第六章中值定理應用研究函數性質及曲線性態利用導數解決實際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三節)推廣微分中值定理及其應用一、羅爾(Rolle)定理拉格朗日中值定理第一節機動目錄上頁下頁返回結束二、單調函數拉格朗日中值定理和函數的單調性

第六章費馬(fermat)引理一、羅爾(Rolle)定理與拉格朗日中值定理且存在費馬目錄上頁下頁返回結束1羅爾〔Rolle〕定理滿足:(1)在區間[a,b]上連續(2)在區間(a,b)內可導(3)

f(a)=f(b)使在(a,b)內至少存在一點機動目錄上頁下頁返回結束定理6.1證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.假設M=m,那么因此假設M>m,那么M和m中至少有一個與端點值不等,不妨設那么至少存在一點使那么由費馬引理得注意:1)定理條件條件不全具備,結論不一定成立.例如,機動目錄上頁下頁返回結束使2)定理條件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內可導,且在(a,b)內至少存在一點證明提示:

設證

F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.機動目錄上頁下頁返回結束例1.設f為R上可導函數,證明:假設方程沒有實根,那么至多有一個實根.證:(反證)假設有兩個實根,那么函數f在上滿足Rolle定理三個條件,從而存在使這與假設相矛盾.例2.

設.

證明方程在區間(0,1)中至少有一個根.從而存在一點證:構造輔助函數那么F(x)在[0,1]上連續,(0,1)上可導.且而故p(x)在(0,1)中至少有一個根.2拉格朗日中值定理(1)在區間[a,b]上連續滿足:(2)在區間(a,b)內可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數拉氏目錄上頁下頁返回結束定理6.2證:問題轉化為證作輔助函數顯然,在[a,b]上連續,在(a,b)內可導,且由羅爾定理知至少存在一點即定理結論成立.證畢拉格朗日中值定理是微分學重要定理之一:公式

即為函數值之差與導數關系式,今后凡遇到函數值之差與導數值關系的問題,想法用中值定理例3.

設f在區間I上可導,且

在I上有界,證明f在I上滿足Lipschitz條件.證:因為故對由Lagrange中值定理,例4.

設h>0,函數f在[a-h,a+h]上可導,證明存在證:

令那么F(x)在[0,h]上于是存在例5.

證明不等式證:

設中值定理條件,即因為故因此應有機動目錄上頁下頁返回結束3推論1:假設函數在區間I

上滿足那么在

I上必為常數.證:

在

I

上任取兩點日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數.機動目錄上頁下頁返回結束推論2:假設函數在區間I

上滿足那么在區間I上f(x)與g(x)只相差一個常數.例6.

證明對任x恒有證:

設由推論可知(常數)令x=0,得經驗:欲證時只需證在

I

上機動目錄上頁下頁返回結束4導數極限定理推論3設函數在點的某鄰域內連續,在內可導,且存在,那么f在點可導,且證:

由Lagrange

中值定理故f在可導.例6.

求分段函數的導數.解:二、單調函數1定理6.3

設函數.證:“充分性〞假設任取由拉格朗日中值定理得故這說明在I

內單調遞減.在區間I內可導,那么機動目錄上頁下頁返回結束證畢的充要條件是:(遞減)在I

內單調遞增“必要性〞假設f為減函數,那么對每一注:即使是嚴格單調的,必要性的結論也不能加強為例8.

確定函數的單調區間.解:令得故的單調增區間為的單調減區間為機動目錄上頁下頁返回結束2定理6.4假設函數f在(a,b)內可導,那么f在(a,b)內嚴格的充要條件是:證:“必要性〞假設f在(a,b)內嚴格遞減那么由定理6.3,遞增(遞減)“充分性〞由1)f在(a,b)內遞減,矛盾3推論設函數f在I內可導,注:1)若f在(a,b)上(嚴格)遞增(減),且在a右連續,則f在[a,b)上(嚴格)遞增(減),(嚴格遞減)那么f在I上嚴格遞增2)假設f在(a,b)上(嚴格)遞增(減),且在b左連續,則f在(a,b]上(嚴格)遞增(減).例9.

證明時,成立不等式證:

令從而因此且證證明目錄上頁下頁返回結束*證明令那么從而即作業P1242(1),4(2),5(2),8,9;6(1)(4),7(1)(3),15第二節目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.填空題1)函數在區間[1,2]上滿足拉格朗日定理條件,那么中值2)設有個根,它們分別在區間機動目錄上頁下頁返回結束上.方程2.

設且在內可導,證明至少存在一點使提示:由結論可知,只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設機動目錄上頁下頁返回結束3.假設可導,試證在其兩個零點間一定有的零點.提示:設欲證:使只要證亦即作輔助函數驗證在上滿足羅爾定理條件.機動目錄上頁下頁返回結束4.

思考:在即當時問是否可由此得出

不能!因為是依賴于x

的一個特殊的函數.因此由上式得表示x

從右側以任意方式趨于0.應用拉格朗日中值定理得上對函數機動目錄上頁下頁返回結束費馬(1601–1665)法國數學家,他是一位律師,數學只是他的業余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數學上有許多重大奉獻.他特別愛好數論,他提出的費馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學的先驅,費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.拉格朗日(1736–1813)法國數學家.他在方程論,解析函數論,及數論方面都作出了重要的奉獻,近百余年來,數學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對分析數學產生全面影響的數學家之一.柯西(1789–1857)法國數學家,他對數學的奉獻主要集中在微積分學,?柯西全集?共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學校編寫的?分析教程?,?無窮小分析概論?,?微積分在幾何上的應用?等,有思想有創立,響廣泛而深遠.對數學的影他是經典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的根底推動了分析的開展.復變函數和微分方程方面.一生發表論文800余篇,著書7本,備用題求證存在使1.

設可導，且在連續，證：因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理條件,即設輔助函數使得機動目錄上頁下頁返回結束設證明對任意有證：2.不妨設機動目錄上頁下頁返回結束二、不定式極限一、Cauchy中值定理第二節機動目錄上頁下頁返回結束Cauchy中值定理和不定式極限

第六章一、柯西(Cauchy)中值定理(1)在閉區間[a,b]上連續(2)在開區間(a,b)內可導至少存在一點使柯西目錄上頁下頁返回結束1定理6.5柯西(1789–1857)法國數學家,他對數學的奉獻主要集中在微積分學,?柯西全集?共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學校編寫的?分析教程?,?無窮小分析概論?,?微積分在幾何上的應用?等,有思想有創立,響廣泛而深遠.對數學的影他是經典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的根底推動了分析的開展.復變函數和微分方程方面.一生發表論文800余篇,著書7本,柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率機動目錄上頁下頁返回結束分析:要證證:

作輔助函數且使即由羅爾定理知,至少存在一點機動目錄上頁下頁返回結束思考:

柯西定理的下述證法對嗎?兩個

不一定相同上面兩式相比即得結論.錯!例1.設至少存在一點使分析:

結論可變形為證明機動目錄上頁下頁返回結束證:設那么在[a,b]上滿足柯西中值定理條件,因此在(a,b)內至少存在一點

,使即例2.設a<b且ab>0,證明存在一點使分析證明令那么F(x),G(x)在[a,b]上滿足柯西中值定理條件,因此存在使得內容小結1.微分中值定理的條件、結論及關系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的應用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關中值問題的結論關鍵:

利用逆向思維設輔助函數費馬引理機動目錄上頁下頁返回結束微分中值定理函數的性態導數的性態函數之商的極限導數之商的極限

轉化(或型)下面研究:洛必達法那么洛必達目錄上頁下頁返回結束二、不定式極限兩個無窮小(大)量之比的極限兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限,統稱為不定式極限.分別記為型或型的不定式極限.(A可為實數或)定理6.6型不定式極限(洛必達法那么)機動目錄上頁下頁返回結束1、

之間)不妨假設在指出的鄰域內任取那么為端點的區間上滿足柯故分析:西定理條件,機動目錄上頁下頁返回結束在以(

在證:注1.定理6.6中換為之一,注2.假設理1條件,那么條件2)作相應的修改,定理1仍然成立.洛必達法那么定理1目錄上頁下頁返回結束一般假設例4.求解:它是型的不定式極限.由定理有機動目錄上頁下頁返回結束例5.求解:原式思考:

如何求

(n

為正整數)?機動目錄上頁下頁返回結束例6.求解:它是型的不定式極限例7.求解:注意:不是未定式不能用洛必達法那么!機動目錄上頁下頁返回結束原式型不定式定理6.7(洛必達法那么)機動目錄上頁下頁返回結束2、機動目錄上頁下頁返回結束證:機動目錄上頁下頁返回結束由(3)有另一方面注1:

定理中換為之一,條件2)作相應的修改,定理仍然成立.定理2目錄上頁下頁返回結束綜合(4)(5),對一切滿足不等式注2假設解:原式例9.求解:原式機動目錄上頁下頁返回結束例8.

求例9.證明證明:例如不存在,不能說明機動目錄上頁下頁返回結束1)不是對任何比式的極限都能按洛必塔法那么求解,首先應看是否為不定式的極限,其次看是否滿足法那么條件.即是說,假設不存在.說明:2)屢次應用洛必塔法那么時,每次應檢查它是否滿足法那么條件,否那么出錯例如,機動目錄上頁下頁返回結束解決方法:通分轉化取倒數轉化取對數轉化機動目錄上頁下頁返回結束3、其他不定式:通分轉化取倒數轉化取對數轉化例10.求解:

原式機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束通分轉化取倒數轉化取對數轉化解:原式機動目錄上頁下頁返回結束通分轉化取倒數轉化取對數轉化例11.求例12.

求解:原式例5目錄上頁下頁返回結束通分轉化取倒數轉化取對數轉化例5目錄上頁下頁返回結束通分轉化取倒數轉化取對數轉化例13.

求解:這是K=0時上面結果仍成立例5目錄上頁下頁返回結束通分轉化取倒數轉化取對數轉化例14.

求解:這是而例5目錄上頁下頁返回結束通分轉化取倒數轉化取對數轉化例15.

求解:這是而解:機動目錄上頁下頁返回結束例16.解:先求而例3目錄上頁下頁返回結束例17:求內容小結洛必達法那么令取對數機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.設是未定式極限,如果不存在,是否的極限也不存在?舉例說明.極限說明目錄上頁下頁返回結束原式～分析:分析:3.原式～～機動目錄上頁下頁返回結束作業第三節目錄上頁下頁返回結束P1332,3,4,5(1)(3)(5)(6)(7)(10)(12),6,10洛必達(1661–1704)法國數學家,他著有?無窮小分析?(1696),并在該書中提出了求未定式極限的方法,后人將其命名為“洛必達法的擺線難題,以后又解出了伯努利提出的“最速降線〞問題,在他去世后的1720年出版了他的關于圓錐曲線的書.那么〞.他在15歲時就解決了帕斯卡提出機動目錄上頁下頁返回結束15求以下極限:解:備用題機動目錄上頁下頁返回結束令那么原式=解:(用洛必達法那么)(繼續用洛必達法那么)機動目錄上頁下頁返回結束解:原式=第三節目錄上頁下頁返回結束第六章微分中值定理及其應用§3泰勒公式

問題的提出缺乏1、精確度不高；2、誤差不能估計。問題一帶有Peano余項的Taylor公式2帶有Peano型余項的Maclaurin公式二帶有Lagrange型余項的Taylor公式拉格朗日形式的余項證明:幾點說明：2帶有Larange型余項的Maclaurin公式三常見的Maclaurin公式1帶有Peano型余項的Maclaurin公式2帶有Lagrange型余項的Maclaurin公式四常用Maclaurin公式的初步應用1利用上述的Maclaurin公式,可求出其它一些函的Maclaurin公式或Taylor公式2求某種類型的極限例3：求極限解解3在近似計算的應用羅爾定理Lagrange定理柯西定理泰勒公式羅必塔法那么條件，結論五小結作業P1411(1)(2),2(2),3(2),5(1)函數極值的定義§4函數的極值與最大(小)值復習定義函數的極大值與極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.函數極值的求法Fermart定理定義注意:例如,此外不可導點也可能取極值(是極值點情形)一極值的判別１極值的第一充分條件２極值的第二充分條件定理6.11(不是極值點情形)3極值的第三充分條件解,現列表討論00不存在1-3二極值的判別應用舉例012301234533.544.555.566.57105110115120125130135140145150155

例２求函數

的極值點與極值。

對函數求導,找出穩定點和不可導點解得,穩定點x=6所以,X=6為極小點,

極小值f(6)=108解該定理１２仍然是判定極值的充分條件,例如極值是函數的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.穩定和不可導點統稱為臨界點.函數的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;第三充分條件(注意使用條件)小結思考題:

下命題正確嗎？不正確．例在–1和1之間振蕩故命題不成立．三最大值與最小值

在生產實踐中，為了提高經濟效益，必須要考慮在一定的條件下，怎樣才能是用料最省，費用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題在數學上統統歸結為求函數的最大值或最小值問題。最值問題主要討論問題的兩個方面：最值的存在性；最值的求法。ab再看下面圖像步驟:1.求穩定點和不可導點;2.求區間端點及穩定點和不可導點的函數值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:如果區間內只有一個極值,那么這個極值就是最值.(最大值或最小值)-0.500.511.522.500.511.522.533.544.55

例

5剪去正方形四個角同樣大小的正方形后制成一個無蓋合,

問剪去小正方形邊長為何值時,可使盒子的容積最大.

例5.生產某種商品x個單位的利潤是

P(x)=5000+x-0.00001x2(元)

問生產多少個單位時獲得的