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第二章函數基本逼近（一）

——插值逼近1湘潭大學數學與計算科學學院§1引言函數逼近:

數學中的基本問題,最活躍的研究領域之一數值計算中函數表示的重要方法本質是討論如何用簡單函數近似代替復雜函數簡單函數曲線擬合離散數據的方法、理論及其實現。2湘潭大學數學與計算科學學院簡單函數逼近函數復雜函數被逼近函數近似代替逼近基本術語：討論如何用簡單的函數一個復雜的函數近似地代替的方法、理論及其實現.

近似代替又叫做逼近

.被逼近的函數

或被近似的函數

逼近的函數

或近似的函數

即3湘潭大學數學與計算科學學院函數逼近是數值分析的許多分支的理論基礎.

例如:數值積分;數值微分;微分方程數值解;曲線曲面擬合;函數值近似計算;等等4湘潭大學數學與計算科學學院從逼近論的觀點，通常有兩種意義下的逼近：局部逼近整體逼近1、局部逼近所謂局部逼近就是求函數在某點附近的近似最常用的逼近方法：Taylor逼近方法理論依據：Taylor定理5湘潭大學數學與計算科學學院定理1.1設n為一非負整數，在點某一鄰域有階連續導數，有

則對的這里，n次Taylor逼近多項式和誤差余項分別為(1.1)(1.2)(1.3)6湘潭大學數學與計算科學學院注意：1、Taylor逼近多項式滿足以下逼近要求

2、Taylor逼近是一種局部逼近在一點處的信息.僅利用了被逼近的函數下面舉例說明Taylor多項式的逼近效果.7湘潭大學數學與計算科學學院解由(1.2)式和(1.3)式易求得(1.2)(1.3)直觀理解可以參見下圖。8湘潭大學數學與計算科學學院(a)的一次和二次Taylor逼近函數

(b)的一次和二次Taylor逼近誤差(a)(b)9湘潭大學數學與計算科學學院因此，Taylor逼近適合作函數的局部逼近.由此可見：誤差不是均勻分布的.當x越偏離x0誤差就越大即當x越接近x0誤差就越??；我們將主要討論整體逼近問題:即對定義域上的所有點.近似函數對被逼近函數的逼近函數曲線對樣本數據的擬合考慮:10湘潭大學數學與計算科學學院例2

求區間[0,1.5]上的二次（拋物）曲線,要求該曲線過樣本點解設所求拋物線的方程為

利用待定系數法，可得此例將引出所謂的

Lagrange型多項式插值問題,這時給定的樣本數據僅包含函數值.11湘潭大學數學與計算科學學院例3

求區間[0,1]上的三次曲線，要求該函數曲線過且其一階導函數曲線過樣本點和(即函數曲線在0,1點處的斜率分別為0和1).和樣本點解設所求的三次曲線為類似于例2的計算，可得12湘潭大學數學與計算科學學院上例將引出所謂的Hermite型多項式插值問題此時

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