將軍飲馬與二次函數(shù)結(jié)合問題一．解答題〔共4小題〕1．〔2023?寶應(yīng)縣校級一模〕拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交與A〔1，0〕，B〔﹣3，0〕兩點(diǎn)，〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕設(shè)〔1〕中的拋物線與y軸交于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？假設(shè)存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．2．〔2023?荔灣區(qū)一模〕如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕兩點(diǎn)．〔1〕求b、c的值；〔2〕P為拋物線上的點(diǎn)，且滿足S△PAB=8，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；〔3〕設(shè)拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？假設(shè)存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．3．〔2023?昌平區(qū)模擬〕如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B〔﹣2，3〕，原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C〔2，0〕．〔1〕求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕連接CB，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)E，使得CB=CE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔3〕在〔2〕的條件下，連接BE，設(shè)BE的中點(diǎn)為G，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBG的周長最小？假設(shè)存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．4．〔2023秋?懷集縣期末〕如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A〔1，0〕、B〔4，0〕、C〔0，3〕三點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長最小？假設(shè)存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．2023年09月14日賬號17的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．解答題〔共4小題〕1．〔2023?寶應(yīng)縣校級一模〕拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交與A〔1，0〕，B〔﹣3，0〕兩點(diǎn)，〔1〕求該拋物線的解析式；〔2〕設(shè)〔1〕中的拋物線與y軸交于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？假設(shè)存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可求出b、c的值，繼而可得出該拋物線的解析式；〔2〕連接BC，那么BC與對稱軸的交點(diǎn)，即是點(diǎn)Q的位置，求出直線BC的解析式后，可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解〔1〕把A〔1，0〕、B〔﹣3，0〕代入拋物線解析式可得：，解得：故拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3．〔2〕存在．由題意得，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，連接BC，那么BC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)是點(diǎn)Q的位置，設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，把B〔﹣3，0〕、C〔0，3〕代入得：，解得：，那么直線BC的解析式為y=x+3，令QX=﹣1得Qy=2，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：〔﹣1，2〕．【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及了頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解、三角形的面積及軸對稱求最短路徑的知識，解答此題的關(guān)鍵是熟練各個(gè)知識點(diǎn)，注意培養(yǎng)自己解綜合題的能力．2．〔2023?荔灣區(qū)一模〕如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕兩點(diǎn)．〔1〕求b、c的值；〔2〕P為拋物線上的點(diǎn)，且滿足S△PAB=8，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；〔3〕設(shè)拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小？假設(shè)存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，求得b，c值；〔2〕設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，y〕，求得y值，分別代入從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小．又能求得由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn)，再求得BC的直線，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕∵拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，∴，解之，得，∴所求拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3；〔2〕設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，y〕，由題意，得S△ABC=×4×|y|=8，∴|y|=4，∴y=±4，當(dāng)y=4時(shí)，x2﹣2x﹣3=4，∴x1=1+，x2=1﹣，當(dāng)y=﹣4時(shí)，x2﹣2x﹣3=﹣4，∴x=1，∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、〔1，﹣4〕時(shí)，S△PAB=8；〔3〕在拋物線y=x2﹣2x﹣3的對稱軸上存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最小．∵AC長為定值，∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小．∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是B〔3，0〕，∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn)，拋物線y=x2﹣2x﹣3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0，﹣3〕，設(shè)直線BC的解析式為y=kx﹣3．∵直線BC過點(diǎn)B〔3，0〕，∴3k﹣3=0，∴k=1．∴直線BC的解析式為y=x﹣3，∴當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣2．∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔1，﹣2〕．【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，〔1〕拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，很容易得到b，c值；〔2〕設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，y〕，求得y值，分別代入從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小．又能求得由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn)，再求得BC的直線，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．此題有一定難度，需要考慮仔細(xì)，否那么漏解．3．〔2023?昌平區(qū)模擬〕如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)B〔﹣2，3〕，原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)A，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)C〔2，0〕．〔1〕求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕連接CB，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)E，使得CB=CE，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔3〕在〔2〕的條件下，連接BE，設(shè)BE的中點(diǎn)為G，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PBG的周長最小？假設(shè)存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕根據(jù)拋物線的對稱軸可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式．〔2〕可根據(jù)B、C的坐標(biāo)，求出BC的長，然后根據(jù)CB=CE，將C點(diǎn)坐標(biāo)向上或向下平移BC個(gè)單位即可得出E點(diǎn)坐標(biāo)．〔3〕此題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，可取B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)D，連接DG，直線DG與拋物線對稱軸的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)的位置．可先求出直線DG的解析式，然后聯(lián)立拋物線對稱軸方程即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：〔1〕由題意知：A〔4，0〕；設(shè)拋物線的解析式為y=ax〔x﹣4〕，拋物線過B〔﹣2，3〕；那么有：3=ax〔﹣2〕×〔﹣2﹣4〕，a=∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x；〔2〕過點(diǎn)B作BM⊥MC，∵B點(diǎn)坐標(biāo)為：〔﹣2，3〕，C點(diǎn)坐標(biāo)為：〔2，0〕，∴MC=4，BM=3，BC==5，∴|CE|=5，∴E1〔2，5〕，E2〔2，﹣5〕；〔3〕存在．①當(dāng)E1〔2，5〕時(shí)，G1〔0，4〕，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)為D，其坐標(biāo)為〔6，3〕直線DG1的解析式為：y=﹣x+4，∴P1〔2，〕②當(dāng)E2〔2，﹣5〕時(shí)，G2〔0，﹣1〕，直線DG2的解析式為：y=x﹣1∴P2〔2，〕綜合①、②存在這樣的點(diǎn)P，使得△PBG的周長最小，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，〕或〔2，〕．【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)解析式確實(shí)定、等腰三角形的判定、軸對稱圖形的性質(zhì)等知識，〔3〕中能正確找出P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．4．〔2023秋?懷集縣期末〕如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A〔1，0〕、B〔4，0〕、C〔0，3〕三點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕如圖，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形PAOC的周長最小？假設(shè)存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．【分析】〔1〕設(shè)交點(diǎn)式為y=a〔x﹣1〕〔x﹣4〕，然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a=，于是得到拋物線解析式為y=x2﹣x+3；〔2〕先確定拋物線的對稱軸為直線x=，連結(jié)BC交直線x=于點(diǎn)P，如圖，利用對稱性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到PC+PA最短，于是可判斷此時(shí)四邊形PAOC的周長最小，然后計(jì)算出BC=5，再計(jì)算OC+OA+BC即可．【解答】解：〔1〕設(shè)拋物線解析式為y=a〔x﹣1〕〔x﹣4〕，把C〔0，3〕代入得a?〔﹣1〕?〔﹣4〕=3，解得a=，所以拋物線解析式為y=〔x﹣1〕〔x﹣4〕，即y=x2﹣x+3；〔2〕存在．因?yàn)锳〔1，0〕、B〔4，0〕，所以拋物線的對稱軸為直線x=，連結(jié)BC交直線x=于點(diǎn)P，如圖，那么PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此時(shí)PC+PA最短，所以此時(shí)四邊形PAOC的周長最小，因?yàn)锽C==5，所以四邊形PAOC周長的最小值為3+1+5=9．【點(diǎn)評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了最短路徑問題．將軍飲馬模型及其變形一．解答題〔共2小題〕1．〔2023?上城區(qū)一模〕設(shè)拋物線y=〔x+1〕〔x﹣2〕與x軸交于A、C兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊〕，與y軸交于點(diǎn)B．〔1〕求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)，△ABD是頂角為120°的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)點(diǎn)P、Q位于拋物線的對稱軸上，且PQ=，求四邊形ABQP周長的最小值．2．〔2023?貴陽〕如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD=3．〔1〕求MP的值；〔2〕在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合．當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長最小？〔3〕假設(shè)點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長最小時(shí)，求最小周長值．〔計(jì)算結(jié)果保存根號〕2023年05月18日賬號17的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．解答題〔共2小題〕1．〔2023?上城區(qū)一模〕設(shè)拋物線y=〔x+1〕〔x﹣2〕與x軸交于A、C兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)C的左邊〕，與y軸交于點(diǎn)B．〔1〕求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕點(diǎn)D在坐標(biāo)平面內(nèi)，△ABD是頂角為120°的等腰三角形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)點(diǎn)P、Q位于拋物線的對稱軸上，且PQ=，求四邊形ABQP周長的最小值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】〔1〕令x=0，求出與y軸的坐標(biāo)；令y=0，求出與x軸的坐標(biāo)；〔2〕分三種情況討論：①當(dāng)AB為底時(shí)，假設(shè)點(diǎn)D在AB上方；假設(shè)點(diǎn)D在AB下方；②當(dāng)AB為腰時(shí)，A為頂點(diǎn)時(shí)，③當(dāng)AB為腰時(shí)，A為頂點(diǎn)時(shí)；仔細(xì)解答即可．〔3〕當(dāng)AP+BQ最小時(shí)，四邊形ABQP的周長最小，根據(jù)軸對稱最短路徑問題解答．【解答】解：〔1〕當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣；當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1或x=2；那么A〔﹣1，0〕，B〔0，﹣〕，C〔2，0〕；〔2〕如圖，Rt△ABO中，OA=1，OB=，∴AB=2，∠ABO=30°，∠BAO=60°，∴△ABD是頂角為120°的等腰三角形．①當(dāng)AB為底時(shí)，假設(shè)點(diǎn)D在AB上方，由∠ABO=∠BAD=30°，AB=2，得D1〔0，﹣〕，假設(shè)點(diǎn)D在AB下方，由∠BAD=∠DBA=30°，AB=2，得D2〔﹣1，﹣〕，②當(dāng)AB為腰時(shí)，A為頂點(diǎn)時(shí)，∵∠DAB=120°，∠OAB=60°，AD=AB=2，∴點(diǎn)D在y軸或x軸上，假設(shè)D在y軸上，得D3〔0，〕，假設(shè)D在x軸上，得D4〔﹣3，0〕；③當(dāng)AB為腰時(shí)，A為頂點(diǎn)時(shí)，假設(shè)點(diǎn)D在第三象限，∵∠DBO=150°，BD=2，得D5〔﹣1，﹣2〕；假設(shè)點(diǎn)D在第四象限時(shí)，∵DB∥x軸，BD=2，得D6〔2，﹣〕，∴符合要求的點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔0，﹣〕，〔﹣1，﹣〕，〔0，〕，〔﹣3，0〕，〔﹣1，﹣2〕，〔2，﹣〕；〔3〕當(dāng)AP+BQ最小時(shí)，四邊形ABQP的周長最小，把點(diǎn)B向上平移個(gè)單位后得到B1〔0，﹣〕，∵BB1∥PQ，且BB1=PQ，∴四邊形BB1PQ是平行四邊形，∴BQ=B1P，∴AP+BQ=AP+B1P，要在直線x=上找一點(diǎn)P，使得AP+B1P最小，作點(diǎn)B1關(guān)于直線x=的對稱點(diǎn)，得B2〔1，﹣〕，那么AB2就是AP+BQ的最小值，AB2==，AB=2，PQ=，∴四邊形ABQP的周長最小值是+2．【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等內(nèi)容，存在性問題的出現(xiàn)使得難度增大．2．〔2023?貴陽〕如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=12，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)M處，折痕為PE，此時(shí)PD=3．〔1〕求MP的值；〔2〕在AB邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)F，且不與點(diǎn)A，B重合．當(dāng)AF等于多少時(shí)，△MEF的周長最小？〔3〕假設(shè)點(diǎn)G，Q是AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A，B重合，GQ=2．當(dāng)四邊形MEQG的周長最小時(shí)，求最小周長值．〔計(jì)算結(jié)果保存根號〕【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．【專題】綜合題；壓軸題．【分析】〔1〕根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形性質(zhì)以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，然后利用勾股定理可計(jì)算出MP=5；〔2〕如圖1，作點(diǎn)M關(guān)于AB的對稱點(diǎn)M′，連接M′E交AB于點(diǎn)F，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得點(diǎn)F即為所求，過點(diǎn)E作EN⊥AD，垂足為N，那么AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再證明ME=MP=5，接著利用勾股定理計(jì)算出MN=3，所以NM′=11，然后證明△AFM′∽△NEM′，那么可利用相似比計(jì)算出AF；〔3〕如圖2，由〔2〕知點(diǎn)M′是點(diǎn)M關(guān)于AB的對稱點(diǎn)，在EN上截取ER=2，連接M′R交AB于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EQ∥RG，交AB于點(diǎn)Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用兩點(diǎn)之間線段最短可得此時(shí)MG+EQ最小，于是四邊形MEQG的周長最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理計(jì)算出