關于兩個數列公共項問題數列是高中數學重要的內容之一，它不僅有著廣泛的實際應用，而且還是培養學生數學能力的良好題材。學習數列，要經常觀察、分析、歸納、猜想，還要綜合運用前面的知識解決數列中的一些問題，這些都有助于學生數學能力的提高。本章題型多，但有規律，所以平常學習時應多注意總結。下面就人教A版全日制普通高級中學教科書（必修）數學第一冊（上）第115頁習題3.2第8題及第135頁第2題第4小題加以引申。此類問題是關于兩數列的公共項的問題，比較抽象，難以理解，現對這個問題通過幾個例題做如下分析。一、關于序號與數值均相同的公共項問題例題：一個無窮等差數列的首項是93，公差是-7；另一個無窮等差數列的首項是17，公差是12，這兩個數列中存在著序號及數值均相等的項嗎？解：這兩個等差數列的通項公式分別為an=93-7×(n-1),bn=17+12×(n-1)由an=bn，即93-7×(n-1)=17+12×(n-1)得n=5，由此可知這兩個數列中存在著序號及數值均相等的項，即第五項。小結：此類問題比較容易，只要由an=bn，如解出n為正整數就有相同項，解出n不是正整數就沒有相同項。【鞏固練習】：已知數列、的通項公式分別為：an=an+2,bn=bn+1（a,b是常數），且a＞b，那么兩個數列中序號與數值均相同的個數是（）（A）0個（B）1個（C）2個（D）無窮多個 答案A分析：這兩個等差數列的通項公式分別為：an=an+2,bn=bn+1由an=bn，即an+2=bn+1得（a-b）n=-1，因為a＞b，所以由（a-b）n=-1解出的n不是正整數，由此可知這兩個數列中沒有序號及數值均相等的項。二、關于數值相同但序號不一定相同的公共項問題1、關于兩個等差數列的公共項問題例題：等差數列5，8，11，14，17，20，23，…與等差數列3，7，11，15，19，23，27，…前100項中有多少相同項？并求相同項的和。【分析1】為了發現相同項的規律，不妨將兩個數列分別多寫出一些項：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，…，302．3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，…，399．顯然相同項構成的數列是11，23，35，47，…，an,只要找到an，問題得到解決。解：由以上分析可知相同項構成以a1=11為首項,d=12為公差的等差數列．∵an=11+12×(n-1)≤302,n≤25.25,則n=25．∴a25=11+12×(25-1)=299.S25==3875.【分析2】等差數列5，8，11，…的通項為an=5+(n-1)?3=3n+2(1≤n≤100);等差數列3，7，11，…的通項為bn=3+(n-1)?4=4n-1(1≤n≤100)，顯然數列{an}的每一項是被3除余2的自然數，數列{bn}的每一項是被4除余-1的自然數。實際上數列{an}的每一項也可以稱被3除余-1的自然數，這樣兩個數列的各項余數相同，只要找到它們除數的最小公倍數即被12除余-1的自然數即為相同項。解：由分析知，相同項構成的數列的通項為Cn=12n-1,∵12n-1≤302,∴n≤25.25則n=25，可見該數列的首項a1=11，公差d=12,項數n=25，其和S25=1125+25（25-1）12=3875。【分析3】由分析1可以看出兩數列相同項除第一項均出現在第三項外，其余各項都是最先出現在公差較大的數列中，所以我們不妨設數列5，8，11，…為{an}，數列3，7，11，…為{bn},公共項構成的數列為{Cn},并設第一項為Cn=am=bq,然后從{bn}中找第二項Cn+1。解：設Cn=am=bq，∵Cn=3m+2=4q-1,∴4q=3bq+1=4(q+1)-1=4q+3=3m+6=3(m∴bq+1不在{an}中bq+2=4(q+2)-1=4q+7=3m+10=3(m∴bq+2不在{an}中bq+3=4(q+3)-1=4q+11=3m+14=3(m∴bq+3在{an}中∵Cn+1=bq+3=4q+11∴Cn+1-Cn=bq+3-bq=4q+11-(4q-1)=12∴{Cn}是以11為首項，12為公差的等差數列，Cn=12n-1,以下同分析2。小結：可以看出新數列的公差應是原來兩數列的公差的最小公倍數。【鞏固練習】：在[1000，2000]內能被3整除且被4除余1的整數共有多少個？答案83個2、關于等差數列與等比數列的公共項問題例題：數列{an}與{bn}的通項公式分別為an=2n,bn=3n+2,它們的公共項由小到大排成的數列是{Cn}.，求{Cn}的通項公式。【分析1】兩數列的公共項從第二項起先出現在等比數列中，所以設{Cn}的第一項為Cn=am=bp，然后到{an}中去找第二項。解：設Cn=am=bp，∵Cn=2m=3pam+1=2?2m=2(3p+2)=3(2∴am+1不在{bn}中又am+1=4?2m=4（3p+2）=3（4p∴am+2在{bn}中∴am+2是{Cn}中的項即Cn+1,∴Cn+1=4Cn故{Cn}是以C1=a3=8為首項，4為公比的成等比數列，∴Cn=84n-1=22n+1【分析2】設ak=2k是{bn}中的第m項，即2k=3m+2,問題轉化為求k、m解：設ak=2k是{bn}中的第m項，即2k=3m+2,問題轉化為求k、m由2k=3m+2可知2k而2k-2=（3-1）k-2=3[Ck03k+Ck13k-1(-1)+…+Ckk-13(-1)k-1]+[(-1)k-2],當k為奇數時右式能被3整除，又∵m為正整數∴k為大于1的奇數∵Cn=a2n+1=22n+1小結：此類問題比較難，特別是第二種方法入手很難，且在運用二項式定理時要格外小心。【鞏固練習】：數列{an}與{bn}的通項公式分別為a