2023年遼寧省丹東市中考數學一模試卷

一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.（3分）-6的相反數是（）

A.-6B.，C.6D.A

66

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.a3,a4=anB.(〃3)2=a5

C.（a2b3）2=q%5D.ay-i-a3—a4

3.（3分）右圖是由幾個完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

4.（3分）某學校準備從甲，乙，丙，丁四名同學中選擇一名同學代表學校參加市里舉辦的

“古詩詞大賽”，四名同學平時成績的平均數（單位:分）及方差如下:，而=94,$百=0.7;

”=96,_15；73=93,$幺=11;XT=96,_n7,如果要選出一個平

X乙3乙X?JX丙3丙人1X丁3丁u.r

時成績好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學參賽，那么應該選擇的同學是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.（3分）函數丫=&2的自變量x的取值范圍是（）

x-3

A.x#3B.x>0且x#3C.x20且x#3D.x>2且

6.（3分）將含45°角的一個直角三角板和一把直尺如圖放置，若N2=60°,則N1的度

數是（）

45

2八八1

A.60°B.70°C.75°D.80°

7.（3分）在某次體育測試中，九年級一班女同學的一分鐘仰臥起坐成績（單位：個）如下

表：

成績454647484950

人數124251

這此測試成績的中位數和眾數分別為（）

A.47,49B.47.5,49C.48,49D.48,50

8.（3分）如圖，已知矩形A3CD,A5=4,3c=7,以3為圓心，以小于A5長為半徑畫弧,

分別交AB,BC于點E,F,分別以￡,尸為圓心，以大于/EF長為半徑畫弧，兩弧交于

點尸，作射線8尸交AO于點G,連接CG,則△CDG的周長為（）

BIFC

A.10B.11C.12D.13

9.（3分）已知菱形ABC。邊長為6,對角線4c和3。交于點0,以。為圓心，以。3長

為半徑的圓恰好經過菱形各邊中點￡,F,GH,則陰影部分的面積為（）

D

B

A.671-973B.671-873c.3n-|V3D.3兀-4?

10.（3分）已知拋物線＞=0?+以+。（aWO）與x軸交于點4（3,0）,與y軸交于點C,且

滿足a+Hc=l,結合圖象分析下列結論：①而c>0；②方程ax2+bx+c=/■有兩個不相

2a

等的實數根；③點E（￡,1）在拋物線上，則7a+2b=0；④一次函數y=Ax+w（ZWO）

滿足葉機=1,則一次函數的圖象與拋物線總有公共點.其中正確的結論有（）

二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）火星圍繞太陽公轉的軌道半徑長約為230000000km,數據230000000用科學記

數法表示為.

12.（3分）分解因式：3;？-6/+3x=.

13.（3分）若關于x的一元二次方程/+2x+a=0有實數根，則。的取值范圍是.

14.（3分）在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余

均相同.若從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為2,則黃球的個數為個.

3

15.（3分）不等式組［x+&<8，的解集為___________.

（3x-l>8

16.（3分）某氣球內充滿了一定量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p（kPa）是

氣體體積V（帆3）的反比例函數，其圖象如圖所示.當氣體體積為1加3時，氣壓是

17.（3分）如圖，在平面直角坐標系中，4,B,C三點的坐標分別為：A（-1,0）,B（3,

0）,C（0,M）,將△ABC繞頂點C逆時針旋轉一個角度，使點A恰好落在x軸的A'

點處，8點的對應點為8'點，則點B'的坐標為.

y

A0|A，Bx

18.（3分）如圖，己知在矩形A8CO中，AB=5,BC=4,點M,N分別在邊CO和AB上,

沿著MN折疊矩形ABCD,使點A的對應點A'始終落在邊BC上，點。的對應點為點。'，

連接AA',BD,則下列結論正確的有（填序號）.

①若點A'是BC邊的中點，則tan/A4'N=Z；

_5

②折痕MN長度的取值范圍為4WMNW全叵；

5

③當A'D'〃B。時，點M是邊CD的一個四等分點；

④連接㈤V,當A'C=03-l時，AEN是等腰直角三角形.

三、解答題（第19題8分，第20題14分，共22分）

19.（8分）先化簡，再求值：-3X49------2x-6其中x=2sin30°-3.

X2+6X+9X2-9X+3

20.（14分）某校團委要組織班級歌詠比賽，為了將一首喜歡人數最多的歌曲作為每班必唱

歌曲，團委提供了代號為A,B,C,。四首備選歌曲讓學生選擇（每個學生只選擇一首）,

經過抽樣調查后，將得到的數據繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請根據圖1,圖2提供

的信息，解答下列問題：

圖2

（1）在這次抽樣調查中，抽取的人數為人，圖1中的m=；

（2）求出圖1中。所在扇形的圓心角度數，并補全圖2中的條形統計圖；

（3）已知該校共有480名學生，據抽樣調查結果，估計全校選擇歌曲代號為。的學生人

數.

（4）現從甲，乙，丙，丁四名學生中，任選兩人擔任“歌詠比賽宣傳員”，求甲被選到

的概率.

四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）

21.（12分）八年（1）班學生周末乘汽車到抗美援朝紀念館參觀，紀念館距離學校60幼葭-

部分學生乘慢車先行，出發(fā)0.5力后，另一部分學生乘快車前往，結果他們同時到達紀念

館.已知快車的速度是慢車速度的1.5倍，求慢車的速度.

22.（12分）如圖，AB是。。的直徑，C是。。上的一點，點。是的中點，過點。作

。及LAC交AC延長線于點E,OE所在直線交48的延長線于點尸，連接4。，CD.

（1）請判斷直線EF與。。的位置關系，并說明理由；

（2）若12,求CQ的長.

23.（12分）如圖，大樓AB高30m，遠處有另一大樓C￡>,某測繪小組在3處測得。點的

仰角為47.5°,在A處測得。點的仰角為26.1°,求大樓的高及兩樓之間的距離BC.

（參考數據：sin47.5°-0.74,cos47.5°=0.68,tan47.50F.09,sin26.1°-0.44,

cos26.10弋0.90,tan26.l°g0.49)

六、解答題（本題12分）

24.（12分）草莓是深受大家喜愛的一種水果，某超市每天調運一批成本價為每千克20元

的草莓，以不低于成本價且不超過每千克30元的價格銷售，每天銷售草莓的數量y（千

克）與每千克的售價x（元）之間的函數關系如圖所示：

（1）請直接寫出y與x的函數關系式；

（2）該超市將草莓的每千克售價定為多少元時，每天銷售草莓的利潤可達到500元；

（3）當草莓的每千克售價定為多少元時，該超市每天獲利最大？最大利潤是多少元？

y（千克）

°2030工阮）

七、解答題（本題12分）

25.（12分）已知正方形ABCQ和等腰直角三角形AEF,ZEAF=90°,連接BQ,BE,BF,

（1）如圖1,當點B,A,F在一條直線上時，請直接寫出線段G”與G/的關系；

（2）如圖2,將△AEF繞點A順時針旋轉a（0°<a<90°）,判斷線段GH與G/的關

系，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，若AB=4,AE=3,/\ADE,AABF,△G”/的面積分別為Si,

S2,s.

①請直接寫出Si與S2大小關系；

c+S

②直接寫出s-_i%2的值.

八、解答題(本題14分)

26.(14分)如圖，拋物線丫=依2+法+4與x軸交于A(-3,0),B(4,0)兩點，與y軸

交于點C,點P是拋物線上的一個動點，過點P作直線PDLx軸，垂足為。，直線PO

交直線3c于點E,過點P作直線尸尸_Ly軸，垂足為F,直線PF與直線BC的交點為G,

設點P的橫坐標為m.

圖1圖2

(1)求拋物線的表達式；

(2)若-3＜4且mWO,當尸E=2CF時，請求出點P的坐標；

(3)若0＜機＜4,作直線AC,在直線AC上有一動點Q,連接3。，GQ,當/8QG=

45°時，請直接寫出滿足條件的BG的最小值以及此時點尸的坐標.

2023年遼寧省丹東市中考數學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的）

1.（3分）-6的相反數是（）

A.-6B.」C.6D.A

66

【解答】解：-6的相反數是6,

故選：C.

2.（3分）下列運算正確的是（）

A.?3,?4=a12B.(a3)2="5

C.（a2b3）2=小5D.aJ-i-a3=a4

【解答】解：A.I./：/,故選項A不正確，不符合題意;

B.（『）2=〃6,故選項8不正確，不符合題意；

C.（//）2=“%6,故選項c不正確，不符合題意；

D./+/故選項。正確，符合題意;

故選：D.

3.（3分）右圖是由幾個完全相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

【解答】解：從上面向下看是4列，第1,2,3列有1個小正方形，第4列有2個小正

方形，如圖所示：

4.（3分）某學校準備從甲，乙，丙，丁四名同學中選擇一名同學代表學校參加市里舉辦的

“古詩詞大賽”，四名同學平時成績的平均數（單位:分）及方差如下:.=94,SM=0.7；

”=96,§馬=15；7^=93，§幺=11；火丁=96,2_Q7,如果要選出一個平

X乙3乙&JX丙3丙1X丁3丁g51

時成績好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學參賽，那么應該選擇的同學是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：由圖表可知，乙、丁的平均成績較好，應從乙、丁中選，

由于s2>sQ

故乙的方差大，波動大，

則選一個成績較好且狀態(tài)穩(wěn)定的運動員去參賽，應選丁.

故選：D.

5.（3分）函數丫二5二2的自變量x的取值范圍是（）

x-3

A.xW3B.x>0且xW3C.且xW3D.x>2且xW3

【解答】解：根據題意可得：［x>°,

Ix-3盧。

解得：x20且x#3

故選：C.

6.（3分）將含45°角的一個直角三角板和一把直尺如圖放置，若N2=60°,則N1的度

【解答】解：如圖所示,

'JAB//FG,

.?.N2=NAC￡）=60°,

VZD=45°,ZE=90°,

AZDC￡=45°,

AZBC￡=180°-ZACD-ZDCE=J5°,

\'AB//FG,

：.NT=NBCE=75°.

7.（3分）在某次體育測試中，九年級一班女同學的一分鐘仰臥起坐成績（單位：個）如下

表：

成績454647484950

人數124251

這此測試成績的中位數和眾數分別為（）

A.47,49B.47.5,49C.48,49D.48,50

【解答】解：49出現的次數最多，出現了5次，所以眾數為49,

第8個數是48,所以中位數為48,

故選：C.

8.（3分）如圖，已知矩形ABC。，48=4,BC=I,以3為圓心，以小于A3長為半徑畫弧,

分別交AB,BC于點E,F,分別以E,尸為圓心，以大于/EF長為半徑畫弧，兩弧交于

點P,作射線BP交AO于點G,連接CG,則△C￡>G的周長為（）

【解答】解：由題意可得，BG平分NABC,

:.NABG=NCBG,

???矩形ABC。，A8=4,8c=7,

：.CD=AB=4fAD//BC,AD=BC=1,

：.NAGB=NCBG,

：.NABG=NAGB,

?"8=AG=4,

：.DG=AD-AG=3,

VZD=90°,

CGWDG2MD2=5,

/.△CDG的周長為8+DG+CG=4+3+5=12.

故選：C.

9.（3分）已知菱形ABC。邊長為6,對角線AC和BO交于點0,以。為圓心，以。8長

為半徑的圓恰好經過菱形各邊中點E,F,G,H,則陰影部分的面積為（）

A.6兀-9?B.6兀-8?C.3兀得我D.3兀-4百

【解答】解：如圖所示，連接。H,

四邊形ABCD是菱形，

C.ACVBD,即NAO￡>=90°,

?.,以O為圓心，以OB長為半徑的圓恰好經過菱形各邊中點E,F,G,H,

.1

??OD=OH=HD^-AD=3>

.?.△OOH是等邊三角形,

AZ/7OD=60°,

?.?菱形和圓都是軸對稱圖形，

四個位置的陰影面積都相等，

,陰影部分的面積

4X(S扇形0DH-S/k0DH)=4X(603籍X3^X3?)=6冗-9?-

故選：A.

10.(3分)已知拋物線>=/+法+。(。#0)與x軸交于點A(3,0),與y軸交于點C,且

滿足a+Hc=l,結合圖象分析下列結論：①。兒>0；②方程ax?+bx+c=M有兩個不相

2a

等的實數根；③點E(2,1)在拋物線上，則7a+2b=0；④一次函數y="+,"(A#0)

滿足什〃?=1,則一次函數的圖象與拋物線總有公共點.其中正確的結論有()

【解答】解：???圖象開口向下,

：.a<0,

；對稱軸為x=」->0，

2a

：.b>0,

?.?圖象與y軸交于負半軸，

.".c<0,

ahc>0,故①正確;

；對稱軸為x=」->0,

2a

0'

/a

由圖象可得，當y上時，有兩個對應的X的值，

y2a

二方程ax2+bx+c=且有兩個不相等的實數根，故②正確；

2a

?滿足a+h+c=1,

:.當x=1時，y=a+b^-c=1,

???拋物線經過點（1,1）,

?.?點E（5,.在拋物線上,

拋物線的對稱軸為，W』，

24

...上上，整理得7。+26=0,故③正確；

2a4

；一次函數曠=h+〃2（Z￥0）滿足&+機=1,

.,.當x=l時，y=k+m=l,

...一次函數經過點（1,1）,

?.?拋物線經過點（1,1）,

...一次函數與拋物線有公共點（1,1）,故④正確.

綜上所述，正確的結論有①②③④，共4個.

故選：D.

二、填空題（本題共8個小題，每小題3分，共24分）

11.（3分）火星圍繞太陽公轉的軌道半徑長約為230000000A",數據230000000用科學記

數法表示為2.3X108.

【解答】解：230000000=2.3X108.

故答案為:2.3X108.

12.（3分）分解因式：3?-6?+3x=3x（x-1）2.

【解答】解:3X3-6x2+3x

=3x（/-2x+l）

=3x（x-1）2；

故答案為：3x（x-1）2.

13.（3分）若關于x的一元二次方程/+2x+a=0有實數根，則〃的取值范圍是aWl.

【解答】解：因為關于x的一元二次方程有實根，

所以A—b2-4ac—4-4a20,

解之得aWl.

故答案為aWl.

14.（3分）在一個不透明的盒子中裝有8個白球，若干個黃球，它們除顏色不同外，其余

均相同.若從中隨機摸出一個球，它是白球的概率為2,則黃球的個數為4個.

3

【解答】解：???在一個不透明的盒子中裝有8個白球，從中隨機摸出一個球，它是白球

的概率為2,

3

設黃球有x個，根據題意得出：

???---8-—_—2,

8+x3

解得：x—4.

故答案為：4.

x+3<8,的解集為3Wx<5

15.（3分）不等式組

[3x-l>8

【解答】解:x+3<8(?,

3x-l》8②‘

由不等式①可得x<5,

由不等式②可得x23,

不等式組解集為：3Wx<5.

故答案為：3Wx<5.

16.（3分）某氣球內充滿了一定量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p（kPa）是

氣體體積V（機3）的反比例函數，其圖象如圖所示.當氣體體積為1,/時，氣壓是96

V

由題意知120=」_,

0.8

所以々=96,

故「=晅；

V

當y=l加時<P=_^_=96（kPa）；

故答案為：96.

17.(3分)如圖，在平面直角坐標系中，A,B,C三點的坐標分別為：A(-1,0),8(3,

0),C(0,我)，將△ABC繞頂點C逆時針旋轉一個角度，使點A恰好落在x軸的A'

點處，8點的對應點為夕點，則點)的坐標為_(3,2A/3)_.

【解答】解：如圖所示，作8'軸交y軸于點，

AC=VA02K：02=2'

.\AC=2AO,

VZAOC=90°,

：.ZACO=30a,ZA=60°,

?.?將△ABC繞頂點C逆時針旋轉一個角度，使點A恰好落在x軸的A，點處,

：.AC=A'C,

.?.△AA'C是等邊三角形，

AZACA'=60°,

.?.NA'CO=30°,

"：B(3,0),C(0,V3),

BC=VoC2+0B2，

：.BC=2OC,NCO8=90°

，NB=30°,ZOCB=60°,

AZACB=90°,

，NA'CB'=NACB=90°,

：.ZDCB'=60°,

?.?將△ABC繞頂點C逆時針旋轉一個角度，使點A恰好落在x軸的A'點處，8點的對

應點為B'點，

?/C=BC=2V3?

'：B'軸，

CD-|BZC=F，

???B，D=VBZC2-CD2=3'

??-0D=0C-K：D=2V3.

...點8'的坐標為（3,2炳）,

故答案為：（3,2V3）.

18.（3分）如圖，已知在矩形A8CZ）中，AB=5,BC=4,點M,N分別在邊C￡>和AB上,

沿著MN折疊矩形4BC￡>,使點A的對應點4'始終落在邊8c上，點。的對應點為點。'，

連接A4',BD,則下列結論正確的有①②④（填序號）.

①若點A'是BC邊的中點，則tanN/L4'N=Z；

5

②折痕MN長度的取值范圍為4WMNW^L；

5

③當A'D'〃B。時，點M是邊CO的一個四等分點；

④連接EM當A'C=JT5-1時，XNEN是等腰直角三角形.

【解答】解：???點A'是8C邊的中點，BC=4,矩形ABC。,

.?.A'B=A'C=2,NABC=90°,

'：AN=A'N,

ZA4,N=/A'AN,

tanZAA'N=tan/A'AN上故①符合題意；

AB5

???沿著MN折疊矩形ABC。，使點4的對應點A'始終落在邊BC上，

...當A'與B重合時，折痕此時折痕最短，且MN=BC=4,

當A'與C重合時，折痕最長，如圖，連接AC,

由勾股定理可得：AC=V52+42=V41'

由折疊的性質可得：NACW=90°,ZANO=ZCNO,^=QQ=J^-,

由矩形的性質可得：AB//CD,

NCMN=NANM,

：.4CMN=ZCNM,

：.CM=CN,

：.MO=NO,

./34ONON

??tanZCAB丁=777~)

5AOv41

_~2~

?”2面

?-0N=——，

b

?24Vzi

,,MN=-z—，

b

?，4<MN=4"'4I；故②符合題意;

5

如圖，連接AM,A'M,

???矩形A8CD,AB=5,8C=4,

Z.ZADC=ZC=90°,CD=AB=5,AD=BC=4,

'：A'D'//BD,

：./\CA'Es^CBD,

.A'C二CE.即A'C=BC=4.

'BC'CD'CEFT

設A'C=4Z,則CE=5Z,A'E=V41k>

設DM=x(0WxW5),則CM=5-x,

由對折可得：AM=A'M,DM=D'M=x,ZADC=ZD'=ZC=90°,

AD7E=4-V41k.

由4加2=。序+4。2,A，M1=CM1+A'C2,

.*.X2+42=(5-x)2+(4%)2,

二16必-10x+9=0,

VZD,=NC=90°,ND'EM=NCEA',

EM^/\CEA',

?DzEDzM

-CEnA'C'

?4-VZIkx

5kW

?,_16-5x

,,k=wzr,

16X(胃::)-10x+9=0,

.,.5?-U4x+125=0,

,57+8面〉(舍去),57-8?

X15x25

二:/：工,1?故③不符合題意；

54

由折疊可得：A'N=AN,ND'A'N=NDAN=90°,

設BN=m("?>0),AN=A'N=5-m,

:A'C=V1O-1.BC=4,

?,?A'B=5-V10.

,?m2+(5~V10)2=(5-m)%

解得：mW10-1,

???BN=AyC=V10-l>

?.,/ABC=NC=90°,ZEA'N=9O°,

/.ZA,EC+ZCA'E=90°=NNA'B+ZEA'C,

：.ZAzEC=ZNA'B,

.?.△NA'B@zM'EC,

：.A'N=A'E,

??.△4'EN是等腰直角三角形，故④符合題意.

故答案為：①②④.

三、解答題(第19題8分，第20題14分，共22分)

19.(8分)先化簡，再求值：-3任9---紅曳._2_,其中x=2sin30°-3.

X2+6X+9X2-9X+3

［解答］解：一----紅曳

X2+6X+9X2-9X+3

=3(x+3)_2(x-3)x+3

(x+3)2(x-3)(x+3)2

_3~x~3

x+3

=,

x+3

當x=2sin30°-3=2X^-3=l-3=-2時，

20.（14分）某校團委要組織班級歌詠比賽，為了將一首喜歡人數最多的歌曲作為每班必唱

歌曲，團委提供了代號為A,B,C,。四首備選歌曲讓學生選擇（每個學生只選擇一首）,

經過抽樣調查后，將得到的數據繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請根據圖1,圖2提供

的信息，解答下列問題：

人數

60

50

40

20%/\

B/m%30

2()

1()

0

ABCD

(1)在這次抽樣調查中，抽取的人數為160A,圖1中的，=15；

(2)求出圖1中。所在扇形的圓心角度數，并補全圖2中的條形統計圖；

(3)已知該校共有480名學生，據抽樣調查結果，估計全校選擇歌曲代號為。的學生人

數.

(4)現從甲，乙，丙，丁四名學生中，任選兩人擔任“歌詠比賽宣傳員”，求甲被選到

的概率.

【解答】解：(1)由題意可得，本次抽樣調查中，總人數為32?20%=160人，

選擇曲目代號為A的學生占抽樣總數的百分比為：244-160X100%=15%,

??m=15,

故答案為：160,15；

(2)由題意可得，選擇C的人數有：160-24-32-64=40(人)，

故補全的圖如圖所示，

60

50

40

川

20

10

360°*而設4

.?.O所在扇形的圓心角度數為144°；

（3）由題意可得，全校選擇此必唱歌曲共有：480X旦=192人），

160

答：估計全校選擇曲目代號為。的學生有192名；

（4）

甲乙丙T

甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）

乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）

T（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）

由表格可得，一共有12種等可能得情況，其中甲被選到的情況有6種，

甲被選到的概率為

122

四、解答題（第21題12分，第22題12分，共24分）

21.（12分）八年（1）班學生周末乘汽車到抗美援朝紀念館參觀，紀念館距離學校606.一

部分學生乘慢車先行，出發(fā)0.5〃后，另一部分學生乘快車前往，結果他們同時到達紀念

館.已知快車的速度是慢車速度的1.5倍，求慢車的速度.

【解答】解：設慢車的速度為xkm/h,則快車的速度為\.5xkmlh,根據題意，得

60601.

x1.5x2

解得：x=40.

經檢驗：x=40是原方程的解且符合題意；

答：慢車的速度為40粒/兒

22.（12分）如圖，A8是0。的直徑，C是。。上的一點，點。是8c的中點，過點。作

OE_LAC交4c延長線于點E,OE所在直線交AB的延長線于點尸，連接A。，CD.

（1）請判斷直線EF與。。的位置關系，并說明理由；

（2）若AC?BF=12,求CQ的長.

【解答】（1）證明：連接。。，如圖所示,

:.CD=BD,

：.ZCAD=ZBAD,

?：OA=OD,

：.ZBAD=ZADOf

：.ZCAD=ZADO,

：.AC//OD,

DE-LAC,

：.DE±ODf

???o。是。。的半徑，

???E/是。。的切線；

(2)如圖所示，連接8D,

4AD0+/0DB=/BDF+/ODB,

：.ZADO=/BDF,

?.,ZOAD=/ODA=/CAD,

:?/BDF=/CAD,

又:/4。。+/43。=/。3尸+/43。=180°,

??.NACD=NDBF,

:./\ACDs/\DBF,

??.—AC二CD，，

BDBF

即AC?BF=BD?CD=CD2,

:.U^CD2,

解得CD=2?.

五、解答題(本題12分)

23.(12分)如圖，大樓AB高30w，遠處有另一大樓CQ,某測繪小組在5處測得。點的

仰角為47.5°,在A處測得。點的仰角為26.1°,求大樓CD的高及兩樓之間的距離8c.

(參考數據：sin47.5°*=0.74,cos47.5°弋0.68,tan47.5°?=1.09,sin26.1°*==0.44,

cos26.1°g0.90,tan26.l°仁0.49)

【解答】解：設8C=AE=x,

：.DC=BC-tan47.5o?=1.09x,

￡>E=A￡?tan26.1°^0.49x,

'：AB=CE=DC-￡>E=30,

A1.09x-0.49x=30,

解得：x=50,

：.BC=50m.

，8=1.09X50=54.5(w).

答：大樓CD高為54.5/n,兩樓之間的距離BC為50〃?.

D

六、解答題（本題12分）

24.（12分）草莓是深受大家喜愛的一種水果，某超市每天調運一批成本價為每千克20元

的草莓，以不低于成本價且不超過每千克30元的價格銷售，每天銷售草莓的數量y（千

克）與每千克的售價x（元）之間的函數關系如圖所示：

（1）請直接寫出y與x的函數關系式；

（2）該超市將草莓的每千克售價定為多少元時，每天銷售草莓的利潤可達到500元；

（3）當草莓的每千克售價定為多少元時，該超市每天獲利最大？最大利潤是多少元？

y（千克）

°2030工阮)

【解答】解：(1)設函數解析式為:產H+6,代入(20,120),(30,80),

得［120=20k+b,

|80=30k+b'

解得修4,

lb=200

與x的函數關系式為：y=-4x+200(20&W30).

(2)利潤為：(x-20)(-4X+200)=500,

解得：x=25或45,

：20WxW30,

.".x—25,

答：每千克售價定為25元時，每天銷售草莓的利潤可達到500元.

（3）設利潤為W,

則W=（x-20）（-4x+200）,

令W=(x-20)(-4x+200)=0,

解得xi=20,12=50,

.?.對稱軸為號2=35，

：20WxW30,

，x=30時，Wmax=(30-20)(-4X30+200)=800(元).

答：當草莓的每千克售價定為30元時，該超市每天獲最大利潤是800元.

七、解答題(本題12分)

25.(12分)已知正方形ABCO和等腰直角三角形AEF,ZEAF=90°,連接BE,BF,

OE,點G,H,/分別為線段8。，BF,OE的中點，連接GH,GI,HI.

圖1

(1)如圖1,當點8,A,尸在一條直線上時，請直接寫出線段G”與G/的關系；

(2)如圖2,將△AEF繞點4順時針旋轉a(0°<a<90°),判斷線段GH與G/的關

系，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，若4B=4,AE=3,AADE,AAfiF,△G”/的面積分別為Si,

Sz,S.

①請直接寫出s與52大小關系；

②直接寫出的值.

【解答】解：(1)GH=G/且G”_LG/,

如圖，連接OF,延長BE交DF于P,

BHA

?；四邊形A8CD是正方形,

：.AB=AD,ZBAC=90°,

：.ZBAE=ZDAF,

?.?△4EF是等腰直角三角形，

：.AE=AF,

在△BAE和△ZMF中，

'AB=AD

,ZBAE=ZDAF?

AE=AF

：./\BAE^^DAF(SAS),

:.BE=DF,ZABE=ZADF,

；點G,H,/分別為線段B。，BF,QE的中點,

???GI-|BE-GWBE,

GH=yDF-GH//DF,

：.GI=GH；

?；NABE+NBEA=90°,NBEA=/DEP,

：.ZABE+ZDEP=90°,

AZADF+ZDEP=90°,

：.BELDFf

:?BELGH,

：.GI.LGH；

故GH=G/_aGHLGl.

(2)6”=6/且6”_1_6/,

如圖，連接OF交BE于Q,AO與BE交于M,

由(1)得：AE=AF,ZBAM^ZEAF=90°,

NBAM+/DAE=NEAF+NDAE,

：.NBAE=NDAF,

在△BAE和△D4F中，

，AB=AD

<ZBAE=ZDAF-

AE=AF

：./\BAE^/\DAF(SAS),

：.BE=DF,ZABE=ZADF,

；點G,H,/分別為線段30,BF,Z)E的中點,

???GI-|BE-GI//BE,

GH=yDF'GH//DF,

:.GI=GH；

?.?NA3M+N8MA=90°,/BMA=/DMQ,

：.ZABM+ZDMQ=90°,

AZADF+ZDMQ=90°,

：.BE1.DF,

:?BE工GH,

：.GI.LGH；

故GH=G/且G”_LG/.

(3)①如圖，過b作交84的延長線于0,過后作EMLAO,

.../4NE=NOAF=90°,

AZMO+ZOAE=90°,NEAN+N0AE=9Q°,

:.NFAO=NEAN,

在△E4。和△EAN中，

"ZANE=ZOAF

<ZFAO=ZEAN-

AF=AE

:Zkgl\EAN(AAS),

：.FO=EN,

11

?S1-^AD'NE-Sn^-AB'FO'

y.'：AD=AB,

，Si=S2.

②由(2)得：BE=DF,BELDF,

=I

2

=-^BE2-

o

112

S四邊形BFED至BE?DF=,BE，

129

SAEAF"7AEW，