大千世界處在不停的運動變化之中,如何來研究這些運動變化并尋找規律呢?數學上常用變量與函數來刻畫各種運動變化變量與函數O1234567891011123h（米）t（分）(1)你坐過摩天輪嗎？你坐在摩天輪上時,隨著時間t的變化,你離開地面的高度h是如何變化的？先看什么叫變量?O123456789101112311h（米）t（分）O12345678910111231137h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）O1234567891011123113745h（米）t（分）下圖反映了旋轉時間t（分）與摩天輪上一點的高度h（米）之間的關系。t/分012345······h/米······31137453711根據上圖填表汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛里程為skm，行駛時間為th。先填下表。60120180240300從上面表中所填數據可以看出：S的值隨t的值的變化而＿＿＿＿.試用含t的式子表示s。s=＿＿t/h12345ts/km60t變化60t像這樣在某一變化過程中,可以取不同數值的量,叫做變量.刻畫汽車運動變化的量是路程S和時間t,路程S隨著時間t的變化而變化,它們都會取不同的數值．以上問題中都出現了可以取不同數值的量.刻畫摩天輪轉動過程的量是時間t和高度h,高度h隨著時間t的變化而變化,它們都會取不同的數值．①這天的2時30分、9時和14時的氣溫分別為少？任意給出這天中的某一時刻，說出這一時刻的氣溫．②這一天中，最高氣溫是多少？最低氣溫是多少？③這一天中，什么時段的氣溫在逐漸升高？什么時段的氣溫在逐漸降低？時間t(時)810246121416182022240

溫度T(

C)2468-2-40問題1

下圖是某地一天的氣溫變化圖,看圖回答：什么叫函數呢?

在以上變化過程中存在著兩個變量t和T,對于時間t每取一個值,溫度T都有唯一的值與之對應.我們就說t是自變量,T是因變量.也稱T是t的函數.

這張圖是怎樣來展示這天各時刻的溫度和刻畫這天的氣溫變化規律的?

這張圖告訴我們哪些信息?問題2銀行對各種不同的存款方式都規定了相應的利率,下表是2006年8月中國工商銀行為“整存整取”的存款方式規定的年利率：觀察上表,說說隨著存期x的增長,相應的年利率y是如何變化的．在以上變化過程中存在著兩個變量x和y,對于x每取一個值,y都有唯一的值與之對應.我們就說x是自變量,y是因變量.也稱y是x的函數.存期x三月六月一年二年三年五年利率y(

)1.802.252.523.063.694.14

收音機上的刻度盤的波長和頻率分別是用米(m)和千赫茲(kHz)為單位標刻的．下面是一些對應的數：細心的同學可能會發現：

與

f

的乘積是一個定值，即

f＝300000，或者說 f＝

在以上變化過程中存在著兩個變量

和f,對于

每取一個值,f都有唯一的值與之對應.我們就說

是自變量,f是因變量.也稱f是

的函數.300000

波長

(m)30050060010001500頻率f(kHz)1000600500300200

問題4

圓的面積隨著半徑的增大而增大．如果用r表示圓的半徑，S表示圓的面積則S與r之間滿足下列關系：

S＝____________．利用這個關系式,試求出半徑為1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm時圓的面積,并將結果填入下表:(

≈3.14)

r2在以上變化過程中存在著兩個變量r和S,對于r每取一個值,S都有唯一的值與之對應.我們就說r是自變量,S是因變量.也稱S是r的函數.半徑l(cm)11.522.63.2…圓面積S(cm2)3.147.0712.5721.2432.17…在某一變化過程中,可以取不同數值的量,叫做變量.

上面各個問題中,都出現了兩個變量,它們互相依賴,密切相關.

一般地,如果在一個變化過程中,有兩個變量,例如x和y,對于x的每一個值,y都有唯一的值與之對應,我們就說x是自變量,y是因變量,此時也稱y是x的函數.概括函數的本質就是唯一確定的對應關系.

研究事物的運動變化,實際是從研究因變量與自變量的對應關系入手的.因變量與自變量的對應關系又叫函數關系.問題探究函數的表示方法

回顧“票房收入問題”、“行程問題”、“氣溫變化問題”，表示兩個變量的對應關系有哪些方法？s＝60t；S=πr2列表法

圖象法解析式法表示函數關系的方法通常有三種：(1)

解析法，如問題3中的f＝,問題4中的S＝πr2,這些表達式稱為函數的關系式．(2)

列表法,如問題2中的利率表,問題3中的波長與頻率關系表．(3)

圖象法,如問題1中的氣溫曲線.

在問題的研究過程中,還有一種量,它的取值始終保持不變,我們稱之為常量.如問題3中的300000,問題4中的π等.300000

小結：函數的三種表示法及其優缺點1.解析法

兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數學運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。解析法簡單明了，能準確地反映整個變化過程中自變量與函數的相依關系，但求對應值時，往往要經過比較復雜的計算，而且在實際問題中，有的函數關系，不一定能用解析式表達出來。2.列表法

把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系,這種表示法叫做列表法。如平方根表、正弦函數表等。列表法一目了然，表格中已有的自變量的每一個值，不需要計算就可以直接查出與它對應的函數值，使用起來很方便，但列表法有局限性，因為列出的對應值是有限的，而且在表格中也不容易看出自變量與函數之間的對應規律。3.圖象法用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。圖象法形象直觀，通過函數的圖象，可以直接、形象地把函數關系表示出來，能夠直觀地研究函數的一些性質，例如函數有沒有最大值（或最小值）？最大（小）值是多少？函數值是隨自變量增大而增大，還是隨自變量的增大而減小等等，函數圖象是研究函數性質的有力工具。但是，由函數圖象觀察只能得到近似的數量關系。

在解決問題時，我們常常綜合地運用這三種表示法，來深入地研究函數的性質。

自變量的取值范圍確定自變量的取值范圍時，不僅要考慮函數關系式有意義，而且還要注意問題的實際意義。（2）你見過水中漣漪嗎？圓形水波慢慢地擴大。在這一過程中，當圓的半徑r分別為10cm,20cm,30cm時，圓的面積S分別為多少？S的值隨r的值的變化而變化嗎？根據題意填寫下表。r(cm)102030S(cm2)從表中所填數據可以看出：S的值隨r的值的變化而＿＿；用含r的式子表示s=＿＿。變化100Л400Л900Л（3）用10m長的繩子圍一個矩形。當矩形的一邊長x分別為3m,3.5m,4m,4.5m時，它的鄰邊長y分別為多少？y的值隨x的值的變化而變化嗎？矩形的一邊長x(m)33.544.5x鄰邊y(m)從表中所填數據可以看出：y的值隨x的值的變化而＿＿；用含x的式子表示y=______變化21.50.515-x5-x常量、變量必須存在于一個變化過程中。判斷一個量是常量還是變量，需看哪些方面？歸納小結:１.看它是否在一個變化的過程中；２.看它在這個變化過程中的取值情況。在一個變化過程中，數值發生變化的量叫變量；在一個變化過程中，數值始終不變的量叫常量。例如，問題1關系式s=60t中有變量____和____，t=1時，則s=；t=2時，則s=…….由此，可以得出，當t取定一個值時，s有(

)值與其對應。我們就說，S是t的函數，t是自變量,S是因變量.唯一確定的st60120y=5-xS=兀r2S=60ty=10x一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應,那么就說y是x的函數,x叫做自變量,y是因變量.如果x＝a時,y＝b,那么b就叫做當自變量的值為a時的函數值。１.指出下列關系式中的變量與常量：(1)y=5x－6(2)y=(3)y=4X2＋5x－7(4)C=4a２.圓的周長c=2Лr中,___是__的函數,___是自變量；y=5x－6中，＿是＿的函數，＿是自變量，當x=4時，函數值y=＿＿＿。1．小軍用50元錢去買單價是8元的筆記本，則他剩余的錢Q（元）與他買這種筆記本的本數x之間的關系是（）

A．Q=8xB．Q=8x-50C．Q=50-8xD．Q=8x+502、若球體體積為V，半徑為R，則V=下列說法正確的()A、V、兀、R是變量，是常量B、R是變量，V、、兀是常量C、V是變量，、兀、R是常量D、V、R是變量，、兀是常量y

=

y、X303.設圓柱的高h不變,圓柱的體積v與圓柱的底面半徑r之間的關系式是v=兀r2h.在這個式子中,變量是_______,常量是____,＿＿是自變量，＿是＿＿的函數。4．長方形相鄰兩邊長分別為x、y，面積為30，則用含x的式子表示y為______，則這個問題中，_____常量；_______是變量。＿＿是自變量，＿是＿＿的函數。V、r兀,hrrvxxy5．寫出下列問題中的關系式，并指出自變量與函數．（1）直角三角形中一個銳角α與另一個銳角β之間的關系．試用含α的式子表示β。

（2）一盛滿30噸水的水箱，每小時流出0.5噸水，試用流水時間t（小時）表示水箱中的剩水量y（噸）．解：由題意得β

=90°—αα是自變量，β是α的函數。解：由題意得y=30-0.5tt是自變量，y是t的函數。（3）用總長為80m的籬笆圍成長方形場地，長方形的面積S(m2)隨一邊長X(m)的變化而變化。3.下列關系中，y不是x函數的是（