PAGEPAGE4“解排列、組合應用問題”的思維方法一、優先考慮：對有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考慮其它的元素或其它的位置。例1．（1）由0、1、2、3、4、可以組成個無重復數字的三位數。由1、2、3、4、5組成沒有重復數字的五位數，其中小于50000的偶數共有個。5個人排成一排，其中甲不排在兩端也不和乙相鄰排列的排列共有種。二、“捆”在一起：有要求元素相鄰（即連排）的排列問題，可以先將相鄰的元素看作一個“整體”與其它元素排列，然后“整體”內部再進行排列。例2．（1）有3位老師、4名學生排成一排照相，其中老師必須在一起的排法共有種。（2）有2位老師和6名學生排成一排，使兩位老師之間有三名學生，這樣的排法共有種。三、插空檔：有要求元素不相鄰（即間隔排）的排列問題，可以制造空檔插空。例3．（1）五種不同的收音機和四種不同的電視機陳列一排，任兩臺電視機不靠在一起，有種陳列方法。（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相間的排法有種。四、減去特殊情況（即逆向思考）：先算暫時不考慮限制條件的排列或組合種數，然后再從中減去所有不符合條件的排列或組合數。例4．（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有個。（2）由0、1、2、3、4、可以組成個無重復數字的三位數。（3）集合有8個元素，集合有7個元素，有4個元素，集合有3個元素且滿足下列條件：的集合有幾個。（4）從6名短跑運動員中選4人參加4100米五、先組后排：排列、組合綜合題，通常都是先考慮組合后考慮排列。例5（1）用1、2、3、9這九個數字，能組成由3個奇數數字、2個偶數數字的不重復的五位數有個。（2）有8本不同的書，從中取出6本，獎給5位數學優勝者，規定第一名（僅一人）得2本，其它每人一本，則共有種不同的獎法。（3）有五項工作，四個人來完成且每人至少做一項，共有種分配方法。六、除以排列數：對某些元素有順序限制的排列，可以先不考慮順序限制排列后，再除去規定順序元素個數的全排列。例6（1）有4名學生和3位老師排成一排照相，規定兩端不排老師且老師順序固定不變，那么不同的排法有種。（2）由0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的六位數，其中個位數字小于十位數字，十位數字小于百位數字，則這樣的數共有個。（3）書架上放有5本書（1~5冊），現在要再插入3本書，保持原有的相對順序不變，有種放法。七、對象互調：有些排列或組合題直接就題論題很難入手，但換個角度去考慮便順利求得結果又易理解。例7．（1）一部電影在四個單位輪放，每單位放映一場，可以有種放映次序。（2）一排有8個座位，3人去坐，要求每人左右兩邊都有空位的坐法有種。（3）有6個座位3人去坐，要求恰好有兩個空位相連的不同坐法有種。八、分情況研究：分情況研究（即分類計算）復雜的排列、組合綜合題，常常通過畫簡圖、按元素的性質“分類”；按事件發生的連續過程“分步”等方法。分情況研究求得結果，尤其對含數字“0”的排列，常分“有0”及“無0”兩種情況研究，在“有0”時，排列的“首位”又是“特殊”位置要優先考慮。例8．（1）從編號為了1、2、39的九個球中任取4個球，使它們的編號之和為奇數，再把這四個球排成一排，共有多少種不同的排法？（2）用0、1、2、39這十個數字組成五位數，其中含有三個奇數字與兩個偶數字的五位數有多少個？（3）用0、1、2、3、4五個數字組成的無重復的五位數中，若按從小到大的順序排列23140是第幾個數？排列與組合(思考方法1～8訓練)一．優先考慮1．現有6名同學站成一排：（1）甲不站排頭也不站排尾有多少種不同的排法？（2）甲不站排頭，且乙不站排尾有多少種不同的排法？2．用，5組成無重復數字的5位數，共可以組成多少個？二．插空3．有6名同學站成一排：甲、乙、丙不相鄰有多少種不同的排法？4．有4男4女排成一排，要求（1）女的互不相鄰有種排法；（2）男女相間有種排法。三．捆在一起5．由1、2、3、4、5組成一個無重復數字的5位數，其中2、3必須排在一起，4、5不能排在一起，則不同的5位數共有_________個。6．有2位老師和6名學生排成一排，使兩位老師之間有三名學生，這樣的排法共有種。四．逆向思考7．某小組有6名同學，現從中選出3人去參觀展覽，至少有1名女生入選時的不同選法有16種，則小組中的女生數為________。8．6名同學站成一排乙不站排尾有多少種不同的排法？五．先組后排9．有4名學生參加3相不同的小組活動，每組至少一人，有種參加方式。10．從兩個集合和中各取兩個元素組成一個四位數，可組成個數。六．除以排列數11．書架上放有6本書，現在要再插入3本書，保持原有的相對順序不變，有種放法。12．9人（個子長短不同）排隊照相，要求中間的最高，兩旁依次從高到矮共有種排法。七．對象互調：13．某人射擊8槍命中4槍，這4槍中恰有3槍連在一起的不同種數是。14．三個人坐在一排7個座位上，（1）若3個人中間沒有空位，有種坐法。（2）若4個空位中恰有3個空位連在一起，有種坐法。八．分情況（即分類）15．用組成無重復數字的5位數，若按從小到大的順序排列，則數12340是第_____個數。16．某車間有8名會車工或鉗工的工人，其中6人會車工，5人會鉗工，現從這些工人中選出2人分別干車工和鉗工，問不同的選法有多少種？九．和、整除、倍數、約數問題。例9．和：（1）用0、1、2、3、4、5、6這七個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位數？這些三位數的和是多少？整除：（2）用0、1、2、3、4、5組成無重復數字的五位數，其中Ⅰ、能被5整除的數有多少個？Ⅱ、能被3整除的數有多少個？Ⅲ、能被6整除的數有多少個？倍數：（3）在1、2、3100這100個自然數中，每次取不等的兩數相乘，使它們的積是7的倍數，這樣的取法共有多少種？（取7,11與取11,7認為是同一種取法）（4）在1、2、330這三十個數中，每取兩兩不等的三個數，使它們的和是3的倍數，共有多少種不同的取法？約數：（5）數2160共有多少個正約數（包括1和本身在內）？其中共有多少個正的偶約數？十、分配、分組問題：解題時要注意“均勻”與“非均勻”的區別、分配與分組（分堆）的區別。例10．（1）將12本不同的書Ⅰ、分給甲、乙、丙三人，每人各得4本有種分法。Ⅱ、平均分成三堆，有種分法。（2）7本不同的書Ⅰ、全部分給6個人，每人至少一本，共有種不同的分法。Ⅱ、全部分給5個人，每人至少一本，共有種不同的分法。（3）六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問各有多少種分法？a、甲一本、乙二本、丙三本；有種分法。b、一人一本、一人二本、一人三本；有種分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有種分法。d、一人一本、一人一本、一人四本；有種分法。排列與組合(思考方法全訓練)一～八：1．5名男生和2名女生站成一列，男生甲必須站在正中間，2名女生必須站在甲前面，不同的站法共有種(用數字作答)。2．8人排成一排,其中甲、乙、丙三人中有2人相鄰,但這3人不同時相鄰的排法有______種.3．現有6張同排連座號的電影票,分給3名老師與3名學生,要求師生相間而坐,則不同的分法數為________.4．在200件產品中有3件是次品，現在從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有種。5．現從某校5名學生干部中選出4人分別參加上海市“資源”、“生態”、和“環?！比齻€夏令營，要求每個夏令營活動至少有選出的一人參加，且每人只參加一個夏令營活動，則不同的參加方案的種數是___________.(寫出具體數字)6．將A、B、C、D、E、排成一排，其中按A、B、C順序（即A在B前，C在B后）的排列總數為。1234123458．（1）如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰地區不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種。（以數字作答）（2）同室人各寫了一張賀年卡先集中起來，然后每人從中取回一張別人送出的賀卡，這張賀年卡不同的分配方式有__________種。九．和、整除、倍數、約數問題17．(1)由2、3、4、5組成無重復數字的四位數，求：①這些數的數字之和；②這些數的和。（2）由0、2、5、7、9這5個數字可組成多少個無重復數字且能被3整除的四位數？18．（1）在1、2、3、4、…、50這50個自然數中，每次取出2個（無論先后），使他們的積是13的倍數，這樣的取法有多少種？（2）①420共有多少個正約數？②14175共有多少個正約數？十．分配、分組問題：19．六本不同的書，分給甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，問各有多少種分法？①甲一本、乙二本、丙三本；有種分法。②一人一本、一人二本、一人三本；有種分法。③甲一本、乙一本、丙四本；有種分法。④一人一本、一人一本、一人四本；有種分法。20．一般地，現有本不同的書，①分給甲、乙、丙三人，甲得本、乙得本、丙得本，則有種分法。②分給三人，一人得本、一人得本、另一人得本，則有種分法。③分給三人，甲、乙各得本、丙得本，則有種分法。④分給三人，其中二人各得本，另一人得本，則有種分法。⑤分成三堆，一堆本、一堆本、一堆本，則有種分法。⑥分成三堆，有二堆各本，還有一堆本，則有種分法。排列與組合(思考方法1～8訓練)參考答案一．優先考慮：1．（1）法一：（先考慮特殊元素甲）種；法二：（先考慮特殊位置頭尾）種；（2）法一：(甲在尾)+(甲不在尾)=120+384=504；(或法二：種)；2．先考慮首位再其它：。二．插空：3．；4．（1）；（2）。三．捆在一起：5．；6．。四．逆向思考：7．令小組中的女生數為，則：；8．。五．先組后排：9．；10．。六．除以排列數：11．（即）；12．。七．對象互調：13．；14．（1）；（2）。八．分情況（即分類）：15．；16．。排列與組合(思考方法全訓練)參考答案一～八：1．）即：先前，再后）；2．；3．72；4．；5．（即：先組，再捆，后排）；6．120；7．56；8．（1）；（2）9．九．和、整除、倍數、約數問題17．（1）①由2、3、4、5組成無重復數字的四位數有個，而每一個數的各位數字之和都是，所以所有四位數的數字之和是。②如2在個，十，百，千位上的情況各有次，同理