考研數學二（選擇題）模擬試卷82(題后含答案及解析)題型有：1.1．設向量組Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量組Ⅱ：β1，β2，…，βs線性表示，則()A．當r＜s時，向量組Ⅱ必線性相關。B．當r＞s時，向量組Ⅱ必線性相關。C．當r＜s時，向量組Ⅰ必線性相關。D．當r＞s時，向量組Ⅰ必線性相關。正確答案：D解析：因為向量組Ⅰ可由向量組Ⅱ線性表示，故r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s。又因為當r＞s時，必有r(Ⅰ)＜r，即向量組Ⅰ的秩小于其所含向量的個數，此時向量組Ⅰ必線性相關，所以應選D。知識模塊：向量2．設非齊次線性方程組Ax=b有兩個不同解β1和β2，其導出組的一個基礎解系為α1，α2，c1，c2為任意常數，則方程組Ax=b的通解為A．c1α1+c2(α1+α2)+(β1-β2)B．c1α1+c2(α1-α2)+(β1+β2)C．c1α1+c2(β1+β2)+(β1-β2)D．c1α1+c2(β1-β2)+(β1+β2)正確答案：B解析：因α1，α1-α2是與基礎解系α1，α2等價的線性無關向量組，故α1，α1-α2也是Ax=0的基礎解系，又由(Aβ1+Aβ2)=(B+B)=b知(β1+β2)是Ax=B的一個解，由解的結構即知(B)正確．知識模塊：線性方程組3．在中，無窮大量是A．①②．B．③④．C．②④．D．②．正確答案：D解析：本題四個極限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需討論極限要選該極限為+∞的，僅當n=3并取“+”號時，即．選D．知識模塊：極限、連續與求極限的方法4．設X1，X2，…，Xn相互獨立同分布，每個分布函數均為F(x)，記X=min(X1，…，Xn)，Y=max(X1，…，Xn)，則(X，Y)的分布函數F(x，y)當y＞x時在(x，y)處的值為()A．[F(x)F(y)]nB．[F(y)]n一[F(y)一F(x)]nC．[F(y)]n一[F(y)一F(x)F(y)]n．D．[r(x)]n一[F(x)一F(y)]n．正確答案：B解析：r(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{x≤+∞，Y≤y}一P{X＞x，Y≤y}=P{Y≤y}一P{X＞x，y≤y}=P{max(X1，X2，…，Xn)≤y}-P{min(X1，X2，…，Xn)＞x，max(X1，X2，…，Xn)≤y}=[F(y)]n一P{X1＞x，…，Xn＞x，X1≤y，…，Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤y，x＜X2≤y，…，x＜Xn≤y}=[F(y)]n一P{x＜X1≤)，}P{x＜X2≤y}…P{x＜Xn≤y}=[F(y)]n一[F(y)-F(x)]n(y＞x)．知識模塊：概率論與數理統計5．二元函數f(x，y)=在點(0，0)處A．連續，偏導數存在B．連續，偏導數不存在C．不連續，偏導數存在D．不連續，偏導數不存在正確答案：C涉及知識點：多元函數微積分6．設函數f(x)與g(x)在[0，1]上連續，且f(x)≤g(x)，且對任何c∈(0，1)A．．B．．C．．D．．正確答案：D涉及知識點：一元函數積分學7．設f(x)=其中g(x)是有界函數，則f(x)在x=0處()A．極限不存在B．極限存在，但不連續C．連續，但不可導D．可導正確答案：D解析：=f(0)=0，f(x)在x=0點連續．所以f-’(0)=0．故f+’(0)=0，從而f’(0)存在，且f’(0)=0，應選(D)．知識模塊：一元函數微分學8．設函數f(x)=則在點x=0處f(x)()．A．不連續B．連續但不可導C．可導但導數不連續D．導數連續正確答案：D解析：因為=f(0)=0，所以f(x)在x=0處連續；知識模塊：一元函數微分學9．設f(x)連續，且f’(0)>0，則存在δ>0，使得()．A．f(x)在(0，δ)內單調增加B．f(x)在(-δ，0)內單調減少C．對任意的x∈(-δ，0)，有f(x)>f(0)D．對任意的x∈(0，δ)，有f(x)>f(0)正確答案：D解析：因為f’(0)=>0，所以由極限的保號性，存在δ>0，當0>0，當x∈(-δ，0)時，f(x)f(0)，應選(D)知識模塊：高等數學部分10．已知三階矩陣A與三維非零列向量α，若向量組α，Aα，A2α線性無關，而A3α=3Aα—2A2α，那么矩陣A屬于特征值λ=—3的特征向量是()A．αB．Aα+2αC．A2α—AαD．A2α+2Aα—3α正確答案：C解析：由已知A3α+2A2α—3Aα=0，即有(A+3E)(A2α—Aα)=0=O(A2α—Aα)。因為α，Aα，A2α線性無關，那么必有A2α—Aα≠0，所以，A2α—Aα是矩陣A+3E屬于特征值λ=0的特征向量，也是矩陣A屬于特征值λ=—3的特征向量，故選C。知識模塊：矩陣的特征值和特征向量11．設且｜A｜=m，則｜B｜=()A．m。B．一8m。C．2m。D．一2m。正確答案：D解析：將行列式｜A｜的第一列加到第二列上，再將第二、三列互換，之后第一列乘以2就可以得到行列式｜B｜。由行列式的性質知｜B｜=一2｜A｜=一2m。知識模塊：行列式12．A＝E－αTα，B＝E＋2αTα，其中E為n階單位矩陣，則AB等于A．0．B．－E．C．E．D．E＋αTα．正確答案：C涉及知識點：矩陣13．設則B=()A．P1P3A。B．P2P3A。C．AP3P2。D．AP1P3。正確答案：B解析：矩陣A作兩次初等行變換可得到矩陣B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩陣A作列變換，故應排除。該變換或者把矩陣A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二兩行互換可得到B；或者把矩陣A的第一、二兩行互換后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3A正是后者，所以應選B。知識模塊：矩陣14．設函數f(x)=，討論f(x)的間斷點，其結論為()A．不存在間斷點．B．x=0是可去間斷點．C．x=0是跳躍間斷點．D．x=0是無窮間斷點．正確答案：D解析：因為所以x=0是f(x)的無窮間斷點，故應選(D)．知識模塊：函數、極限、連續15．設非齊次線性微分方程y’+P(x)y=Q(x)有兩個不同的解y1(x)，y2(x)，C為任意常數，則該方程的通解是()A．C[y1(x)一y2(x)]．B．y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]C．C[y1(x)+y2(x)]．D．y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]．正確答案：B解析：由于y1(x)一y2(x)是對應齊次線性微分方程y’+P(x)y=0的非零解，所以它的通解是Y=C[y1(x)一y2(x)]，故原方程的通解為y=y1(x)+Y=y1(x)+C[y1(x)一y2(x)]，故應選B．知識模塊：常微分方程16．設α1，α2，α3線性無關，β1可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，對任意的常數k有()．A．α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關B．α1，α2，α3，kβ1+β2線性相關C．α1，α2，α3，β1+kβ2，線性無關D．α1，α2，…，α3，β1+kβ2線性相關正確答案：A解析：因為β1可由α1，α2，α3線性表示，β2不可由α1，α2，α3線性表示，所以kβ1+β2一定不可以由向量組α1，α2，α3線性表示，所以α1，α2，α3，kβ1+β2線性無關，選(A)知識模塊：線性代數部分17．設λ1，λ2是n階矩陣A的特征值，α1，α2分別是A的對應于λ1，λ2的特征向量，則()A．當λ1=λ2時，α1，α2對應分量必成比例B．當λ1=λ2時，α1，α2對應分量不成比例C．當λ1≠λ2時，α1，α2對應分量必成比例D．當λ1≠λ2時，α1，α2對應分量必不成比例正確答案：D解析：當λ1=λ2時，α1與α2可以線性相關也可以線性無關，所以α1，α2可以對應分量成比例，也可以對應分量不成比例，故排除(A)，(B)．當λ1≠λ2時，α1，α2一定線性無關，對應分量一定不成比例，故選(D)．知識模塊：線性代數18．設α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組AX=b的三個解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常數，則方程組AX=b的通解是()A．B．C．D．正確答案：C解析：方程組有齊次解：2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T，故選(C)．知識模塊：線性代數19．已知α1是矩陣A屬于特征值λ=2的特征向量，α2，α3是矩陣A屬于特征值λ=6的線性無關的特征向量，那么矩陣P不能是()A．[α1，一α2，α3]B．[α1，α2+α3，α2—2α3]C．[α1，α3，α2]D．[α1+α2，α1-α2，α3]正確答案：D解析：P=[α1，α2，α3]，則有AP=PA，即即[Aα1，Aα2，Aα3]=[a1α1，a2α2，a3α3]．可見αi是矩陣A屬于特征值ai的特征向量(i=1，2，3)，又因矩陣P可逆，因此，α1，α2，α3線性無關．若α是屬于特征值λ的特征向量，則一α仍是屬于特征值λ的特征向量，故(A)正確．若α，β是屬于特征值λ的特征向量，則k1α+k2β仍是屬于特征值λ的特征向量．本題中，α2，α3是屬于λ=6的線性無關的特征向量，故α2+α3，α2一2α3仍是λ=6的特征向量，并且α2+α3，α2—2α3線性無關，故(B)正確．關于(C)，因為α2，α3均是λ=6的特征向量，所以α2，α3誰在前誰在后均正確．即(C)正確．由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1一α2不再是矩陣A的特征向量，故(D)錯誤．知識模塊：線性代數20．設A為n階實矩陣，則對線性方程組(I)AX=0和(Ⅱ)ATAX=0，必有()A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解B．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(n)的解也不是(I)的解D．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解正確答案：A解析：方程AX=0和ATAX=0是同解方程組．知識模塊：線性代數21．設A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，則A．當m＞n時，必有|AB|≠0．B．當m＞n時，必有|AB|=0．C．當n＞m時，必有|AB|≠0．D．當n＞m時，必有|AB|=0．正確答案：C解析：當m＞n時，r(AB)≤r(A)≤n＜m，注意AB為m階方陣，故|AB|=0．知識模塊：線性代數22．設平面區域D：1≤χ2＋y2≤4，f(χ，y)是區域D上的連續函數，則等于()．A．2π∫12rf(r)drB．2π[∫12rf(r)dr－∫01rf(r)dr]C．2π∫12rf(r2)drD．2π[∫02rf(r2)dr－∫01rf(r2)dr]正確答案：A解析：＝∫02πdθ∫12rf(r)dr＝2π∫12rf(r)dr故選A．知識模塊：重積分23．設函數f(x)滿足關系式f”(x)+[f’(x)]2=x，且f’(x)=0，則()A．f(0)是f(x)的極大值．B．f(0)是f(x)的極小值．C．(0，f(0))是曲線y=f(x)的拐點．D．f(0)不是f(x)的極值，點(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點．正確答案：C解析：將x=0代入已知方程，得f”(0)=0．故在x=0的充分小的鄰域U(0，δ)內，有且一δ＜x＜0時f”(x)＜0，0＜x＜δ時f”(x)＞0，從而(0，f