6-2 一階微分方程_第1頁
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文檔簡介

§6.2

一階微分方程一、可別離變量的微分方程。二、一階線性微分方程。一般形式F(x,y,y')=0精選課件一、可別離變量的微分方程那么稱此方程為可別離變量的微分方程。2.可別離變量的微分方程求解步驟：(3)求通解G(y)=F(x)+C(1)分離變量(2)兩邊積分1.定義如一階微分方程可寫成精選課件例1求微分方程xdx+ydy=0的通解。

解：別離變量得ydy=-xdx兩邊積分

求通解

故所求通解為即精選課件例2解精選課件

例3求方程

滿足初始條件的特解

解原方程可改寫為別離變量，得兩邊積分，得化簡，得令于是這就是所求的微分方程的通解。把初始條件代入上式，求得C=11，于是所求微分方程的特解為。精選課件6-2微分方程應(yīng)用〔1〕增長與衰減用別離變量法解實際中經(jīng)常出現(xiàn)的方程別離變量，得兩邊積分，得即其中，于是系數(shù)A為正值，所以

所以，微分方程總是聯(lián)系于指數(shù)增長或指數(shù)衰減。精選課件6-2微分方程應(yīng)用〔1〕例6當一次謀殺發(fā)生后，尸體溫度從原來的370C，按照牛頓冷卻定律〔一塊熱的物體其溫度下降的速度是與其自身溫度同外界溫度的差值成正比的關(guān)系〕，開始變涼，假設(shè)兩小時后尸體溫度變?yōu)?50C，并且假定周圍空氣的溫度保持200C不變〔1〕求出自打謀殺發(fā)生后尸體溫度是如何作為時間的函數(shù)而變化的；〔2〕畫出溫度—時間曲線；〔3〕最終尸體的溫度將如何？用圖像和代數(shù)兩種方式表示出最終結(jié)果；〔4〕如果尸體被發(fā)現(xiàn)時的溫度為300C，時間為下午4點整，那么謀殺時何時發(fā)生的？精選課件解〔1〕按冷卻定律建立方程溫度變化率=a×溫度差=a(H-20),其中a為比例常數(shù)，H為尸體溫度于是考慮a的正負號，如果溫度差是正的〔即H>20〕、那么是H下降的，所以溫度的變化率就應(yīng)是負的，因此a應(yīng)為負的，于是別離變量求解，得代入初始值〔t=0時，H=37〕求B，于是為了求K的值，我們根據(jù)兩小時后尸體溫度為350C這一事實，有化簡，取對數(shù)得，

于是溫度函數(shù)為精選課件

〔2〕作草圖如下：〔3〕“最終趨勢〞指,取極限〔4〕求多長時間尸體溫度到達300C，即

令H=30，代入得，

兩邊取自然對數(shù)得即t≈8.4〔小時〕于是，謀殺一定發(fā)生在下午4點這一尸體被

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