對他們某天發言的次數進行了統計，其結果如表，并繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖，請結合圖中相關數據回答下列問題：發言次數nA0≤n＜3B3≤n＜6C6≤n＜9D9≤n＜12E12≤n＜15F15≤n＜18（1）求得樣本容量為，并補全直方圖；（2）如果會議期間組織1700名代表參會，請估計在這一天里發言次數不少于12次的人數；（3）已知A組發表提議的代表中恰有1為女士，E組發表提議的代表中只有2位男士，現從A組與E組中分別抽一位代表寫報告，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求所抽的兩位代表恰好都是男士的概率．21．（8分）如圖1，已知平行四邊形，是的角平分線，交于點．（1）求證：．（2）如圖2所示，點是平行四邊形的邊所在直線上一點，若，且，，求的面積．22．（10分）有一水果店，從批發市場按4元/千克的價格購進10噸蘋果，為了保鮮放在冷藏室里，但每天仍有一些蘋果變質，平均每天有50千克變質丟棄，且每存放一天需要各種費用300元，據預測，每天每千克價格上漲0.1元．（1）設x天后每千克蘋果的價格為p元，寫出p與x的函數關系式；（2）若存放x天后將蘋果一次性售出，設銷售總金額為y元，求出y與x的函數關系式；（3）該水果店將這批水果存放多少天后一次性售出，可以獲得最大利潤，最大利潤為多少？23．（10分）“賞中華詩詞，尋文化基因，品生活之美”，某校舉辦了首屆“中國詩詞大會”，經選拔后有50名學生參加決賽，根據測試成績（成績都不低于50分）繪制出如圖所示的部分頻數分布直方圖．請根據圖中信息完成下列各題．（1）將頻數分布直方圖補充完整人數；（2）若測試成績不低于80分為優秀，則本次測試的優秀率是多少；（3）現將從包括小明和小強在內的4名成績優異的同學中隨機選取兩名參加市級比賽，求小明與小強同時被選中的概率．24．（10分）先化簡，再求值的值，其中.25．（12分）如圖所示，已知二次函數y=-x2+bx+c的圖像與x軸的交點為點A(3，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)，連接AC．（1）求這個二次函數的解析式；（2）在(1)中位于第一象限內的拋物線上是否存在點D，使得△ACD的面積最大?若存在，求出點D的坐標及△ACD面積的最大值，若不存在，請說明理由.（3）在拋物線上是否存在點E，使得△ACE是以AC為直角邊的直角三角形如果存在，請直接寫出點E的坐標即可；如果不存在，請說明理由.26．如圖1，在中，∠B=90°，，點D，E分別是邊BC，AC的中點，連接將繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角為．問題發現：當時，_____；當時，_____．拓展探究：試判斷：當時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明．問題解決：當旋轉至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】先根據線段的比例、直徑求出OC、OP的長，再利用勾股定理求出CP的長，然后根據垂徑定理即可得．【詳解】如圖，連接OC直徑在中，弦于故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、垂徑定理等知識點，屬于基礎題型，掌握垂徑定理是解題關鍵．2、A【解析】先畫樹狀圖展示所有6種等可能的結果數，找出停止后指針指向相同顏色的結果數，然后根據概率公式計算．【詳解】畫樹狀圖如下：由樹狀圖知，共有6種等可能結果，其中轉盤停止后指針指向相同顏色的有2種結果，所以轉盤停止后指針指向相同顏色的概率為＝，故選：A．【點睛】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后根據概率公式求出事件A或B的概率．3、A【解析】坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(或坡比)，我們把斜坡面與水平面的夾角叫做坡角，若用α表示，可知坡度與坡角的關系式，tanα(坡度)=垂直距離÷水平距離，根據公式可得水平距離，依據勾股定理可得問題的答案．【詳解】∵大壩高20米，背水壩的坡度為1:，

∴水平距離=20×=20米．

根據勾股定理可得背水面的坡長為40米．

故選A．【點睛】本題考查解直角三角形的應用-坡度、坡角的有關知識，熟悉且會靈活應用坡度公式是解此題的關鍵.4、D【分析】根據二次函數的圖象與性質逐項分析即可．【詳解】y=ax2-2ax-1（a是常數且a≠0）A、當a=1時，y=x2?2x?1，令x=?1，則y=2，此項錯誤；B、當a=?2時，y=2x2+4x?1，對應的二次方程的根的判別式Δ=42?4×2×(?1)=24>0，則該函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，此項錯誤；C、當a>0，y=ax2?2ax?1=a(x-1)2-a+1，則x≥1時，y隨x的增大而增大，此項錯誤；D、當a<0時，y=ax2?2ax?1=a(x-1)2-a+1，則x≤1時，y隨x的增大而增大，此項正確；故答案為：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，掌握熟記圖象特征與性質是解題關鍵.錯因分析：較難題.失分原因可能是：①不會判斷拋物線與x軸的交點情況；②不能畫出拋物線的大致圖象來判斷增減性．5、B【解析】由題意得,∠AOB==60°，∴∠AOC=30°，∴OC=2?cos30°=2×=，故選B.6、A【解析】試題分析：∵反比例函數的圖象經過點（2，﹣6），∴，解得k=﹣1．故選A．考點：反比例函數圖象上點的坐標特征．7、A【分析】連接OD，由直徑AB與弦CD垂直，根據垂徑定理得到E為CD的中點，由CD的長求出DE的長，又由直徑的長求出半徑OD的長，在直角三角形ODE中，由DE及OD的長，利用勾股定理即可求出OE的長．【詳解】解：如圖所示，連接OD．

∵弦CD⊥AB，AB為圓O的直徑，

∴E為CD的中點，

又∵CD=16，

∴CE=DE=CD=8，

又∵OD=AB=10，

∵CD⊥AB，∴∠OED=90°，

在Rt△ODE中，DE=8，OD=10，

根據勾股定理得：OE==6，

則OE的長度為6，

故選：A．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，解答此類題常常利用垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，弦心距及圓的半徑構造直角三角形，利用勾股定理是解答此題的關鍵．8、A【分析】先確定出二次函數圖象的對稱軸為y軸，再根據二次函數的對稱性解答．【詳解】解：∵二次函數y=ax2的對稱軸為y軸，

∴若圖象經過點P（-1，2），

則該圖象必經過點（1，2）．

故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數圖象的對稱性，確定出函數圖象的對稱軸為y軸是解題的關鍵．9、C【解析】一元二次方程的根就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值．利用方程解的定義將x＝2代入方程式即可求解．【詳解】解：將x＝2代入x2+ax﹣6＝2，得22+2a﹣6＝2．解得a＝2．故選C．【點睛】本題考查的是一元二次方程的根的定義，把求未知系數的問題轉化為解方程的問題．10、A【分析】由題意得出等腰三角形的腰長為13cm，作底邊上的高，根據等腰三角形的性質得出底邊一半的長度，最后由三角函數的定義即可得出答案．【詳解】解：如圖，BC=10cm，AB=AC，可得AC=（36-10）÷2=26÷2=13（cm）．又AD是底邊BC上的高，∴CD=BD=5cm，

∴cosC=，即底角的余弦值為，故選：A．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質和三角函數的定義，熟練掌握等腰三角形的“三線合一”是解題的關鍵．11、D【分析】由平移可知，拋物線的開口方向和大小不變，頂點改變，將拋物線化為頂點式，求出頂點，再由平移求出新的頂點，然后根據頂點式寫出平移后的拋物線解析式．【詳解】解：，即拋物線的頂點坐標為，把點向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度得到點的坐標為，所以平移后得到的拋物線解析式為．故選D．【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．12、B【分析】連接OD，利用勾股定理得到CD，利用垂線段最短得到當OC⊥AB時，OC最小，根據垂徑定理計算即可．【詳解】連接OD，如圖，設圓O的半徑為r，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90°，∴CD=，∴當OC的值最小時，CD的值最大，而OC⊥AB時，OC最小，此時D、B重合，則由垂徑定理可得：CD=CB=AC=AB=1，∴CD的最大值為1.故答案為：1．【點睛】本題考查垂徑定理和勾股定理，作輔助線構造直角三角形應用勾股定理，并熟記垂徑定理內容是解題的關鍵.二、填空題（每題4分，共24分）13、1【分析】結合旋轉前后的兩個圖形全等的性質以及平行線的性質，進行計算．【詳解】解：∵AA′∥BC，

∴∠A′AB=∠ABC=65°．

∵BA′=AB，

∴∠BA′A=∠BAA′=65°，

∴∠ABA′=1°，

又∵∠A′BA+∠ABC'=∠CBC'+∠ABC'，

∴∠CBC′=∠ABA′=1°．

故答案為：1．【點睛】本題考查旋轉的性質以及平行線的性質．解題時注意：對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角．14、600【分析】根據飛機從滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函數的最大值.【詳解】解：∵y=﹣x2+60x=﹣(x﹣20)2+600，∴x=20時，y取得最大值，此時y=600，即該型號飛機著陸后滑行600m才能停下來.故答案為600.【點睛】本題主要考查了二次函數的應用，運用二次函數求最值問題常用公式法或配方法得出是解題關鍵.15、（3，-4）【解析】分析：利用配方法得出二次函數頂點式形式，即可得出二次函數頂點坐標．詳解：∵y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴拋物線頂點坐標為（3，﹣4）．故答案為（3，﹣4）．點睛：此題考查了二次函數的性質，求拋物線的頂點坐標可以先配方化為頂點式，也可以利用頂點坐標公式（）來找拋物線的頂點坐標.16、折線【解析】試題解析：根據題意，得要求清楚地表示銷售總量的總趨勢是上升還是下降，結合統計圖各自的特點，應選用折線統計圖，17、【解析】分析：根據銳角三角函數的定義，可得答案．詳解：如圖，由tanα==2，得a=2b，由勾股定理，得：c==b，sinα===．故答案為．點睛：本題考查了銳角三角函數，利用銳角三角函數的定義解題的關鍵．18、1【解析】解：∵直線y=kx與雙曲線y=（x＞0）交于點A（1，a），∴a=1，k=1．故答案為1．三、解答題（共78分）19、(1)∠APB=135°，(2)∠APB=45°；(3).【分析】（1）思路一、先利用旋轉求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，進而判斷出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出結論；

思路二、同思路一的方法即可得出結論；（2）將繞點逆時針旋轉，得到，連接，然后同（1）的思路一的方法即可得出結論；（3）可先將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP'C，根據旋轉性質，角的計算可得到△APP'是等邊三角形，再根據勾股定理，得到AP的長，最后根據三角形面積得到所求．【詳解】解：(1)思路一，如圖1，將繞點逆時針旋轉，得到，連接，則≌，，，，∴，根據勾股定理得，，∵，∴.又∵，∴，∴是直角三角形，且，∴；思路二、同思路一的方法.(2)如圖2，將繞點逆時針旋轉，得到，連接，則≌，，，，∴，根據勾股定理得，.∵，∴.又∵，∴，∴是直角三角形，且，∴；（3）如圖3，將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP'C，

∴∠AP'C＝∠APB＝360°-90°-120°＝150°．∵AP＝AP'，∴△APP'是等邊三角形，∴PP'＝AP，∠AP'P＝∠APP'＝60°，∴∠PP'C＝90°，∠P'PC＝30°，∴，即．∵APC＝90°，∴AP2＋PC2＝AC2，且，∴PC＝2，∴，∴．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質，勾股定理及其逆定理，正確作出輔助線是解本題的關鍵．20、（1）50，補圖見解析；（2）306人；（3）．【分析】（1）根據統計圖可以求得本次調查的人數以及發言為和的人數，從而可以將直方圖補充完整；（2）根據統計圖中的數據可以估計在這一天里發言次數不少于12次的人數；（3）根據題意可以求得發言次數為和的人數，從而可以畫出樹狀圖，得到所抽的兩位代表恰好都是男士的概率．【詳解】解：（1）由統計圖可得，本次調查的人數為：10÷20%＝50，發言次數為C的人數為：50×30%＝15，發言次數為F的人數為：50×（1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%）＝50×10%＝5，故答案為：50，補全的直方圖如圖所示，（2）1700×（8%+10%）＝306，即會議期間組織1700名代表參會，在這一天里發言次數不少于12次的人數是306；（3）由統計圖可知，發言次數為A的人數有：50×6%＝3，發言次數為E的人數有：50×8%＝4，由題意可得，故所抽的兩位代表恰好都是男士的概率是，即所抽的兩位代表恰好都是男士的概率是．【點睛】本題考查列表法與樹狀圖法、總體、個體、樣本、樣本容量、頻數分布直方圖、扇形統計圖、用樣本估計總體，解題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答問題．21、（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據角平分線的定義結合兩直線平行，內錯角相等可得，然后利用等角對等邊證明即可；（2）先證得為等腰三角形，設，，利用三角形內角和定理以及平行線性質定理證得，再利用同底等高的兩個三角形面積相等即可求得答案．【詳解】（1）平分，，又四邊形是平行四邊形，，，，；（2），，，為等腰三角形，設，，，，又，，，，即為直角三角形，四邊形是平行四邊形，，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理，等角對等邊的性質，同底等高的兩個三角形面積相等，證得為直角三角形是正確解答(2)的關鍵．22、；(3)該水果店將這批水果存放50天后一次性售出，可以獲得最大利潤，最大利潤為12500元．【分析】（1）根據按每千克元的市場價收購了這種蘋果千克，此后每天每千克蘋果價格會上漲元，進而得出天后每千克蘋果的價格為元與的函數關系；（2）根據每千克售價乘以銷量等于銷售總金額，求出即可；（3）利用總售價-成本-費用=利潤，進而求出即可.【詳解】根據題意知，；．當時，最大利潤12500元，答：該水果店將這批水果存放50天后一次性售出，可以獲得最大利潤，最大利潤為12500元．【點睛】此題主要考查了二次函數的應用以及二次函數最值求法，得出與的函數關系是解題關鍵.23、（1）答案見解析（2）54%（3）【解析】（1）根據各組頻數之和等于總數可得分的人數，據此即可補全直方圖；（2）用成績大于或等于80分的人數除以總人數可得；（3）列出所有等可能結果，再根據概率公式求解可得．【詳解】（1）70到80分的人數為人，補全頻數分布直方圖如下：（2）本次測試的優秀率是；（3）設小明和小強分別為、，另外兩名學生為：、，則所有的可能性為：、、、、、，所以小明與小強同時被選中的概率為．【點睛】本題考查了頻數分布表、頻數分布直方圖，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題，也考查了列表法和畫樹狀圖求概率．24、;【分析】先算括號里面的，再算除法，根據特殊角的三角函數值先得出x，再代入即可．【詳解】原式．當時，原式．【點睛】本題考查了分式的化簡求值以及特殊角的三角函數值，是基礎知識要熟練掌握．25、（1）y=-x2+2x+1；（2）拋物線上存在點D，使得△ACD的面積最大，此時點D的坐標為(，)且△ACD面積的最大值；（1）在拋物線上存在點E，使得△ACE是以AC為直角邊的直角三角形點E的坐標是(1，4)或(-2，-5).【分析】(1)因為點A(1，0)，點C(0,1)在拋物線y=?x2+bx+c上，可代入確定b、c的值；(2)過點D作DH⊥x軸，設D(t，-t2+2t+1)，先利用圖象上點的特征表示出S△ACD=S梯形OCDH+S△AHD-S△AOC=，再利用頂點坐標求最值即可；(1)分兩種情況討論：①過點A作AE1⊥AC，交拋物線于點E1，交y軸于點F，連接E1C，求出點F的坐標，再求直線AE的解析式為y＝x?1，再與二次函數的解析式聯立方程組求解即可；②過點C作CE⊥CA，交拋物線于點E2、交x軸于點M，連接AE2，求出直線CM的解析式為y＝x＋1，再與二次函數的解析式聯立方程組求解即可.【詳解】（1）解：∵二次函數y=-x2+bx+c與x軸的交點為點A(1，0)與y軸交于點C(0，1)∴解之得∴這個二次函數的解析式為y=-x2+2x+1（2）解：如圖，設D(t，-t2+2t+1)，過點D作DH⊥x軸，垂足為H，則S△ACD=S梯形OCDH+S△AHD-S△AOC=(-t2+2t+1+1)+(1-t)(-t2+2t+1)-×1×1==∵<0∴當t=時，△ACD的面積有最大值此時-t2+2t+1=∴拋物線上存在點D，使得△ACD的面積最大，此時點D的坐標為(，)且△ACD面積的最大值（1）在拋物線上存在點E，使得△ACE是以AC為直角邊的直角三角形點E的坐標是(1，4)或(-2，-5).理由如下：有兩種情況：①如圖，過點A作AE1⊥AC，交拋物線于點E1、交y軸于點F，連接E1C．∵CO＝AO＝1，∴∠CAO＝45°，∴∠FAO＝45°，AO＝OF＝1．∴點F的坐標為（0，?1）．設直線AE的解析式為y＝kx＋b，將（0，?1），（1，0）代入y＝kx＋b得：解得∴直線AE的解析式為y＝x?1，由解得或∴點E1的坐