專題1.1菱形的性質與判定（第2課時）北師大版九年級上冊導入新課講授新課當堂練習課堂小結1.理解并掌握菱形的兩個判定方法.（重點）2.會用這些菱形的判定方法進行有關的證明和計算.（難點）學習目標問題：什么是菱形？菱形有哪些性質？菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形.菱形的性質：1.軸對稱圖形. 2.四邊相等. 3.對角線互相垂直平分.ABCD導入新課思考與動手:1.在一張紙上用尺規作圖作出邊長為10cm的菱形;2.想辦法用一張長方形紙剪出一個菱形;3.利用長方形紙你還能想到哪些制作菱形的方法？請向同學們展示你的作品,全班交流.做一做：先將一張長方形的紙對折,再對折,然后沿圖中的虛線剪下,將紙展開,就得到了一個菱形.(1)(2)(3)(4)你能說說這樣做的道理嗎?菱形判定定理一

問題：根據菱形的定義,鄰邊相等的平行四邊形是菱形.除此之外,你認為還有什么條件可以判斷一個平行四邊形是菱形?1.小明的想法

平行四邊形的不少性質定理與判定定理都是互逆命題.受此啟發,我猜想:四邊相等的四邊形是菱形,對角線垂直的平行四邊形是菱形.講授新課2.小穎的想法我覺得,對角線互相垂直的平行四邊形有可能是菱形.但“四邊相等的平行四邊形是菱形”實際上與“鄰邊相等的平行四邊形是菱形”一樣.你是怎么想的?你認為小明的想法如何?ABCOD已知：右圖中四邊形ABCD是平行四邊形,對角線AC與BD相交 于點O

,AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形. ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD,

∴BD是線段AC的垂直平分線.

∴BA=BC.

∴四邊形ABCD是菱形（菱形的定義）.

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.定理試一試:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎?定理運用格式：∵四邊形ABCD是平行四邊形,又∵AC⊥BD,∴四邊形ABCD是菱形.(對角線互相垂直的平行四邊形為菱形)ABCOD小剛：分別以A、C為圓心,以大于

AC的長為半徑作弧,兩條 弧分別相較于點B

,

D,依次連接A、B、C、D四點.議一議：已知線段AC,你能用尺規作圖的方法作一個菱形ABCD,使AB為菱形的一條對角線？CABD想一想：1.你是怎么做的,你認為小剛的作法對嗎？2.怎么驗證四邊形ABCD是菱形？提示：AB=BC=CD=AD證明：∵AB=BC=CD=AD;∴AB=CD,

BC=AD.

∴四邊形ABCD是平行四邊形（平行四邊形的判定）. 又∵AB=BC, ∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義).ABCD已知：右圖中四邊形ABCD,AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.

四邊相等的四邊形是菱形.定理定理的運用格式∵AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形(四邊相等的四邊形為菱形).ABCD證明：在△AOB中. ∵AB=,

OA=2,OB=1.∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角.

∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形(對角線垂直的平行四邊形是菱形).例1：已知：如右圖,在□ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,AB=,OA=2,OB=1.求證：□ABCD是菱形.ABCOD典例精析利用菱形判定定理進行證明二2例2：已知：如圖,在△ABC,

AD是角平分線,點E、F分別在AB、

AD上,且AE=AC,EF

=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.ACBEDF證明：∵∠1=∠2,

又∵AE=AC,

∴△ACD≌

△AED(SAS).

同理△ACF≌△AEF(SAS). ∴CD=ED,CF=EF.

又∵EF=ED, ∴四邊形ABCD是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）.11.下列條件中,不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）．

A.AC⊥BD,AC與BD互相平分

B.AB=BC=CD=DA

C.

AB=BC,AD=CD,AC

⊥BD

D.

AB=CD,AD=BC,AC

⊥BDABCODC當堂練習2.如下圖,已知平行四邊形ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點E、F,求證：四邊形AFCE是菱形．ABCDEFO12證明:

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AE∥FC.∴∠1=∠2.∵EF垂直平分AC,∴AO=OC.

∴EO=FO.∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC ∴四邊形AFCE是菱形.3、如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面積．【解答】（1）證明：∵E是AD的中點，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，∴AD＝CD＝BC，∴四邊形ADCF是菱形；（2）解：設AF到CD的距離為h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD?h＝BC?h＝S△ABC＝AB?AC＝×12×16＝96．4、已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC為對角線，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，過點A作AE∥DC交BC于點E．（1）求證：四邊形AECD為菱形；（2）若AB＝AE＝2，求四邊形AECD的面積．【解答】解：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四邊形AECD為平行四邊形，∴AD＝EC，∵BC＝2AD，∴BC＝2EC．∴E為BC的中點∵∠BAC＝90°，∴BC＝2AE∴AE＝EC，∵四邊形AECD為平行四邊形，∴四邊形AECD為菱形；（2）解：連接DE，∵AB＝AE＝2，AE＝BE，∴AB＝AE＝BE＝2，∴△ABE是等邊三角形．∴∠B＝60°．∵AD＝BE，AD∥BC，∴四邊形ABED為平行四邊形．∴DE＝AB＝2，∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，AB＝2，∴BC＝4．∴．∴SAECD＝＝2．課后作業1、如圖平行四邊形ABCD中，∠A＝110°，AD＝DC．E，F分別是邊AB和BC的中點，EP⊥CD于點P，則∠PEF＝（）A．35° B．45° C．50° D．55°【答案】A【解答】解：∵平行四邊形ABCD中，AD＝DC，∴四邊形ABCD為菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分別為AB，BC的中點，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝55°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°∴∠PEF＝90°﹣55°＝35°，故選：A．2、如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于點E，DF∥AB交AC于點F，若AF＝8，則四邊形AEDF的周長是（）A．24 B．28 C．32 D．36【答案】C【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∠EAD＝∠FDA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴平行四邊形AEDF為菱形．∵AF＝8，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×8＝32．故選：C．3、如圖，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．且AD交EF于O，則∠AOF＝

度．【答案】90【解答】證明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，∵AD是△ABC的角平分線，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE．∴?AEDF為菱形．∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．故答案為：90．4、如圖，在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是BC，AC，AD，BD的中點，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD的邊AB、CD應滿足的條件是

．【答案】AB=CD【解答】解：要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD的邊AB、CD應滿足的條件是：AB＝CD，理由：∵在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是BC，AC，AD，BD的中點，∴EF∥AB，HG∥AB，∴EF∥HG；同理，HE∥GF，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AB＝CD，∴GH＝GF，所以平行四邊形EFGH是菱形．故答案為：AB＝CD．5、如圖，過?ABCD對角線AC與BD的交點E作兩條互相垂直的直線，分別交邊AB、BC、CD、DA于點P、M、Q、N．（1）求證：△PBE≌△QDE；（2）順次連接點P、M、Q、N，求證：四邊形PMQN是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴EB＝ED，AB∥CD，∴∠EBP＝∠EDQ，在△PBE和△QDE中，，∴△PBE≌△QDE（ASA）；（2）證明：如圖所示：∵△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ，同理：△BME≌△DNE（ASA），∴EM＝EN，∴四邊形PMQN是平行四邊形，∵PQ⊥MN，∴四邊形PMQN是菱形．6.如圖，將矩形紙片ABCD沿AC翻折，點B落在點E處，連接BD，BE、EN，若AE∥BD，（1）求證：△BEC是等邊三角形；（2）求證：四邊形ABNE是菱形．【解答】（1）證明：如圖所示：∵將矩形紙片ABCD沿AC翻折，點B落在點E處，∴∠2＝∠3，∠ABC＝∠E＝90°，AC垂直平分BE，∵四邊形ABCD是矩形，BC＝EC，∴AD∥BC，AC＝BD，AN＝AC，BN＝BD，∴∠1＝∠CBN，AN＝BN，∵∠1＝∠3，∵AE∥BD，∴∠BOC＝∠E＝90°，∴∠CBN+∠2+∠3＝90°，∴∠CBN＝∠2＝∠3＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等邊三角形；