2024屆北京高三下學期第一次四校聯(lián)考數(shù)學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若點(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或2．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，4，8，14，23，36，54，則該數(shù)列的第19項為（）（注：）A．1624 B．1024 C．1198 D．15603．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知，則為()A． B． C．或 D．或4．已知定點都在平面內(nèi)，定點是內(nèi)異于的動點，且，那么動點在平面內(nèi)的軌跡是（）A．圓，但要去掉兩個點 B．橢圓，但要去掉兩個點C．雙曲線，但要去掉兩個點 D．拋物線，但要去掉兩個點5．設函數(shù)若關(guān)于的方程有四個實數(shù)解，其中，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列中一定為0的是（）A． B． C． D．7．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．在中，，，，若，則實數(shù)()A． B． C． D．9．設、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（）A． B．0 C．1 D．310．設雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．11．設，，則的值為（）A． B．C． D．12．下列選項中，說法正確的是（）A．“”的否定是“”B．若向量滿足，則與的夾角為鈍角C．若，則D．“”是“”的必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)，滿足，則的最小值為__________．14．已知在△ABC中，（2sin32°，2cos32°），（cos77°，﹣cos13°），則?_____，△ABC的面積為_____．15．已知F為拋物線C：x2＝8y的焦點，P為C上一點，M（﹣4，3），則△PMF周長的最小值是_____.16．已知，滿足約束條件則的最大值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，動點滿足直線與直線的斜率之積為，設點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若過點的直線與曲線交于，兩點，過點且與直線垂直的直線與相交于點，求的最小值及此時直線的方程.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD平面PAD，，，，，E是PD的中點．證明：；設，點M在線段PC上且異面直線BM與CE所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．19．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2，記f(x)（Ⅰ）解不等式f(x)≤5；（Ⅱ）若正實數(shù)a，b滿足1a+120．（12分）如圖,設點為橢圓的右焦點，圓過且斜率為的直線交圓于兩點，交橢圓于點兩點，已知當時，（1）求橢圓的方程.（2）當時，求的面積.21．（12分）在△ABC中，角所對的邊分別為向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）求的最大值.22．（10分）已知數(shù)列滿足，且，，成等比數(shù)列．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為，，求數(shù)列的前n項和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題得，解方程即得k的值.【題目詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【題目點撥】(1)本題主要考查點到直線的距離公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和計算推理能力.(2)點到直線的距離.2、B【解題分析】

根據(jù)高階等差數(shù)列的定義，求得等差數(shù)列的通項公式和前項和，利用累加法求得數(shù)列的通項公式，進而求得.【題目詳解】依題意：1，4，8，14，23，36，54，……兩兩作差得：3，4，6，9，13，18，……兩兩作差得：1，2，3，4，5，……設該數(shù)列為，令，設的前項和為，又令，設的前項和為.易，，進而得，所以，則，所以，所以.故選：B【題目點撥】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用，考查累加法求數(shù)列的通項公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.3、D【解題分析】

由正弦定理可求得，再由角A的范圍可求得角A.【題目詳解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故選：D.【題目點撥】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍，是否有兩解的情況，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【題目詳解】,，,又，,平面,又平面，故在以為直徑的圓上，又是內(nèi)異于的動點，所以的軌跡是圓，但要去掉兩個點A,B故選：A【題目點撥】本題主要考查了線面垂直、線線垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問題，屬于中檔題.5、B【解題分析】

畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知：，，，計算得到答案.【題目詳解】，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知：，，故，且.故.故選：.【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.6、A【解題分析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此確定數(shù)列為的項.【題目詳解】由于等差數(shù)列中，所以，化簡得，所以為.故選：A【題目點撥】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【題目詳解】若，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得；若，根據(jù)線面平行的判定定理，可得.故選：C.【題目點撥】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

將、用、表示，再代入中計算即可.【題目詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【題目點撥】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.9、C【解題分析】

先根據(jù)奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。【題目詳解】因為、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，，用替換，得，化簡得，即令，所以，故選C。【題目點撥】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應用。10、B【解題分析】

設雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用，求出的值，得到的值，求出關(guān)系，進而判斷大小，結(jié)合橢圓的焦距為2，即可求出結(jié)論.【題目詳解】設雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依題意，，橢圓的焦距，，雙曲線的標準方程為.故選:B.【題目點撥】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點位置，屬于中檔題.11、D【解題分析】

利用倍角公式求得的值，利用誘導公式求得的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，進而求得的值，最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【題目詳解】，，，，，，，，故選：D.【題目點撥】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題，涉及到的知識點有誘導公式，正切倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，正切差角公式，屬于基礎(chǔ)題目.12、D【解題分析】

對于A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，即可判斷出；對于B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角；對于C當m=0時，滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；對于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷．【題目詳解】選項A根據(jù)命題的否定可得：“?x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“?x∈R，x2-x＞0”，因此A不正確；選項B若向量滿足，則與的夾角為鈍角或平角，因此不正確.選項C當m=0時,滿足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正確；選項D若“”，則且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要條件，故正確.故選：D.【題目點撥】本題考查命題的真假判斷與應用，涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由約束條件先畫出可行域，然后求目標函數(shù)的最小值.【題目詳解】由約束條件先畫出可行域，如圖所示，由，即，當平行線經(jīng)過點時取到最小值，由可得，此時，所以的最小值為.故答案為.【題目點撥】本題考查了線性規(guī)劃的知識，解題的一般步驟為先畫出可行域，然后改寫目標函數(shù)，結(jié)合圖形求出最值，需要掌握解題方法.14、【解題分析】

①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解；②結(jié)合①求出，根據(jù)面積公式即可得解.【題目詳解】①2（sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°），②，，∴，∴．故答案為：．【題目點撥】此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應用，涉及平面向量數(shù)量積的坐標表示，三角恒等變換，根據(jù)三角形面積公式求解三角形面積，綜合性強.15、5【解題分析】

△PMF的周長最小，即求最小，過做拋物線準線的垂線，垂足為，轉(zhuǎn)化為求最小，數(shù)形結(jié)合即可求解.【題目詳解】如圖，F(xiàn)為拋物線C：x2＝8y的焦點，P為C上一點，M（﹣4，3），拋物線C：x2＝8y的焦點為F（0，2），準線方程為y＝﹣2.過作準線的垂線，垂足為，則有，當且僅當三點共線時，等號成立，所以△PMF的周長最小值為55.故答案為：5.【題目點撥】本題考查拋物線定義的應用，考查數(shù)形結(jié)合與數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題.16、1【解題分析】

先畫出約束條件的可行域，根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點，代入目標函數(shù)的解析式，易可得到目標函數(shù)的最大值．【題目詳解】解：由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域，由于，則，要求的最大值，則求的截距的最小值，顯然當平行直線過點時，取得最大值為：.故答案為：1．【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃求最值問題，我們常用幾何法求最值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）的最小值為1，此時直線：【解題分析】

（1）用直接法求軌跡方程，即設動點為，把已知用坐標表示并整理即得．注意取值范圍；（2）設：，將其與曲線的方程聯(lián)立，消元并整理得，設，，則可得，，由求出，將直線方程與聯(lián)立，得，求得，計算，設.顯然，構(gòu)造，由導數(shù)的知識求得其最小值，同時可得直線的方程.【題目詳解】（1）設，則，即整理得（2）設：，將其與曲線的方程聯(lián)立，得即設，，則，將直線：與聯(lián)立，得∴∴設.顯然構(gòu)造在上恒成立所以在上單調(diào)遞增所以，當且僅當，即時取“=”即的最小值為1，此時直線：.（注：1.如果按函數(shù)的性質(zhì)求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據(jù)步驟相應給分.）【題目點撥】本題考查求軌跡方程，考查直線與橢圓相交中的最值．直線與橢圓相交問題中常采用“設而不求”的思想方法，即設交點坐標為，設直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元，然后用韋達定理得（或），把這個代入其他條件變形計算化簡得出結(jié)論，本題屬于難題，對學生的邏輯推理、運算求解能力有一定的要求．18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由平面平面的性質(zhì)定理得平面，.在中，由勾股定理得，平面，即可得；（2）以為坐標原點建立空間直角坐標系，由空間向量法和異面直線與所成角的余弦值為，得點M的坐標，從而求出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）平面平面，平面平面=，，所以.由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，，在中，，，由正弦定理可得：，，即，平面，.（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設，則，,得，，而，設平面的法向量為，由可得：，令，則，取平面的法向量，則，故二面角的余弦值為.【題目點撥】本題考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)和向量法的合理運用，屬于中檔題.19、（Ⅰ）{x|-3≤x≤2}（Ⅱ）見證明【解題分析】

(Ⅰ)由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點分段求解不等式的解集即可；(Ⅱ)首先確定m的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【題目詳解】（Ⅰ）①當x>1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5，即x≤2，∴1<x≤2；②當-2≤x≤1時，f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5，∴-2≤x≤1；③當x<-2時，f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5，即x≥-3，∴-3≤x<-2.綜上所述，原不等式的解集為{x|-3≤x≤2}.（Ⅱ）∵f(x)=x-1當且僅當-2≤x≤1時，等號成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a當且僅當2a×1又1a+1b=∴2a【題目點撥】本題主要考查絕對值不等式的解法，柯西不等式及其應用，絕對值三角不等式求最值的方法等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、（1）（2）