第4頁共8頁1999年全國初中數學聯合競賽試卷第一試參考答案一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）本題共有6個小題，每小題都給出了（A）、（B）、（C）、（D）四個結論，其中只有一個是正確的，請把你認為正確結論的代表字母寫在題后的圓括號內。每小題選對得7分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在圓括號內），一律得0分。1、計算的值是（D）。（A）1；（B）－1；（C）2；（D）－2。解：原式＝。2、△ABC的周長是24，M是AB的中點，MC＝MA＝5，則△ABC的面積是（C）。（A）12；（B）16；（C）24；（D）30。解：∵MA＝MB＝MC＝5，∴∠ACB＝90°，已知周長是24，則AC＋BC＝14，AC2＋BC2＝102。∴2AC×BC＝（AC＋BC）2－（AC2＋BC2）＝142－102＝4×24。∴。3、設，將一次函數與的圖象畫在同一平面直角坐標系內，則有一組的取值，使得下列4個圖中的一個為正確的是（B）。解：由方程組的解知兩直線的交點為，而圖A中交點橫坐標是負數，故圖A不對；圖C中交點橫坐標是2≠1，故圖C不對；圖D中交點縱坐標是大于，小于的數，不等于，故圖D不對；故選B。4、若函數，則當自變量取1、2、3、…、100這100個自然數時，函數值的和是（B）。（A）540；（B）390；（C）194；（D）97。解：當時，。∴當自變量取2、3、…、98時，函數值都為0。而當取1、99、100時，，故所求的和為：。5、如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝998，DC＝1001，AD＝1999，點P在線段AD上，則滿足條件∠BPC＝90°的點P的個數為（C）。1、已知且，則＝2。解：，即，，，，，。2、如圖，在△ABC中，∠B＝36°，∠ACB＝128°，∠CAB的平分線交BC于M，△ABC的外接圓的切線AN交BC的延長線于N，則△ANM的最小角等于44°。解：∵∠B＝36°，∠ACB＝128°，AM為∠CAB的平分線，∴∠CAM＝∠MAB＝，∵∠AMC＝44°。又AN為切線，∴∠NAC＝∠B＝36°，∠NAM＝44°，∴∠N＝180°－44°－44°＝92°，∴△ANM的最小角為44°。3、已知為整數，且滿足，則＝3。解：左邊＝，即，，而為整數，且不相等，只可能取值或。不妨設，則，或，∵（2）無整數解，由（1）得，。4、在正方形ABCD中，N是DC的中點，M是AD上異于D的點，且∠NMB＝∠MBC，則tg∠ABM＝。解：延長MN交BC的延長線于T，設MB的中點為O，連TO，則△BAM∽△TOB，∴，即。令DN＝1，CT＝MD＝，則AM＝，BM＝，BT＝，代入（1）式得，注意到，解得。=============================================第二試參考答案一、（本題滿分20分）

某班參加一次智力競賽，共三題，每題或者得滿分或者得0分。其中題滿分20分，題、題滿分分別為25分。競賽結果，每個學生至少答對了一題，三題全答對的有1人，答對其中兩道題的有15人，答對題的人數與答對題的人數之和為29，答對題的人數與答對題的人數之和為25，答對題的人數與答對題的人數之和為20，問這個班的平均成績是多少分？

解：設分別表示答對題、題、題的人數，則有，，，∴答對一題的人數為37－1×3－2×15＝4，全班人數為1＋4＋15＝20，∴平均成績為。答：班平均成績為42分。二、（本題滿分25分）

如圖，設△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD＝4DC。已知圓過點C且與AC相交于F，與AN相切于AB的中點G。求證：AD⊥BF。

證：作DE⊥AC于E，則AC＝AE，AG＝ED。由切割線定理有：AG2＝AF·AC，∴ED2＝AF·AE，∴5ED2＝AF·AE，∴AB·ED＝AF·AE，∴，∴△BAF∽△AED，∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD＋∠DAB＝90°，∴∠ABF＋∠DAB＝90°，∴AD⊥BF。三、（本題滿分25分）

已知為整數，方程的兩根都大于－1且小于0，求和的值。

解：根據函數的圖象和題設條件知：當時，