函數的稀疏表達及其在信號處理中的應用梅樹立2024/1/41概述

Introduction函數的基函數表達Representationwithbasisfunction函數的多尺度表達Multi-scalerepresentation自適應壓縮算法CompressedAlgorithm應用Application主要內容OUTLINE2024/1/42特殊信號可以用直角坐標系表達，如圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線），相貫線等—空間曲線及其方程概述兩個圓柱在兩個與其底面平行的投影面內的投影分別是兩個圓，其方程可表示為：2024/1/43概述-從空間解析幾何談起截斷面2024/1/44概述-從空間解析幾何談起特點：利用空間曲線在投影面上的投影曲線方程，聯立組合得到三維空間曲線。2024/1/452024/1/46三維空間屬于線性空間大多數的信號如圖像等，無法在線性空間描述線性向量空間和泛函空間典型的泛函空間：距離空間，Banah空間，內積空間，Hilbert空間。構成線性空間的元素是向量（N維），構成泛函空間的基本元素是函數（基函數）。因此，泛函簡稱為“函數的函數”概述-從空間解析幾何談起2024/1/47基函數如何用數學公式表達這種基函數逼近？2024/1/48基函數如何用數學公式表達這種基函數逼近？如何提高逼近精度？2024/1/49基函數2024/1/410V0:在整數區間內為常數的所有平方可積函數構成的空間，可表示為以下形式：基函數空間2024/1/411基函數空間V1:在半整數區間內為常數的所有平方可積函數構成的空間，可表示為以下形式：2024/1/412基函數空間V2:在1/4整數區間內為常數的所有平方可積函數構成的空間，可表示為以下形式：2024/1/413V0V2V12024/1/414基函數空間Vj:在1/2j整數區間內為常數的所有平方可積函數構成的空間，可表示為以下形式：思考：將一個函數分別表達在V0空間和V1空間，這兩種逼近表達之間的誤差是多少？換句話說，我們能否找到誤差補空間W0，滿足:2024/1/4152024/1/416RECALL2024/1/417函數f(x)=a-(x-b)2在V0空間的映射（在V0空間被逼近）若a=b=1,則h=2/32024/1/418函數f(x)=a-(x-b)2在V1空間的映射（在V1空間被逼近）若a=b=1,則h1=5/12,h2=11/122024/1/419V0的補空間？2024/1/4202024/1/4212024/1/4222024/1/423TranslatingStretching2024/1/424f(x)=a-(x-b)2在V0空間內的逼近表達式（紅色直線）：在V1空間內的逼近表達式（綠藍色直線）：在補空間W1空間內的逼近表達式：2024/1/425….因此，有進一步可表示為2024/1/426Haar小波通過平移和伸縮可以得到Haar小波族2024/1/427平移2024/1/428伸縮2024/1/429小波的一般表達式Haar小波的正交特性2024/1/430多尺度分析Only0functioninallspaces如果某函數在所有空間中，必然在任意區間上是常數，而且平方可積，因此只能是0。所謂平方可積，即：2024/1/431多尺度分析可以逼近所有的平方可積函數f(x)如何構造滿足以上特性的其他正交小波？首先回顧Fourier變換的以下定理：(1)Fourier變換是平方可積空間到平方可積空間的一一映射(onetoonecorrespondence)(2)內積不變：兩個函數的f(x)和g(x)的內積等于他們Fourier變換的內積，即2024/1/432正交小波的構造(3)根據定理2，我們有2024/1/433正交小波的構造2024/1/434正交小波的構造-如何滿足正交性前已述及，基函數的內積等于基函數的傅里葉變換的內積。因此，基函數正交的條件等價于以下形式2024/1/435正交小波的變換-如何滿足正交性2024/1/436正交小波的構造-如何滿足正交性2024/1/437周期函數可表達為傅里葉級數形式：其中：2024/1/438因此，尺度函數正交的等價條件2024/1/439構造正交小波-雙尺度差分方程為滿足條件V0?V1,舉例2024/1/4402024/1/441上式即為滿足V0?V1的等價表達式.不難理解：2024/1/442Recall基函數正交的等價條件是將代入上式，得2024/1/4432024/1/444基函數正交的等價條件是2024/1/445小波函數的多尺度構造其中2024/1/446根據傅里葉級數的定義，函數mf和mg都是以2π為周期的函數，因此RECALL:2024/1/4472024/1/448因此：2024/1/4492024/1/4502024/1/451容易得到：2024/1/452因此和下式類比得：可以證明，上式是平方可積的2024/1/453利用關系式得：2024/1/454上式說明，我們所選擇的小波函數是正交的如果基函數滿足以下條件：2024/1/455結論便可得到一多尺度分析，滿足多尺度分析的特性。此外，如果定義一關于小波函數的傅里葉變換為：則構成一正交基2024/1/456Daubechies小波的構造尺度函數應滿足雙尺度差分方程：以m0為起點，可以遞推得到：m0為可以表示為以下級數形式：如果m0滿足正交條件：便可用