第二章數學的論證方法

數學發現方法是將具有一定數量和質量的經驗材料,進行加工處理,成為數學材料,從而形成數學猜想,建立數學命題.這樣得到的命題是否正確,以及可靠的程度,都具有很大的或然性.因此,對所得命題,還必須有一個判斷和論證的過程,來確定命題是否正確,以確保所得命題的嚴密性和科學性.這個過程就稱為數學的論證方法.第一節演繹方法

1、演繹法的含義

由一般性原理推導出關于特殊情況下結論的思維方法叫演繹法，也稱為演繹推理，它是以某類事物的一般判斷為前題作出對這類事物的特殊判斷的推理方法。演繹推理有多種類型，最常用的是三段論。一個三段論由大前題、小前題和結論三個簡單的判斷組成。大前題是一個一般性原理，小前題給出一個適合一般性原理的特殊場合，結論是大前題和小前題的邏輯結果。三段論推理的基本模式為：

大前題：一切M是P

小前題：S是M

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結論：S是P

例如:大前題：所有的有理數是實數小前題：分數是有理數

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結論：分數是實數

三段論推理的根據，用集合的觀點來講，就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，則S中所有元素都具有性質P。由于演繹推理的特殊性結論包含在一般性原理之中，因而它的前題和結論之間有著必然的聯系。如果前題正確，推理又符合邏輯，那么由演繹推理所得的結論就一定正確。因此，演繹推理是一種必然性推理。它是數學證明常用的推理方法與工具。

2、演繹法的運用運用演繹推理的三段論推理時，首先應該指明一個大前題，其次根據條件指明小前題，最后得出一個結論。上述過程重復進行下去，至到推出所需結論為止。例1已知:在△ABC中,∠C=90°.

求證:∠A+∠B=90°

證明:因為“三角形內角和為180°”,(大前題)

而“∠A、∠B、∠C是△ABC三內角”,（小前題）所以“∠A+∠B+∠C=180°”，（結論）又因為“等量減等量差相等”，（大前題）而∠A+∠B+∠C=180°，∠C=90°（小前提）所以∠A+∠B+∠C)-∠C=180°-90°（結論）即∠A+∠B=90°

上述演繹推理的過程分為若干小步驟,每步都是一個演繹推理,并寫明了三段論的三個判斷.在實際表述證明時,不必要這樣去做,可將很多前題省略去.

省略大(小)前題:采用“因為…所以…”形式.

例如,因為正方形是菱形,所以對角線互相垂直.(這里省略了大前題:菱形的對角線相互垂直)

例1可簡單地寫成:

因為∠A、∠B、∠C是△ABC三內角,（小前題）所以∠A+∠B+∠C=180°(結論)

因為∠C=90°（小前題）所以∠A+∠B=90°(結論)

3、演繹法是進行邏輯證明的工具演繹推理是從關于事物的一般性知識出發所進行的推理，因而在推理形式合乎邏輯的前題下，推理的結論直接取決于前題。所以可以選擇可靠的命題作為前題，經過推理來證明某個命題。同時將一般的原理應用到特殊(個別)能夠推出特殊的結果.第二節分析法與綜合法

一、分析法分析法是從問題的結論出發尋找其成立的充分(要)條件的證明方法,是由結果追溯到產生這一結果的原因的一種思維方法.即所謂“執果索因”的方法.

分析法的邏輯模式為:若要……,只需……,即要證明什么,為此只需證明什么.

例1如圖,在等腰△ABC的兩腰AB及AC上,分別取兩點D及E,使AD=AE,F為BE與CD的交點,證明:FB=FC.

證明:若要FB=FC,

只需∠FBC=∠FCB,

只需∠ABE=∠ACD;

只需△ABE≌△ACD.而由于AB=AC,AE=AE,∠A=∠A,所以,△ABE≌△ACD是成立的,于是命題得證.

由此可知,分析法要求從結論出發,向條件逐步上溯.先設想要證的結論成立,推出它成立的原因,再把這些原因看成新的結論,再推出它成立的原因,如此逐步上溯,直到推出已知條件或已知的實事為止.

要證明的命題:“若A,則D”其思考方法為：先假定D成立,尋求D成立的原因,而后就各個原因分別進行研究,找出它們成立的條件,逐步進行下去,最后達到條件A,從而證明了命題.

其思考路線為:

分析法的兩種形式

1、選擇性分析法:

它是從結論出發,尋求結論成立需要什么充分條件,并為此在探索的“三岔口”作方向猜想和方向擇優的一種分析法.

例2設x,y,z為互不相等的正數,求證思考路線:

2、可逆性分析法

如果從結論向已知追溯過程中每一步都是推求的充分必要條件,這種分析法叫可逆性分析法.可逆性分析法是選擇性分析法的特殊情況。能用可逆性分析法證明的命題，一定能用選擇性分析法證明，反之，能用選擇性分析法證明的命題不一定能用可逆性分析法證明。可逆性分析法證明中，常用符號“”來表示，或最后指出“上述每步均可逆，故命題成立”例3設a,b,c是三角形的三邊,m>0.求證:

證明:因c<a+b,從而最后一個不等式的左邊為負,而右邊為正,故最后的一個不等式成立.所以原不等式成立.

應用分析法必須注意:

(1)一系列中間論斷中,后一個論斷必為前一個論斷(或結論)的充分(要)條件;(2)逆推過程必須聯系已知的條件、有關的定理等,才能使逆推有一定的方向,避免盲目推演.

運用分析法的優點在于易找到證明思路。有不少問題，運用分析法具有打開思路通道的奇效。這是因為公式、定理只有幾個或十幾個，而由此引發的命題卻成百上千，如何發現證明思路？最好是用分析法順藤摸瓜。

二、綜合法

從已知出發,逐步推演,最后導出結論,這種由因導果的證明方法叫綜合法.

要證明的命題是“若A,則D”,其思考方法為:從A出發,推出與A靠近的盡可能的所有結論B,B1,B2,,…，而B,B1,B2又各有其果C,C1,C2,C3,C4,，…，這樣一直下去,在某一個層次的推演中出現D,從而尋找出由A到D的路線.

思考路線如右圖所示。由此得思路:

要證明命題“若A,則D”.綜合法從條件A出發,由因求果,一步一步地推到結論D,相鄰兩個判斷,后邊一個是前邊的必要條件.分析法是從D出發,執果索因,一步一步追溯到A,相鄰兩個判斷,后邊是前邊的充分條件.因此,綜合法與分析法是相互對立的.

綜合法的特點是:從“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其逐步推理過程實際上就是尋找它的必要條件.其思路是由已知條件和已證結論的真實判斷出發,經過一系列的中間推理,著力尋找它們之間的內在聯系,最后綜合推得所要證明的結論.

例3設a,b,c是三角形的三邊,m>0.求證:

綜合法形式簡潔、條理清晰、宜于表述，但對復雜的問題不易找到思路；分析法步步逆求命題成立的充分（必要）條件，思路較為自然，易找出解題的思路，但過程表述較為繁瑣。因此，在解題時經常先用分析法探求解題途徑，打開思維通道，再用綜合法有條理地敘述解題過程。

三、分析綜合法對于一個解題思路不明顯的問題，先用分析法從倒推入手，把目標探究到一定程度，再用綜合法回到條件順推，如果兩方面能匯合在一起或推進到一個熟悉的類型（實事），那么問題的條件與目標

之間的聯系就隨之清楚，與此同時，解題途徑也就自然明朗。這種把分析法與綜合法結合起來，在分析法中有綜合法，在綜合法中有分析法，交叉使用去論證、求解命題的思維方法叫分析綜合法。這樣，從一個命題的兩端向中間“擠”，容易發現證題的突破口，收到事半功倍的效果。例5已知三角形的三個內角A,B,C成等差數列,