4．3．2等比數列的前n項和公式【題型歸納目錄】題型一：等比數列前項和的有關計算題型二：等比數列前項和在幾何中的應用題型三：等比數列前項和的性質題型四：遞推公式在實際問題中的應用題型五：利用錯位相減法求數列的前項和題型六：等比數列前n項和公式的實際應用題型七：等比數列中與的關系題型八：等比數列片段和的性質題型九：等比數列的奇數項與偶數項和【知識點梳理】知識點一、等比數列的前項和公式等比數列的前項和公式推導過程：（1）利用等比性質由等比數列的定義，有根據等比性質，有所以當時，或．（2）錯位相減法等比數列的前n項和，①當時，，；②當時，由得：所以或．即知識點詮釋：①錯位相減法是一種非常常見和重要的數列求和方法，適用于一個等比數列和一個等比數列對應項的積組成的數列求和問題，要求理解并掌握此法．②在求等比數列前項和時，要注意區分和．③當時，等比數列的兩個求和公式，共涉及、、、、五個量，已知其中任意三個量，通過解方程組，便可求出其余兩個量．知識點二、等比數列前項和的函數特征1、與的關系（1）當公比時，等比數列的前項和公式是，它可以變形為，設，則上式可以寫成的形式，由此可見，數列的圖象是函數圖象上的一群孤立的點；（2）當公比時，等比數列的前項和公式是，則數列的圖象是函數圖象上的一群孤立的點．2、與的關系當公比時，等比數列的前項和公式是，它可以變形為設，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數．知識點三、等比數列前項和的性質1、等比數列中，若項數為，則；若項數為，則．2、若等比數列的前n項和為，則，，…成等比數列（其中，，…均不為0）．3、若一個非常數列的前n項和，則數列為等比數列．【題型歸納目錄】題型一：等比數列前項和的有關計算題型二：等比數列前項和在幾何中的應用題型三：等比數列前項和的性質題型四：遞推公式在實際問題中的應用題型五：利用錯位相減法求數列的前項和題型六：等比數列前n項和公式的實際應用題型七：等比數列中與的關系題型八：等比數列片段和的性質題型九：等比數列的奇數項與偶數項和【典型例題】題型一：等比數列前項和的有關計算例1．（2023·甘肅定西·高二甘肅省臨洮中學?？茧A段練習）已知等比數列的前n項和為．若，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當時，，解得，，當時，，兩式相減得，即，且滿足上式，故，所以等比數列的首項為1，公比為2，又，則、、、…、構成首項為1，公比為16的等比數列，故．故選：C例2．（2023·河南南陽·高二?？茧A段練習）數列：，，，，…，，…的前n項和＝（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，得該數列的通項公式為，∴．故選：A．例3．（2023·安徽合肥·高二?？茧A段練習）已知數列滿足，則數列的前項和為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，可得，即，所以數列是公比為的等比數列，又由，可得，所以數列的前項和.故選：C.變式1．（2023·山東青島·高二統考期中）設是數列的前項和，,，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是數列的前項和，，，所以，，所以，數列為等比數列，且其首項為，公比為，則，解得.故選：A.變式2．（2023·四川綿陽·統考模擬預測）已知等比數列的前項和為，且，則（

）A．3 B．5 C．30 D．45【答案】D【解析】若公比，則，，右邊，等式不成立，故，則，顯然，所以，解得，又因為，代入得，所以，故選：D.變式3．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知數列為等比數列，為的前項和，且，，則（

）A．8 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】設等比數列的公比為，，解得，所以.故選：A變式4．（2023·陜西渭南·高二?？茧A段練習）設等比數列的前項和為，若，，則（

）A．81 B．24 C． D．【答案】C【解析】由題設，則，又，則，所以，等比數列的公比，故.故選：C變式5．（2023·陜西榆林·高二統考期末）設等比數列的前項和為，已知，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【解析】設等比數列公比為，則有，解得，，則有，得.故選：D【方法技巧與總結】等比數列前n項和運算的技巧（1）在等比數列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：、、、、，其中首項和公比為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．（2）對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換，如，都可看作一個整體．（3）在解決與前項和有關的問題時，首先要對公比或進行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．題型二：等比數列前項和在幾何中的應用例4．（2023·遼寧朝陽·高二校聯考階段練習）復印紙按照幅面的基本面積，把幅面規格分為A系列、B系列C系列，其中B系列的幅面規格為：，，，…，，所有規格的紙張的長度（以表示）和幅寬（以y表示）的比例關系都為；將紙張沿長度方向對開成兩等分，便成為規格；將紙張沿長度方向對開成兩等分，便成為規格；…，如此對開至規格．現有，，…，紙各一張，已知紙的幅寬為1m，則，，…，這8張紙的面積之和是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意，可得的長、寬分別為，1，的長、寬分別為1，，的長、寬分別為，，…，所以，，…，的面積是首項為，公比為的等比數列，所以，，…，這8張紙的面積之和為.故選：C例5．（2023·遼寧沈陽·高二沈陽二十中?？茧A段練習）“康托爾塵埃”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成9個邊長為的小正方形，保留靠角的4個小正方形，記4個小正方形面積之和為；然后，將剩余的4個小正方形分別繼續9等分，分別保留靠角的4個小正方形，記16個小正方形面積之和為；…；操作過程不斷進行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃．若，則操作次數n的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】是邊長為的4個正方形的面積之和，故；是邊長為的個正方形的面積之和，故；以此類推得：從而，所以，函數關于單調遞減，且時，，時，，故最小值取3.故選：C例6．（2023·高二課時練習）侏羅紀蜘蛛網是一種非常有規則的蜘蛛網，如圖，它是由無數個正方形環繞而成，且每一個正方形的四個頂點都恰好在它的外圍一層正方形四條邊的三等分點上，設外圍第一個正方形的邊長是m，有人說，如此下去，蜘蛛網的長度也是無限的增大，那么，試問，侏羅紀蜘蛛網的長度真的是無限長的嗎？設侏羅紀蜘蛛網的長度為，則（

）A．無限大 B．<3(3＋)mC．＝3(3＋)m D．可以取100m【答案】B【解析】依題意，從外到內正方形的邊長依次為，，，，顯然數列是首項為，公比的等比數列，所以，ACD錯誤，B正確.故選：B變式6．（2023·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，是一塊半徑為的半圓形紙板，在的左下端剪去一個半徑為的半圓后得到紙板，然后依次剪去一個更小的半圓（其直徑為前一個被減掉半圓的半徑）得到紙板，，，．記第塊紙板的面積為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意每次減掉的半圓的半徑分別為，構成以為首項，為公比的等比數列，所以每次減掉的半圓的面積為，構成以為首項，為公比的等比數列，而開始時半圓的面積為，所以第塊紙板的面積為，故選：B.變式7．（2023·廣西南寧·高二統考開學考試）如圖，正方形的邊長為5，取正方形各邊的中點，，，，作第2個正方形，然后再取正方形各邊的中點，，，，作第3個正方形，依此方法一直繼續下去.則從正方形開始，連續10個正方形的面積之和等于（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，將正方形面積按作法次序排成一列得數列，，因為后一個正方形邊長是相鄰前一個正方形邊長的，因此，即數列是等比數列，公比，所以前10個正方形的面積之和.故選：A變式8．（2023·江蘇泰州·高二靖江高級中學?？茧A段練習）如圖，已知正三角形的邊長為1，取正三角形各邊的中點，，，得到第二個正三角形，然后再取正三角形各邊的中點，，，得到第三個正三角形，依此方法一直進行下去，則從第一個正三角形開始，前10個正三角形的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設的面積為，，則可得數列，由已知為線段的中點，為線段的中點，所以又，都為等邊三角形，所以，又，所以數列為等比數列，公比為，所以前10個正三角形的面積之和為，故選：B.【方法技巧與總結】此類幾何問題可以轉化為等比數列模型，利用等比數列的有關知識解決，要注意步驟的規范性．題型三：等比數列前項和的性質例7．（2023·高二課時練習）在等比數列中，是數列的前n項和．若，則.【答案】6【解析】設的公比為q，則，得，∴，即.故答案為：6.例8．（2023·江蘇常州·高二常州市北郊高級中學?？茧A段練習）在等比數列{}中，若，則當……取得最大值時，n=.【答案】6【解析】在等比數列中，，，所以公比，所以，解得，故，易得單調遞減，且，因為，，所以當時，，當時，，所以當取得最大值時，．故答案為：6例9．（2023·吉林·高二東北師大附中?？茧A段練習）已知等比數列的前項和（為常數），若恒成立，則實數的最大值為．【答案】/【解析】當時，，則，所以，，因為，且數列為等比數列，所以，，即，解得，故對任意的，，，由可得，可得，因為，則，且函數在上單調遞增，所以，，故，因此，實數的最大值為.故答案為：.變式9．（2023·廣東廣州·高二統考期末）已知等比數列滿足：，.數列滿足，其前項和為，若恒成立，則的最小值為.【答案】/【解析】設等比數列的公比為，則，解得，所以，，解得，則，所以，，，所以，數列為等差數列，所以，，則，因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，；當時，.又因為，故的最大值為.因此，對任意的恒成立，所以，，故的最小值為.故答案為：.變式10．（2023·湖北·高二十堰一中校聯考期中）已知數列的前n項和為，前n項積為，若，當取最小值時，.【答案】1【解析】由得：，兩式相減整理得，又當時，，解得：，故是首項為，公比為的等比數列，，，可知，則，即當，時，取得最小值，，因為時，；時，，時，取最小值時，此時.故答案為：1.變式11．（2023·山西忻州·高二校聯考階段練習）已知是正項等比數列的前n項和，，則的最小值為．【答案】【解析】設的公比為，因為，則，當且僅當時取等號，故的最小值為故答案為：【方法技巧與總結】處理等比數列前項和有關問題的常用方法（1）運用等比數列的前項和公式，要注意公比和兩種情形，在解有關的方程（組）時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．（2）靈活運用等比數列前項和的有關性質．題型四：遞推公式在實際問題中的應用例10．（2023·黑龍江鶴崗·高二鶴崗一中校考階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E，F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I，J，K，L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續下去.(1)求從正方形ABCD開始，連續10個正方形的面積之和；(2)如果這個作圖過程可以一直繼續下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少？【解析】（1）設正方形ABCD面積為，后繼各正方形的面積依次為則=25，由于第k+1個正方形的頂點分別是第k個正方形各邊的中點，所以，因此是以25為首項，為公比的等比數列.設的前n項和為，根據等比數列前項和公式可得==，所以前10個正方形的面積之和為（2）當n無限增大時，無限趨近于所有正方形的面積和而=，隨著n的無限增大，將趨近于0，將趨近于50.所以，所有這些正方形的面積之和將趨近于50例11．（2023·上海楊浦·統考二模）某地出現了蟲害，農業科學家引入了“蟲害指數”數列{In}，{In}表示第n周的蟲害的嚴重程度，蟲害指數越大，嚴重程度越高．為了治理害蟲，需要環境整治、殺滅害蟲，然而由于人力資源有限，每周只能采取以下兩個策略之一：策略A：環境整治，“蟲害指數”數列滿足：In+1＝n﹣．策略B：殺滅害蟲，“蟲害指數”數列滿足：In+1＝n﹣．當某周“蟲害指數”小于1時，危機就在這周解除．(1)設第一周的蟲害指數Ⅰ1∈[0，8]，用哪一個策略將使第二周的蟲害的嚴重程度更小？(2)設第一周的蟲害指數Ⅰ1＝3，如果每周都采用最優策略，蟲害的危機最快將在第幾周解除？【解析】（1）策略A：，策略B：，當，可得，當時，兩者相等，當時，用策略B將使第二周的蟲害的嚴重程度更??；當時，用策略A將使第二周的蟲害的嚴重程度更小；（2）由（1）可知：當時，選擇策略B，所以當時，選擇策略B，因為，所以數列是遞減數列，，也即，由等比數列的通項公式可得：，正整數范圍內解不等式，得所以蟲害的危機最快在第9周解除．例12．（2023·廣東梅州·高二統考期末）某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為，，….（參考數據：，，.）(1)寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；(2)將（1）中的遞推關系表示成的形式，其中k，r為常數；(3)求的值（精確到1）.【解析】（1）因為某牧場今年初牛的存欄數為1200，預計以后每年存欄數的增長率為8%，且每年年底賣出100頭牛，所以，且.（2）將化成，因為所以比較系數，可得，解得.所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）由（2）可知，數列是以為首項，為公比的等比數列，則.所以.變式12．（2023·浙江紹興·高二統考期末）某公司從2020年初起生產某種高科技產品，初始投入資金為1000萬元，到年底資金增長50%.預計以后每年資金增長率與第一年相同，但每年年底公司要扣除消費資金x萬元，余下資金再投入下一年的生產.設第n年年底扣除消費資金后的剩余資金為萬元.(1)用x表示，，并寫出與的關系式；.(2)若企業希望經過5年后，使企業剩余資金達3000萬元，試確定每年年底扣除的消費資金x的值（精確到萬元）.【解析】（1）由題意知，，，；（2）由(1)可得，，則，所以，即，當時，，解得，當時，萬元.故該企業每年年底扣除消費資金為348萬元時，5年后企業剩余資金為3000萬元.變式13．（2023·河南商丘·高二校聯考階段練習）在如圖所示的數陣中，從任意一個數開始依次從左下方選出來的數可組成等差數列，如：，，，，…；依次選出來的數可組成等比數列，如：，，，，….記第行第個數為.（Ⅰ）若，寫出，，的表達式，并歸納出的表達式；（Ⅱ）求第行所有數的和.【解析】（Ⅰ）由數陣可知：，，，由此可歸納出.（Ⅱ），所以，錯位相減得.變式14．（2023·全國·高二課堂例題）某牧場今年初牛的存欄數為，預計以后每年存欄數的增長率為，且在每年年底賣出頭牛．設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數依次為，，，…(1)寫出一個遞推公式，表示與之間的關系；(2)將（1）中的遞推公式表示成為的形式，其中，為常數；(3)求的值（精確到1）．【解析】（1）由題意知，并且．

①（2）將化為．

②比較①②的系數，可得，解這個方程組，得，所以，（1）中的遞推公式可以化為．（3）由（2）可知，數列是以為首項，為公比的等比數列，則．所以．【方法技巧與總結】用數列知識解相關的實際問題，關鍵是列出相關信息，合理建立數學模型——數列模型，判斷是等差數列還是等比數列模型；求解時，要明確目標，即搞清是求和、求通項、還是解遞推關系問題，所求結論對應的解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經過數學推理與計算得出的結果，放回到實際問題中進行檢驗，最終得出結論．題型五：利用錯位相減法求數列的前項和例13．（2023·甘肅臨夏·高二校聯考期中）已知數列，且.(1)求的通項公式；(2)設，若的前n項和為，求.【解析】（1）因為，所以，其中，故是首項為1，公比為2的等比數列，故，所以；（2），所以①，故②，兩式相減得，，故.例14．（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省響水中學?？计谥校┮阎獢盗袧M足：，，設．(1)求證：是等比數列；(2)求數列的通項公式；(3)求數列的前項和．【解析】（1）由，，可得，因為，即，所以數列是首項為1，公比為4的等比數列．（2）由（1）可得：，即，所以．（3）由（2）可知：，則，可得，上面兩式相減可得：，所以．例15．（2023·河北邢臺·高二校聯考階段練習）已知數列滿足.(1)證明：數列是等比數列.(2)求數列的前項和.【解析】（1）證明：因為，所以.又，所以，所以數列是等比數列，且首項為4，公比為2.（2）由（1）知，即，則.，，則，所以.變式15．（2023·甘肅慶陽·高二?？计谥校┮阎獢盗械那绊椇蜑?，.數列滿足，且點在直線上.(1)求數列，的通項和；(2)令，求數列的前項和；(3)若，求對所有的正整數都有成立的的范圍.【解析】（1）因為，當時，則，可得；當時，則，可得，整理得，即，可知數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以；數列滿足，點在直線上，則，可知數列是以1為首項，2為公差的等差數列，所以.（2）由（1）可得，則，①，②①②得，整理得.（3）由（1）可得：，則，可知數列為單調遞減數列，所以，即的最大值為.因為對所有的正整數都有都成立，則，又因為，可得恒成立，只需滿足即可.且，當且僅當，即時等號成立，所以，即，所以的取值范圍為.變式16．（2023·湖南·校聯考模擬預測）已知數列滿足．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．【解析】（1）當時，．當時，，即，當時，上式也成立，所以．當時，也符合，所以．（2）由（1）知．，，則，所以．變式17．（2023·江蘇鎮江·高二統考期中）已知等差數列的前項和為，，，數列的前項和為，且.(1)求數列和的通項公式；(2)令，證明：數列的前項和.【解析】（1）設等差數列的公差為，則，解得，，，，兩式相減可得，即又，得，，數列是以為首項，2為公比的等比數列；（2）由（1）得，，，兩式相減得，，.變式18．（2023·貴州六盤水·高二統考期末）已知數列的前項和為．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【解析】（1）當時，；當時，所以，又，所以是以2為首項，2為公比的等比數列，所以；（2）由（1）可知，設的前項和為，則，，兩式相減得，，，兩式相減得，，，又因為的前項和是，所以．【方法技巧與總結】錯位相減法的適用范圍及注意事項（1）適用范圍：它主要適用于是等差數列，是等比數列，求數列的前項和．（2）注意事項：①利用“錯位相減法”時，在寫出與的表達式時，應注意使兩式交錯對齊，以便于作差，正確寫出的表達式．②利用此法時要注意討論公比是否等于1的情況．題型六：等比數列前n項和公式的實際應用例16．（2023·山東青島·山東省青島第五十八中學?？家荒＃┰茖?，古稱為武州山大石窟寺，是世界文化遺產．若某一石窟的某處“浮雕像”共7層，每一層的“浮雕像”個數是其下一層的2倍，共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構成一幅優美的圖案，若從最下層往上每一層的“浮雕像”的個數構成一個數列，則的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【解析】從最下層往上“浮雕像”的數量構成一個數列，則是以2為公比的等比數列，，，解得，所以，．故選：C．例17．（2023·遼寧遼陽·高二統考期末）某公司開發新項目，今年用于該新項目的投入為10萬元，計劃以后每年用于該新項目的投入都會在上一年的基礎上增加，若該公司計劃對該項目的總投入不超過250萬元，則按計劃最多能連續投入的時間為（

）（參考數據：）A．9年 B．10年 C．11年 D．12年【答案】A【解析】設該公司第年用于該新項目的投入為萬元，則是首項為10，公比為的等比數列，從而，即，即，即．因為，所以的最大值是9.故選：A例18．（2023·高二單元測試）我國古代的數學名著《九章算術》中記載：“今有蒲生一日，長三尺，蒲生日自半”.其意為：今有蒲草第一日長高3尺，以后蒲草每日長高前一日的半數，則蒲草第5日的高度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【解析】由題意，蒲草每日增長的高度成等比數列，等比數列的首項為3，公比為，蒲草第5日的高度為等比數列前5項和，（尺），故選：D.變式19．（2023·河南洛陽·高二統考期末）我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層燈數為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設頂層的燈數是，則每一層燈數形成以2為公比的等比數列，所以，由題可得，解得，所以，塔的頂層的燈數是3.故選：A.變式20．（2023·安徽·高二合肥市第八中學校聯考期中）某公司為慶祝公司成立9周年，特意制作了兩個熱氣球，在氣球上寫著“9年耕耘，碩果累累”8個大字，已知熱氣球在第一分鐘內能上升30m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的，則該氣球上升到70m高度至少要經過（

）A．3分鐘 B．4分鐘 C．5分鐘 D．6分鐘【答案】B【解析】設表示熱氣球在第n分鐘內上升的高度，由已知．所以前秒熱氣球上升的總高度，因為，所以數列為單調遞增數列，又，，所以該氣球至少要經過4分鐘才能上升到70高度，故選：B．變式21．（2023·陜西榆林·統考三模）現有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個起點出發，測試它們一日可行的路程．已知第i（）匹馬的日行路程是第匹馬日行路程的倍，且第16匹馬的日行路程為315里，則這17匹馬的日行路程之和約為（?。?/p>

）A．7750里 B．7752里C．7754里 D．7756里【答案】B【解析】，依題意可得，第17匹馬、第16匹馬、……、第1匹馬的日行路程里數依次成等比數列，且首項為300，公比為，故這17匹馬的日行路程之和為（里）．故選：B.【方法技巧與總結】解答數列應用題的步驟（1）審題——仔細閱讀材料，認真理解題意．（2）建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數學（數列）語言，將實際問題轉化成數學（數列）問題，弄清該數列的結構和特征．（3）求解——求出該問題的數學解．（4）還原——將所求結果還原到實際問題中．題型七：等比數列中與的關系例19．（2023·廣東珠海·高二統考期末）已知等比數列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當時，，當時，，故當時，，因為數列為等比數列，易知該數列的公比為，則，即，解得.故選：C.例20．（2023·河北邯鄲·高二統考期末）若數列的前n項和，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，則，，則.故選：C例21．（2023·河北邢臺·高二統考期末）已知等比數列的前n項和為，若，則（

）A．3 B．1 C． D．【答案】D【解析】因為，所以．時，，所以前的系數和常數項互為相反數，所以，所以．故選：D變式22．（2023·江西萍鄉·高二統考期中）已知等比數列的前項和為，若，則.【答案】【解析】設等比數列公比為，則，即等比數列的前項和要滿足，又因為，所以.故答案為：變式23．（2023·江蘇南通·高二校考期中）若是等比數列，且前項和為，則.【答案】【解析】當時，，當時，，所以，又是等比數列，所以是以為首項，為公比的等比數列，此數列的前項和，則的值為.故答案為：.變式24．（2023·高二課時練習）已知等比數列的前項和，則實數的值為.【答案】【解析】由，得.當時，，不合乎題意.當時，，令，則，所以，，解得.故答案為：.變式25．（2023·湖南·高二校聯考期末）已知數列的前項和為.(1)求數列的通項公式；(2)記，求數列的前項和.【解析】（1）依題意，當時，由，可知，由，可得兩式相減可知，，即，因此時，，即（2）由（1）可知，，當時，，因此也適合，，故，故的前項和變式26．（2023·高二課時練習）已知數列的前n項和，證明是等比數列，并求出通項公式．【解析】因為，所以，所以，所以．又因為，所以．又由，知，所以，所以是等比數列．因為，所以．變式27．（2023·陜西西安·高二西安市第八十九中學?？茧A段練習）已知數列的前項和（，是不等于0和1的常數），求證：數列為等比數列的充要條件是.【解析】必要性：若數列為等比數列，且，則，即，故；充分性：若，即，且，對于，當時，則，當時，則；綜上所述：.∵，是不等于0和1的常數，則，∴，故數列為等比數列；綜上所述：數列為等比數列的充要條件是.變式28．（2023·廣東廣州·統考二模）已知等比數列的前項和為,,.(1)求數列的通項公式.(2)令,求數列的前項和.【解析】（1）當時,即,又是等比數列,;數列的通項公式為:.（2）由（1）知,,,即.變式29．（2023·全國·高三統考階段練習）已知數列的前n項和為，．證明：(1)數列為等比數列；(2)當時，．【解析】（1）證明：因為，所以，所以，在中，令，得①，又②，聯立①②，解得，因為，所以，故數列是首項為，公比為2等比數列.（2）由（1）可知，則，則當時，，所以當時，．【方法技巧與總結】與的關系當公比時，等比數列的前項和公式是，它可以變形為設，，則上式可寫成的形式，則是的一次函數．題型八：等比數列片段和的性質例22．（2023·甘肅酒泉·高二敦煌中學校聯考期中）已知等比數列的前項和為，則．【答案】12【解析】法一：設等比數列的公比為，由，得，而，于是，所以．法二：因為為等比數列，所以也成等比數列，即成等比數列，即.故答案為：12例23．（2023·遼寧·高二校聯考期末）記為等比數列的前n項和，已知，，則．【答案】4【解析】因為為等比數列的前n項和，，，所以由等比數列的性質可得，，成等比數列，所以．故答案為：4例24．（2023·湖北十堰·高二統考期末）設等比數列的前項和為，若，則.【答案】156【解析】法一：設等比數列的公比為，顯然.因為，所以，所以.法二：設，則.因為為等比數列，所以仍成等比數列.因為，所以，所以，即.故答案為：156變式30．（2023·高二課時練習）在等比數列中，若，則.【答案】28【解析】由數列是等比數列，且易知公比，所以也構成等比數列，即構成等比數列，從而可得，解得或，又，所以.故答案為：28變式31．（2023·高二課時練習）等比數列{an}的前n項和Sn＝48，前2n項和S2n＝60，則前3n項和S3n＝.【答案】63【解析】法一：設公比為q，由已知易知q≠1，因為Sn＝48，S2n＝60，所以，解得，所以，故答案為：63法二：因為Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列，所以（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n），即（60－48）2＝48（S3n－60），解得S3n＝63.故答案為：63變式32．（2023·高二課時練習）已知數列是等比數列，是其前項和，且，，則.【答案】600【解析】設等比數列的公比為因為等比數列的前n項和為，所以，，，成等比數列，因為，，所以，解得或，因為，所以，則，由，，成等比數列，可得即，解得，故答案為：600【方法技巧與總結】若等比數列的前n項和為，則，，…成等比數列（其中，，…均不為0）．題型九：等比數列的奇數項與偶數項和例25．（2023·山東聊城·高三山東聊城一中校考期末）已知等比數列的公比，且，則.【答案】120【解析】因為在等比數列中，若項數為，則，所以.故答案為：120例26．（2023·江蘇·高二專題練習）已知數列，數列的前n項和為，若存在正整數使得，則正整數m的取值集合為．【答案】/【解析】因為列，可得，所以，因為所以，其中，變形得，因為，所以，又，則l可能為1，2，3當時，，所以不成立，當時，由，得，若，則，令，則，因為，所以，所以，因為故只有，此時，當時，由，得，，故正整數m的取值集合為，故答案為：．例27．（2023·高二課時練習）已知等比數列的前項中，所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，則的值為．【答案】【解析】設等比數列的公比為，設等比數列的前項中，設所有奇數項的和為，所有偶數項的和為，則，所以，，又，則，因此，.故答案為：.變式33．（2023·高二課時練習）在等比數列中，若，且公比，則數列的前100項和為．【答案】450【解析】在等比數列中，公比，則有，而，于是得，所以數列的前100項和．故答案為：450變式34．（2023·高二課時練習）已知正項等比數列共有項，它的所有項的和是奇數項的和的倍，則公比.【答案】【解析】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為，則，由，得，因為，所以，所以，.故答案為：.變式35．（2023·江蘇蘇州·高二統考期中）已知等差數列的前項和為，且滿足，．(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足，求數列的前項和．【解析】（1）依題意，設數列的公差為，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，，所以，即．（2）因為，所以，所以．變式36．（2023·山東青島·高二統考期中）已知非零數列滿足.(1)證明：數列為等比數列；(2)求數列的前項和.【解析】（1）由題意，且，且，所以，因為，所以，所以是首項為9，公比為2的等比數列.（2）由（1）知，因為，所以，所以.變式37．（2023·上海·高二?？计谥校┮阎獢盗械那皀項和為，，．(1)求數列的通項公式；(2)若數列，求的前n項和．【解析】（1）數列中，，，當時，，兩式相減得，而，即對任意，，因此數列是首項為1，公比為3的等比數列，，所以數列的通項公式是.（2）由（1）知，，當為偶數時，；當為奇數時，，所以的前n項和.變式38．（2023·山東德州·高三德州市第一中學?？茧A段練習）數列滿足，．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【解析】（1）∵，，則，∴，兩式相除得：，當時，，∴，即，當時，，∴，即，綜上所述，的通項公式為：；（2）由題設及（1）可知：，【方法技巧與總結】等比數列中，若項數為，則；若項數為，則．【過關測試】一、單選題1．（2023·全國·模擬預測）設等比數列的前項和是．已知，，則（

）A．900 B．1200C． D．【答案】B【解析】設等比數列的公比為，因為，，所以，，得，所以，所以，所以．故選：．2．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測）十九世紀下半葉集合論的創立，奠定了現代數學的基礎.著名的“康托三分集”是數學理性思維的構造產物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區間均分為三段，去掉中間的區間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區間分別均分為三段，并各自去掉中間的區間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區間集合即是“康托三分集”.若使去掉的各區間長度之和不小于，則需要操作的次數的最小值為（參考數據：）（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【解析】第一次操作去掉的區間長度為；第二次操作去掉兩個長度為的區間，長度和為；第三次操作去掉四個長度為的區間，長度和為；，第次操作去掉個長度為的區間，長度和為，于是進行了次操作后，所有去掉的區間長度之和為，由題意知：，解得：，又為整數，可得的最小值為6，故選：A3．（2023·河南·高二河南大學附屬中學校考期中）數列的前n項和，數列的前n項和為，則=（

）A．192 B．190 C．180 D．182【答案】B【解析】當時，，當時，，經檢驗滿足上式，所以，設，則，所以.故選：B4．（2023·內蒙古赤峰·高三校考期中）已知數列的前項和為，且．則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由①得②，①②得，即，又，得所以數列是以為首項，為公比的等比數列，.故選：C.5．（2023·全國·模擬預測）設等比數列的前項和是.已知，則（

）A．13 B．12 C．6 D．3【答案】A【解析】方法一因為，所以，，所以，所以.又，得，所以.故選：A.方法二因為，，所以，所以，所以.故選：A.6．（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）記為等比數列的前項和，若，則（

）A． B． C．32 D．或32【答案】C【解析】設等比數列的公比為，由題意知，則由得，則，所以，即；因為，所以，所以，故選：C.7．（2023·重慶·高二重慶一中?？计谥校┮阎缺葦盗杏许?，，所有奇數項的和為85，所有偶數項的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】因為等比數列有項，則奇數項有項，偶數項有項，設公比為，得到奇數項為，偶數項為，整體代入得，所以前項的和為，解得.故選：B8．（2023·全國·模擬預測）已知等比數列的前項和為，若關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設等比數列的公比為，則，即，解得，所以，所以，因為恒成立，即恒成立，即恒成立，由基本不等式可得，當且僅當，即時等號成立，所以，即實數的取值范圍為．故選：.二、多選題9．（2023·全國·模擬預測）已知數列的前項和為，滿足，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由，可得：所以數列是首項為，公比為2的等比數列，則，故.所以.則，所以選項A錯誤，選項B、D正確.因為所以正確．故選：BCD．10．（2023·河南南陽·高三統考期中）已知是數列的前項和，，則（

）A．是等比數列 B．C． D．【答案】ABD【解析】因為，①當時，則，當時，，②①②得，則，故是以1為首項，公比為的等比數列，且，故A正確；又，故B正確；，故C錯誤；由題中，，故D正確，故選：ABD.11．（2023·甘肅慶陽·高三?？茧A段練習）設，在數列中，，則下列說法正確的是（

）A．當時，B．當時，C．當時，D．當時，【答案】CD【解析】對于A：當，時，即，又，則，所以，又，則，所以，即數列的奇數項相等都等于，偶數項也相等都等于，所以，故A錯誤；對于B：當，時，，即．因為，所以是以為首項，為公差的等差數列，則，所以，故B錯誤；對于C：當，時，，所以，因為，所以是首項為，公比為的等比數列，則，故C正確；對于D：當，時，，則，即．因為，所以，所以是首項為，公比為的等比數列，所以，即，故D正確；故選：CD12．（2023·江西·高三鷹潭一中校聯考期中）在等比數列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（

）A．為單調遞增數列 B．C．為的最大項 D．無最大項【答案】BC【解析】由，因此.又因為則.當時，，則，，則，與題意矛盾.因此.則為單調遞減數列，故選項A錯誤.而，故，選項B正確.又因為為單調遞減數列，則，由可知，，，所以當時，，則.當時，，則.因此的最大項為，則選項C正確，選項D錯誤.故答案為：BC.三、填空題13．（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級中學?？计谥校┰诠葹榈牡缺葦盗兄?，為其前項和，（），且，則．【答案】【解析】由，得，又，聯立可解得