2024屆貴州省7月普通高中學高三年級小二調考試數學試題試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知、，，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．2．若均為任意實數，且，則的最小值為（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，已知點，，若動點滿足，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x5．函數y=sin2x的圖象可能是A． B．C． D．6．若雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為()A．2 B． C． D．7．生活中人們常用“通五經貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數”.為弘揚中國傳統文化，某校在周末學生業余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節，連排六節，則滿足“數”必須排在前兩節，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（）A． B． C． D．8．已知復數，則的虛部為（）A．－1 B． C．1 D．9．三棱錐中，側棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．為了貫徹落實黨中央精準扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經過統計繪制如圖，其中各項統計不重復．若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）A．該市總有15000戶低收入家庭B．在該市從業人員中，低收入家庭共有1800戶C．在該市無業人員中，低收入家庭有4350戶D．在該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有800戶11．記單調遞增的等比數列的前項和為，若，，則（）A． B． C． D．12．若執行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中，雙曲線的焦距為，若過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線圍成的三角形面積為，則雙曲線的離心率為____________.14．已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點在以4為半徑的同一球面上，當PA最長時，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.15．已知平面向量、的夾角為，且，則的最大值是_____．16．若變量x，y滿足：，且滿足，則參數t的取值范圍為_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數.（1）當時，求函數的值域；（2）的角的對邊分別為且，，求邊上的高的最大值.18．（12分）已知.（1）解不等式；（2）若均為正數，且，求的最小值.19．（12分）設等差數列的首項為0，公差為a，；等差數列的首項為0，公差為b，.由數列和構造數表M，與數表；記數表M中位于第i行第j列的元素為，其中，（i，j=1，2，3，…）.記數表中位于第i行第j列的元素為，其中（，，）.如：，.（1）設，，請計算，，；（2）設，，試求，的表達式（用i，j表示），并證明：對于整數t，若t不屬于數表M，則t屬于數表；（3）設，，對于整數t，t不屬于數表M，求t的最大值.20．（12分）如圖，四棱錐中，四邊形是矩形，，為正三角形，且平面平面，、分別為、的中點.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知函數，其中.（Ⅰ）若，求函數的單調區間；（Ⅱ）設.若在上恒成立，求實數的最大值.22．（10分）在三棱錐中，是邊長為的正三角形，平面平面，，M、N分別為、的中點.?（1）證明：；（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

構造函數，，利用導數分析出這兩個函數在區間上均為減函數，由得出，分、、三種情況討論，利用放縮法結合函數的單調性推導出或，再利用余弦函數的單調性可得出結論.【題目詳解】構造函數，，則，，所以，函數、在區間上均為減函數，當時，則，；當時，，.由得.①若，則，即，不合乎題意；②若，則，則，此時，，由于函數在區間上單調遞增，函數在區間上單調遞增，則，；③若，則，則，此時，由于函數在區間上單調遞減，函數在區間上單調遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【題目點撥】本題考查函數單調性的應用，構造新函數是解本題的關鍵，解題時要注意對的取值范圍進行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.2、D【解題分析】

該題可以看做是圓上的動點到曲線上的動點的距離的平方的最小值問題，可以轉化為圓心到曲線上的動點的距離減去半徑的平方的最值問題，結合圖形，可以斷定那個點應該滿足與圓心的連線與曲線在該點的切線垂直的問題來解決，從而求得切點坐標，即滿足條件的點，代入求得結果.【題目詳解】由題意可得，其結果應為曲線上的點與以為圓心，以為半徑的圓上的點的距離的平方的最小值，可以求曲線上的點與圓心的距離的最小值，在曲線上取一點，曲線有在點M處的切線的斜率為，從而有，即，整理得，解得，所以點滿足條件，其到圓心的距離為，故其結果為，故選D.【題目點撥】本題考查函數在一點處切線斜率的應用，考查圓的程，兩條直線垂直的斜率關系，屬中檔題.3、D【解題分析】

設出的坐標為，依據題目條件，求出點的軌跡方程，寫出點的參數方程，則，根據余弦函數自身的范圍，可求得結果.【題目詳解】設，則∵，∴∴∴為點的軌跡方程∴點的參數方程為（為參數）則由向量的坐標表達式有：又∵∴故選：D【題目點撥】考查學生依據條件求解各種軌跡方程的能力，熟練掌握代數式轉換，能夠利用三角換元的思想處理軌跡中的向量乘積，屬于中檔題.求解軌跡方程的方法有：①直接法；②定義法；③相關點法；④參數法；⑤待定系數法4、A【解題分析】分析：根據離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛：已知雙曲線方程x2a25、D【解題分析】分析:先研究函數的奇偶性，再研究函數在上的符號，即可判斷選擇.詳解：令，因為，所以為奇函數，排除選項A,B;因為時，，所以排除選項C，選D.點睛：有關函數圖象的識別問題的常見題型及解題思路：（1）由函數的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數的值域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；（3）由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；（4）由函數的周期性，判斷圖象的循環往復．6、C【解題分析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關系.【題目詳解】由已知，雙曲線的漸近線方程為，故圓心到漸近線的距離等于1，即，所以，.故選：C.【題目點撥】本題考查雙曲線離心率的求法，求雙曲線離心率問題，關鍵是建立三者間的方程或不等關系，本題是一道基礎題.7、C【解題分析】

分情況討論，由間接法得到“數”必須排在前兩節，“禮”和“樂”必須分開的事件個數，不考慮限制因素，總數有種，進而得到結果.【題目詳解】當“數”位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有當“數”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數有種，故滿足條件的事件的概率為：故答案為：C.【題目點撥】解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質進行分類；②按事情發生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．8、A【解題分析】

分子分母同乘分母的共軛復數即可.【題目詳解】，故的虛部為.故選：A.【題目點撥】本題考查復數的除法運算，考查學生運算能力，是一道容易題.9、B【解題分析】由題，側棱底面，，，，則根據余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點睛：本題考查的知識點是球內接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關鍵．10、D【解題分析】

根據給出的統計圖表，對選項進行逐一判斷，即可得到正確答案.【題目詳解】解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%，則該市總有低收入家庭900÷6%＝15000（戶），A正確，該市從業人員中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（戶），B正確，該市無業人員中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（戶），C正確，該市大于18歲在讀學生中，低收入家庭有15000×4%＝600（戶），D錯誤．故選：D.【題目點撥】本題主要考查對統計圖表的認識和分析，這類題要認真分析圖表的內容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關鍵,屬于基礎題.11、C【解題分析】

先利用等比數列的性質得到的值，再根據的方程組可得的值，從而得到數列的公比，進而得到數列的通項和前項和，根據后兩個公式可得正確的選項.【題目詳解】因為為等比數列，所以，故即，由可得或，因為為遞增數列，故符合.此時，所以或（舍，因為為遞增數列）.故，.故選C.【題目點撥】一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.12、D【解題分析】

模擬程序運行，觀察變量值的變化，得出的變化以4為周期出現，由此可得結論．【題目詳解】；如此循環下去，當時，，此時不滿足，循環結束，輸出的值是4.故選：D．【題目點撥】本題考查程序框圖，考查循環結構．解題時模擬程序運行，觀察變量值的變化，確定程序功能，可得結論．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用即可建立關于的方程.【題目詳解】設雙曲線右焦點為，過右焦點且與軸垂直的直線與兩條漸近線分別交于兩點，則，，由已知，，即，所以，離心率.故答案為：【題目點撥】本題考查求雙曲線的離心率，做此類題的關鍵是建立的方程或不等式，是一道容易題.14、90°【解題分析】

易得平面PAD，P點在與BA垂直的圓面內運動，顯然，PA是圓的直徑時，PA最長；將四棱錐補形為長方體，易得為球的直徑即可得到PD，從而求得四棱錐的體積.【題目詳解】如圖，由及，得平面PAD，即P點在與BA垂直的圓面內運動，易知，當P、、A三點共線時，PA達到最長，此時，PA是圓的直徑，則；又，所以平面ABCD，此時可將四棱錐補形為長方體，其體對角線為，底面邊長為2的正方形，易求出，高，故四棱錐體積.故答案為：(1)90°；(2).【題目點撥】本題四棱錐外接球有關的問題，考查學生空間想象與邏輯推理能力，是一道有難度的壓軸填空題.15、【解題分析】

建立平面直角坐標系，設，可得，進而可得出，，由此將轉化為以為自變量的三角函數，利用三角恒等變換思想以及正弦函數的有界性可得出結果.【題目詳解】根據題意建立平面直角坐標系如圖所示，設，，以、為鄰邊作平行四邊形，則，設，則，，且，在中，由正弦定理，得，即，在中，由正弦定理，得，即.，，則，當時，取最大值.故答案為：.【題目點撥】本題考查了向量的數量積最值的計算，將問題轉化為角的三角函數的最值問題是解答的關鍵，考查計算能力，屬于難題．16、【解題分析】

根據變量x，y滿足：，畫出可行域，由，解得直線過定點，直線繞定點旋轉與可行域有交點即可，再結合圖象利用斜率求解.【題目詳解】由變量x，y滿足：，畫出可行域如圖所示陰影部分，由，整理得，由，解得，所以直線過定點，由，解得，由，解得，要使，則與可行域有交點，當時，滿足條件，當時，直線得斜率應該不小于AC，而不大于AB，即或，解得，且，綜上：參數t的取值范圍為.故答案為：【題目點撥】本題主要考查線性規劃的應用，還考查了轉化運算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）【解題分析】

（1）由題意利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域，得出結論.（2）由題意利用余弦定理?三角形的面積公式?基本不等式求得的最大值，可得邊上的高的最大值.【題目詳解】解：（1）∵函數，當時，，.（2）中，，∴.由余弦定理可得，當且僅當時，取等號，即的最大值為3.再根據，故當取得最大值3時，取得最大值為.【題目點撥】本題考查降冪公式、兩角和的正弦公式，考查正弦函數的性質，余弦定理，三角形面積公式，所用公式較多，選用恰當的公式是解題關鍵，本題屬于中檔題．18、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用零點分段討論法可求不等式的解.（2）利用柯西不等式可求的最小值.【題目詳解】（1），由得或或，解得.（2），所以，由柯西不等式得：所以，即（當且僅當時取“=”）.所以的最小值為.【題目點撥】本題考查絕對值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解絕對值不等式的基本方法有零點分段討論法、圖象法、平方法等，利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇，利用平方去掉絕對值符號時注意代數式的正負，而利用圖象法求解時注意圖象的正確刻畫．利用柯西不等式求最值時注意把原代數式配成平方和的乘積形式，本題屬于中檔題.19、（1）（2）詳見解析（3）29【解題分析】

（1）將，代入，可求出，，可代入求，，可求結果．（2）可求，，通過反證法證明，（3）可推出，，的最大值，就是集合中元素的最大值，求出．【題目詳解】（1）由題意知等差數列的通項公式為：；等差數列的通項公式為：，得，則，，得，故．（2）證明：已知．，由題意知等差數列的通項公式為：；等差數列的通項公式為：，得，，．得，，，．所以若，則存在，，使，若，則存在，，，使，因此，對于正整數，考慮集合，，，即，，，，，，．下面證明：集合中至少有一元素是7的倍數．反證法：假設集合中任何一個元素，都不是7的倍數，則集合中每一元素關于7的余數可以為1，2，3，4，5，6，又因為集合中共有7個元素，所以集合中至少存在兩個元素關于7的余數相同，不妨設為，，其中，，．則這兩個元素的差為7的倍數，即，所以，與矛盾，所以假設不成立，即原命題成立．即集合中至少有一元素是7的倍數，不妨設該元素為，，，則存在，使，，，即，，，由已證可知，若，則存在，，使，而，所以為負整數，設，則，且，，，，所以，當，時，對于整數，若，則成立．（3）下面用反證法證明：若對于整數，，則，假設命題不成立，即，且．則對于整數，存在，，，，，使成立，整理，得，又因為，，所以且是7的倍數，因為，，所以，所以矛盾，即假設不成立．所以對于整數，若，則，又由第二問，對于整數，則，所以的最大值，就是集合中元素的最大值，又因為，，，，所以．【題目點撥】本題考查數列的綜合應用，以及反證法，求最值，屬于難題．20、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取中點，中點，連接，，.設交于，則為的中點，連接.通過證明，證得平面，由此證得平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）取中點，中點，連接，，.設交于，則為的中點，連接.設，則，，∴.由已知，，∴平面，∴.∵，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由（1）及已知可得平面，建立如圖所示的空間坐標系，設，則，，，，，，，，設平面的法向量為，∴，令得.設平面的法向量為，∴，令得，∴，∴二面角的余弦值為.【題目點撥】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（Ⅰ）單調遞減區間為