專題7.11離散型隨機變量的分布列和數學期望大題專項訓練（30道）【人教A版2019選擇性必修第三冊】姓名：___________班級：___________考號：___________1．（2023春·河南焦作·高二開學考試）已知一個盒子里裝有兩種顏色的小球，其中有紅球6個，黃球3個．(1)現從中每次隨機取出一個球，且每次取球后都放回盒中，求事件“連續取球三次，至少兩次取到黃球”發生的概率；(2)若從盒中一次隨機取出3個小球，記取到黃球的個數為X，求隨機變量X的數學期望．【解題思路】(1)先計算取到黃球的概率為13(2)X的所有可能取值為0，1，2，3，分別計算對應概率，再對應寫出分布列及數學期望．【解答過程】（1）由題可知，從盒子中隨機取出1個球，取到黃球的概率為36+3設連續從盒中取球三次，取到黃球的次數為ξ，則ξ～B3,∴P(ξ≥2)=C（2）由題可知X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X=0)=CP(X=2)=C∴X的分布列為：X0123P51531∴E(X)=0×52．（2023春·浙江·高三開學考試）第二十二屆世界足球賽于2022年11月21日在卡塔爾舉行，是歷史上首次在中東國家境內舉行，也是第二次再亞洲舉行的世界杯足球賽，在此火熱氛圍中，某商場設計了一款足球游戲：場地上共有大、小2個球門，大門和小門依次射門，射進大門后才能進行小門射球，兩次均進球后可得到一個世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顧客射進大門的概率均為34，射進小門的概率依次為23，13(1)求這3人中至少有2人射進大門的概率；(2)記這3人中得到“拉伊卜”的人數為X，求X的分布列及期望．【解題思路】(1)根據二項分布求概率公式計算即可求解；(2)分別求出甲和乙、丙獲得“拉伊卜”的概率，再求出P(X=0)、P(X=1)、P(X=2)、P(X=3)，列出分布列，結合數學期望的求法即可求解.【解答過程】（1）設三人中射進大門的人數為Y，則Y~B3,∴P(Y≥2)=P(Y=2)+P(Y=3)=C（2）甲獲得“拉伊卜”的概率p1乙、丙獲得“拉伊卜”的概率p2P(X=0)=1?12P(X=2)=CP(X=3)=1∴X的分布列如下：X0123P91571∴E(X)=0?93．（2023·全國·高三專題練習）某市公租房的房源位于A，B，C三個片區，設每位申請人只申請其中一個片區的房源，且申請其中任一個片區的房源是等可能的，求該市的任4位申請人中：(1)恰有2人申請A片區房源的概率；(2)申請的房源所在片區的個數ξ的分布列與期望【解題思路】（1）解法一：由排列組合求出所有可能的申請方式和恰有2人申請A片區房源的申請方式，由古典概率公式代入即可得出答案.解法二：設對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復試驗.記“申請A片區房源”為事件A，則P(A)=13.由獨立重復試驗中事件A（2）求出ξ的所有可能值，再分別求出其對應的概率即可求出分布列，再由期望公式代入即可求出申請的房源所在片區的個數ξ的期望.【解答過程】（1）解法一：所有可能的申請方式有34種，恰有2人申請A片區房源的申請方式C42?2解法二：設對每位申請人的觀察為一次試驗，這是4次獨立重復試驗.記“申請A片區房源”為事件A，則P(A)=從而，由獨立重復試驗中事件A恰發生k次的概率計算公式知，恰有2人申請A片區房源的概率為P（2）ξ的所有可能值為1，2，3.P(ξ=1)=3P(ξ=2)=C32(P(ξ=3)=C31綜上知，ξ有分布列為：ξ123P1144Eξ=1×14．（2023春·山西忻州·高三開學考試）甲、乙兩班進行消防安全知識競賽，每班選出3人組成甲、乙兩支代表隊，每隊初始分均為4分，首輪比賽每人回答一道必答題，答對則為本隊得2分，答錯或不答扣1分．已知甲隊3人每人答對的概率分別為23，12，14，乙隊每人答對的概率都是2(1)求隨機變量X的分布列及其數學期望EX(2)求在甲隊和乙隊總分之和為14的條件下，甲隊與乙隊得分相同的概率．【解題思路】（1）求出X的所有可能取值及其概率可得分布列，根據數學期望公式可得數學期望；（2）設“甲隊和乙隊得分之和為14”為事件A，“甲隊與乙隊得分相同”為事件B，求出P(A)和P(AB)后，根據條件概率公式可求出結果.【解答過程】（1）X的可能取值為1，4，7，10，PX=1=1PX=7=2所以X的分布列為X14710P1531EX（2）設“甲隊和乙隊得分之和為14”為事件A，“甲隊與乙隊得分相同”為事件B，則PAPAB=35．（2023春·江蘇常州·高三開學考試）設甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球，現從甲袋中任取2個球放入乙袋，再從乙袋中任取2個球(1)記從甲袋中取出的2個球中恰有X個白球，求隨機變量X的概率分布和期望；(2)求從乙袋中取出的2個球中恰有1個紅球的概率.【解題思路】（1）根據題意知X的取值，求出對應的概率，寫出分布列，計算數學期望值；（2）根據題意，根據甲袋取球情況分類討論，利用概率公式計算可得.【解答過程】（1）X的所有可能取值為0,1,2，PX=0∴X的分布列如下：X012P241X的數學期望EX（2）若從甲袋中取出2紅，則乙袋中取出2球恰有1個紅球概率P1若從甲袋中取出2白，則乙袋中取出2球恰有1個紅球概率P2若從甲袋中取出1紅1白，則乙袋中取出2球恰有1個紅球概率P3∴乙袋中取出2球恰有1紅的概率P=196．（2023春·河北石家莊·高三開學考試）北方某市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動，并在培訓結束后對學生進行了考核，記考核成績不小于80分的為優秀，為了了解本次培訓活動的效果，在參加培訓的學生中隨機抽取了60名學生的考核成績，如下表成績[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人數55152510(1)從參加接訓的學生中隨機選取1人，請根據表中數據，估計這名學生考核優秀的概率，(2)用分層抽樣的方法，在考核成績為[70，90）的學生中任取8人，再從這8人中隨機選取4人，記取到考核成績在[80，90）的學生為X，求X的分布列和數學期望，【解題思路】（1）根據古典概型的概率計算公式即可求解，（2）根據分層抽樣的抽樣比可得[70，80）和[80，90）抽取的學生人數，由超幾何分布即可求解概率，進而得分布列.【解答過程】（1）設該名學生考核成績優秀為事件A，由已知50名同學的成績中，優秀的有35名同學，所以PA可以可估計這名學生考核優秀的概率為712（2）由已知，用分層抽樣方法，在考核成績為[70，90）的學生中任取8人，則考核成績在[70，80）的學生應抽取3人，考核成績在[80，90）的學生應抽取5人．由題意可得X的所有可能取值為1，2，3，4，所以P(X=1)=P(X=3)=所以隨機變量X的分布列為X1234P530305所以E即所求數學期望為527．（2023·全國·高三專題練習）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B，C三類問題，每位參加比賽的同學先在三類問題中隨機選擇一類，并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從剩下的兩類問題中隨機選擇一類并從中抽取一個問題回答，回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確，則從剩下的最后一類問題中隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，C類問題中的每個問題回答正確得70分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，能正確回答C類問題的概率為0.7．且能正確回答問題的概率與回答次序無關．(1)若小明先回答A類問題，記ξ為小明的累計得分，求ξ的期望．(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．【解題思路】（1）由題意得出由隨機變量ξ的可能取值為0，20，90，100，170，計算對應的不同隨機變量的概率，即可求ξ的數學期望；（2）計算小明先回答B，C，問題時隨機變量的取值及對應概率，求出均值與（1）比較即可．【解答過程】（1）解：ξ可能的取值為0，20，90，100，170，依題意得：Pξ=0=1?0.8=0.2，Pξ=90=0.8×1Pξ=170所以Eξ（2）解：設小明先回答B類問題，記Y為小明的累計得分，則Y的可能取值為0，80，100，150，170．依題意PY=0=0.4，PY=100=0.6×1PY=170所以E同理設小明先回答C類問題，記η為小明的累計得分，則η的可能取值為0，70，90，150，170，依題意得Pη=0=1?0.7=0.3，Pη=90=0.7×1Pη=170所以Eη因為Eη故小明應選擇先回答C類問題．8．（2023·福建·統考一模）校園師生安全重于泰山，越來越多的學校紛紛引進各類急救設備．某學校引進M，N兩種類型的自動體外除顫器（簡稱AED）若干，并組織全校師生學習AED的使用規則及方法．經過短期的強化培訓，在單位時間內，選擇M，N兩種類型AED操作成功的概率分別為23和1(1)現有某受訓學生進行急救演練，假定他每次隨機等可能選擇M或N型AED進行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；(2)為激發師生學習并正確操作AED的熱情，學校選擇一名教師代表進行連續兩次設備操作展示，下面是兩種方案：方案甲：在第一次操作時，隨機等可能的選擇M或N型AED中的一種，若第一次對某類型AED操作成功，則第二次繼續使用該類型設備；若第一次對某類型AED操作不成功，則第二次使用另一類型AED進行操作．方案乙：在第一次操作時，隨機等可能的選擇M或N型AED中的一種，無論第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所選擇的設備．假定方案選擇及操作不相互影響，以成功操作累積次數的期望值為決策依據，分析哪種方案更好？【解題思路】（1）設“操作成功”為事件S，“選擇設備M”為事件A，“選擇設備N”為事件B，結合題意和獨立事件的概率計算公式即可求解；（2）設方案甲和方案乙成功操作累計次數分別為X，Y，分別求出每一個次數對應的概率，然后求出每種方案對應的均值，進行比較即可得出結論.【解答過程】（1）設“操作成功”為事件S，“選擇設備M”為事件A，“選擇設備N”為事件B由題意，P(A)=P(B)=恰在第二次操作才成功的概率P=P(SP(S)=P(A)P(S|A)+P(B)P(S|B)=1P(所以恰在第二次操作才成功的概率為512（2）設方案甲和方案乙成功操作累計次數分別為X，Y，則X，Y可能取值均為0，1，2，P(X=0)=P(A)P(=1P(X=1)=P(A)P(+P(B)P(=1P(X=2)=P(A)P(S|A)P(S|A)+P(B)P(S|B)P(S|B)=1所以E(X)=0×方法一：P(Y=0)=P(A)P(=1P(Y=1)=P(A)P(+P(B)P(=P(Y=2)=P(A)P(S|A)P(S|A)+P(B)P(S|B)P(S|B)=1所以E(Y)=0×方法二：方案乙選擇其中一種操作設備后，進行2次獨立重復試驗，所以E(Y)=1決策一：因為E(X)>E(Y)，故方案甲更好．決策二：因為E(X)與E(Y)差距非常小，所以兩種方案均可9．（2023·重慶·統考一模）在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了“停課不停學”活動，一個星期后，某校隨機抽取了100名居家學習的高二學生進行問卷調查，得到學生每天學習時間（單位：h）的頻率分布直方圖如下，若被抽取的這100名學生中，每天學習時間不低于8小時有30人．(1)求頻率分布直方圖中實數a，b的值；(2)每天學習時間在[6.0,6.5)的7名學生中，有4名男生，3名女生，現從中抽2人進行電話訪談，已知抽取的學生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；(3)依據所抽取的樣本，從每天學習時間在[6.0,6.5)和[7.0,7.5)的學生中按比例分層抽樣抽取8人，再從這8人中選3人進行電話訪談，求抽取的3人中每天學習時間在[6.0,6.5)的人數的分布列和數學期望．【解題思路】（1）根據圖表得(b+0.22)×0.5×100=30，解出b值，根據小矩形面積和為1可求得a值；（2）首先求得總數為21種，求出其中有男生的概率為67，求出有女生的概率為4（3）求出在各自區間的人數，設從8人中抽取的3人每天學習時間在[6.0,6.5)的人數為X,分X=0,1,2計算，最后求出期望值.【解答過程】（1）由(b+0.22)×0.5×100=30,解得b=0.38∵0.5×(0.14+a+0.42+0.58+0.38+0.22)=1,解得a=0.26.（2）從7名學生中任選2人進行電話訪談種數:C7記任選2人有男生為事件A,則P(A)=C記任選2人有女生為事件B,則P(AB)=C則P(B|A)=P(AB)（3）用按比例分層抽樣的方式從每天學習時間在[6.0,6.5)和[7.0,7.5)的學生中抽取8人,抽中的8人每天學習時間在[6.0,6.5)的人數為14抽中的8人每天學習時問在[7.0,7.5)的人數為34設從8人中抽取的3人每天學習時間在[6.0,6.5)的人數為X,則X=0,1,2∴P(X=0)=C∴X的分布列為:X012P5153∴X的數學期望為E(X)=0×510．（2023·全國·高三專題練習）為喜迎馬年新春佳節，懷化某商場在正月初六進行抽獎促銷活動，當日在該店消費滿500元的顧客可參加抽獎．抽獎箱中有大小完全相同的4個小球，分別標有字“馬”“上”“有”“錢”．顧客從中任意取出1個球，記下上面的字后放回箱中，再從中任取1個球，重復以上操作，最多取4次，并規定若取出“錢”字球，則停止取球．獲獎規則如下：依次取到標有“馬”“上”“有”“錢”字的球為一等獎；不分順序取到標有“馬”“上”“有”“錢”字的球，為二等獎；取到的4個球中有標有“馬”“上”“有”三個字的球為三等獎．(1)求分別獲得一、二、三等獎的概率；(2)設摸球次數為ξ，求ξ的分布列和數學期望【解題思路】（1）設“摸到一等獎、二等獎、三等獎”分別為事件A，B，C，每次摸球相互獨立，每個球被摸到的概率為14，由事件的相互獨立性性質求PA，先由排列方式計算事件B的基本事件個數，再由古典概型求概率方式求（2）由相互獨立性計算ξ的取值為1、2、3、4時的概率，并列出對應的分布列，進而由均值計算公式求得均值.【解答過程】（1）解：設“摸到一等獎、二等獎、三等獎”分別為事件A，B，C．

則P(A)=14×三等獎的情況有：“馬，馬，上，有”；“馬，上，上，有”；“馬，上，有，有”三種情況，所以PC（2）解：設摸球的次數為ξ，則ξ的可能取值為1、2、3、4，

所以P(ξ=1)=14，P(ξ=2)=3P(ξ=4)=1?P(ξ=1)?P(ξ=2)?P(ξ=3)=27故取球次數ξ的分布列為ξ1234P13927所以取球次數ξ的數學期望Eξ11．（2023秋·湖南株洲·高三期末）某社區為豐富居民的業余文化生活，打算在周一到周五連續為該社區居民舉行“社區音樂會”，每晚舉行一場，但若遇到風雨天氣，則暫停舉行.根據氣象部門的天氣預報得知，在周一到周五這五天的晚上，前三天每天出現風雨天氣的概率均為p1，后兩天每天出現風雨天氣的概率均為p2，每天晚上是否出現風雨天氣相互獨立.已知前兩天的晚上均出現風雨天氣的概率為14(1)求該社區能舉行4場音樂會的概率；(2)求該社區舉行音樂會場數X的分布列和數學期望E(X).【解題思路】（1）由題意先求出p1（2）求出X的可能取值和每個X對應的概率，即可求出X的分布列，再由期望公式即可求出E(X).【解答過程】（1）由已知可得，p12=14設Ai(i=1,2,3,4,5)表示第i天可以舉行音樂會，則P(B)=P(=C（2）X的可能取值為0，1，2，3，4，5P(X=0)=(P(X=1)=CP(X=2)=CP(X=3)=CP(X=4)=CP(X=5)=(所以X的分布列為X012345P16567343111從而數學期望為：EX12．（2023·四川成都·統考一模）成都作為常住人口超2000萬的超大城市，注冊青年志愿者人數超114萬，志愿服務時長超268萬小時.2022年6月，成都22個市級部門聯合啟動了2022年成都市青年志愿服務項目大賽，項目大賽申報期間，共收到331個主體的416個志愿服務項目，覆蓋文明實踐?社區治理與鄰里守望?環境保護等13大領域.已知某領域共有50支志愿隊伍申報，主管部門組織專家對志愿者申報隊伍進行評審打分，并將專家評分（單位：分）分成6組：40,50,(1)求圖中m的值；(2)從評分不低于80分的隊伍中隨機選取3支隊伍，該3支隊伍中評分不低于90分的隊伍數為X，求隨機變量X的分布列和期望.【解題思路】（1）利用直方圖中各矩形面積和為1列方程求解即可.（2）先求出評分不低于80分的隊伍數，以及評分不低于90分的隊伍數，確定隨機變量X的取值，求出概率，寫出分布列，求得期望.【解答過程】（1）由0.004×2+0.022+0.030+0.028+m×10=1解得m=0.012．（2）由題意知不低于80分的隊伍有50×0.12+0.04不低于90分的隊伍有50×0.04=2支.隨機變量X的可能取值為0,1,2.∵P∴X的分布列為X012P5153∴EX13．（2023秋·河北石家莊·高三期末）黨的二十大已勝利閉幕，某市教育系統為深入貫徹黨的二十大精神，組織黨員開展了“學習二十大”的知識競賽活動.隨機抽取了1000名黨員，并根據得分（滿分100分）按組別60,70，70,80，80,90，90,100繪制了頻率分布直方圖（如圖），視頻率為概率.(1)若此次活動中獲獎的黨員占參賽總人數20%，試估計獲獎分數線；(2)采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，從得分不低于80的黨員中隨機抽取7名黨員，再從這7名黨員中隨機抽取3人，記得分在90,100的人數為ξ，試求ξ的分布列和數學期望.【解題思路】（1）設分數線為x∈[80,90)，使得成績在[x,100]的概率為0.2，解方程(90?x)×0.025+0.010×10=0.2可得答案；（2）應從[80,90)和[90,100]兩組內分別抽取5人和2人，求出ξ的可能取值以及對應的概率可得分布列和期望.【解答過程】（1）根據直方圖可知，成績在80,100的頻率為0.025+0.010×10=0.35成績[90,100]的頻率為0.1，小于0.2，因此獲獎的分數線應該介于[80,90)之間，設分數線為x∈[80,90)，使得成績在[x,100]的概率為0.2，即(90?x)×0.025+0.010×10=0.2，可得x=86，所以獲獎分數線劃定為86；（2）應從[80,90)和[90,100]兩組內分別抽取5人和2人，則ξ的可能取值為0，1，2，P(ξ=0)=CP(ξ=1)=CP(ξ=2)=Cξ的分布列為ξ012P241數學期望E(ξ)=0×214．卡塔爾世界杯在今年11月21日至12月18日期間舉行，賽程如下：第一輪中先將32個國家隨機分為A，B，C，D，E，F，G，H，8個小組，每個小組中4個國家進行循環積分賽，在積分賽中，每局比賽中勝者積3分，負者積0分，平局各積1分，積分前兩名者晉級下一輪淘汰賽；每組的循環積分賽分3輪，其中C組國家是阿根廷，墨西哥，波蘭，沙特，第一輪是阿根廷VS沙特，墨西哥VS波蘭；第二輪是阿根廷VS墨西哥，沙特VS波蘭；第三輪是阿根廷VS波蘭，墨西哥VS沙特.小組賽前曾有機構評估C組四個國家的實力是阿根廷>墨西哥>波蘭>沙特，并預測各自勝負概率如下：（1）阿根廷勝墨西哥概率為12，阿根廷勝波蘭、阿根廷勝沙特的概率均為23，阿根廷平墨西哥、波蘭、沙特的概率均為16；（2）墨西哥勝波蘭、墨西哥勝沙特、波蘭勝沙特的概率均為1(1)已知在C組小組賽第一輪中，阿根廷1:2沙特，墨西哥0:0波蘭，第二輪中，阿根廷2:0墨西哥，沙特0:2波蘭，求阿根廷最后小組賽晉級的概率（積分相同時實力強的優先晉級）；(2)設阿根廷在小組賽中的不敗的場次為X，求X的分布列及數學期望.【解題思路】（1）首先分析兩輪過后各隊的積分情況，可得有①阿根廷勝波蘭；②阿根廷平波蘭且墨西哥不負于沙特，利用互斥事件及相互獨立事件的概率公式計算可得.（2）依題意可得X的可能取值為0、1、2、3，求出所對應的概率，即可得到分布列與數學期望.【解答過程】（1）解：前兩輪過后，阿根廷、墨西哥、波蘭、沙特的積分分別是3分、1分、4分、3分；第三輪中，阿根廷VS波蘭，阿根廷勝波蘭概率為23，阿根廷平波蘭概率為16，阿根廷負于波蘭概率為墨西哥VS沙特，墨西哥勝沙特概率為12，墨西哥平沙特概率為16，墨西哥負于沙特概率為設所求事件為M，列舉可知事件M包含以下兩種情況：①阿根廷勝波蘭；②阿根廷平波蘭且墨西哥不負于沙特，則P(M)=2（2）解：依題意可得X的可能取值為0、1、2、3，又知P(X=0)=13×P(X=2)=2×23×所以X分布列如下：X0123P(X)11525所以X的數學期望EX15．（2023秋·江蘇揚州·高三期末）某校為了合理配置校本課程資源，教務部門對學生們進行了問卷調查．據統計，其中14的學生計劃只選擇校本課程一，另外3(1)從學生中隨機抽取3人，記這3人的合計得分為X，求X的分布列和數學期望；(2)從學生中隨機抽取n人n∈N?，記這n人的合計得分恰為n+1分的概率為Pn【解題思路】(1)根據題意得出不選擇校本課程二的概率為14，選擇校本課程二的概率為34，X的可能取值為3，4，5，6，分別求出對應的概率，由此能求出(2)這n人的合計得分為n+1分，則其中只有1人計劃選擇校本課程二，則Pn=C【解答過程】（1）由題意知，每位學生計劃不選擇校本課程二的概率為14選擇校本課程二的概率為34則X的可能取值為3，4，5，6，PX=3=1PX=5=C所以X的分布列如下表所示：X3456P192727所以EX（2）因為這n人的合計得分為n+1分，則其中只有1人計劃選擇校本課程二，所以Pn設Sn則14由兩式相減得34即34所以P116．（2023秋·廣東·高三期末）疫情期間某大型快餐店嚴格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防護的同時，為了實現收益，也為了滿足人們餐飲需求，增加打包和外賣配送服務，不僅如此，還提供了一款新套餐，豐富產品種類，該款新套餐每份成本20元，售價30元，保質期為兩天，如果兩天內無法售出，則過期作廢，且兩天內的銷售情況互不影響，現統計并整理連續30天的日銷量（單位：百份），得到統計數據如下表：日銷量（單位：百份）12131415天數39126(1)記兩天中銷售該款新套餐的總份數為X（單位：百份），求X的分布列和數學期望；(2)以該款新套餐兩天內獲得利潤較大為決策依據，在每兩天備餐27百份?28百份兩種方案中應選擇哪種？【解題思路】（1）列出X可能取值，分別計算出相應的概率，列出分布列表，即可求解.（2）根據利潤的計算方式，分別計算出當每兩天生產配送27百份時的利潤和當每兩天生產配送28百份時利潤，比較后可得答案.【解答過程】（1）根據題意可得：X的所有可能取值為24,25,26,27,28,29,30，PX=24PX=25PX=26PX=27PX=28PX=29PX=30∴X的分布列為：X24252627282930P13177741EX（2）當每兩天生產配送27百份時，利潤為：24×10?3×20+27×10×1?當每兩天生產配送28百份時，利潤為：24×10?4×20×1100+∵260.4>254.8，∴選擇每天生產配送27百份.17．（2023秋·江蘇南通·高三期末）某公司開發了一款可以供n（n=3或n=4）個人同時玩的跳棋游戲.每局游戲開始，采用擲兩顆質地均勻的骰子（骰子出現的點數為1，2，3，4，5，6），兩個骰子的點數之和除以n所得的余數對應的人先走第一步.兩個骰子的點數之和除以n的余數0，1，2，?，n?1分別對應游戲者A1，A2，A3，?(1)當n=3時，在已知兩個骰子的點數之和為偶數的條件下，求A3(2)當n=4時，求兩顆骰子點數之和除以n的余數X的概率分布和數學期望，并說明該方法對每個游戲者是否公平.【解題思路】（1）列舉基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解；（2）根據試驗，分析出當n=4時，兩顆骰子點數之和除以n的余數X可能為0，1，2，3，分別求概率，得到分布列，即可判斷.【解答過程】（1）因為擲兩顆質地均勻的骰子所得點數之和有如下36種基本樣本點（表）：123456123456723456783456789456789105678910116789101112在已知兩個骰子點數之和為偶數的條件下，共有基本事件18個，設事件“A3先走第一步”為D，表示和被n=3除后的余數為2的基本事件有和為2，8對應的情形有6個，依據古典概型可知：P即A3先走第一步的概率為1（2）當n=4時，兩顆骰子點數之和除以n的余數X可能為0，1，2，3，且PX=0=PX=2=所以隨即變量X的概率分布為X0123P1215故EX由于和被4除所得余數（即隨即變量X取值）的概率大小不完全相同，說明該方法對每個游戲者不公平.18．（2023春·安徽·高三開學考試）某大型國有企業計劃在某雙一流大學進行招聘面試，面試共分兩輪，且第一輪通過后才能進入第二輪面試，兩輪均通過方可錄用．甲、乙、丙、丁4名同學參加面試，已知這4人面試第一輪通過的概率分別為23，45，34，34，面試笫二輪通過的概率分別為12，5(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率；(2)記甲、乙、丙、丁4人中最終被錄用的人數為X，求X的分布列和數學期望．【解題思路】（1）根據題意分別計算出甲、乙、丙、丁4名同學參加面試通過的概率，利用對立事件的概率公式可知“至少有1人被錄用的概率”與“沒有人被錄用的概率”之和為1，即可計算出結果；（2）寫出X的所有可能取值，再根據積事件與和事件的概率公式分別求的其概率即可列出分布列，進而求得期望值.【解答過程】（1）由題意得，甲被錄用的概率為23乙被錄用的概率為45丙被錄用的概率為34丁被錄用的概率為34事件“至少有1人被錄用”與事件“沒有人被錄用”互為對立事件，沒有人被錄用的概率為1?設甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用為事件M，則PM即甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被錄用的概率為23（2）由題意得，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，∴PX=0PX=1PX=2PX=3PX=4∴X的分布列為X01234P410171∴期望值EX19．（2023·全國·高三專題練習）單板滑雪U型場地技巧是冬奧會比賽中的一個項目，進入決賽階段的12名運動員按照預賽成績由低到高的出場順序輪流進行三次滑行，裁判員根據運動員的騰空高度、完成的動作難度和效果進行評分，最終取單次最高分作為比賽成績．現有運動員甲、乙二人在某賽季單板滑雪U型場地技巧比賽中的成績(單位：分)，如表：分站運動員甲的三次滑行成績運動員乙的三次滑行成績第1次第2次第3次第1次第2次第3次第1站80.2086.2084.0380.1188.400第2站92.8082.1386.3179.3281.2288.60第3站79.10087.5089.1075.3687.10第4站84.0289.5086.7175.1388.2081.01第5站80.0279.3686.0085.4087.0487.70假設甲、乙二人每次比賽成績相互獨立．(1)從上表5站中隨機選取1站，求在該站甲的成績高于乙的成績的概率；(2)從上表5站中任意選取2站，用X表示這2站中甲的成績高于乙的成績的站數，求X的分布列和數學期望；(3)假如從甲、乙二人中推薦一人參加2022年北京冬奧會單板滑雪U型場地技巧比賽，根據以上數據信息，你推薦誰參加？說明理由．【解題思路】（1）根據古典概型的概率公式求解即可；（2）求得X的可能取值及對應概率，完成分布列，根據期望的公式求解即可；（3）根據數據得出其概率，期望，平均數，方差等數據分析，理由合理即可.【解答過程】（1）設“從5站中隨機選取1站，該站甲的成績高于乙的成績”為事件A．甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為86.20，92.80，87.50，89.50，86.00．乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成績分別為88.40，88.60，89.10，88.20，87.70．其中第2站和第4站甲的成績高于乙的成績，所以PA（2）X的所有可能取值為0，1，2，則PX=0=C20所以X的分布列為X012P331EX（3）答案一：推薦乙．從5站的成績可以看出，任意1站甲的成績高于乙的成績的概率為25，乙的成績高于甲的成績的概率為35．因為答案二：推薦乙．用“ζ=1”表示任意1站甲的成績高于乙的成績，用“ζ=0”表示任意1站甲的成績低于乙的成績，則Pζ=1=25，Pζ=0用“η=1”表示任意1站乙的成績高于甲的成績，用“η=0”表示任意1站乙的成績低于甲的成績，則Pη=1=35，Pη=0因為Eζ<Eη所以預測乙的成績好于甲的成績，推薦乙參加．答案三：推薦乙．設甲5站的平均成績、乙5站的平均成績、甲5站成績的方差、乙5站成績的方差分別為x甲，x乙，s甲則x甲x乙s甲s乙x甲s甲答案四：推薦甲．甲5站的平均成績為x甲乙5站的平均成績為x乙雖然甲、乙5站的平均成績相同，但是甲成績的極大值為92.80，乙成績的極大值為89.10，甲成績的極大值大于乙成績的極大值，所以預測甲的成績會比乙的更好，推薦甲參加．答案五：推薦甲．所有成績中兩人均有一次0分成績，是持平的，但除此之外，甲低于80分的有2次，乙有3次，甲發揮不理想的次數要少，所以甲失誤的可能性小，推薦甲參加．20．（2023春·江蘇南京·高三期末）2023年的春節期間，某市舉辦了趣味射擊過關比賽.比賽時，有甲、乙兩個靶，比賽規則如下：射手先向甲靶射擊兩次，再向乙靶射擊一次，每命中甲靶一次得1分，每命中乙靶一次得4分，沒有命中均得0分.現已知A射手向甲靶射擊一次，命中的概率為p0<p<1，再向乙靶射擊一次，命中的概率為23，假設(1)當p=12時，求(2)現規定射手總得分的數學期望超過4，比賽過關，若A射手過關，求實數p的取值范圍.【解題思路】（1）“A射手命中甲靶次數多于命中乙靶次數”包含“射擊甲靶擊中兩次，射擊乙靶不中或命中”和“射擊甲靶的兩次中只擊中一次，射擊乙靶不擊中”，由乘法公式得出所求概率；（2）求出A射手總得分的所有可能取值以及相應概率，進而由E(X)>4，得出實數p的取值范圍.【解答過程】（1）記“A射手命中甲靶次數多于命中乙靶次數”為事件B.事件B發生包含：“射擊甲靶擊中兩次，射擊乙靶不中或命中”和“射擊甲靶的兩次中只擊中一次，射擊乙靶不擊中”，所以P(B)=C（2）設A射手總得分為X，則X的所有可能取值為：0,1,2,4,5,6.P(X=0)=(1?p)2P(X=2)=p2P(X=5)=C2所以E(X)=0×13(1?p)則當E(X)>4時，6p+83>4，所以21．（2023秋·河北邯鄲·高三期末）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.11月22日，卡塔爾世界杯小組賽C組第1輪比賽中，梅西領銜的阿根廷隊1:2不敵沙特阿拉伯隊.梅西在開場階段打入一粒點球，但沙特在下半場開局后連入兩球反超比分，這也是亞洲球隊在本屆世界杯上獲得的首場勝利！為提升球隊的射門技術，某足球隊進行一次足球定點射門測試，規定每人最多踢3次，每次射門的結果相互獨立.在A處射進一球得3分，在B處射進一球得2分，否則得0分.將隊員得分逐次累加并用X表示，如果X的值不低于3分就判定為通過測試，立即停止射門，否則應繼續射門，直到踢完三次為止.現有兩種射門方案，方案1：先在A處踢一球，以后都在B處踢；方案2：都在B處踢球.已知甲隊員在A處射門的命中率為13，在B處射門的命中率為4(1)若甲隊員選擇方案1，求他測試結束后所得總分X的分布列和數學期望EX(2)你認為甲隊員選擇哪種方案通過測試的可能性更大？說明理由.【解題思路】（1）求出X的所有可能值，再利用獨立事件、互斥事件的概率求出各個取值的概率，列出分布列求出期望作答.（2）求出甲分別選方案1和方案2通過測試的概率，再比較大小作答.【解答過程】（1）設甲隊員在A處命中的事件為A，在B處命中的事件為Bi(i=1,2,3)，有X的所有可能值為0，2，3，4，P(X=0)=P(AP(X=2)=P(AP(X=3)=P(A)=13，所以X的分布列為：X0234P216132數學期望E(X)=0×2（2）設甲隊員選擇方案1通過測試的概率為P1，選擇方案2通過測試的概率為P由（1）知，P1P2=P(B所以甲隊員選擇方案2通過測試的可能性更大.22．（2023秋·海南·高三期末）王先生準備利用家中閑置的10萬元進行投資，投資公司向其推薦了A，B兩種理財產品，其中產品A一年后固定獲利8%，產品B的一年后盈虧情況的分布列如下（表中p>0盈虧情況獲利16不賠不賺虧損4概率2p1p(1)如果王先生只投資產品B，求他一年后投資收益的期望值．(2)該投資公司為提高客戶積極性，對投資產品B的客戶贈送鼓勵金，每年的鼓勵金為產品B的投資額的2%【解題思路】（1）根據概率和為1求出p，然后根據數學期望公式求解盈虧情況.(2)根據0.07<0.08，0.07+0.02>0.08，能分析到先投資產品B，使鼓勵金達到1200元，其余資金再投資產品A．【解答過程】（1）由已知得2p+14+p=1如果王先生只投資產品B，他一年后投資收益的期望值為10×0.16×（2）產品B的平均收益率為0.16×1因為0.07<0.08，0.07+0.02>0.08，即產品B的平均收益率比產品A的收益率小，但加上鼓勵金后平均收益率比產品A的收益率大，故要使投資收益的期望值最大，應優先投資產品B，使鼓勵金達到1200元，其余資金再投資產品A．因為12000.02=60000（元），所以應該用6萬元投資產品B，4萬元投資產品一年后投資收益的期望值最大為4×0.08+6×0.07+0.12=0.86（萬元）．23．（2023秋·山西·高三期末）通過核酸檢測可以初步判定被檢測者是否感染新冠病毒，檢測方式分為單檢和混檢，單檢是將一個人的采集拭子放入一個采樣管中單獨檢測：混檢是將多個人的采集拭子放入一個采樣管中合為一個樣本進行檢測，若檢測結果呈陽性，再對這多個人重新采集單管拭子，逐一進行檢測，以確定當中的陽性樣本．混檢按一個采樣管中放入的采集拭子個數可具體分為“3合1”混檢，“5合1”混檢，“10合1”混檢等．調查研究顯示，在群體總陽性率較低（低于0.1%）時，混檢能較大幅度地提高檢測效力、降低檢測成本．根據流行病學調查結果顯示，某城市每位居民感染新冠病毒的概率為p(0<p<1)．若對該城市全體居民進行一輪核酸檢測，記每一組n位居民采用“n合1”（n∈N?）混檢方式共需檢測(1)求隨機變量X的分布列和數學期望；(2)已知當0<p<0.0005時，(1?p)n≈1?npn∈N?．若p=0.0001【解題思路】(1)根據題干條件分情況X=1和X=n+1求概率,寫出分布列計算數學期望即可;(2)由(1)的數學期望得出每位居民檢測的次數,再應用基本不等式求出核酸檢測中每位居民檢測的最少次數,取等條件可求n.【解答過程】（1）X的取值為1和n+1，P(X=1)=(1?p)P(X=n+1)=1?(1?p)隨機變量X的分布列為：X1n+1P1?p1?可得E(X)=1×(1?p)（2）由（1）可知每位居民檢測的次數約為E(X)n又由1n當且僅當1n=0.0001n，即故當n=100時，采用“100合1”，這一輪核酸檢測中每位居民檢測的次數最少．24．（2022春·山東聊城·高二期中）為弘揚中國傳統文化，山東電視臺舉行國寶知識大賽，先進行預賽，規則如下：①有易、中、難三類題，共進行四輪比賽，每輪選手自行選擇一類題，隨機抽出該類題中的一個回答；②答對得分，答錯不得分；③四輪答題中，每類題最多選擇兩次．四輪答題得分總和不低于10分進入決賽．選手甲答對各題是相互獨立的，答對每類題的概率及得分如下表：容易題中等題難題答對概率0.70.50.3答對得分345(1)若甲前兩輪都選擇了中等題，并只答對了一個，你認為他后兩輪應該怎樣選擇答題，并說明理由；(2)甲四輪答題中，選擇了一個容易題、兩個中等題、一個難題，若容易題答對，記甲預賽四輪得分總和為X，求隨機變量X的數學期望．【解題思路】（1）先分析得甲后兩輪還有三種方案，利用獨立事件的概率的乘法公式將每種方案進決賽的概率求出，比較之即可得解；（2）根據題意得到X的可能取值，結合獨立事件的概率的乘法公式將X的每一個取值的概率求出，從而得到X的的分布列，從而求得X的數學期望．【解答過程】（1）依題意，甲前兩輪都選擇了中等題，只答對了一個，則甲得分為4分，要進入決賽，還需要得6分，所以甲后兩輪的選擇有三種方案：方案一：都選擇容易題，則總得分不低于10分的概率為P1方案二：都選擇難題，則總得分不低于10分的概率為P2方案三：選擇一個容易題、一個難題，則總得分不低于10分的概率為：P3因為P1（2）依題意，X的可能取值為3、7、8、11、12、16，則P(X=3)=1P(X=8)=1P(X=12)=2×1所以X的分布列為：X378111216P773733所以E(X)=3×725．（2023·全國·高三專題練習）某公司在一種傳染病毒的檢測試劑品上加大了研發投入，其研發的檢驗試劑品α分為兩類不同劑型α1和α2．現對其進行兩次檢測，第一次檢測時兩類試劑α1和α2合格的概率分別為34和35，第二次檢測時兩類試劑α1和α(1)設經過兩次檢測后兩類試劑α1和α2合格的種類數為X，求(2)若地區排查期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫護人員要對其家庭成員逐一使用試劑品α進行檢測，如果有一人檢測呈陽性，則檢測結束，并確定該家庭為“感染高危戶”．設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為p(0<p<1)且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才確定為“感染高危戶”的概率為f(p)，若當p=p0時，f(p)最大，求【解題思路】（1）先得到劑型α1與α2合格的概率，求出（2）求出fp=1?p2p+【解答過程】（1）劑型α1合格的概率為：3劑型α2合格的概率為：3由題意知X的所有可能取值為0，1，2．則PX=0PX=1PX=2則X的分布列為X012P6136數學期望EX（2）檢測3人確定“感染高危戶”的概率為1?p2檢測4人確定“感染高危戶”的概率為1?p3則fp令x=1?p，因為0<p<1，所以0<x<1，原函數可化為gx因為x2當且僅當x2=1?x此時p=1?22，所以26．（2023·全國·高三專題練習）某中學2022年10月舉行了2022“翱翔杯”秋季運動會，其中有“夾球跑”和“定點投籃”兩個項目，某班代表隊共派出1男（甲同學）2女（乙同學和丙同學）三人參加這兩個項目，其中男生單獨完成“夾球跑”的概率為0.6，女生單獨完成“夾球跑”的概率為a（0<a<0.4）．假設每個同學能否完成“夾球跑”互不影響，記這三名同學能完成“夾球跑”的人數為ξ．(1)證明：在的概率分布中，Pξ=1(2)對于“定點投籃”項目，比賽規則如下：該代表隊先指派一人上場投籃，如果投中，則比賽終止，如果沒有投中，則重新指派下一名同學繼續投籃，如果三名同學均未投中，比賽也終止．該班代表隊的領隊了解后發現，甲、乙、丙三名同學投籃命中的概率依次為ti=Pξ=i（i=1【解題思路】（1）分別求出Pξ=i（i=0（2）由（1）知t1>t2>t3，設三人任意順序出場時三場投中的概率分別為p1，p2，p3，計算比賽時所需派出的人數【解答過程】（1）由已知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3，Pξ=0Pξ=1Pξ=2Pξ=3∵0<a<0.4，∴Pξ=1Pξ=1Pξ=1所以概率Pξ=1（2）由（1）知，當0<a<0.4時，有t1且t2?t所以應當以甲、乙、丙的順序安排出場順序，才能使得該代表隊出場投籃人數的均值最小．證明如下：假設p1，p2，p3為t1，該順序下三人能完成項目的概率為p1，p2，p3，記在比賽時所需派出的人數為η，則η=1η123Pp1?1?數學期望Eη∵t1>t2要使1?p11?p2盡可能小，則需要p1,p2∴3?2p所以應當以甲、乙、丙的順序安排出場順序，才能使得該代表隊出場投籃人數的均值最小．27．（2023·全國·高三專題練習）為了豐富孩子們的校園生活，某校團委牽頭，發起同一年級兩個級部A、B進行體育運動和文化項目比賽，由A部、B部爭奪最后的綜合冠軍．決賽先進行兩天，每天實行三局兩勝制，即先贏兩局的級部獲得該天勝利，此時該天比賽結束．若A部、B部中的一方能連續兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天A部、B部各贏一天，則第三天只進行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍．設每局比賽A部獲勝的概率為p0<p<1(1)記第一天需要進行的比賽局數為X，求EX，并求當EX取最大值時(2)當p=12時，記一共進行的比賽局數為Y，求【解題思路】（1）求出X可能取值，并求出對應的概率，得到期望，配方后得到期望最大值時對應的p的值；（2）先得到雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為12×12=14，比分為2∶1或1∶【解答過程】（1）X可能取值為2，3．PX=2PX=3故EX即EX=?2p?12（2）當p=12時，雙方前兩天的比分為2∶0或0∶2的概率均為比分為2∶1或1∶2的概率均為2×1PY≤5，則Y=4或Y=5Y=4即獲勝方兩天均為2∶0獲勝，不妨設A部勝，概率為14×14=故PY=4Y=5即獲勝方前兩天的比分為2∶0和2∶1或者2∶0和0∶2再加附加賽，不妨設最終A部獲勝，當前兩天的比分為2∶0和2∶1時，先從兩天中選出一天，比賽比分為2∶1，三場比賽前兩場，A部一勝一負，第三場比賽A獲勝，另外一天比賽比分為2：0，故概率為C2當前兩天比分為2∶0和0∶2，附加賽A獲勝時，兩天中選出一天，比賽比分為2：0，概率為C2故最終A部獲勝的概率為18同理B部勝，概率為316故PY=5所以PY≤528．（2023秋·浙江杭州·高三期末）核電站某項具有高輻射危險的工作需要工作人員去完成，每次只派一人，每人只派一次，工作時長不超過15分鐘，若某人15分鐘內不能完成該工作，則撤出，再派下一人，現有小胡、小邱、小鄧三人可派，且他們各自完成工作的概率分別為p1，p2，p3.假設p1，(1)任務能被完成的概率是否與三個人被派出的先后順序有關？試說明理由；(2)若按某指定順序派出，這三人各自能完成任務的概率依次為q1，q2，q3，其中q1，q2①求所需派出人員數目X的分布列和數學期望EX②假定1>p【解題思路】(1)由概率算式知任務能被完成的概率與三個人被派出的順序無關.(2)①計算變量取值相應的概率得到分布列，計算數學期望；②根據不同順序方案數學期望的結果，得到數學期望最小時的派出順序.【解答過程】（1）無關，理由如下：由于任務不能被完成的概率為1-p故任務能被完成的概率為1-1-所以任務能被完成的概率與三個人被派出的順序無關．（2）①X的取值為1，2，3，PX