2024屆海南省海口四中高三上數學期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數,關于的方程R)有四個相異的實數根,則的取值范圍是(

)A． B． C． D．2．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度3．已知函數，則不等式的解集是（）A． B． C． D．4．某個小區住戶共200戶，為調查小區居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調查，得到本月的用水量(單位：m3)的頻率分布直方圖如圖所示，則小區內用水量超過15m3的住戶的戶數為()A．10 B．50 C．60 D．1405．已知定義在上的奇函數和偶函數滿足（且），若，則函數的單調遞增區間為（）A． B． C． D．6．博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P27．如果實數滿足條件，那么的最大值為（）A． B． C． D．8．執行如圖所示的程序框圖若輸入，則輸出的的值為（）A． B． C． D．9．函數的大致圖象為（）A． B．C． D．10．已知中內角所對應的邊依次為，若，則的面積為（）A． B． C． D．11．用數學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+112．已知復數（為虛數單位），則下列說法正確的是（）A．的虛部為 B．復數在復平面內對應的點位于第三象限C．的共軛復數 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，滿足，，且已知向量，的夾角為，，則的最小值是__．14．已知一組數據，1，0，，的方差為10，則________15．在正方體中，為棱的中點，是棱上的點，且，則異面直線與所成角的余弦值為__________．16．將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線的參數方程為（，為參數），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線是圓心在極軸上，且經過極點的圓．已知曲線上的點M對應的參數，射線與曲線交于點．（1）求曲線，的直角坐標方程；（2）若點A，B為曲線上的兩個點且，求的值．18．（12分）已知在中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，且．（1）求角A的值；（2）若，設角，周長為y，求的最大值．19．（12分）選修4-4：坐標系與參數方程已知曲線的參數方程是（為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.（1）寫出的極坐標方程和的直角坐標方程；（2）已知點、的極坐標分別為和，直線與曲線相交于，兩點，射線與曲線相交于點，射線與曲線相交于點，求的值.20．（12分）已知點為圓：上的動點，為坐標原點，過作直線的垂線（當、重合時，直線約定為軸），垂足為，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點的軌跡的極坐標方程；（2）直線的極坐標方程為，連接并延長交于，求的最大值.21．（12分）已知函數.（1）若對任意x0，f（x）0恒成立，求實數a的取值范圍；（2）若函數f（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1x2），證明：.22．（10分）已知函數.（1）若函數，求的極值；（2）證明：.（參考數據：）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】=,當時時,單調遞減，時,單調遞增,且當,當,

當時，恒成立，時,單調遞增且,方程R)有四個相異的實數根.令=則,,即.2、D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據題意，故只需把函數的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數的圖象，故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數的平移變換，難度不大.3、B【解析】

由導數確定函數的單調性，利用函數單調性解不等式即可.【詳解】函數，可得，時，，單調遞增，∵，故不等式的解集等價于不等式的解集．．∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了利用導數判定函數的單調性，根據單調性解不等式，屬于中檔題.4、C【解析】從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m3的住戶的頻率為，即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區內用水量超過15立方米的住戶戶數為，故選C5、D【解析】

根據函數的奇偶性用方程法求出的解析式，進而求出，再根據復合函數的單調性，即可求出結論.【詳解】依題意有，①，②①②得，又因為，所以，在上單調遞增，所以函數的單調遞增區間為.故選:D.【點睛】本題考查求函數的解析式、函數的性質，要熟記復合函數單調性判斷方法，屬于中檔題.6、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數，屬于基礎題.7、B【解析】

解：當直線過點時，最大，故選B8、C【解析】

由程序語言依次計算，直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當n=2時，時，，此時輸出.故選：C【點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結果，屬于基礎題9、A【解析】

利用特殊點的坐標代入，排除掉C，D；再由判斷A選項正確.【詳解】，排除掉C，D；，，，.故選：A．【點睛】本題考查了由函數解析式判斷函數的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，屬于中檔題.10、A【解析】

由余弦定理可得，結合可得a，b，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，由，解得，所以，.故選：A.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.11、C【解析】

首先分析題目求用數學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【點睛】本題主要考查數學歸納法，屬于中檔題./12、D【解析】

利用的周期性先將復數化簡為即可得到答案.【詳解】因為，，，所以的周期為4，故，故的虛部為2，A錯誤；在復平面內對應的點為，在第二象限，B錯誤；的共軛復數為，C錯誤；，D正確.故選：D.【點睛】本題考查復數的四則運算，涉及到復數的虛部、共軛復數、復數的幾何意義、復數的模等知識，是一道基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求的最小值可以轉化為求以AB為直徑的圓到點O的最小距離，由此即可得到本題答案.【詳解】如圖所示，設，由題，得，又，所以，則點C在以AB為直徑的圓上，取AB的中點為M，則，設以AB為直徑的圓與線段OM的交點為E，則的最小值是，因為，又，所以的最小值是.故答案為：【點睛】本題主要考查向量的綜合應用問題，涉及到圓的相關知識與余弦定理，考查學生的分析問題和解決問題的能力，體現了數形結合的數學思想.14、7或【解析】

依據方差公式列出方程，解出即可．【詳解】，1，0，，的平均數為，所以解得或．【點睛】本題主要考查方差公式的應用．15、【解析】

根據題意畫出幾何題，建立空間直角坐標系，寫個各個點的坐標，并求得.由空間向量的夾角求法即可求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】根據題意畫出幾何圖形，以為原點建立空間直角坐標系：設正方體的棱長為1，則所以所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故答案為：.【點睛】本題考查了異面直線夾角的求法，利用空間向量求異面直線夾角，屬于中檔題.16、【解析】

先求出總的基本事件數，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數，然后根據古典概型求解．【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發宣傳資料的基本事件總數共有個，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數有：個，所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．．（2）【解析】

（1）先求解a,b，消去參數，即得曲線的直角坐標方程；再求解，利用極坐標和直角坐標的互化公式，即得曲線的直角坐標方程；（2）由于，可設，，代入曲線直角坐標方程，可得的關系，轉化，可得解.【詳解】（1）將及對應的參數，代入得，即，所以曲線的方程為，為參數，所以曲線的直角坐標方程為．設圓的半徑為R，由題意，圓的極坐標方程為（或），將點代入，得，即，所以曲線的極坐標方程為，所以曲線的直角坐標方程為．（2）由于，故可設，代入曲線直角坐標方程，可得，，所以．【點睛】本題考查了極坐標和直角坐標，參數方程和一般方程的互化以及極坐標的幾何意義的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）．【解析】

（1）利用正弦定理，結合題中條件，可以得到，之后應用余弦定理即可求得；（2）利用正弦定理求得，求出三角形的周長，利用三角函數的最值求解即可.【詳解】（1）由已知可得，結合正弦定理可得，∴，又，∴．（2）由，及正弦定理得，∴，，故，即，由，得，∴當，即時，．【點睛】該題主要考查的是有關解三角形的問題，解題的關鍵是掌握正余弦定理，屬于簡單題目.19、（1）線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）.【解析】試題分析：（1）（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲線C1的參數方程化為普通方程，進而利用即可化為極坐標方程，同理可得曲線C2的直角坐標方程；

（2）由過的圓心，得得，設，，代入中即可得解.試題解析：（1）曲線的普通方程為，化成極坐標方程為曲線的直角坐標方程為（2）在直角坐標系下，，，恰好過的圓心，

∴由得，是橢圓上的兩點，在極坐標下，設，分別代入中，有和∴，則，即20、（1）；（2）【解析】

（1）設的極坐標為，在中，有，即可得結果；（2）設射線：，，圓的極坐標方程為，聯立兩個方程，可求出，聯立可得，則計算可得，利用三角函數的性質可得最值.【詳解】（1）設的極坐標為，在中，有，點的軌跡的極坐標方程為；（2）設射線：，，圓的極坐標方程為，由得：，由得：，，，當，即時，，的最大值為.【點睛】本題考查極坐標方程的應用，考查三角函數性質的應用，是中檔題.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出，判斷函數的單調性，求出函數的最大值，即求的范圍；（2）由（1）可知，.對分和兩種情況討論，構造函數，利用放縮法和基本不等式證明結論．【詳解】（1）由，得.令.當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，.對任意恒成立，.（2）證明：由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，.若，則，令在上單調遞增，，.又，在上單調遞減，.若，則顯然成立.綜上，.又以上兩式左右兩端分別相加，得，即，所以.【點睛】本題考查利用導數解決不等式恒成立問題，利用導數證明不等式，屬于難題.22、（1）見解析；（1）見證明【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（1）問題轉化為證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，根據xlnx≤x（x﹣1），問題轉化為只需證明當x＞0時，ex﹣1x1+x﹣1＞0恒成立，令k（x）＝ex﹣1x1+x﹣1，（x≥0），根據函數的單調性證明即可．【詳解】（1），，當，，當，，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（1）要證f（x）+1＜ex﹣x1．即證ex﹣x1﹣xlnx﹣1＞0，先證明lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣