課題：雙曲線知識點11．雙曲線定義：到兩個定點F1與F2的距離之差的絕對值等于定長（＜|F1F2|）的點的軌跡．（（為常數）．這兩個定點叫雙曲線的焦點．【（1）距離之差的絕對值．（2）2a＜|F1F2|，這兩點與橢圓的定義有本質的不同】2．雙曲線的標準方程：（焦點在x軸上）和（焦點在y軸上）（a＞0，b＞0）．這里，其中||=2c．要注意這里的a、b、c及它們之間的關系與橢圓中的異同．標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）圖形3．雙曲線的內外部：（1）點在雙曲線的內部．（2）點在雙曲線的外部．（3）（，其中||=2c，焦點位置看誰的系數為正數）焦點在x軸上：（a＞0，b＞0）；焦點在y軸上：（a＞0，b＞0）；；）PPPPHHF2xF1oy雙曲線第二定義：當動點M（x，y）到一定點F（c，0）的距離和它到一定直線的距離之比是常數時，這個動點M（x，y）的軌跡是雙曲線．其中定點F（c，0）是雙曲線的一個焦點，定直線叫雙曲線的一條準線，常數e是雙曲線的離心率．雙曲線上任一點到焦點的線段稱為焦半徑．知識點31．雙曲線的簡單幾何性質：－=1（a＞0，b＞0）（1）范圍：|x|≥a，y∈R；（2）對稱性：關于x、y軸均對稱，關于原點中心對稱；（3）頂點：軸端點A1（－a，0），A2（a，0）（4）漸近線：①若雙曲線方程為漸近線方程；②若漸近線方程為雙曲線可設為；③若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）；=4\*GB3④與雙曲線共漸近線的雙曲線系方程是；=5\*GB3⑤與雙曲線共焦點的雙曲線系方程是雙曲線的標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a>0，b>0）性質范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1（－a,0），A2（a,0）A1（0，－a），A2（0，a）漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈（1，＋∞），其中c＝eq\r(a2＋b2)實虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫作雙曲線的實半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長．a、b、c的關系c2＝a2＋b2（c>a>0，c>b>0）2．弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則＝，若分別為A、B的縱坐標，則＝．【注1】1．（1）當|MF1|－|MF2|=2a時，曲線僅表示焦點F2所對應的一支；（2）當|MF1|－|MF2|=－2a時，曲線僅表示焦點F1所對應的一支；（3）當2a=|F1F2|時，軌跡是一直線上以F1、F2為端點向外的兩條射線；（4）當2a＞|F1F2|時，動點軌跡不存在．2．雙曲線的標準方程判別方法是：如果項的系數是正數，則焦點在x軸上；如果項的系數是正數，則焦點在y軸上．對于雙曲線，a不一定大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的大小來判斷焦點在哪一條坐標軸上．3．求雙曲線的標準方程，應注意兩個問題：（1）正確判斷焦點的位置；（2）設出標準方程后，運用待定系數法求解．【注2】1．雙曲線的軌跡類型是；2．雙曲線標準方程的求解方法是”待定系數法”，“先定型，后計算”．【注3】1．與雙曲線共漸進線（）的雙曲線系方程是2．等軸雙曲線：（實虛軸相等，即a=b）（1）形式：（）（2）離心率（3）兩漸近線互相垂直，為y=；3．等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項．4．共軛雙曲線：（以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線）【注4】1．雙曲線的標準方程中對a、b的要求只是a＞0，b＞0易誤認為與橢圓標準方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，則雙曲線的離心率e∈（1，eq\r(2)）；若a＝b＞0，則雙曲線的離心率e＝eq\r(2)；若0＜a＜b，則雙曲線的離心率e＞eq\r(2)．2．注意區分雙曲線中的a，b，c大小關系與橢圓a、b、c關系，在橢圓中a2＝b2＋c2，而在雙曲線中c2＝a2＋b2．3．等軸雙曲線的離心率與漸近線關系：雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq\r(2)?雙曲線的兩條漸近線互相垂直（位置關系）．4．雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長b5．漸近線與離心率：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的一條漸近線的斜率為eq\f(b,a)＝eq\r(\f(b2,a2))＝eq\r(\f(c2－a2,a2))＝eq\r(e2－1)．可以看出，雙曲線的漸近線和離心率的實質都表示雙曲線張口的大?。湫屠}例1在一個平面上，設、是兩個定點，P是一個動點，且滿足P到的距離與P到的距離差為，即，則動點P的軌跡是（

）A．一條線段 B．一條射線 C．一個橢圓 D．雙曲線的一支例2設，分別是雙曲線的左、右焦點，若點在雙曲線上，且，則（

）A．5 B．1 C．3 D．1或5例3已知為雙曲線的左焦點，，為雙曲線右支上的點，若的長等于虛軸長的2倍，點在線段上，則的周長為（

）A．28 B．36 C．44 D．48例4設，是雙曲線的兩個焦點，是雙曲線上的一點，且，則的面積等于（

）A．24 B． C． D．30例5設P是雙曲線上一點，M?N分別是兩圓和上的點，則的最大值為（

）A．6 B．9 C．12 D．14例6雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為8，則點到的距離為（）A．2或12 B．2或18 C．18 D．2例7設，為雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上且滿足，則的面積為（）A．2 B． C．4 D．例8是雙曲線=1的右支上一點，M、N分別是圓和=4上的點，則的最大值為（）A．6 B．7 C．8 D．9例9已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線同一支上的兩點．若，點在線段上，則的周長為（

）A． B． C． D．例10已知雙曲線的左焦點為，M為雙曲線C右支上任意一點，D點的坐標為，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．例11已知雙曲線C的漸近線方程為，且焦距為10，則雙曲線C的標準方程是（）A．B．C．或D．或例12已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，且雙曲線上的一點到雙曲線的兩個焦點的距離之差的絕對值等于6，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．例13過且與雙曲線有且只有一個公共點的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條例14若過點的直線與雙曲線:的右支相交于不同兩點，則直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．例15雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．例16雙曲線C：的左焦點為F，過原點作一條直線分別交C的左右兩支于A，B兩點，若，，則此雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．3例17已知，是雙曲線C的兩個焦點，P為雙曲線上的一點，且；則C的離心率為（）A．1 B．2 C．3 D．4例18設，分別是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標原點），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．例19已知雙曲線的左?右焦點分別為，曲線上一點到軸的距離為，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．例20（多選）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，是雙曲線上一點，若，則該雙曲線的離心率可以是（）A． B． C． D．2例21已知雙曲線的離心率為，直線與交于兩點，為線段的中點，為坐標原點，則與的斜率的乘積為（

）A． B． C． D．例22直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）A．4 B．3 C．2 D．1例23已知雙曲線的兩個頂點分別為，，點為雙曲線上除，外任意一點，且點與點，連線的斜率為，，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3例24已知A，B，P是雙曲線（，）上不同的三點，且點A，B連線經過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．例25若是雙曲線上一點，則到兩個焦點的距離之差為______．例26分別求滿足下列條件的曲線方程（1）以橢圓的短軸頂點為焦點，且離心率為的橢圓方程；（2）過點，且漸近線方程為的雙曲線的標準方程．（3）焦點在軸上，虛軸長為，離心率為；（4）頂點間的距離為，漸近線方程為．（5），，焦點在x軸上；（6）焦點為?，經過點．例27過雙曲線的左焦點，作傾斜角為的直線．（1）求證：與雙曲線有兩個不同的交點；（2）求線段的中點的坐標和．舉一反三1．若點P是雙曲線上一點，，分別為的左、右焦點，則“”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．設，是雙曲線的左，右焦點，點P在雙曲線C的右支上，當時，面積為（）．A． B． C． D．3．已知雙曲線的右焦點為，為雙曲線左支上一點，點，則周長的最小值為（）A．B．C．D．4．已知方程表示雙曲線，則實數的取值范圍為（）A．B．C．或D．或5．已知雙曲線的上、下焦點分別為，，P是雙曲線上一點且，則雙曲線的標準方程為（

）A．B．C．D．6．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．7．點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線，過點的直線l與雙曲線C交于M?N兩點，若P為線段MN的中點，則弦長|MN|等于（

）A． B． C． D．9．已知雙曲線的左?右焦點分別為過左焦點作斜率為2的直線與雙曲線交于A，B兩點，P是AB的中點，O為坐標原點，若直線OP的斜率為，則b的值是（

）A．2 B． C． D．10．（多選）若三個數1，，9成等比數列，則圓錐曲線的離心率可以是（）A． B． C． D．11．設雙曲線的半焦距為，直線過，兩點．已知原點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．12．若雙曲線的離心率，則（）A．3 B．12 C．18 D．2713．已知點是雙曲線的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．14．已知，，是雙曲線上不同的三點，且點A，連線經過坐標原點，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．15．在平面直角坐標系中，雙曲線的中心在坐標原點，焦點在軸上，一條漸近線的方程為，則它的離心率為（）A． B． C． D．216．已知點，分別是雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，點在雙曲線的右支上，且滿足，，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．17．已知分別為雙曲線的左右焦點，是雙曲線上的一點且滿足，則此雙曲線離心率的取值范圍（）A． B． C． D．18．已知點分別是雙曲線的左右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若為等邊三角形，則該雙曲線的離心率是（）A． B．或 C．2 D．319．設雙曲線上有兩點，，中點，則直線的方程為________________．20．已知雙曲線上存在兩點關于直線對稱，且的中點在拋物線上，則實數的值為________．21．過雙曲線的左焦點的直線與雙曲線交兩點，且線段的中點坐標為，則雙曲線方程是_______________.22．過點的直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程為___________.23．已知是雙曲線右支上的一點，雙曲線的一條漸近線方程為．設分別為雙曲線的左、右焦點．若，則．24．已知雙曲線，F1，F2是雙曲線的左右兩個焦點，P在雙曲線上且在第一象限，圓M是△F1PF2的內切圓．則M的橫坐標為，若F1到圓M上點的最大距離為，則△F1PF2的面積為．25．已知雙曲線x2y2=1，點F1，F2為其兩個焦點，點P為雙曲線上一點，若PF1⊥PF2，則∣PF1∣+∣PF2∣的值為．26．與雙曲線具有相同漸近線，且兩頂點間的距離為2的雙曲線方程為______．27．（1）若雙曲線過點，離心率，則其標準方程為_____．（2）若雙曲線過點，漸近線方程是，則其標準方程為_____．（3）若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且經過點，則其標準方程為_____．28．已知雙曲線（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線的右支上，若|PF1|－|PF2|＝b，且雙曲線的焦距為2，則該雙曲線的方程為__________．29．焦點在x軸上，經過點P（4，－2）和點Q（2，2）的雙曲線的標準方程為________．30．實軸在x軸上，實軸長為12，一條漸近線的方程為的雙曲線方程為______．31．已知，則圓錐曲線的離心率等于______．32．已知雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，則雙曲線的離心率是______．課后練習1．“k<2”是“方程表示雙曲線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．已知雙曲線的左右焦點，，是雙曲線上一點，，則（）A．1或13 B．1 C．13 D．93．已知是雙曲線的左焦點，點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為（）A．9 B．5 C．8 D．44．已知，分別是雙曲線的左?右焦點，若P是雙曲線左支上的點，且．則的面積為（）A．8 B． C．16 D．5．已知，分別是雙曲線的左右焦點，點P在該雙曲線上，若，則（）A．4 B．4或6 C．3 D．3或76．雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上一點到的距離為11，則點到的距離為（）A．1 B．21 C．1或21 D．2或217．已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A． B． C． D．8．雙曲線的右焦點坐標為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．9．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．10．雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．11．在中，，．若以A，B為焦點的雙曲線經過點C，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．已知雙曲線C：的左右焦點分別為，，點在軸上，為等邊三角形，且線段的中點恰在雙曲線C上，則雙曲線C的離心率為（）A． B．2 C． D．13．直線與雙曲線沒有公共點，則斜率k的取值范圍是（

）A．B．C．D．14．若雙曲線的一個頂點為A，過點A的直線與雙曲線只有一個公共點，則該雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．15．過雙曲線：（，）的焦點且斜率不為0的直線交于A，兩點，為中點，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．16．已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．17．直線l交雙曲線于A，B兩點，且為AB的中點，則l的斜率為（

）